函数的基本性质之一——函数的增减性
复习基础知识
1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________ 2不看课本，能否写出函数单调性的定义？
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ．如果对于属于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，且x 1
（1）f (x 1)
f
(x 1)-
f
(x 2)
x 1-x 2
f
>0(x 1≠x 2)；
（2）f (x 1)>f (x 2)⇔f (x ) 在区间A 上是减函数⇔
(x 1)-
f
(x 2)
x 1-x 2
如果函数y =f (x ) 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做y =f (x ) 的单调区间．
注意：（1）单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应（2）定义中，自变量的大小、函数值的大小、函数的单调性，三者中知道其中两个即可推出另外一个；
二、单调函数的图象特征：从左至右增、减函数的图象分别呈上升或下降趋势． 三、基本函数的单调性：掌握反比例函数、一次与二次函数、指、对数函数的单调性． 四、单调性的判断与证明方法
方法一：利用图象的上升、下降趋势加以判断.
方法二：利用定义证明：设值x 1
讨论函数
f (x ) =
x ax
2
x ∈(-1, 1)
-1
的单调性，其中a 不等于0
【解】 设－1
ax ax 则f (x 1) －f (x 2) ＝－
x 1－1x 2－1
a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1) ＝
(x 12－1)(x 22－1)
∵－1
∴|x 1|0， x 12－10，
(x 2－x 1)(x 2x 1＋1) ∴2(x 1－1)(x 22－1)
因此，当a >0时，f (x 1) －f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2) ，此时函数为减函数．
当a
(2)作差：即f (x 2) －f (x 1)(或f (x 1) －f (x 2)) ，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
(3)定号：根据给定的区间和x 2－x 1的符号，确定差f (x 2) －f (x 1)(或f (x 1) －f (x 2)) 的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．
(4)判断：根据定义得出结论
若例1中x ∈(－1,1) 改为x ∈R ，a ≠0改为a ＞0，结果如何？
方法三：利用复合函数的单调性
如：设函数u =g (x ) 在区间[m , n ]上是减函数，函数y =f (u ) 在区间⎡⎣g (n ), g (m )⎤⎦上是增函数，则复合函数y =f [g (x )]在区间[m , n ]上是减函数. 已知函数f(x),g(x)在R 上是增函数，求证：f[g(x)]在R 上也是增函数
设有x 1,x 2且x 1
∵g(x)在R 上是增函数 ∴g(x1)
又∵f(x)在R 上是增函数 ∴f(g(x1))
∴f(g(x))在R 上也是增函数同理：f(x)增，g(x)减，则f[g(x)]减
f(x)减g(x) 增，则f[g(x)]减
f(x) 减，g(x)减，则f[g(x)] 增 规律：同增异减． 例3：求函数f (x ) =
总结：求单调区间的步骤： （1）求定义域
（2）利用复合函数单调性求单调区间。 1． 求f(x)=
52x -4x +3
2
的单调区间。
2． f(x)是定义在（-3，3）上的增函数，若f(2+3a)>f(1-2a), 求实数a 的取值范围？
方法四：利用已知函数的单调性.
（1）设函数y =f (x ) 、y =g (x ) 在区间A 上都是增函数（或减函数），则函数； y =f (x ) +g (x ) 在区间A 上也是增函数（或减函数）
（2）设函数y =f (x ) 、y =g (x ) 在区间A 上都是增函数（或减函数），且对任意的
x ∈A 都有f (x )>0、g (x )>0，则函数y =f (x ) ⋅g (x ) 在区间A 上是增函数（或减函数）；
（3）互为反函数的两个函数在对应的自变量取值区间上具有相同的单调性．
5、单调性的应用
利用函数的增减性可以比较函数值的大小、解不等式、求值域或最值等．其依据是：
x 1∈A ，x 2∈A ，（1）已知函数在区间A 上是增函数，那么x 1f (x 2)．
例1：已知f(x)在[0，+∞）上是递减的，试比较各式的大小
（1） f(0.1)与f(2006) (2)f(3)与f(π) (3)f(
34
) 与f(a 2+a +1) (4)f(a)与f(
1a
)(a>0)
练习： 1． 已知函数y=
3x -2
, x ∈[3,8], 求函数的最大值和最小值。
2． 函数y=|x+1|在x ∈[-3, 3]上的最大值是？
3． 已知f (x ) =x -2(1-a ) x +4在（－∞，4〕上为减函数，求实数a 的取值范围？ 已知f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，求不等式 f(x)>f[8(x-2)]的解集。
2
函数的基本性质之一——函数的增减性
复习基础知识
1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________ 2不看课本，能否写出函数单调性的定义？
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一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ．如果对于属于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，且x 1
（1）f (x 1)
f
(x 1)-
f
(x 2)
x 1-x 2
f
>0(x 1≠x 2)；
（2）f (x 1)>f (x 2)⇔f (x ) 在区间A 上是减函数⇔
(x 1)-
f
(x 2)
x 1-x 2
如果函数y =f (x ) 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做y =f (x ) 的单调区间．
注意：（1）单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应（2）定义中，自变量的大小、函数值的大小、函数的单调性，三者中知道其中两个即可推出另外一个；
二、单调函数的图象特征：从左至右增、减函数的图象分别呈上升或下降趋势． 三、基本函数的单调性：掌握反比例函数、一次与二次函数、指、对数函数的单调性． 四、单调性的判断与证明方法
方法一：利用图象的上升、下降趋势加以判断.
方法二：利用定义证明：设值x 1
讨论函数
f (x ) =
x ax
2
x ∈(-1, 1)
-1
的单调性，其中a 不等于0
【解】 设－1
ax ax 则f (x 1) －f (x 2) ＝－
x 1－1x 2－1
a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1) ＝
(x 12－1)(x 22－1)
∵－1
∴|x 1|0， x 12－10，
(x 2－x 1)(x 2x 1＋1) ∴2(x 1－1)(x 22－1)
因此，当a >0时，f (x 1) －f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2) ，此时函数为减函数．
当a
(2)作差：即f (x 2) －f (x 1)(或f (x 1) －f (x 2)) ，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
(3)定号：根据给定的区间和x 2－x 1的符号，确定差f (x 2) －f (x 1)(或f (x 1) －f (x 2)) 的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．
(4)判断：根据定义得出结论
若例1中x ∈(－1,1) 改为x ∈R ，a ≠0改为a ＞0，结果如何？
方法三：利用复合函数的单调性
如：设函数u =g (x ) 在区间[m , n ]上是减函数，函数y =f (u ) 在区间⎡⎣g (n ), g (m )⎤⎦上是增函数，则复合函数y =f [g (x )]在区间[m , n ]上是减函数. 已知函数f(x),g(x)在R 上是增函数，求证：f[g(x)]在R 上也是增函数
设有x 1,x 2且x 1
∵g(x)在R 上是增函数 ∴g(x1)
又∵f(x)在R 上是增函数 ∴f(g(x1))
∴f(g(x))在R 上也是增函数同理：f(x)增，g(x)减，则f[g(x)]减
f(x)减g(x) 增，则f[g(x)]减
f(x) 减，g(x)减，则f[g(x)] 增 规律：同增异减． 例3：求函数f (x ) =
总结：求单调区间的步骤： （1）求定义域
（2）利用复合函数单调性求单调区间。 1． 求f(x)=
52x -4x +3
2
的单调区间。
2． f(x)是定义在（-3，3）上的增函数，若f(2+3a)>f(1-2a), 求实数a 的取值范围？
方法四：利用已知函数的单调性.
（1）设函数y =f (x ) 、y =g (x ) 在区间A 上都是增函数（或减函数），则函数； y =f (x ) +g (x ) 在区间A 上也是增函数（或减函数）
（2）设函数y =f (x ) 、y =g (x ) 在区间A 上都是增函数（或减函数），且对任意的
x ∈A 都有f (x )>0、g (x )>0，则函数y =f (x ) ⋅g (x ) 在区间A 上是增函数（或减函数）；
（3）互为反函数的两个函数在对应的自变量取值区间上具有相同的单调性．
5、单调性的应用
利用函数的增减性可以比较函数值的大小、解不等式、求值域或最值等．其依据是：
x 1∈A ，x 2∈A ，（1）已知函数在区间A 上是增函数，那么x 1f (x 2)．
例1：已知f(x)在[0，+∞）上是递减的，试比较各式的大小
（1） f(0.1)与f(2006) (2)f(3)与f(π) (3)f(
34
) 与f(a 2+a +1) (4)f(a)与f(
1a
)(a>0)
练习： 1． 已知函数y=
3x -2
, x ∈[3,8], 求函数的最大值和最小值。
2． 函数y=|x+1|在x ∈[-3, 3]上的最大值是？
3． 已知f (x ) =x -2(1-a ) x +4在（－∞，4〕上为减函数，求实数a 的取值范围？ 已知f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，求不等式 f(x)>f[8(x-2)]的解集。
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