1
（c=常数）（lim sin x ）
（）
x
（
）
x →0x
=1lim x →0
(1+x )=e
n a >o ) =1
π
（
）
lim = （）
n 1
lim x →∞
arctan x =
2
（
）
π
2
x lim →-∞
arc tan x =-（）lim （）
（）
x →∞
arc cot x =0
x lim →-∞
arc cot x =π
x lim →-∞
e x
=0
x
（10）
x lim →+∞
e =∞
（11）
x lim x
→0+
x =1
（
）
⎧⎪a 0
n =m a n 0x +a n -1lim
1x ++a b 0
n x →∞b n
0x m +b 1
x m -1++b =⎪⎪
⎨0m ⎪
⎪∞n >m
⎪⎩
（系数不为的情况）lim ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) （13）
x →x =0∆x ∆x
2、常用等价无穷小关系
（
x →0
）sin x ~x
tan x ~x
arcsin x ~x
arctan x ~x
1-cos x ~1
x 2
2
ln (1+x )~x
e x -1~x
a x -1~x ln a
(1+x )
∂
-1~∂x
12
sec x -
1~
2
x
1~
12
x 2
~x 2
sin 3
x ~(x )
3
3、导数的四则运算法则
(u ±v )'=u '±v '
(uv )'=u 'v +uv '
⎛ u ⎫'u 'v -uv '
⎝v ⎪⎭
=
v 24、基本导数公式
'μ⑴
(c )=0
⑵
x =μx μ-1
⑶
(sin x )'=cos x
⑷
(cos x )'=-sin x
⑸
(tan x )'=sec 2x
⑹
(cot x )'=-csc 2x
⑺
(sec x )'=sec x ⋅tan x ⑻
(csc x )'=-csc x ⋅cot x
'⑼
(e x )=e x
x ⑽
(a x )'=a ln a
⑾
(ln x )'=
1x
log x '⑿
(a )=
1
x ln a
⒀
(
arcsin x )'=
⒁
(
arccos x )'=1⒂
(arctan x )'=1+x 2
⒃
(arc cot x )'=-
1
1+x 2
⒄
(x )'=
1
⒅
'=
、高阶导数的运算法则（
）
⎡⎣u (x )±v (x )⎤⎦
(n )
=u (x )
(n )
±v (x )
(n )
（
）
⎡⎣cu (x )⎤⎦
(n )
=cu (
n )
(x )
（
）
⎡⎣u (ax +b )⎤⎦
(n )
=a n u (n )(ax +b )
（）
(x )⎤⎦(n )
n
⎡⎣u (x )⋅v =∑c k (
n -k )
n u (x )v (k ) (x )
k =0
6、基本初等函数的n 阶导数公式
(n )
(e ax +b )
(n )
（）
(x n )
=n !
（）
=a n ⋅e ax +b
x (n )
x (3)
(a )
=a ln n a
(n )
(4)
⎡⎣sin (ax +b )⎤⎦
=a n sin ⎛
ax +b +n ⋅π⎫2⎪
⎝
⎭
(5)
⎡⎣cos (ax +b )⎤⎦⎛1⎫ ⎪(n )
(n )
π⎫⎛
=a n cos ax +b +n ⋅⎪
2⎭⎝
n
⑶
d (uv )=vdu +udv
⑷
⎛u ⎫vdu -udv
d ⎪=
v 2⎝v ⎭
(6)
=(-1)
a n ⋅n !
7)
·基本公式： 1）∫0dx=c; ∫a dx=ax+c;
⎝ax +b ⎭
(ax +b )
n +1
⎡⎣ln (ax +b )⎤⎦
(n )
=(-1)
n -1
a n ⋅(n -1)!
(ax +b )
n
7、微分公式与微分运算法则
1⑴
d (c )=0
⑵
d (x μ)=μx μ-dx
d (sin x )=cos xdx
⑷
d (cos x )=-sin xdx
d (tan x )=sec 2xdx
d (cot x )=-csc 2xdx
⑺
d (sec x )=sec x ⋅tan xdx
d (csc x )=-csc x ⋅cot xdx
⑼
d (e x )=e x dx
⑽
d (a x )=a x ln adx
d (ln x )=
1
x
dx ⑿
d (log x 1
a )=
x ln a
dx d (
arcsin x )=
d (
arccos x )=d (arctan x )=
1
⒂
1+x 2
dx d (arc cot x )=-1
1+x 2
dx
8、微分运算法则
⑴
d (u ±v )=du ±dv
⑵
d (cu )=cdu
2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c; 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4) ）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）
∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）⑶
∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c; 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c
14
）
∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c
15）
∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c; 16) ∫sec^2 x
⑸
dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; ·分部积
⑹
分法: ∫u(x)·v'(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)·v(x) -∫v(x) d u(x)=u(x)·v(x) -∫u'(x)·v(x) dx. 一元函数泰勒公式(Taylor's formula) 泰勒中值定理：若f(x)
a ，b ）有直到n+1阶的导数，则当函数
⑻
在此区间内时，可以展开为一个关于（
一
个
余
项
的
和
： f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n 阶导数?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn
⑾
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为拉格朗日型的余项，这里ξ在x 和x0之间。
洛必达法则(L'Hospital)：
是在一定条件下通过
⒀
法。 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)⒁
都趋于零 (2)在点a 的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0 (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或
，那么 x→a时 lim
f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0 (3)当x→∞时lim
⒃
f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大) ，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当
不存在时（不包括∞情形）
，就不能用洛必达法则，
②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，
以简化计算、乘积因子用等价量替换等。 边际
1
（c=常数）（lim sin x ）
（）
x
（
）
x →0x
=1lim x →0
(1+x )=e
n a >o ) =1
π
（
）
lim = （）
n 1
lim x →∞
arctan x =
2
（
）
π
2
x lim →-∞
arc tan x =-（）lim （）
（）
x →∞
arc cot x =0
x lim →-∞
arc cot x =π
x lim →-∞
e x
=0
x
（10）
x lim →+∞
e =∞
（11）
x lim x
→0+
x =1
（
）
⎧⎪a 0
n =m a n 0x +a n -1lim
1x ++a b 0
n x →∞b n
0x m +b 1
x m -1++b =⎪⎪
⎨0m ⎪
⎪∞n >m
⎪⎩
（系数不为的情况）lim ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) （13）
x →x =0∆x ∆x
2、常用等价无穷小关系
（
x →0
）sin x ~x
tan x ~x
arcsin x ~x
arctan x ~x
1-cos x ~1
x 2
2
ln (1+x )~x
e x -1~x
a x -1~x ln a
(1+x )
∂
-1~∂x
12
sec x -
1~
2
x
1~
12
x 2
~x 2
sin 3
x ~(x )
3
3、导数的四则运算法则
(u ±v )'=u '±v '
(uv )'=u 'v +uv '
⎛ u ⎫'u 'v -uv '
⎝v ⎪⎭
=
v 24、基本导数公式
'μ⑴
(c )=0
⑵
x =μx μ-1
⑶
(sin x )'=cos x
⑷
(cos x )'=-sin x
⑸
(tan x )'=sec 2x
⑹
(cot x )'=-csc 2x
⑺
(sec x )'=sec x ⋅tan x ⑻
(csc x )'=-csc x ⋅cot x
'⑼
(e x )=e x
x ⑽
(a x )'=a ln a
⑾
(ln x )'=
1x
log x '⑿
(a )=
1
x ln a
⒀
(
arcsin x )'=
⒁
(
arccos x )'=1⒂
(arctan x )'=1+x 2
⒃
(arc cot x )'=-
1
1+x 2
⒄
(x )'=
1
⒅
'=
、高阶导数的运算法则（
）
⎡⎣u (x )±v (x )⎤⎦
(n )
=u (x )
(n )
±v (x )
(n )
（
）
⎡⎣cu (x )⎤⎦
(n )
=cu (
n )
(x )
（
）
⎡⎣u (ax +b )⎤⎦
(n )
=a n u (n )(ax +b )
（）
(x )⎤⎦(n )
n
⎡⎣u (x )⋅v =∑c k (
n -k )
n u (x )v (k ) (x )
k =0
6、基本初等函数的n 阶导数公式
(n )
(e ax +b )
(n )
（）
(x n )
=n !
（）
=a n ⋅e ax +b
x (n )
x (3)
(a )
=a ln n a
(n )
(4)
⎡⎣sin (ax +b )⎤⎦
=a n sin ⎛
ax +b +n ⋅π⎫2⎪
⎝
⎭
(5)
⎡⎣cos (ax +b )⎤⎦⎛1⎫ ⎪(n )
(n )
π⎫⎛
=a n cos ax +b +n ⋅⎪
2⎭⎝
n
⑶
d (uv )=vdu +udv
⑷
⎛u ⎫vdu -udv
d ⎪=
v 2⎝v ⎭
(6)
=(-1)
a n ⋅n !
7)
·基本公式： 1）∫0dx=c; ∫a dx=ax+c;
⎝ax +b ⎭
(ax +b )
n +1
⎡⎣ln (ax +b )⎤⎦
(n )
=(-1)
n -1
a n ⋅(n -1)!
(ax +b )
n
7、微分公式与微分运算法则
1⑴
d (c )=0
⑵
d (x μ)=μx μ-dx
d (sin x )=cos xdx
⑷
d (cos x )=-sin xdx
d (tan x )=sec 2xdx
d (cot x )=-csc 2xdx
⑺
d (sec x )=sec x ⋅tan xdx
d (csc x )=-csc x ⋅cot xdx
⑼
d (e x )=e x dx
⑽
d (a x )=a x ln adx
d (ln x )=
1
x
dx ⑿
d (log x 1
a )=
x ln a
dx d (
arcsin x )=
d (
arccos x )=d (arctan x )=
1
⒂
1+x 2
dx d (arc cot x )=-1
1+x 2
dx
8、微分运算法则
⑴
d (u ±v )=du ±dv
⑵
d (cu )=cdu
2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c; 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4) ）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）
∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）⑶
∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c; 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c
14
）
∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c
15）
∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c; 16) ∫sec^2 x
⑸
dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; ·分部积
⑹
分法: ∫u(x)·v'(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)·v(x) -∫v(x) d u(x)=u(x)·v(x) -∫u'(x)·v(x) dx. 一元函数泰勒公式(Taylor's formula) 泰勒中值定理：若f(x)
a ，b ）有直到n+1阶的导数，则当函数
⑻
在此区间内时，可以展开为一个关于（
一
个
余
项
的
和
： f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n 阶导数?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn
⑾
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为拉格朗日型的余项，这里ξ在x 和x0之间。
洛必达法则(L'Hospital)：
是在一定条件下通过
⒀
法。 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)⒁
都趋于零 (2)在点a 的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0 (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或
，那么 x→a时 lim
f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0 (3)当x→∞时lim
⒃
f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大) ，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当
不存在时（不包括∞情形）
，就不能用洛必达法则，
②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，
以简化计算、乘积因子用等价量替换等。 边际