[圆的标准方程]教学设计

《圆的标准方程》教学设计

（教师用）

成都市洛带中学 刘德军

一、教材分析

学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。 二、学情分析

学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。 三、教学目标

(一)知识与技能目标

（1）会推导圆的标准方程。

（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。

（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写

出圆的标准方程。 (二)过程与方法目标

（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。 （2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 (三)情感与态度目标

圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 四、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。 2、难点：圆的标准方程的应用。

3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。 五、教学过程

首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。 (一)复习提问

在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)．

问题2：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程． (二)建立圆的标准方程 1．建系设点

由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 这时，请大家思考下面一个问题．

问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

(三)圆的标准方程的应用 学生练习一：

1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8； (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）

教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）

A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25

教师纠错，分别给出正确答案：2、 (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D. 指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 例1求满足下列条件各圆的方程：

（1） 求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x4y70相切的圆的方程

（2） 圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。 解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线3x4y70相切，

所以半径r就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得

r

|31437|3(4)

2

2



165

因此，所求的圆的方程是 (x1)2(y3)2

256

25

（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25 ∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25 这时，教师小结本题：求圆的方程的方法 (1)定义法

(2) 待定系数法，确定a，b，r； 学生练习二：

1、以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.

教师纠错，分别给出正确答案：(x－3)2+(y+5)2=32。

例2已知圆的方程x2y2r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程 解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1因为圆

的切线垂直于过切点的半径，于是k

1

k1

∵k1

y0x

∴k0让学生注意斜率不存在时和为0的情况) x0y0

经过点M的切线方程是 yy0

x0

(xx0)，

y0

整理得 x0xy0yx0y022

因为点M(x0,y0)在圆上，所以x0y0r2，所求切线方程是x0xy0yr2 法二：勾股定理 法三：向量

变式一：已知圆的方程为x2+y2= 1，求过点(2,2)的切线方程。 变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ，求过点(2,2)的切线方程。 学生练习三：

1.已知圆x2y225

22

（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B（-5，2）的切线方程_________________

教师纠错，分别给出正确答案：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0

(四)本课小结

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法． 4. 数型结合的数学思想 5. 过定点求圆切线方程.

（五）、布置作业 习题7.6 1，2，3

为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题

其基本教学模式是：

《圆的标准方程》学案（学生用）

课堂练习

1、说出下列圆的圆心和半径：

(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圆心_______,半径________. (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；圆心_______,半径________. (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）圆心_______,半径________. 2、(1)圆心是（3，4），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）

A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25 3．以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________. 4.已知圆x2y225

（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B（-5，2）的切线方程_________________

考题在线（思考题）

1、（2007湖南理）圆心为(11)，且与直线xy4相切的圆的方程是． 2、（2006杭州期末）求与直线y=x

相切，圆心在直线y=3x上，且过点（

的圆。

3、（2007湖北文）由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为（ ） A．

1

B．

CD．3

4、已知点M(x0,y0)在圆x2y2r2内，则x0xy0yr2与圆x2y2r2的位置关系是_____________.

《圆的标准方程》（课堂实录）

成都市洛带中学 刘德军

师：让我们来看一下生活中常见的一些事物（通过课件展示生活中的圆），这些都是什么图形？

生：圆。

师：对，远在我们生活中很常见，也代表着很美的东西，完美无缺，十全十美，都是指的圆，圆是很美的曲线，那么我们今天从另一个角度来研究圆。

(一)复习提问

师：在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 生：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.

师：这是高中的概念。（教师在课件上画圆)改变半径大小，和圆心的位置，圆发生了变化，这说明了什么？

生：半径决定大小，圆心决定位置。

师：对：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

生：圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。

师：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

生:求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

师：下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．（请一位同学板演） 生：因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)． 根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

由两点间的距离公式得：

将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 师：非常好，有无不同建立坐标系的方法． 生：有，圆心为坐标原点。

师：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，我们主要研究一般情况．请大家思考下面一个问题．圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

生：这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．

师：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．那么下面来做一下练习。

1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8； (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）

师：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径． 2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）

A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25

生： (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D.

师：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．那么我们再来看一下这一道题

例1求满足下列条件各圆的方程：

（3） 求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x4y70相切的

圆的方程

（4） 圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。

师：如果要求一个圆，你要找些生么？ 生：圆心和半径。 师：但是（2）中能不能直接找到圆心？ 生：不能。

是：那用什么方法呢？ 生：待定系数法。

师：非常好，下面同学们自己算一算。 生（板演）：解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线3x4y70相切，所以半径r就等于圆心C到这条直线的

距离根据点到直线的距离公式，得

r

|31437|32(4)2



16

5

因此，所求的圆的方程是

(x1)2(y3)2

256

25

（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25 ∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25 师：求圆的方程的方法 (1)定义法

(2) 待定系数法，要确定a，b，r； 我们来做做练习。

2、以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________. 生：(x－3)2+(y+5)2=32。

师：上一题，我们是知道圆的切线，求圆的方程，那我能不能把原来的结论和条件互换一下，知道圆，秋切线方程？下面我们来看一下例2

例2已知圆的方程x2y2r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程师：该怎么做呢？ 生：知道点M,找斜率。 师：还应该注意些什么？ 生：斜率不存在时。

师：为了避免这些，我们可不可以用其他的方法来做。 生思考后：勾股定理，向量。

师：（把学生分成三组分别用三种方法做）最后得出：x0xy0yr2

师：这个点是在圆上，如果是在圆外又该怎么做呢？（提示学生用待定系数法） 变式一：已知圆的方程为x2+y2= 1，求过点(2,2)的切线方程。 变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ，求过点(2,2)的切线方程。

师：同学们来做一下练习 1.已知圆x2y225

（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B（-5，2）的切线方程_________________

生：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0 师：我们这节课学习了些什么呢？ 生：

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法． 4. 数型结合的数学思想 5. 过定点求圆切线方程.

《圆的标准方程》教学设计

（教师用）

成都市洛带中学 刘德军

一、教材分析

学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。 二、学情分析

学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。 三、教学目标

(一)知识与技能目标

（1）会推导圆的标准方程。

（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。

（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写

出圆的标准方程。 (二)过程与方法目标

（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。 （2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 (三)情感与态度目标

圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 四、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。 2、难点：圆的标准方程的应用。

3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。 五、教学过程

首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。 (一)复习提问

在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)．

问题2：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程． (二)建立圆的标准方程 1．建系设点

由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 这时，请大家思考下面一个问题．

问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

(三)圆的标准方程的应用 学生练习一：

1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8； (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）

教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）

A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25

教师纠错，分别给出正确答案：2、 (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D. 指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 例1求满足下列条件各圆的方程：

（1） 求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x4y70相切的圆的方程

（2） 圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。 解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线3x4y70相切，

所以半径r就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得

r

|31437|3(4)

2

2



165

因此，所求的圆的方程是 (x1)2(y3)2

256

25

（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25 ∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25 这时，教师小结本题：求圆的方程的方法 (1)定义法

(2) 待定系数法，确定a，b，r； 学生练习二：

1、以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.

教师纠错，分别给出正确答案：(x－3)2+(y+5)2=32。

例2已知圆的方程x2y2r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程 解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1因为圆

的切线垂直于过切点的半径，于是k

1

k1

∵k1

y0x

∴k0让学生注意斜率不存在时和为0的情况) x0y0

经过点M的切线方程是 yy0

x0

(xx0)，

y0

整理得 x0xy0yx0y022

因为点M(x0,y0)在圆上，所以x0y0r2，所求切线方程是x0xy0yr2 法二：勾股定理 法三：向量

变式一：已知圆的方程为x2+y2= 1，求过点(2,2)的切线方程。 变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ，求过点(2,2)的切线方程。 学生练习三：

1.已知圆x2y225

22

（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B（-5，2）的切线方程_________________

教师纠错，分别给出正确答案：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0

(四)本课小结

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法． 4. 数型结合的数学思想 5. 过定点求圆切线方程.

（五）、布置作业 习题7.6 1，2，3

为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题

其基本教学模式是：

《圆的标准方程》学案（学生用）

课堂练习

1、说出下列圆的圆心和半径：

(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圆心_______,半径________. (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；圆心_______,半径________. (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）圆心_______,半径________. 2、(1)圆心是（3，4），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）

A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25 3．以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________. 4.已知圆x2y225

（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B（-5，2）的切线方程_________________

考题在线（思考题）

1、（2007湖南理）圆心为(11)，且与直线xy4相切的圆的方程是． 2、（2006杭州期末）求与直线y=x

相切，圆心在直线y=3x上，且过点（

的圆。

3、（2007湖北文）由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为（ ） A．

1

B．

CD．3

4、已知点M(x0,y0)在圆x2y2r2内，则x0xy0yr2与圆x2y2r2的位置关系是_____________.

《圆的标准方程》（课堂实录）

成都市洛带中学 刘德军

师：让我们来看一下生活中常见的一些事物（通过课件展示生活中的圆），这些都是什么图形？

生：圆。

师：对，远在我们生活中很常见，也代表着很美的东西，完美无缺，十全十美，都是指的圆，圆是很美的曲线，那么我们今天从另一个角度来研究圆。

(一)复习提问

师：在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 生：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.

师：这是高中的概念。（教师在课件上画圆)改变半径大小，和圆心的位置，圆发生了变化，这说明了什么？

生：半径决定大小，圆心决定位置。

师：对：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

生：圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。

师：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

生:求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

师：下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．（请一位同学板演） 生：因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)． 根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

由两点间的距离公式得：

将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 师：非常好，有无不同建立坐标系的方法． 生：有，圆心为坐标原点。

师：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，我们主要研究一般情况．请大家思考下面一个问题．圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

生：这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．

师：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．那么下面来做一下练习。

1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y－4)2=8； (3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）

师：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径． 2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）

A x2+y2= 25 B x2+y2= 5 C (x+3)2+(y+4)2= 25 D (x-3)2+(y-4)2= 25

生： (1)(x-3)2+(y＋3)2=4；（2）D.

师：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．那么我们再来看一下这一道题

例1求满足下列条件各圆的方程：

（3） 求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x4y70相切的

圆的方程

（4） 圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。

师：如果要求一个圆，你要找些生么？ 生：圆心和半径。 师：但是（2）中能不能直接找到圆心？ 生：不能。

是：那用什么方法呢？ 生：待定系数法。

师：非常好，下面同学们自己算一算。 生（板演）：解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线3x4y70相切，所以半径r就等于圆心C到这条直线的

距离根据点到直线的距离公式，得

r

|31437|32(4)2



16

5

因此，所求的圆的方程是

(x1)2(y3)2

256

25

（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25 ∵点A（2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x＋2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25 师：求圆的方程的方法 (1)定义法

(2) 待定系数法，要确定a，b，r； 我们来做做练习。

2、以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________. 生：(x－3)2+(y+5)2=32。

师：上一题，我们是知道圆的切线，求圆的方程，那我能不能把原来的结论和条件互换一下，知道圆，秋切线方程？下面我们来看一下例2

例2已知圆的方程x2y2r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程师：该怎么做呢？ 生：知道点M,找斜率。 师：还应该注意些什么？ 生：斜率不存在时。

师：为了避免这些，我们可不可以用其他的方法来做。 生思考后：勾股定理，向量。

师：（把学生分成三组分别用三种方法做）最后得出：x0xy0yr2

师：这个点是在圆上，如果是在圆外又该怎么做呢？（提示学生用待定系数法） 变式一：已知圆的方程为x2+y2= 1，求过点(2,2)的切线方程。 变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ，求过点(2,2)的切线方程。

师：同学们来做一下练习 1.已知圆x2y225

（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B（-5，2）的切线方程_________________

生：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0 师：我们这节课学习了些什么呢？ 生：

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法． 4. 数型结合的数学思想 5. 过定点求圆切线方程.