圆的标准方程
1、情境设置:
在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究:
2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条
件
=r ①
化简可得:(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ②
引导学生自己证明(x -a ) +(y -b ) =r 为圆的方程,得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。
2
2
2
3、知识应用与解题研究
例(1):写出圆心为A (2,-3) 半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7), M 2(-1) 是否在这个圆上。
分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。
探究:点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的关系的判断方法: (1)(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r ,点在圆外 (2)(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r ,点在圆上 (3)(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
例(2):∆ABC 的三个顶点的坐标是A (5,1),B (7,-3), C (2,-8), 求它的外接圆的方程
222
222
师生共同分析:从圆的标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数. (学生自己运算解决)
例(3):已知圆心为C 的圆l :x -y +1=0经过点A (1,1)和B (2,-2) , 且圆心在l :x -y +1=0上, 求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小. 圆心为C 的圆经过点
A (1,1)和B (2,-2) , 由于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在险段AB 的垂直平分
线m 上,又圆心C 在直线l 上,因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点,半径长等于CA 或
CB 。
(教师板书解题过程)
总结归纳:(教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2)、例(3)可得出 ABC 外接圆的标准方程的两种求法:
①、根据题设条件,列出关于a 、b 、r 的方程组,解方程组得到a 、b 、r 得值,写出圆的
标准方程.
根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.
课堂练习:课本p 127第1、3、4题 4. 提炼小结:
1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
圆的一般方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1.(x +1) 2+(y -2) 2=4的圆心与半径分别为( ) A .(-1,2) ,2 B .(1,-2) ,2 C .(-1,2) ,4 D .(1,-2) ,4
2.点P (m 2, 5) 与圆x 2+y 2=24的位置关系是( ) A .在圆内 B .在圆外 C .在圆上 D .不确定
3.圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,-2) ,则此圆的方程是( ) A .(x -2) 2+(y -1) 2=1B .(x -2) 2+(y +1) 2=1 C .(x +2) 2+(y -1) 2=1D .(x +2) 2+(y +1) 2=1 4.圆(x -1) 2+y 2=1的圆心到直线y =13
B. C .1 D. 3 22
5.圆O 的方程为(x -3) 2+(y -4) 2=25,点(2,3)到圆上的最大距离为________. 6.圆(x -3) 2+(y +1) 2=1关于直线x +2y -3=0对称的圆的方程是________________. 7.求满足下列条件的圆的方程:
(1)经过点P (5,1),圆心为点C (8,-3) ;
(2)经过点P (4,2),Q (-6,-2) ,且圆心在y 轴上.
8.求经过A (6,5),B (0,1)两点,并且圆心在直线3x +10y +9=0上的圆的方程. 二、能力提升
9.方程y =9-x 表示的曲线是( ) A .一条射线 B .一个圆 C .两条射线 D .半个圆
10.若直线y =ax +b 通过第一、二、四象限,则圆(x +a ) 2+(y +b ) 2=1的圆心位于( )
3
的距离为( ) 3
A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
11.如果直线l 将圆(x -1) 2+(y -2) 2=5平分且不通过第四象限,那么l 的斜率的取值范围
是________.
12.平面直角坐标系中有A (0,1),B (2,1),C (3,4),D (-1,2) 四点,这四点能否在同一个圆上?
为什么? 三、探究与拓展
13.已知点A (-2,-2) ,B (-2,6) ,C (4,-2) ,点P 在圆x 2+y 2=4上运动,求|P A |2+|PB |2
+|PC |2的最值.
答案
1.A 2.B 3.B 4.A 5.5+2
193
x -⎫2+⎛y 2=1 6. ⎛⎝5⎭⎝57.解 (1)圆的半径r =|CP |=(5-8)+(1+3)=5,
圆心为点C (8,-3) ,
∴圆的方程为(x -8) 2+(y +3) 2=25. (2)设所求圆的方程是x 2+(y -b ) 2=r 2. ∵点P 、Q 在所求圆上,依题意有
⎧⎪16+(2-b )=r ,⎨22⎪36+(2+b )=r ,⎩
22
⎧r =4,
⇒⎨5
b =-⎩2.
2
145
∴所求圆的方程是 5145
y +⎫2x 2+⎛⎝2⎭4
8.解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x +2y -15=0,
⎧⎪3x +2y -15=0,∴由⎨,
⎪3x +10y +9=0⎩⎧⎪x =7,解得⎨
⎪y =-3. ⎩
∴圆心C (7,-3) ,半径r =|AC |=65. ∴所求圆的方程为(x -7) 2+(y +3) 2=65. 9.D 10.D 11.[0,2]
12.解 能.设过A (0,1),B (2,1),C (3,4)的圆的方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
将A ,B ,C 三点的坐标分别代入有 a +(1-b )=r ,⎧⎪
⎨(2-a )2+(1-b )2=r 2,⎪⎩(3-a )2+(4-b )2=r 2,
2
2
2
⎧a =1,
⎪
解得⎨b =3,
⎪⎩r =5.
∴圆的方程为(x -1) 2+(y -3) 2=5. 将D (-1,2) 代入上式圆的方程,得 (-1-1) 2+(2-3) 2=4+1=5, 即D 点坐标适合此圆的方程. 故A ,B ,C ,D 四点在同一圆上. 13.解 设P (x ,y ) ,则x 2+y 2=4.
|P A |2+|PB |2+|PC |2=(x +2) 2+(y +2) 2+(x +2) 2+(y -6) 2+(x -4) 2+(y +2) 2=3(x 2+y 2) -4y +68=80-4y . ∵-2≤y ≤2,
∴72≤|P A |2+|PB |2+|PC |2≤88.
即|P A |2+|PB |2+|PC |2的最大值为88,最小值为72.
4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1.方程x 2+y 2-x +y +m =0表示一个圆,则m 的取值范围是( ) 11
A .m ≤2 B .m <.m <2 D .m 22
2.设A ,B 为直线y =x 与圆x 2+y 2=1的两个交点,则|AB |等于( ) A .1 B. 2 3 D .2
3.M (3,0)是圆x 2+y 2-8x -2y +10=0内一点,过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A .x +y -3=0 B .x -y -3=0 C .2x -y -6=0 D .2x +y -6=0
4.已知圆x 2+y 2-2ax -2y +(a -1) 2=0(0
5.如果圆的方程为x 2+y 2+kx +2y +k 2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为________. 6.已知圆C :x 2+y 2+2x +ay -3=0(a 为实数) 上任意一点关于直线l :x -y +2=0的对称点都在圆C 上,则a =________.
7.已知圆的方程为x 2+y 2-6x -6y +14=0,求过点A (-3,-5) 的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程.
8.求经过两点A (4,2)、B (-1,3) ,且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程. 二、能力提升
9.若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等,则圆心M 的轨迹方程是( ) A .x -y =0 B .x +y =0 C .x 2+y 2=0 D .x 2-y 2=0
10.过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之
差最大,则该直线的方程为( )
A .x +y -2=0 B .y -1=0 C .x -y =0 D .x +3y -4=0
11. 已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ,则四边形ABCD 的面积为________.
12.求一个动点P 在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程. 三、探究与拓展
13.已知一圆过P (4,-2) 、Q (-1,3) 两点,且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程.
答案
1.B 2.D 3.B 4.B 5.(0,-1) 6.-2
7.解 设所求轨迹上任一点M (x ,y ) ,圆的方程可化为(x -3) 2+(y -3) 2
=4. 圆心C (3,3). ∵CM ⊥AM , ∴k CM ·k AM =-1, 即
y -3y +5
1, x -3x +3
即x 2+(y +1) 2=25.
∴所求轨迹方程为x 2+(y +1) 2=25(已知圆内的部分) . 8.解 设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,
令y =0,得x 2+Dx +F =0,
所以圆在x 轴上的截距之和为x 1+x 2=-D ;
令x =0,得y 2+Ey +F =0,
所以圆在y 轴上的截距之和为y 1+y 2=-E ;
由题设,得x 1+x 2+y 1+y 2=-(D +E ) =2,所以D +E =-2. ① 又A (4,2)、B (-1,3) 两点在圆上,
所以16+4+4D +2E +F =0,②
1+9-D +3E +F =0,③
由①②③可得D =-2,E =0,F =-12,
故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0.
9.D 10.A
12.解 设点M 的坐标是(x ,y ) ,点P 的坐标是(x 0,y 0) .
由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点,
x 0+3y 所以x =,y =, 22
于是有x 0=2x -3,y 0=2y .
因为点P 在圆x 2+y 2=1上移动,
2所以点P 的坐标满足方程x 20+y 0=1,
31x -2+y 2=. 则(2x -3) 2+4y 2=1,整理得⎛⎝24
31x 2+y 2=所以点M 的轨迹方程为⎛⎝24
13.解 设圆的方程为:
x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,①
将P 、Q 的坐标分别代入①,
⎧⎪4D -2E +F =-20 ②得⎨ ⎪D -3E -F =10 ③⎩
令x =0,由①得y 2+Ey +F =0,④
由已知|y 1-y 2|=43,其中y 1,y 2是方程④的两根. ∴(y 1-y 2) 2=(y 1+y 2) 2-4y 1y 2
=E 2-4F =48. ⑤
解②③⑤联立成的方程组,
D =-2D =-10⎧⎧⎪⎪得⎨E =0或⎨E =-8
⎪⎪⎩F =-12⎩F =4 .
故所求方程为:x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0.
圆的标准方程
1、情境设置:
在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究:
2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条
件
=r ①
化简可得:(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ②
引导学生自己证明(x -a ) +(y -b ) =r 为圆的方程,得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。
2
2
2
3、知识应用与解题研究
例(1):写出圆心为A (2,-3) 半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7), M 2(-1) 是否在这个圆上。
分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。
探究:点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的关系的判断方法: (1)(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r ,点在圆外 (2)(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r ,点在圆上 (3)(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
例(2):∆ABC 的三个顶点的坐标是A (5,1),B (7,-3), C (2,-8), 求它的外接圆的方程
222
222
师生共同分析:从圆的标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数. (学生自己运算解决)
例(3):已知圆心为C 的圆l :x -y +1=0经过点A (1,1)和B (2,-2) , 且圆心在l :x -y +1=0上, 求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小. 圆心为C 的圆经过点
A (1,1)和B (2,-2) , 由于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在险段AB 的垂直平分
线m 上,又圆心C 在直线l 上,因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点,半径长等于CA 或
CB 。
(教师板书解题过程)
总结归纳:(教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2)、例(3)可得出 ABC 外接圆的标准方程的两种求法:
①、根据题设条件,列出关于a 、b 、r 的方程组,解方程组得到a 、b 、r 得值,写出圆的
标准方程.
根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.
课堂练习:课本p 127第1、3、4题 4. 提炼小结:
1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
圆的一般方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1.(x +1) 2+(y -2) 2=4的圆心与半径分别为( ) A .(-1,2) ,2 B .(1,-2) ,2 C .(-1,2) ,4 D .(1,-2) ,4
2.点P (m 2, 5) 与圆x 2+y 2=24的位置关系是( ) A .在圆内 B .在圆外 C .在圆上 D .不确定
3.圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,-2) ,则此圆的方程是( ) A .(x -2) 2+(y -1) 2=1B .(x -2) 2+(y +1) 2=1 C .(x +2) 2+(y -1) 2=1D .(x +2) 2+(y +1) 2=1 4.圆(x -1) 2+y 2=1的圆心到直线y =13
B. C .1 D. 3 22
5.圆O 的方程为(x -3) 2+(y -4) 2=25,点(2,3)到圆上的最大距离为________. 6.圆(x -3) 2+(y +1) 2=1关于直线x +2y -3=0对称的圆的方程是________________. 7.求满足下列条件的圆的方程:
(1)经过点P (5,1),圆心为点C (8,-3) ;
(2)经过点P (4,2),Q (-6,-2) ,且圆心在y 轴上.
8.求经过A (6,5),B (0,1)两点,并且圆心在直线3x +10y +9=0上的圆的方程. 二、能力提升
9.方程y =9-x 表示的曲线是( ) A .一条射线 B .一个圆 C .两条射线 D .半个圆
10.若直线y =ax +b 通过第一、二、四象限,则圆(x +a ) 2+(y +b ) 2=1的圆心位于( )
3
的距离为( ) 3
A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
11.如果直线l 将圆(x -1) 2+(y -2) 2=5平分且不通过第四象限,那么l 的斜率的取值范围
是________.
12.平面直角坐标系中有A (0,1),B (2,1),C (3,4),D (-1,2) 四点,这四点能否在同一个圆上?
为什么? 三、探究与拓展
13.已知点A (-2,-2) ,B (-2,6) ,C (4,-2) ,点P 在圆x 2+y 2=4上运动,求|P A |2+|PB |2
+|PC |2的最值.
答案
1.A 2.B 3.B 4.A 5.5+2
193
x -⎫2+⎛y 2=1 6. ⎛⎝5⎭⎝57.解 (1)圆的半径r =|CP |=(5-8)+(1+3)=5,
圆心为点C (8,-3) ,
∴圆的方程为(x -8) 2+(y +3) 2=25. (2)设所求圆的方程是x 2+(y -b ) 2=r 2. ∵点P 、Q 在所求圆上,依题意有
⎧⎪16+(2-b )=r ,⎨22⎪36+(2+b )=r ,⎩
22
⎧r =4,
⇒⎨5
b =-⎩2.
2
145
∴所求圆的方程是 5145
y +⎫2x 2+⎛⎝2⎭4
8.解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x +2y -15=0,
⎧⎪3x +2y -15=0,∴由⎨,
⎪3x +10y +9=0⎩⎧⎪x =7,解得⎨
⎪y =-3. ⎩
∴圆心C (7,-3) ,半径r =|AC |=65. ∴所求圆的方程为(x -7) 2+(y +3) 2=65. 9.D 10.D 11.[0,2]
12.解 能.设过A (0,1),B (2,1),C (3,4)的圆的方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
将A ,B ,C 三点的坐标分别代入有 a +(1-b )=r ,⎧⎪
⎨(2-a )2+(1-b )2=r 2,⎪⎩(3-a )2+(4-b )2=r 2,
2
2
2
⎧a =1,
⎪
解得⎨b =3,
⎪⎩r =5.
∴圆的方程为(x -1) 2+(y -3) 2=5. 将D (-1,2) 代入上式圆的方程,得 (-1-1) 2+(2-3) 2=4+1=5, 即D 点坐标适合此圆的方程. 故A ,B ,C ,D 四点在同一圆上. 13.解 设P (x ,y ) ,则x 2+y 2=4.
|P A |2+|PB |2+|PC |2=(x +2) 2+(y +2) 2+(x +2) 2+(y -6) 2+(x -4) 2+(y +2) 2=3(x 2+y 2) -4y +68=80-4y . ∵-2≤y ≤2,
∴72≤|P A |2+|PB |2+|PC |2≤88.
即|P A |2+|PB |2+|PC |2的最大值为88,最小值为72.
4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1.方程x 2+y 2-x +y +m =0表示一个圆,则m 的取值范围是( ) 11
A .m ≤2 B .m <.m <2 D .m 22
2.设A ,B 为直线y =x 与圆x 2+y 2=1的两个交点,则|AB |等于( ) A .1 B. 2 3 D .2
3.M (3,0)是圆x 2+y 2-8x -2y +10=0内一点,过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A .x +y -3=0 B .x -y -3=0 C .2x -y -6=0 D .2x +y -6=0
4.已知圆x 2+y 2-2ax -2y +(a -1) 2=0(0
5.如果圆的方程为x 2+y 2+kx +2y +k 2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为________. 6.已知圆C :x 2+y 2+2x +ay -3=0(a 为实数) 上任意一点关于直线l :x -y +2=0的对称点都在圆C 上,则a =________.
7.已知圆的方程为x 2+y 2-6x -6y +14=0,求过点A (-3,-5) 的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程.
8.求经过两点A (4,2)、B (-1,3) ,且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程. 二、能力提升
9.若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等,则圆心M 的轨迹方程是( ) A .x -y =0 B .x +y =0 C .x 2+y 2=0 D .x 2-y 2=0
10.过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之
差最大,则该直线的方程为( )
A .x +y -2=0 B .y -1=0 C .x -y =0 D .x +3y -4=0
11. 已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ,则四边形ABCD 的面积为________.
12.求一个动点P 在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程. 三、探究与拓展
13.已知一圆过P (4,-2) 、Q (-1,3) 两点,且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程.
答案
1.B 2.D 3.B 4.B 5.(0,-1) 6.-2
7.解 设所求轨迹上任一点M (x ,y ) ,圆的方程可化为(x -3) 2+(y -3) 2
=4. 圆心C (3,3). ∵CM ⊥AM , ∴k CM ·k AM =-1, 即
y -3y +5
1, x -3x +3
即x 2+(y +1) 2=25.
∴所求轨迹方程为x 2+(y +1) 2=25(已知圆内的部分) . 8.解 设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,
令y =0,得x 2+Dx +F =0,
所以圆在x 轴上的截距之和为x 1+x 2=-D ;
令x =0,得y 2+Ey +F =0,
所以圆在y 轴上的截距之和为y 1+y 2=-E ;
由题设,得x 1+x 2+y 1+y 2=-(D +E ) =2,所以D +E =-2. ① 又A (4,2)、B (-1,3) 两点在圆上,
所以16+4+4D +2E +F =0,②
1+9-D +3E +F =0,③
由①②③可得D =-2,E =0,F =-12,
故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0.
9.D 10.A
12.解 设点M 的坐标是(x ,y ) ,点P 的坐标是(x 0,y 0) .
由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点,
x 0+3y 所以x =,y =, 22
于是有x 0=2x -3,y 0=2y .
因为点P 在圆x 2+y 2=1上移动,
2所以点P 的坐标满足方程x 20+y 0=1,
31x -2+y 2=. 则(2x -3) 2+4y 2=1,整理得⎛⎝24
31x 2+y 2=所以点M 的轨迹方程为⎛⎝24
13.解 设圆的方程为:
x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,①
将P 、Q 的坐标分别代入①,
⎧⎪4D -2E +F =-20 ②得⎨ ⎪D -3E -F =10 ③⎩
令x =0,由①得y 2+Ey +F =0,④
由已知|y 1-y 2|=43,其中y 1,y 2是方程④的两根. ∴(y 1-y 2) 2=(y 1+y 2) 2-4y 1y 2
=E 2-4F =48. ⑤
解②③⑤联立成的方程组,
D =-2D =-10⎧⎧⎪⎪得⎨E =0或⎨E =-8
⎪⎪⎩F =-12⎩F =4 .
故所求方程为:x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0.