安装摄像头使教室监控最优化
一、摘要：
21世纪，摄像头与我们的生活密不可分，它涉足于聊天、监控、探测、报警以及智能识别等领域，本文针对摄像头在教学监控方面进行探讨，通过建立相应的数学模型，求解出摄像头安装位置、数量及安装方式（上下倾斜角度θ、左右平移角度Φ）的最优方案。旨在利用监控系统，加强教室教学工作的监控和检查，提高考试的可信度，最大程度避免舞弊现象。
本题中，通过教室及其布局，首先需要假设出直角坐标系，以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，假设支架与摄像机的接点坐标为（x0,y0,z0）；然后通过对摄像头安装位置及安装方式的参数设定，将所求的监控范围用参数表示，根据摄像头在xoy面内的投影面积，建立方程式；最后，通过三角函数算法、线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！求解出上下倾斜角度θ和左右平移角度Φ以及摄像头与教室前墙d1、与侧墙d2和与屋顶的距离d3,从而确定摄像机的最优位置和最优安装方式。在此过程中，忽略后焦距调节以及光照强度等外界不确定因素。
对于问题一，首先需要假设出直角坐标系，以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系；然后通过对摄像头安装位置及安装方式的参数设定，将所求的监控范围用参数表示；最后，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！
问题二中，由于问题一属于问题二的特殊情况所以考虑问题二的时候基本思路是一样的。同样首先需要假设直角坐标系，仍然是以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，我们对摄像头安装位置及安装方式进行参数设定（参数较第一问多），将所求的监控范围用参数表示，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！
问题三：问题三属于问题一、二的延伸模型，很明显一个摄像头满足了题目的要求所以要想满足题目摄像质量和摄像范围的要求至少需要俩个摄像头，运用问题二的结果进行其它几个摄像头位置的确定，运用最少的摄像头达到最好的监视效果。
关键词：摄影监控最优化 三角函数 线性规划
二、问题重述：
众所周知，大至会堂，小至商铺，摄像机总是存在着。作为学校，应如何使教室的监控摄像得到最优化呢？本论文就此问题建立数学模型。
根据教室及其布局确定监控摄像头安装位置、数量及安装方式（上下倾斜角度θ、左右平移角度Φ）的最优方案，求出焦距及光圈大小，使录像画面最清晰，录像范围最广。
三、问题分析：
本题中，主要通过教室及其布局，建立数学模型。确定出摄像机光圈大小和焦距，通过三角函数算法，求解上下倾斜角度θ和左右平移角度Φ，从而确定摄像机的最优位置和最优安装方式。在此过程中，忽略后焦距调节以及光照强度等外界不确定因素。
问题一：根据题目中的第一问要求我们根据表1、2中数据在只安装一个监控摄像机的前提下建立数学模型，选择适当的摄像机及其具体位置安装方式。首先需要假设直角坐标系，以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，我们对摄像头安装位置及安装方式进行参数设定，将所求的监控范围用参数表示，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！
问题二：由于问题一属于问题二的特殊情况所以考虑问题二的时候基本思路是一样的。同样首先需要假设直角坐标系，仍然是以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，我们对摄像头安装位置及安装方式进行参数设定（参数较第一问多），将所求的监控范围用参数表示，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！
问题三：问题三属于问题一、二的延伸模型，很明显一个摄像头满足了题目的要求所以要想满足题目摄像质量和摄像范围的要求至少需要俩个摄像头，运用问题二的结果进行其它几个摄像头位置的确定，运用最少的摄像头达到最好的监视效果。
问题四：
四、模型建立
(一)、模型假设
1、安装镜头时，假设镜头与摄像机接口全部为cs式接口，不考虑c式接口。 2、当光照强度变化不大时，假设其对摄像的影响为零。 3、假设镜头为定焦镜头、自动光圈镜头、广角镜头。 4、假设后焦距正常，不需用调整。 5、假设桌子的高度相等
(二)、定义与符号说明
i：第i个教室（取i为1、2、3、4）
j：该教室的第j个摄像头（j取1、2、3、……、n） ai：教室的长度 bi: 教室的宽度 ci :教室的高度
Xij:摄像头镜头x坐标 Yij:摄像头镜头y坐标
Zij:摄像头镜头z坐标
d1 :摄像头与教室前墙的距离 d2:摄像头与教室侧墙的距离 d3 :摄像头与屋顶的的距离
θ11：左右平移幅度
Φ11：上下倾斜角度
(三)、模型的建立与求解
考虑到要确定摄像头的安装位置，所以需要建立以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点的右手系。建立坐标系后，假设支架与摄像机的接点坐标为（x0,y0,z0）。首先，确定经过左右平移和上下倾斜后的摄像机镜头的位置，确定过程分为：
一、上下倾斜：
当其进行上下倾斜角为Φ11时，y坐标是不变的，由几何关系得倾斜后坐标 ’= x0 + d * cosΦ11， ’ = y0 ， ’= z0 - d * sinΦ11，
二、左右平移：
通过弧长相等，可以算出一个必要的平面角，进而，可得出：摄像头镜头最终位置坐标
11 = x0 + d * cosΦ11 * cos (
θ11
cosΦ11
) ，
11 = y0 + d * cosΦ11 * sin (’= z0 - d * sinΦ11，
θ11
cosΦ11
) ，
摄像机镜头位置确定后，就需要确定摄像头所能监控的范围，考虑到视场角的原因，我们先通过水平方向平移，来达到水平监控范围最大的目的，然后，在进行上下倾斜变化，调节监控距离，从而得到监控效果理想化。
问题一：
在该问题中，涉及到四个教室。题中，教室一为了解决摄像机的具体位置及安装方式的问题给出了详细数据，通过一系列的模型假设，我们可以找到一个相对准确的安装
位置及安装方式。首先需要假设直角坐标系，以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，将题中所给数据坐标化，然后，我们对摄像头安装位置及安装方式进行参数设定，将所求的监控范围用参数表示，最后，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！以此建立一个数学模型。
首先，在xoy平面内找到摄像头镜头位置的投影点，有以上模型可得，投影点的坐标（x0 + d * cosΦ11 * cos (
θ11
cosΦ11
) ，y0 + d * cosΦ11 * sin (
θ11
cosΦ11
) , 0）,
（ 图1 ） 设：直线AB的方程为：y = ax + b , 倾斜角为θ0。 11 = x0 + d * cosΦ11 * cos (
θ11
cosΦ11
) ，
y11 = y0 + d * cosΦ11 * sin (
θ11
cosΦ11
) ，
由于直线AB过（x11，y11）点，可得直线AB方程为：y = ax + y11- x11 ,由直线DE与直线AB所成角为64°=
16π16π
得：直线DE的斜率K0= tan (θ0 + )= 4545
⎛16π⎫
a+tan ⎪
45⎛16π
1-a*tan
⎝45
⎫⎪⎭
。同样，直线DE也过（x11，y11）点，因此，结合其斜率K0，可
得直线方程为：y = K0x + y11- x11 。
由11- x11 ,
得A（1.42 , 1.42*a+y11- x11 ）
11- x11 ,
得 B (8.755 , 8.755*a+y11- x11)
0x + y11- x11 ,
得 E (1.42 , 1.42*K0+y11- x11)
0x + y11- x11 , 得 D (
7.33+x11-y11
, 7.33)
K0
图1中五边形ABCDE的面积S表示摄像机的水平监控范围，S越大，表示水平监控范围越大。监控到的水平范围最大，即S最大。下面我们通过线性规划的数学方法计算面积S的最大值。其约束条件为： 11- ax11 ≤0 K0x - y + y11- ax11 ≤0 1.42≤x≤8.755 y≤7.33
本数学模型
(四)、模型缺陷与改进
本数学模型主要存在一下几点缺陷，
安装摄像头使教室监控最优化
一、摘要：
21世纪，摄像头与我们的生活密不可分，它涉足于聊天、监控、探测、报警以及智能识别等领域，本文针对摄像头在教学监控方面进行探讨，通过建立相应的数学模型，求解出摄像头安装位置、数量及安装方式（上下倾斜角度θ、左右平移角度Φ）的最优方案。旨在利用监控系统，加强教室教学工作的监控和检查，提高考试的可信度，最大程度避免舞弊现象。
本题中，通过教室及其布局，首先需要假设出直角坐标系，以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，假设支架与摄像机的接点坐标为（x0,y0,z0）；然后通过对摄像头安装位置及安装方式的参数设定，将所求的监控范围用参数表示，根据摄像头在xoy面内的投影面积，建立方程式；最后，通过三角函数算法、线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！求解出上下倾斜角度θ和左右平移角度Φ以及摄像头与教室前墙d1、与侧墙d2和与屋顶的距离d3,从而确定摄像机的最优位置和最优安装方式。在此过程中，忽略后焦距调节以及光照强度等外界不确定因素。
对于问题一，首先需要假设出直角坐标系，以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系；然后通过对摄像头安装位置及安装方式的参数设定，将所求的监控范围用参数表示；最后，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！
问题二中，由于问题一属于问题二的特殊情况所以考虑问题二的时候基本思路是一样的。同样首先需要假设直角坐标系，仍然是以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，我们对摄像头安装位置及安装方式进行参数设定（参数较第一问多），将所求的监控范围用参数表示，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！
问题三：问题三属于问题一、二的延伸模型，很明显一个摄像头满足了题目的要求所以要想满足题目摄像质量和摄像范围的要求至少需要俩个摄像头，运用问题二的结果进行其它几个摄像头位置的确定，运用最少的摄像头达到最好的监视效果。
关键词：摄影监控最优化 三角函数 线性规划
二、问题重述：
众所周知，大至会堂，小至商铺，摄像机总是存在着。作为学校，应如何使教室的监控摄像得到最优化呢？本论文就此问题建立数学模型。
根据教室及其布局确定监控摄像头安装位置、数量及安装方式（上下倾斜角度θ、左右平移角度Φ）的最优方案，求出焦距及光圈大小，使录像画面最清晰，录像范围最广。
三、问题分析：
本题中，主要通过教室及其布局，建立数学模型。确定出摄像机光圈大小和焦距，通过三角函数算法，求解上下倾斜角度θ和左右平移角度Φ，从而确定摄像机的最优位置和最优安装方式。在此过程中，忽略后焦距调节以及光照强度等外界不确定因素。
问题一：根据题目中的第一问要求我们根据表1、2中数据在只安装一个监控摄像机的前提下建立数学模型，选择适当的摄像机及其具体位置安装方式。首先需要假设直角坐标系，以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，我们对摄像头安装位置及安装方式进行参数设定，将所求的监控范围用参数表示，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！
问题二：由于问题一属于问题二的特殊情况所以考虑问题二的时候基本思路是一样的。同样首先需要假设直角坐标系，仍然是以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，我们对摄像头安装位置及安装方式进行参数设定（参数较第一问多），将所求的监控范围用参数表示，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！
问题三：问题三属于问题一、二的延伸模型，很明显一个摄像头满足了题目的要求所以要想满足题目摄像质量和摄像范围的要求至少需要俩个摄像头，运用问题二的结果进行其它几个摄像头位置的确定，运用最少的摄像头达到最好的监视效果。
问题四：
四、模型建立
(一)、模型假设
1、安装镜头时，假设镜头与摄像机接口全部为cs式接口，不考虑c式接口。 2、当光照强度变化不大时，假设其对摄像的影响为零。 3、假设镜头为定焦镜头、自动光圈镜头、广角镜头。 4、假设后焦距正常，不需用调整。 5、假设桌子的高度相等
(二)、定义与符号说明
i：第i个教室（取i为1、2、3、4）
j：该教室的第j个摄像头（j取1、2、3、……、n） ai：教室的长度 bi: 教室的宽度 ci :教室的高度
Xij:摄像头镜头x坐标 Yij:摄像头镜头y坐标
Zij:摄像头镜头z坐标
d1 :摄像头与教室前墙的距离 d2:摄像头与教室侧墙的距离 d3 :摄像头与屋顶的的距离
θ11：左右平移幅度
Φ11：上下倾斜角度
(三)、模型的建立与求解
考虑到要确定摄像头的安装位置，所以需要建立以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点的右手系。建立坐标系后，假设支架与摄像机的接点坐标为（x0,y0,z0）。首先，确定经过左右平移和上下倾斜后的摄像机镜头的位置，确定过程分为：
一、上下倾斜：
当其进行上下倾斜角为Φ11时，y坐标是不变的，由几何关系得倾斜后坐标 ’= x0 + d * cosΦ11， ’ = y0 ， ’= z0 - d * sinΦ11，
二、左右平移：
通过弧长相等，可以算出一个必要的平面角，进而，可得出：摄像头镜头最终位置坐标
11 = x0 + d * cosΦ11 * cos (
θ11
cosΦ11
) ，
11 = y0 + d * cosΦ11 * sin (’= z0 - d * sinΦ11，
θ11
cosΦ11
) ，
摄像机镜头位置确定后，就需要确定摄像头所能监控的范围，考虑到视场角的原因，我们先通过水平方向平移，来达到水平监控范围最大的目的，然后，在进行上下倾斜变化，调节监控距离，从而得到监控效果理想化。
问题一：
在该问题中，涉及到四个教室。题中，教室一为了解决摄像机的具体位置及安装方式的问题给出了详细数据，通过一系列的模型假设，我们可以找到一个相对准确的安装
位置及安装方式。首先需要假设直角坐标系，以面对黑板方向左下角顶点为坐标原点，建立右手系，将题中所给数据坐标化，然后，我们对摄像头安装位置及安装方式进行参数设定，将所求的监控范围用参数表示，最后，通过线性规划思想及lingo软件进行最优化求解！以此建立一个数学模型。
首先，在xoy平面内找到摄像头镜头位置的投影点，有以上模型可得，投影点的坐标（x0 + d * cosΦ11 * cos (
θ11
cosΦ11
) ，y0 + d * cosΦ11 * sin (
θ11
cosΦ11
) , 0）,
（ 图1 ） 设：直线AB的方程为：y = ax + b , 倾斜角为θ0。 11 = x0 + d * cosΦ11 * cos (
θ11
cosΦ11
) ，
y11 = y0 + d * cosΦ11 * sin (
θ11
cosΦ11
) ，
由于直线AB过（x11，y11）点，可得直线AB方程为：y = ax + y11- x11 ,由直线DE与直线AB所成角为64°=
16π16π
得：直线DE的斜率K0= tan (θ0 + )= 4545
⎛16π⎫
a+tan ⎪
45⎛16π
1-a*tan
⎝45
⎫⎪⎭
。同样，直线DE也过（x11，y11）点，因此，结合其斜率K0，可
得直线方程为：y = K0x + y11- x11 。
由11- x11 ,
得A（1.42 , 1.42*a+y11- x11 ）
11- x11 ,
得 B (8.755 , 8.755*a+y11- x11)
0x + y11- x11 ,
得 E (1.42 , 1.42*K0+y11- x11)
0x + y11- x11 , 得 D (
7.33+x11-y11
, 7.33)
K0
图1中五边形ABCDE的面积S表示摄像机的水平监控范围，S越大，表示水平监控范围越大。监控到的水平范围最大，即S最大。下面我们通过线性规划的数学方法计算面积S的最大值。其约束条件为： 11- ax11 ≤0 K0x - y + y11- ax11 ≤0 1.42≤x≤8.755 y≤7.33
本数学模型
(四)、模型缺陷与改进
本数学模型主要存在一下几点缺陷，