知识丛林
多属性决策中一种属性权重的确定方法
王中兴，徐
玲
（广西大学数学与信息科学学院，南宁５３０００４）
摘要：对于模糊多属性决策问题，本文通过ａ－截集技术将梯形模糊数的属性值转化为区间数属
性值，运用区间数的相离度构造度量方案属性值差异的函数。然后，依据属性值差异最大化的手段确定属性权重，并基于可能度矩阵排序给出一个对所有方案进行优劣排序的方法。
关键词：多属性决策；梯形模糊数；属性；权重中图分类号：Ｏ２９
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－６４８７（２００７）０５－０１４０－０２
性和成本型属性的下标集，并采用如下相应的规范化转换
０引言
多属性决策是对具有多个属性的有限个方案，按某种决
ａａｉｊａｉｊａｉｊ＋Ｒ
，，，，其中ａｊ＝ｍａｘ2ａｉｊ6，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｉ１ｉｊ＝ｉｊｉ∈Ｎ
ａｊａｊａｊａｊｉｊ＝
ａｊ
－
策准则进行择优或排序的一种多目标决策。目前多属性决策的理论和方法在工程设计、经济、管理、军事等多个领域中有着广泛的应用。在多属性决策中，由于客观事物的复杂性和不确定性以及人类思维的模糊性，人们往往不能确切地给出因此，方案属性值等，而通常用模糊数来反映属性值等信息。对于模糊多属性决策问题的研究有着重要的理论意义和实际背景。本文研究属性权重信息完全未知且属性值以梯形模糊数给出的不确定多属性决策问题。首先，给出了梯形模糊数决策矩阵的规范化方法。然后，利用α－截集得出区间数决策矩阵，基于区间数相离度给出确定属性权重的计算公式。最后，利用基于可能度矩阵的排序方法，确定出方案的排序向量。
ＬＭＬＭＲＲ
ａｉｊａｉｊ
，
ａｊ
－
，
ａｊａｉｊ
－
，
ａｊ
－
ａｉｊ
++
（３）
，其中ａｊｍｉｎ2ａｉｊ6，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｉ２
ｉ∈Ｎ
－Ｌ
（４）
$ｉｊ）ｍ×$ｎ。将决策矩阵Ａ＝（ａｎ转化为规范化矩阵Ｒ＝（ｒｉｊ）ｍ×$ｉｊ的α$ｉｊ（α设０≤α≤１，则梯形模糊数ｒ－截集为ｒ）＝［ｒｉｊ（α），ｒｉｊ
，ｒｉｊ（α，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ，（α）］，其中ｒｉｊ（α）＝ｒｉｊ＋（ｒｉｊ－ｒｉｊ）α）＝ｒｉｊ－（ｒｉｊ－ｒｉｊ）α
Ｌ
Ｌ
ＬＭ
Ｌ
Ｒ
Ｒ
Ｒ
ＲＭ
Ｌ
Ｒ
$ｉｊ（α从而得α－截集下的规范矩阵Ｒ（α）＝（ｒ））ｍ×ｎ，其元素均为区
间数。
为了研究方案的比较与排序，下面先给出区间数之间相离度的概念和梯形模糊数之间两两比较的可能度公式。
定义１
$＝［ａＬ，ａＲ］，ｂ, ＝［ｂＬ，ｂＲ］，则ｄ（ａ$，ｂ, ）设区间数ａ
１预备知识
设不确定性多属性决策问题的方案集为Ｘ＝2ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ6，
$和ｂ, 的相离度。显然ｄ（ａ$，ｂ, ）越＝-为区间数ａ
$和ｂ, 相离的程度越大，当ｄ（ａ$，ｂ, ）＝０时，有ａ$＝ｂ, ，即大，则区间数ａ$与ｂ, 相等。区间数ａ
定义２数，则称
属性集为Ｕ＝2ｕ１，ｕ２…，ｕｍ6，属性的权重向量记为ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…
ｗｍ），其满足：
Ｔｊ＝１
$＝（ａＬ，ａＭＬ，ａＭＲ，ａＲ），ｂ, ＝（ｂＬ，ｂＭＬ，ｂＭＲ，ｂＲ）为梯形模糊设ａ
! ｗ＝１，ｗ≥０，ｊ＝１，２，…，ｍ
ｊ
ｊ
ｍ
（１）
记Ｎ＝2１，２，…，ｎ6，Ｍ＝2１，２，…，ｍ6，设方案ｘｉ∈Ｘ，按第ｊ个
$ｉｊ，属性ｕｊ进行测度，得到ｘｉ关于ｕｊ的属性值为梯形模糊数ａ
其隶属函数为
&ｘ－ａｉｊ
ａｉｊ－ａｉｊ((μ１$（ｘ）＝’ａ
(Ｒ
ａ－ｘｉｊａｉｊ－ａｉｊ)
ｉｊ
Ｌ
ａｉｊ≤ｘ＜ａｉｊ，
ａｉｊ≤ｘ＜ａｉｊ，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ，ａｉｊ≤ｘ≤ａｉｊ，
ＭＲ
Ｒ
ＭＬ
ＭＲ
ＬＭＬ
（２）
ｍｉｎ2ａＭＬ－ａＬ＋ｂＭＬ－ｂＬ，ｍａｘ（ａＭＬ－ｂＬ，０）6＋$≥ｂ, ）＝Ｐ（ａ
１ｍｉｎ2ａＭＲ－ａＭＬ＋ｂＭＲ－ｂＭＬ，ｍａｘ（ａＭＲ－ｂＭＬ，０）6ＲＭＲ
＋ｂＲ－ｂＭＲ，ｍａｘ（ａＲ－ｂＭＲ，０）6（５）＋（１－λ）ｍｉｎ2ａ－ａ$≥ｂ, 的可能度，其中λ为ａ∈［０，１］。λ表示决策者对待风险的
态度，当λ∈［０，１）时，表示决策者偏好风险，当λ＝１时，表
示决策者对风险态度是中立的，当λ∈（１，１］时，表示决策
者厌恶风险。
$ｉｊ）ｍ×$ｉｊ简则得决策矩阵为Ａ＝（ａ为了方便，将梯形模糊数ａｎ。
记为（ａｉｊ，ａｉｊ，ａｉｊ，ａｉｊ），（ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ）。令Ｉ１和Ｉ２分别表示效益型属
基金项目：广西大学科研基金资助项目（Ｘ０３２０１５）
Ｌ
ＭＬ
ＭＲ
Ｒ
$≥ｂ, ）满足以下性质：不难验证，梯形模糊数的可能度Ｐ（ａ$≥ｂ, ）≤１；（１）０≤Ｐ（ａ
统计与决策２００７年５月（理论版）
知识丛林
! ≥ｂ#）＝Ｐ（ｂ#≥ａ! ），则Ｐ（ａ! ≥ｂ#）＝Ｐ（ｂ#≥ａ! ）＝１；（２）若Ｐ（ａ
! ≥ｂ#）＋Ｐ（ｂ#≥ａ! ）＝１；（３）Ｐ（ａ
! ≥ｂ#）＝０；若ａＬ≥ｂＲ，则Ｐ（ａ! ≥ｂ#）＝１。（４）若ａＲ≤ｂＬ，则Ｐ（ａ２
决策方法
进行多属性决策，实际上是对各方案作出综合属性值的
在求出属性最优权重向量ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…ｗｍ）Ｔ之后，通过式
! ｉ（ｉ∈Ｎ）。由于ｚ! ｉ（ｉ∈Ｎ）仍是梯形（６）可算出各方案综合属性值ｚ
模糊数数，不便于直接对方案进行排序。因此，可利用梯形模
! ｉ（ｉ∈Ｎ）之间的糊数比较的可能度公式（５），计算梯形模糊数ｚ
! 可能度，并建立可能度互补判断矩阵Ｐ＝（ｐｉｊ）ｎ×ｎ，其中ｐｉｊ＝Ｐ（ｚｉ≥! ｊ），ｉ，ｊ∈Ｎ。依据互补判断矩阵Ｐ＝（ｐｉｊ）ｎ×
ｚｎ，采用文献［６］的方法计
Ｔ
算方案的排序向量ω＝（ω１，ω２，…ωｎ），其中
ωｊ＝
ｉ＝１
! ｉｊ）ｍ×
比较排序。根据规范化矩阵Ｒ＝（ｒｎ及属性权重向量ｗ＝（ｗ１，
Ｔ
ｗ２，…ｗｍ）可知，利用线性加权和法计算方案的综合属性值为
! ｉ＝%! ｚｒｉｊｗｊ，ｉ∈Ｎ
ｊ＝１ｍ
%ｐ＋ｎ
ｉｊ
ｎ
－１
，ｊ∈Ｍ
（１３）
（６）
最后依据排序向量ω对方案进行排序。基于上述讨论，我们给出如下方法：
! ｉｊ（α! ｋｊ（α由前面定义可知ｄ（ｒ），ｒ））
＝’（ｒｉｊ（α）－ｒｋｊ（α））２＋（ｒｉｊ（α）－ｒｋｊ（α））２表示规范化决策矩阵Ｒ（α）＝! ｉｊ（α! ）与! （ｒ））ｍ×ｒｋｊ（α）之间的相离度。对于属性ｕｊ，决策ｎ中元素ｒｉｊ（α
方案ｘｉ在α－截集下与其他所有决策方案的偏差为
! ｉｊ（α! ｋｊ（αＤｉｊ（α）＝%ｄ（ｒ），ｒ）），ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ
ｋ＝１ｍ
! ｉｊ，构造决策矩阵（１）给出方案ｘｉ关于属性ｕｊ的属性值ａ
! ｉｊ）ｍ×
Ａ＝（ａｎ。
（２）将决策矩阵Ａ按公式（３）或（４）转化为规范化矩阵Ｒ＝! ｉｊ）ｍ×! ｉｊ（α（ｒ）＝（ｒ））ｍ×ｎ，进而给出α截集下的规范矩阵Ｒ（αｎ。
（３）由公式（１２），求得属性权重向量ｗ。
! ｉ（ｉ∈Ｎ）。（４）按公式（６），求得各方案的综合属性值ｚ
（５）根据决策者对待风险的态度λ取值，利用梯形模糊数
（７）
对Ｄｉｊ（α）求α积分得
Ｄｉｊ＝%
ｋ＝１
ｎ
，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ) (ｄ（ｒ! （α），! ｒ（α））ｄα*
１０
ｉｊ
ｋｊ
! ｉ≥ｚ! ｊ）（ｉ，ｊ∈比较的可能度公式（５），计算各方案可能度ｐｉｊ＝Ｐ（ｚ
Ｎ），并建立可能度互补矩阵Ｐ＝（ｐｉｊ）ｎ×ｎ。
（６）利用公式（１３），求得可能度矩阵Ｐ的排序向量ω＝（ω１，
Ｔ
ω２，…，ωｎ），并按其分量大小对方案进行优劣排序。
表１
方案属性
各方案的属性值
则Ｄｉｊ表示决策方案ｘｉ关于属性ｕｊ与其他所有决策方案的偏差之和。令
Ｄｊ＝%Ｄｉｊ＝%%
ｉ＝１
ｉ＝１ｋ＝１
ｎｎｎ
，ｉ∈Ｎ+(ｄ（ｒ! （α），! ｒ（α））ｄα,
１０
ｉｊ
ｋｊ
（８）
则Ｄｊ表示在属性ｕｊ下所有决策方案的总偏差（ｊ∈Ｍ）。一般地，若所有决策方案在属性ｕｊ下的属性值差异越小，则说
明该属性对方案决策与排序所起的作用越小；反之，如果所有决策方案在属性ｕｊ下的属性值有较大偏差，则说明该属性对方案排序将起重要作用。因此，从对决策方案进行排序的角度考虑，方案属性值偏差越大的属性（无论其本身的重要性程度如何）应该赋予越大的排序权重。若所有决策方案在属性ｕｊ下的属性值无差异，则属性ｕｊ对方案排序将不起作用，可令其权重为零。于是，权向量ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…ｗｍ）Ｔ的选择应使所有属性产生的偏差最大，为此构造最优化模型：
ｘ１ｘ２ｘ３
ｕ１ｕ２ｕ３（７，７．５４，８．６７，９．６７）（９，１０，１０，１０）（５，６，７，８．６７）
（７，７．４６，８．６７，９．６７）（９，１０，１０，１０）（８．３３，９．２３，９．６７，１０）
（７，７．６２，８．６７，９．６７）（６．３３，７．４６，８．３３，９．６７）（３，４，５，７）
３实例分析
例：某一软件公司欲从三个候选人ｘ１，ｘ２，ｘ３中选出一个系
统分析员，属性集为交际能力（ｕ１）、经验（ｕ２）、自信度（ｕ３），各方案属性值以梯形模糊属性是给出。不妨假定实例中决策者对待风险的态度是中立的，则λ取值为１／４（见表１）。
取α＝１／４，根据上述算法求得最终排序向量为：ω＝（０．２１，
（ＬＰ）ｍａｘＤ（ｗ）＝%Ｄｊｗｊ＝%%%
ｊ＝１
ｊ＝１ｉ＝１ｋ＝１
ｍｍｎｎ
ｗ（９）) (ｄ（ｒ! （α），ｒ! （α））ｄα,
１０
ｉｊ
ｋｊ
ｊ
-２
ｗｊ＝１%ｓｔ. ｉ＝１
0ｗｊ≥０，ｊ∈Ｍ
/
ｍ
０．４４，０．３５）Ｔ，因此方案的排序为ｘ２3ｘ３3ｘ１，最优方案为ｘ２。
参考文献：
（１０）
/
求解此模型得
ｗｊ＝
%%+(ｄ（ｒ! （α），! ｒ
１
ｉ＝１ｋ＝１
ｎ
０
ｉｊ
ｎｎ
ｋｊ
（α））ｄα
,
归一化处理后可得
’
ｊ＝１
%+%%+(ｄ（ｒ! （α），! ｒ
ｍ
ｎ
１
ｉ＝１ｋ＝１
０
ｉｊ
ｎ
ｎ
１
ｉｊ
ｋｊ
ｋｊ
（α））ｄα
, ,
，ｊ∈Ｍ（１１）
ｗｊ＝
ｊ＝１ｉ＝１ｋ＝１
%%%1(ｄ（ｒ! （α），ｒ!
１０
ｉｊ
ｉ＝１ｋ＝１%%+(ｄ（ｒ! （α），ｒ!
０
（α））ｄα
ｋｊ
,
（α））ｄα
2
，ｊ∈Ｍ（１２）
［１］姜艳萍，樊治平．三角模糊数互补判断矩阵排序的一种实用方法
［Ｊ］．系统工程，２００２，２０（２）．
［２］徐泽水．基于期望值的模糊多属性决策法及其应用［Ｊ］．系统工程理论与实践，２００４，２０（１）．
［３］徐泽水．三角模糊互补判断矩阵排序方法研究［Ｊ］．系统工程学报，２００４，１９（１）．
［４］周珍，吴祈宗，刘福祥．三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法及其在项目投资决策中的应用［Ｊ］．数学的实践与认识，２００５，３５（１１）．［５］徐泽水，孙在东．一类不确定型多属性决策问题的排序方法［Ｊ］．管理科学学报，２００２，５（３）．
［６］徐泽水．模糊互补判断矩阵排序的一种算法［Ｊ］．系统工程理论与实践，１９９８，２０（７）．
（责任编辑／浩天）
统计与决策２００７年５月（理论版）
１４１
知识丛林
多属性决策中一种属性权重的确定方法
王中兴，徐
玲
（广西大学数学与信息科学学院，南宁５３０００４）
摘要：对于模糊多属性决策问题，本文通过ａ－截集技术将梯形模糊数的属性值转化为区间数属
性值，运用区间数的相离度构造度量方案属性值差异的函数。然后，依据属性值差异最大化的手段确定属性权重，并基于可能度矩阵排序给出一个对所有方案进行优劣排序的方法。
关键词：多属性决策；梯形模糊数；属性；权重中图分类号：Ｏ２９
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－６４８７（２００７）０５－０１４０－０２
性和成本型属性的下标集，并采用如下相应的规范化转换
０引言
多属性决策是对具有多个属性的有限个方案，按某种决
ａａｉｊａｉｊａｉｊ＋Ｒ
，，，，其中ａｊ＝ｍａｘ2ａｉｊ6，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｉ１ｉｊ＝ｉｊｉ∈Ｎ
ａｊａｊａｊａｊｉｊ＝
ａｊ
－
策准则进行择优或排序的一种多目标决策。目前多属性决策的理论和方法在工程设计、经济、管理、军事等多个领域中有着广泛的应用。在多属性决策中，由于客观事物的复杂性和不确定性以及人类思维的模糊性，人们往往不能确切地给出因此，方案属性值等，而通常用模糊数来反映属性值等信息。对于模糊多属性决策问题的研究有着重要的理论意义和实际背景。本文研究属性权重信息完全未知且属性值以梯形模糊数给出的不确定多属性决策问题。首先，给出了梯形模糊数决策矩阵的规范化方法。然后，利用α－截集得出区间数决策矩阵，基于区间数相离度给出确定属性权重的计算公式。最后，利用基于可能度矩阵的排序方法，确定出方案的排序向量。
ＬＭＬＭＲＲ
ａｉｊａｉｊ
，
ａｊ
－
，
ａｊａｉｊ
－
，
ａｊ
－
ａｉｊ
++
（３）
，其中ａｊｍｉｎ2ａｉｊ6，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｉ２
ｉ∈Ｎ
－Ｌ
（４）
$ｉｊ）ｍ×$ｎ。将决策矩阵Ａ＝（ａｎ转化为规范化矩阵Ｒ＝（ｒｉｊ）ｍ×$ｉｊ的α$ｉｊ（α设０≤α≤１，则梯形模糊数ｒ－截集为ｒ）＝［ｒｉｊ（α），ｒｉｊ
，ｒｉｊ（α，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ，（α）］，其中ｒｉｊ（α）＝ｒｉｊ＋（ｒｉｊ－ｒｉｊ）α）＝ｒｉｊ－（ｒｉｊ－ｒｉｊ）α
Ｌ
Ｌ
ＬＭ
Ｌ
Ｒ
Ｒ
Ｒ
ＲＭ
Ｌ
Ｒ
$ｉｊ（α从而得α－截集下的规范矩阵Ｒ（α）＝（ｒ））ｍ×ｎ，其元素均为区
间数。
为了研究方案的比较与排序，下面先给出区间数之间相离度的概念和梯形模糊数之间两两比较的可能度公式。
定义１
$＝［ａＬ，ａＲ］，ｂ, ＝［ｂＬ，ｂＲ］，则ｄ（ａ$，ｂ, ）设区间数ａ
１预备知识
设不确定性多属性决策问题的方案集为Ｘ＝2ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ6，
$和ｂ, 的相离度。显然ｄ（ａ$，ｂ, ）越＝-为区间数ａ
$和ｂ, 相离的程度越大，当ｄ（ａ$，ｂ, ）＝０时，有ａ$＝ｂ, ，即大，则区间数ａ$与ｂ, 相等。区间数ａ
定义２数，则称
属性集为Ｕ＝2ｕ１，ｕ２…，ｕｍ6，属性的权重向量记为ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…
ｗｍ），其满足：
Ｔｊ＝１
$＝（ａＬ，ａＭＬ，ａＭＲ，ａＲ），ｂ, ＝（ｂＬ，ｂＭＬ，ｂＭＲ，ｂＲ）为梯形模糊设ａ
! ｗ＝１，ｗ≥０，ｊ＝１，２，…，ｍ
ｊ
ｊ
ｍ
（１）
记Ｎ＝2１，２，…，ｎ6，Ｍ＝2１，２，…，ｍ6，设方案ｘｉ∈Ｘ，按第ｊ个
$ｉｊ，属性ｕｊ进行测度，得到ｘｉ关于ｕｊ的属性值为梯形模糊数ａ
其隶属函数为
&ｘ－ａｉｊ
ａｉｊ－ａｉｊ((μ１$（ｘ）＝’ａ
(Ｒ
ａ－ｘｉｊａｉｊ－ａｉｊ)
ｉｊ
Ｌ
ａｉｊ≤ｘ＜ａｉｊ，
ａｉｊ≤ｘ＜ａｉｊ，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ，ａｉｊ≤ｘ≤ａｉｊ，
ＭＲ
Ｒ
ＭＬ
ＭＲ
ＬＭＬ
（２）
ｍｉｎ2ａＭＬ－ａＬ＋ｂＭＬ－ｂＬ，ｍａｘ（ａＭＬ－ｂＬ，０）6＋$≥ｂ, ）＝Ｐ（ａ
１ｍｉｎ2ａＭＲ－ａＭＬ＋ｂＭＲ－ｂＭＬ，ｍａｘ（ａＭＲ－ｂＭＬ，０）6ＲＭＲ
＋ｂＲ－ｂＭＲ，ｍａｘ（ａＲ－ｂＭＲ，０）6（５）＋（１－λ）ｍｉｎ2ａ－ａ$≥ｂ, 的可能度，其中λ为ａ∈［０，１］。λ表示决策者对待风险的
态度，当λ∈［０，１）时，表示决策者偏好风险，当λ＝１时，表
示决策者对风险态度是中立的，当λ∈（１，１］时，表示决策
者厌恶风险。
$ｉｊ）ｍ×$ｉｊ简则得决策矩阵为Ａ＝（ａ为了方便，将梯形模糊数ａｎ。
记为（ａｉｊ，ａｉｊ，ａｉｊ，ａｉｊ），（ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ）。令Ｉ１和Ｉ２分别表示效益型属
基金项目：广西大学科研基金资助项目（Ｘ０３２０１５）
Ｌ
ＭＬ
ＭＲ
Ｒ
$≥ｂ, ）满足以下性质：不难验证，梯形模糊数的可能度Ｐ（ａ$≥ｂ, ）≤１；（１）０≤Ｐ（ａ
统计与决策２００７年５月（理论版）
知识丛林
! ≥ｂ#）＝Ｐ（ｂ#≥ａ! ），则Ｐ（ａ! ≥ｂ#）＝Ｐ（ｂ#≥ａ! ）＝１；（２）若Ｐ（ａ
! ≥ｂ#）＋Ｐ（ｂ#≥ａ! ）＝１；（３）Ｐ（ａ
! ≥ｂ#）＝０；若ａＬ≥ｂＲ，则Ｐ（ａ! ≥ｂ#）＝１。（４）若ａＲ≤ｂＬ，则Ｐ（ａ２
决策方法
进行多属性决策，实际上是对各方案作出综合属性值的
在求出属性最优权重向量ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…ｗｍ）Ｔ之后，通过式
! ｉ（ｉ∈Ｎ）。由于ｚ! ｉ（ｉ∈Ｎ）仍是梯形（６）可算出各方案综合属性值ｚ
模糊数数，不便于直接对方案进行排序。因此，可利用梯形模
! ｉ（ｉ∈Ｎ）之间的糊数比较的可能度公式（５），计算梯形模糊数ｚ
! 可能度，并建立可能度互补判断矩阵Ｐ＝（ｐｉｊ）ｎ×ｎ，其中ｐｉｊ＝Ｐ（ｚｉ≥! ｊ），ｉ，ｊ∈Ｎ。依据互补判断矩阵Ｐ＝（ｐｉｊ）ｎ×
ｚｎ，采用文献［６］的方法计
Ｔ
算方案的排序向量ω＝（ω１，ω２，…ωｎ），其中
ωｊ＝
ｉ＝１
! ｉｊ）ｍ×
比较排序。根据规范化矩阵Ｒ＝（ｒｎ及属性权重向量ｗ＝（ｗ１，
Ｔ
ｗ２，…ｗｍ）可知，利用线性加权和法计算方案的综合属性值为
! ｉ＝%! ｚｒｉｊｗｊ，ｉ∈Ｎ
ｊ＝１ｍ
%ｐ＋ｎ
ｉｊ
ｎ
－１
，ｊ∈Ｍ
（１３）
（６）
最后依据排序向量ω对方案进行排序。基于上述讨论，我们给出如下方法：
! ｉｊ（α! ｋｊ（α由前面定义可知ｄ（ｒ），ｒ））
＝’（ｒｉｊ（α）－ｒｋｊ（α））２＋（ｒｉｊ（α）－ｒｋｊ（α））２表示规范化决策矩阵Ｒ（α）＝! ｉｊ（α! ）与! （ｒ））ｍ×ｒｋｊ（α）之间的相离度。对于属性ｕｊ，决策ｎ中元素ｒｉｊ（α
方案ｘｉ在α－截集下与其他所有决策方案的偏差为
! ｉｊ（α! ｋｊ（αＤｉｊ（α）＝%ｄ（ｒ），ｒ）），ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ
ｋ＝１ｍ
! ｉｊ，构造决策矩阵（１）给出方案ｘｉ关于属性ｕｊ的属性值ａ
! ｉｊ）ｍ×
Ａ＝（ａｎ。
（２）将决策矩阵Ａ按公式（３）或（４）转化为规范化矩阵Ｒ＝! ｉｊ）ｍ×! ｉｊ（α（ｒ）＝（ｒ））ｍ×ｎ，进而给出α截集下的规范矩阵Ｒ（αｎ。
（３）由公式（１２），求得属性权重向量ｗ。
! ｉ（ｉ∈Ｎ）。（４）按公式（６），求得各方案的综合属性值ｚ
（５）根据决策者对待风险的态度λ取值，利用梯形模糊数
（７）
对Ｄｉｊ（α）求α积分得
Ｄｉｊ＝%
ｋ＝１
ｎ
，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ) (ｄ（ｒ! （α），! ｒ（α））ｄα*
１０
ｉｊ
ｋｊ
! ｉ≥ｚ! ｊ）（ｉ，ｊ∈比较的可能度公式（５），计算各方案可能度ｐｉｊ＝Ｐ（ｚ
Ｎ），并建立可能度互补矩阵Ｐ＝（ｐｉｊ）ｎ×ｎ。
（６）利用公式（１３），求得可能度矩阵Ｐ的排序向量ω＝（ω１，
Ｔ
ω２，…，ωｎ），并按其分量大小对方案进行优劣排序。
表１
方案属性
各方案的属性值
则Ｄｉｊ表示决策方案ｘｉ关于属性ｕｊ与其他所有决策方案的偏差之和。令
Ｄｊ＝%Ｄｉｊ＝%%
ｉ＝１
ｉ＝１ｋ＝１
ｎｎｎ
，ｉ∈Ｎ+(ｄ（ｒ! （α），! ｒ（α））ｄα,
１０
ｉｊ
ｋｊ
（８）
则Ｄｊ表示在属性ｕｊ下所有决策方案的总偏差（ｊ∈Ｍ）。一般地，若所有决策方案在属性ｕｊ下的属性值差异越小，则说
明该属性对方案决策与排序所起的作用越小；反之，如果所有决策方案在属性ｕｊ下的属性值有较大偏差，则说明该属性对方案排序将起重要作用。因此，从对决策方案进行排序的角度考虑，方案属性值偏差越大的属性（无论其本身的重要性程度如何）应该赋予越大的排序权重。若所有决策方案在属性ｕｊ下的属性值无差异，则属性ｕｊ对方案排序将不起作用，可令其权重为零。于是，权向量ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…ｗｍ）Ｔ的选择应使所有属性产生的偏差最大，为此构造最优化模型：
ｘ１ｘ２ｘ３
ｕ１ｕ２ｕ３（７，７．５４，８．６７，９．６７）（９，１０，１０，１０）（５，６，７，８．６７）
（７，７．４６，８．６７，９．６７）（９，１０，１０，１０）（８．３３，９．２３，９．６７，１０）
（７，７．６２，８．６７，９．６７）（６．３３，７．４６，８．３３，９．６７）（３，４，５，７）
３实例分析
例：某一软件公司欲从三个候选人ｘ１，ｘ２，ｘ３中选出一个系
统分析员，属性集为交际能力（ｕ１）、经验（ｕ２）、自信度（ｕ３），各方案属性值以梯形模糊属性是给出。不妨假定实例中决策者对待风险的态度是中立的，则λ取值为１／４（见表１）。
取α＝１／４，根据上述算法求得最终排序向量为：ω＝（０．２１，
（ＬＰ）ｍａｘＤ（ｗ）＝%Ｄｊｗｊ＝%%%
ｊ＝１
ｊ＝１ｉ＝１ｋ＝１
ｍｍｎｎ
ｗ（９）) (ｄ（ｒ! （α），ｒ! （α））ｄα,
１０
ｉｊ
ｋｊ
ｊ
-２
ｗｊ＝１%ｓｔ. ｉ＝１
0ｗｊ≥０，ｊ∈Ｍ
/
ｍ
０．４４，０．３５）Ｔ，因此方案的排序为ｘ２3ｘ３3ｘ１，最优方案为ｘ２。
参考文献：
（１０）
/
求解此模型得
ｗｊ＝
%%+(ｄ（ｒ! （α），! ｒ
１
ｉ＝１ｋ＝１
ｎ
０
ｉｊ
ｎｎ
ｋｊ
（α））ｄα
,
归一化处理后可得
’
ｊ＝１
%+%%+(ｄ（ｒ! （α），! ｒ
ｍ
ｎ
１
ｉ＝１ｋ＝１
０
ｉｊ
ｎ
ｎ
１
ｉｊ
ｋｊ
ｋｊ
（α））ｄα
, ,
，ｊ∈Ｍ（１１）
ｗｊ＝
ｊ＝１ｉ＝１ｋ＝１
%%%1(ｄ（ｒ! （α），ｒ!
１０
ｉｊ
ｉ＝１ｋ＝１%%+(ｄ（ｒ! （α），ｒ!
０
（α））ｄα
ｋｊ
,
（α））ｄα
2
，ｊ∈Ｍ（１２）
［１］姜艳萍，樊治平．三角模糊数互补判断矩阵排序的一种实用方法
［Ｊ］．系统工程，２００２，２０（２）．
［２］徐泽水．基于期望值的模糊多属性决策法及其应用［Ｊ］．系统工程理论与实践，２００４，２０（１）．
［３］徐泽水．三角模糊互补判断矩阵排序方法研究［Ｊ］．系统工程学报，２００４，１９（１）．
［４］周珍，吴祈宗，刘福祥．三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法及其在项目投资决策中的应用［Ｊ］．数学的实践与认识，２００５，３５（１１）．［５］徐泽水，孙在东．一类不确定型多属性决策问题的排序方法［Ｊ］．管理科学学报，２００２，５（３）．
［６］徐泽水．模糊互补判断矩阵排序的一种算法［Ｊ］．系统工程理论与实践，１９９８，２０（７）．
（责任编辑／浩天）
统计与决策２００７年５月（理论版）
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