第六章 时间数列分析
第一节 时间数列分析概述
一、时间数列的概念
我们对现象总体的数量方面进行分析研究时，通常需要掌握和积累现象各个时期的统计资料，从时间上反映和研究现象发展变化的过程、趋势及其规律。所谓时间数列也称动态数列，它是指各个不同时间的社会经济统计指标，按时间先后顺序排列而形成的一列数。表6-1显示的都是我国1995年-2005年若干统计指标的时间数列，从中可以看出时间数列有两个基本要素构成：一是统计指标所属的时间；二是统计指标在特定时间的具体指标值。
表6-1 中国的国内生产总值、人口及第三产业产值
注：人均国内生产总值按年平均人口数计算
资料来源：《中国统计年鉴》（2006），北京：中国统计出版社
研究时间数列具有重要的作用，通过时间数列的编制和分析：⑴可以描述社会经济现象的发展状况和结果；⑵可以研究社会经济现象的发展速度、发展趋势，
探索现象发展变化的规律，并据以进行统计预测；⑶分析长期趋势、季节变动和循环变动等了解和分析社会现象发展变化的规律性。
二、时间数列的种类
时间数列按照其指标的性质，可以分为总量指标、相对指标和平均指标时间数列等三大类型。总量指标时间数列也称绝对数时间数列，是基本的时间数列，相对指标和平均指标时间数列都是在总量指标时间数列的基础上派生出来的。
㈠总量指标时间数列
总量指标时间数列是指把一系列同类的总量指标按时间先后顺序排列起来形成的时间数列。它反映社会经济现象在各个时期达到的绝对水平及其变化发展的状态。表6-1中的国内生产总值、年末人口和第三产业产值都属于总量指标时间数列。按照总量指标所反映的内容的不同，可以分为总体单位总量和总体标志总量两种。年末人口数是总体单位总量指标，而国内生产总值和第三产业产值是总体标志总量指标。根据总量指标反映的社会经济现象所属的时间不同，又可将总量指标时间数列分为时期数列和时点数列。下面来讨论时期数列和时点数列的特点。
⒈时期序列
各项指标都是反映某种现象在一段时期内发展过程的总量，该时间数列称为时期序列。例如表6-1中第（6）列的国内生产总值和第三产业产值，每一项指标都反映在一年的发展总量。时期序列的特点如下：
⑴可加性。不同时期的总量指标可以相加，所得数值表明现象在更长一个时期的数值。例如，月度国内生产总值相加得到季度国内生产总值，季度国内生产总值相加得到年度国内生产总值。
⑵序列中每个指标数值的大小与所属的时期长短有直接的联系。一般指标所属时期越长，指标值越大。
⑶每个指标的数值，通过连续不断的登记而取得。由于时期指标是反映现象在一段时间内的发展过程总量，因而必须在这段时间把现象发生的数量逐一登记，并进行累计得到指标值。
⒉时点序列
时点序列是反映现象在某一时点上（瞬间）所处的数量水平的时间数列。表6-1中的年末人口数就是时点序列。它具有以下特点：
⑴不可加性。由于时点序列中每个指标都是表明某一时间上瞬间现象的数量，相加以后无法说明属于哪一时点的数量，相加后不具有实际经济意义。
⑵指标数值的大小与时点间隔的长短没有直接关系。在时点序列中两个相邻指标在时间上的距离叫做“间隔”。时点指标的时间单位是瞬间，因而许多现象时间间隔的长短与指标值的大小没有直接关系。如果现象本身存在长期变化趋势，呈现增长或下降趋势，则指标数值与时间间隔有一定的关系。例如，我国总人口呈增长趋势，时点间隔越长，指标的数值越大。
⑶指标值采取间断统计的方法获得。例如，我国历年的人口普查就是采取10年一次的方式获得。
㈡相对指标和平均指标时间数列
相对指标和平均指标都是由总量指标派生出来的，它们分别反映社会经济现象达到的相对水平和平均水平。将一系列同类的相对指标或平均指标按时间先后顺序排列起来而形成的时间数列，就成了相对指标时间数列和平均指标时间数列。表6-1中第（7）列的第三产业所占比率属于相对指标时间数列，人均国内生产总值属于平均指标时间数列。
三、时间数列的编制原则
编制时间数列的目的就是要通过不同时间的各个指标值的比较，分析社会经济现象的发展规律。因此，保持时间数列中指标值的可比性是编制时间数列的基本原则。具体可以表现在以下几个方面：
㈠时间长短一致
在时期序列中，由于时间长短直接影响指标值的大小，所以必须保持各指标值所属时期长短一致。在时点序列中，虽然指标值的大小与时间间隔没有直接关系，但为了更好地分析其长期趋势、增加可比性，尽量保持时间间隔一致。
㈡总体范围一致
不同时期的研究对象范围要一致。例如，研究某市的人口发展情况，要注意该市的行政区划有否变动，这种变动将使人口数发生变动。如果各个指标数值所属的总体空间范围不一致，则前后数值就不能直接进行对比，此时应对指标数值进行调整，使总体范围前后达到一致，然后再作动态分析。
㈢指标的经济内容一致
例如，新中国成立以来，我国曾经采取过工农业总产值、社会总产值、国民
收入和国内生产总值等指标反映我国的经济活动总量，这些指标都有不同的经济内容。在编制新中国成立以来的经济活动总量时间数列时，就需要对这些指标加以区别和调整，才具有可比性。
㈣计算方法、计算价格和计量单位应该一致
采用什么方法计算、按照何种价格或单位进行计量，各个指标值都要保持前后一致。如国内生产总值的计算有三种方法，生产法、支出法和收入法，理论上这三种方法的计算结果应该相同，但由于资料获得的渠道不同，三种方法计算的国内生产总值往往存在差异。所以，在编制时间数列时，应注意各指标的计算方法是否统一。另外，在研究工业企业劳动生产率时，产量可以用实物量计算，也可以用价值量计算；人数可以是全部职工数，也可以是生产工人数。编制时间数列时要有明确指示，以保证前后各期的统一。如果按实物指标计算，就应采取统一的计量单位，否则就违背了指标值可比性的原则；如果按价值量计算，就涉及到以现行价格或不变价格进行计算的问题。在同一时间数列中，各指标值的计算价格应该保持一致。
保证时间数列中各个时期（时点）指标数值的可比性是认识客观事物发展变化的原则。但是任何事物绝对可比是不存在的，在利用时间数列进行动态分析时，只要能满足统计研究目的的基本要求，就可视为可比。
为了研究现象的发展规模和程度，揭示事物发展的规律，需要根据时间数列的资料计算一系列动态分析指标。这些动态分析指标可分为两大类：一类是发展水平指标，另一类是发展速度指标。下面分两节对此进行介绍。
第二节 时间数列的水平分析指标
一、发展水平和平均发展水平
㈠发展水平
在时间数列中，各项具体的指标数值叫做发展水平，即该指标反映的社会经济现象在所属时间的发展水平。表6-1中，1995年的国内生产总值为60793.7亿元即为1995年的GDP 发展水平，2005年的年末人口数为130372万人即为2005年的人口发展水平。在一个时间数列中，各时间上的发展水平按时间顺序可以记为y 0，y 1，y 2，„，y n 1，y n 。在对各个时间的发展水平进行比较时，把作为比较基础的那个时间称为基期，相对应的发展水平称为基期水平；把所研究考察
的那个时间称为报告期，相对应的发展水平称为报告期水平。基期和报告期将根据研究的需要而定。
㈡平均发展水平
为了综合说明社会经济现象在一段时期内的发展水平，需要计算平均发展水平。平均发展水平又称序时平均数，它与平均指标的概念既有相同也有不同。相同点是两种平均数都是所有变量值的代表数值，表现的都是现象的一般水平。不同点是平均发展水平平均的是现象在不同时间上指标数值的差别，是从动态上说明现象的一般水平，是根据时间数列计算的；而平均指标平均的是现象在同一个时间上的数量差别，是从静态上说明现象的一般水平，是根据变量数列计算的。
计算平均发展水平的方法根据时间数列指标的性质来确定，以下将具体介绍总量指标、相对指标和平均指标的平均发展水平的计算方法。
⒈总量指标平均发展水平
总量指标分为时期指标和时点指标，两者计算平均发展水平的方法不同。 ⑴时期序列的平均发展水平
时期序列的平均发展水平的计算比较简单，采取简单算术平均数方法计算。用公式表示为：
n
y =
y 1+y 2+⋅⋅⋅+y n
n
∑
=
i =1
y i
n
（6-1）
式中，y —平均发展水平，y 1+y 2+⋅⋅⋅+y n —各期的发展水平，n —时期项数
【例6.1】根据表6-1第（2）列的数据计算1996-2005年期间我国的年均国内生产总值。
解：将1996年至2005年的国内生产总值代入公式6-1，即 1996年至2005年的平均国内生产总值为：
y =
y 1+y 2+⋅⋅⋅+y n
n
=
71176.6+78973+⋅⋅⋅+183084.8
10
=113221.74
（亿元）
⑵时点序列的平均发展水平
如果利用公式6-1计算时点序列的平均发展水平，理论上要求掌握现象在每一时点上的数据。但是时点序列的各项数据大多是间断统计的，例如有的每月、每季或每年统计一次，而有的是现象发生时才统计一次，即不定期统计。对于这些不同的资料情况，时点序列的平均发展水平的计算方法也有所不同。
①间隔相同的时点序列平均发展水平的计算
间隔相同的时点序列的平均发展水平的计算采用“首末折半法”，公式如下：
y 1+y 2
y =
+y 2+y 3
+⋅⋅⋅+
y n -1+y n
y 1=+y 2+⋅⋅⋅+y n -1+
n -1
y n
（6-2）
n -1
式中，y ——平均发展水平，y 1+
y 2+⋅⋅⋅+y n ——各时点的发展水平
，n —时点个数
这个公式基于一个假设，假设每个时间间隔间的现象数量的变化是均匀的。
【例6.2】根据表6-1第（3）列的数据计算1996-2005年期间我国年平均人口数。
解：首先要考虑的是首项应该是哪一年的数据，显然，首项不是1996年年末人口数，而是1995年年末人口数。1996年的人口变化从1995年年末开始到1996年年末，所以1996年年末人口数不能作为1996年人口的代表值，将1995年年末的人口数看成是1996年年初的人口数，1996年的年平均人口就是年初和年末人口的简单平均数。即：
1996年的人口数=
121121+122389
2
=121755
（万人）
类似地可以计算1997-2005年的各年平均人口数，计算结果如表6-1中第（4）列所示。然后再对各年平均人口数进行算术平均求出1996-2005年的年平均人口数。即：
1996-2005年的年平均人口数为：
121121+122389y ==
+
122389+123626
11-1
+⋅⋅⋅+
129988+130756
121755+123007.5+⋅⋅⋅+130372
11-1
=126453.85(万人）
②间隔不等的时点序列平均发展水平的计算
时点间隔不等的时间数列计算平均发展水平的思路与时点间隔相等的时点序列相同，同样假设每个时间间隔间的现象数量的变化是均匀的，由于时点间隔不同，需要用时点间隔为权数进行加权计算。计算公式如下：
y 1+y 2
y =
f 1+
y 2+y 3
f 1+f 2+⋅⋅⋅+f n -1
f 2+⋅⋅⋅+
y n -1+y n
f n -1
（6-3）
y —平均发展水平，y 1+栏数。
y 2+⋅⋅⋅+y n —各时点的发展水平，f —时点间隔的距离
【例6.3】某农场某年的生猪存栏数如表6-2，计算该农场的年平均生猪存
解：该农场的年平均生猪存栏数为：
y 1+y 2
y =
2
f 1+
y 2+y 3
2
f 1+f 2+⋅⋅⋅+f n -1
f 2+⋅⋅⋅+
y n -1+y n
2
f n -1
1250+1460
1420+1400=
⨯2+
1400+1200
⨯5+
1200+1250
⨯2+⨯3
2+5+2+3
≈1320（头）
③现象发生变动时登记一次的时点序列平均发展水平的计算
y =
y 1f 1+y 2f 2+⋅⋅⋅+y n f n
f 1+f 2+⋅⋅⋅+f n
（6-4）
y —平均发展水平，y 1+
y 2+⋅⋅⋅+y n —各时点的发展水平，f —时点间隔的距离
公式（6-4）和（6-3）的不同原因在于：（6-3）式情况中，后一时点的数据是前一时点数据逐渐变化而来，我们假设这种变动是均匀变动，可计算两个时点数据的简单平均数作为两个时点之间的代表值；（6-4）式情况中，后一时点的数据并非前一时点数据逐渐变化而来的，是前一时点现象一直维持到后一时点的前一时刻，在后一时点上才发生变化。因此，现象发生变动时登记一次的时点序列也称为连续时点序列。这也是（6-4）式区别于（6-3）式的原因所在，（6-3）式反映的情况是现象在两个时间点逐渐变化发展的，而（6-4）式反映的情况是现象从前一时点一直维持到后一时点，在后一时点发生瞬间变化的，所以，在计算之前必须要先分析现象的变化特点。
【例6.4】某企业2007年6月份某成品的库存量资料如表6-3，计算该企业6月份某成品的平均库存量。
表6-3 某农场某年的生猪存栏数
解：该企业6月份某成品的平均库存量为：
y =
85⨯7+6⨯7+105⨯6+50⨯9+20⨯1
7+7+6+9+1
≈58(个）
⒉相对指标和平均指标
由于相对指标和平均指标是由总量指标派生出来的，相对指标或平均指标时间数列都是派生序列，即其中各项指标都是由两个总量指标对比计算出来的。所以在计算相对指标和平均指标的平均发展水平时不能直接计算其各项指标的平均数，而是要分别先计算出两个总量指标的平均发展水平，然后再进行对比。公式表示如下：
y =
a b
（6-5）
y —— 相对数或平均数动态数列的平均发展水平
a —— 分子数列的平均发展水平b —— 分母数列的平均发展水平
【例6.5】根据表6-1的数据计算1996-2005年期间我国年平均的人均GDP 。 解：不能对人均GDP 的各项发展水平直接进行算术平均，而是先计算国内生产总值的平均发展水平和年均人口数，再对比得到年平均的人均GDP ，具体计算如下：
a =113221.74（亿元）， b =126453.85（万人）
113221.74（亿元）y ===8953.6（元/人）
b 126453.85（万人）
a
二、增长量和平均增长量
㈠增长量
增长量也称增长水平，是报告期发展水平与基期发展水平之差。增长量有逐期增长量和累计增长量之分。逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，即以前一期为基期。累计增长量是报告期水平与某一固定时间发展水平的差，即将基期固定在某一时间。这两个指标用公式表达如下：
逐期增长量 y 1-y 0, y 2-y 1, ⋅⋅⋅, y n -y n -1 （6-6） 累计增长量 y 1-y 0, y 2-y 0, ⋅⋅⋅, y n -y 0 (6-7) 【例6.6】根据表6-1的数据计算2001-2005年期间我国GDP 的逐期增长量和累计增长量。
表6-4 中国国内生产总值历年的逐期增长量和累计增长量
㈡平均增长量
平均增长量也称平均增长水平，它是逐期增长量的平均数。计算公式如下：
平均增长量=
逐期增长量之和逐期增长量个数
=
累积增长量时间序列项数-1
（6-8）
【例6.7】根据表6-1的数据计算1995-2005年期间我国GDP 的平均增长量。
平均增长量=
逐期增长量之和逐期增长量个数
累积增长量时间序列项数-1
=
10383+7796+ +23207
10
12229110
=12229.11（亿元）
或平均增长量==
=12229.11（亿元）
第三节 时间数列的速度分析指标
一、发展速度和增长速度
㈠发展速度
发展速度是反映社会经济现象发展快慢的相对指标。用两个不同时期的发展水平相对比而求得，一般用百分比来表示。计算公式如下：
发展速度=
报告期水平基期水平
（6-9）
由于发展速度的基期不同，可以将其分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度是将基期定为报告期的前一期，反映现象的逐期发展程度。定基发展速度是将基期固定为某一期，反映现象在较长一段时间内的发展程度，也称为总发展速度。这两种发展速度用公式来表示如下：
环比发展速度：
y 1y 0
，
y 2y 1
，„，
y n y n -1
（6-10）
定基发展速度：
y 1y 0
，
y 2y 0
，„，
y n y 0
（6-11）
环比发展速度和定基发展速度之间存在一定的数量关系，即： ⒈环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度
y 1y 0
⨯y 2y 1
⨯⋅⋅⋅⨯
y n y n -1
=y n y 0
（6-12）
⒉相邻两个时期的定基发展速度之商等于相应时期的环比发展速度
y i y 0
÷y i -1y 0
=y i y i -1
（6-13）
㈡增长速度
增长速度是表明社会经济现象增长程度的相对指标。它可以根据增长量与基期发展水平对比求得，也可以根据发展速度来求得。公式如下：
增长速度=
增长量基期发展水平
=发展速度-1 （6-14）
由于基期的不同，增长速度也有环比增长速度和定基增长速度之分。环比增长速度是将基期定为报告期的前一期，用报告期的增长量与前一期的发展水平对比而得，反映现象的逐期增长程度。定基增长速度是将基期固定为某一期，用报告期的增长量与固定基期的发展水平对比而得，反映现象在较长一段时间内的增长程度。
定基增长速度=定基发展速度-1 环比增长速度=环比发展速度-1
（6-15） （6-16）
【例6.8】某企业几年来产量不断增长，已知2001年比2000年增长20%，2002年比2000年增长50%，2003年比2002年增长25%，2004年比2003年增长15%，2005年比2000年增长132.5%，计算下表空缺数字。
解：由于环比发展速度和定基发展速度之间存在着式（6-12）和(6-13)的数量关系，增长速度可以根据发展速度求得，所以计算增长速度时先计算各期的发
展速度，然后再通过“增长速度=发展速度－1”的关系式，计算出各增长速度。
2001年定基增长速度=20% 2002年环比增长速度=
1+50%1+20%
-1=25%
2003年定基增长速度=（⨯（1+25%）⨯（1+25%）[1+20%）]-1=87.5%
2004年定基增长速度=⎡⎣(1+87.5%)⨯(1+15%)⎤⎦-1=115.6% 2005年环比增长速度=⎡⎣(1+132.5%)÷(1+115.6%)⎤⎦-1=7.8%
二、平均发展速度和平均增长速度
平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度。
我国计算平均发展速度有两种方法：水平法和累计法。水平法又称几何平均法，是以时间数列最后一年的发展水平同基期水平对比来计算平均每年增长（或下降）速度。累计法又称代数平均法或方程法，是以时间数列内各年发展水平的总和同基期水平对比来计算平均每年增长（或下降）速度，即时间数列中各年发展水平的总和等于全期的总水平，各期发展水平是基期水平与各该期定基发展速度的乘积。
水平法侧重于考察最末一年的发展水平，按这种方法确定的平均发展速度，推算的最后一年发展水平，等于最末一年的实际发展水平；推算的最末一年的定基发展速度和根据实际资料计算的最末一年定基发展速度是一致的。累计法侧重考察全期各部分发展水平的总和，按这种方法确定的平均发展速度，推算的全期各部分发展水平的总和与实际资料的总数是一致的；推算的各部分定基发展速度的总和与根据实际资料计算的定基发展速度的总和是一致的。
在一般正常情况下，两种方法计算的平均每年增长速度比较接近；但在经济发展不平衡、出现大起大落时，两种方法计算的结果差别较大。在我国的实际统计工作中，除固定资产投资用“累计法”计算外，其余均用“水平法”计算。所以在此我们只对水平法做重点介绍。 水平法的公式如下：
X
n
=
y n y 0
⇒X =
（6-17）
y 0⨯X 1⨯X 2⋅⋅⋅⋅⨯X n =y n ⇒ y 0⨯X ⨯X ⨯⋅⋅⋅⨯X =y n
⇒
X =
（6-18）
上式中，X —平均发展速度，X i —环比发展速度，n —环比发展速度的项数。式（6-18）是水平法公式的推导过程，其中蕴含的数学依据是：现象发展的总速度不等于各期发展速度之和，而等于各期环比发展速度的连乘积，也就是说，现象从最初的水平通过n 期的增长（或下降）最终发展到了最末期的水平。 平均增长速度和平均发展速度的关系是：
平均增长速度 = 平均发展速度－1
【例6.9】根据表6-1的数据，按水平法计算我国2001-2005年这五年期间的国内生产总值的平均增长率。
解：根据题意基期水平为2000年的国内生产总值，最末水平是2005年的国内生产总值，由此，2001年至2005年这五年间国内生产总值的平均发展速度为：
X =
=
=
=
=113.04%
2001年至2005年这五年间国内生产总值的平均增长速度 = 平均发展速度－1 = 13.05%
（注意：这里计算的平均增长速度是按当年价格计算的名义平均增长速度，与按可比价格计算的增长速度有所不同。）
三、发展速度分析应注意的问题
时间数列的速度指标是由水平指标对比计算而来的，以百分数表示的抽象化指标。速度指标把现象的具体规模或水平抽象掉了，不能反映现象的绝对量差别，所以运用速度指标时，最好结合基期水平进行分析。平均发展速度只依赖于最初水平和最末水平，如果期间的环比发展速度很不平衡，那么用这样的资料来计算平均发展速度将降低或失去指标的代表性和实际分析意义，所以可以结合各个时期的环比发展速度来补充说明平均发展速度。
第四节 时间数列的构成因素
一、时间数列的构成因素
客观事物随着时间推移而发展变化，是受多种因素共同影响的结果。在诸多
影响因素中，有的是长期因素在起作用，对事物的发展变化发挥着决定性作用；有的只是短期因素在起作用，或者只是偶然性因素发挥着决定性的作用。例如，一个国家的经济发展可能受到劳动力、资源和生产力水平的长期稳定的影响，同时也可能受到自然灾害、国际环境、政治因素等非长期因素的影响。在分析时间数列的变动规律时，我们很难将这些因素的影响精确地一一区分，但是我们可以对这些影响因素进行归纳分类，以更好地揭示时间数列变动的规律性。可以将时间数列的构成要素归纳为四类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。
㈠长期趋势
长期趋势是指现象在一段相当长的时期内所表现出来的持续上升或下降或不变的趋势。长期趋势是受某种根本性的支配因素影响。例如，我国的国民生产总值呈现逐年上升的趋势，人口总量也呈现逐年上升的趋势（如图6-1所示，根据表6-1数据制图）。需要注意的是，这里的长期并非时间意义上的绝对长短，而是针对时间数列的各期间隔而言的。也就说，当我们的时间数列以年为间隔，那么两年三年不为长期，所表现出来的变化趋势不具有长期规律性；如果时间数列以月为间隔，则一年有12个月，也可以从中看出一些长期规律。
图6-1 1995年-2005年我国人口数量的长期趋势
㈡季节变动
季节变动指时间数列在一年内重复出现的周期性波动。原来最基本的意义是受自然界季节更替影响而发生的年复一年的有规律的变化。例如，农产品的生产、水电消费的季节变动等。在实际分析中，季节变动也包括一年内由于社会、政治、经济、自然因素影响形成的有规律的周期性的重复变动。例如, 民工潮造成的交通部门的客流量在一年中的规律性变化。图6-2是某农场禽蛋产值一年内随月份变动的图形。
图6-2 某农场禽蛋产值季节变化
㈢循环变动
循环变动是指变动周期大于一年的有一定规律的重复变动，如商业周期的繁荣、衰退、萧条、复苏四个阶段的循环变动。循环变动和季节变动都是一种重复出现的周期性变动，不同的是，季节变动是一年内的按月或按季的周期性变动，而循环变动的周期一般超过一年，而且循环变动的周期长短不一致，规律性不明显。
㈣不规则变动
不规则变动也称随机变动，指现象受偶然因素的影响而出现的不规则变动。例如，2005年那场海啸对东南亚地区的旅游业造成的影响表现在旅游人数上就是一种不规则变动。
二、时间数列的组合模型
时间数列分析的目的就是对以上的四大构成要素进行测定，揭示现象变动的规律性，为认识和预测事物的发展提供依据。按照四大构成要素影响方式的不同，可以设定为不同的组合模型，有乘法模型和加法模型两种。以Y 表示时间数列的指标数值，T 表示长期趋势成分，S 表示季节变动成分，C 表示循环变动成分，I 表示不规则变动成分，用下标t 表示时间（t=1，2，„，n ），n 为时间数列的项数。乘法模型和加法模型的表现形式如下：
乘法模型 Y t =T t S t C t I t （6-19） 加法模型 Y t =T t +S t +C t +I t （6-20） 乘法模型是假定四个构成要素对现象发展的影响是相互的，长期趋势成分与时间数列原始指标值都是以绝对数的形式存在的，其余成分则均以比例形式（相
对数）表示。
加法模型是假定四个要素的影响相对独立，每个成分均以时间数列原始指标数值相同的用绝对数表示。
第五节 长期趋势的测定与预测
时间数列的长期趋势是就一个较长的时期而言的，一般地说，分析长期趋势所选的时期越长越好。对长期趋势的测定和分析，是时间数列的重要工作，其主要目的有三个：一是为了认识现象随时间发展变化的趋势和规律性；二是为了对现象未来的发展趋势做出预测；三是为了从时间数列中剔除长期趋势成分，以便于分解出其他类型的影响因素。时间数列趋势的测定方法有许多种，最常用的有移动平均法和趋势模型法。
一、移动平均法
㈠间距扩大法
在介绍移动平均法之前，我们先来介绍间距扩大法，间距扩大法是测定长期趋势最原始、最简单的方法。它是将原来时间数列中较小时距单位的若干个数据加以合并，得到较大时距单位的数据。当原始时间数列中各指标数值上下波动，使得现象变化规律表现不明显时，可通过扩大序列时间间隔，使得较小时距数据所受到的偶然因素的影响相互抵消，以反映现象发展的长期趋势。
【例6.10】根据表6-6的数据，用间距扩大法分析某商场商品销售额的长期趋势。
解：将以月为时距的时间数列合并为以季为时距的时间数列，如表6-7所示。原时间数列中并不能很好的观察出长期趋势来，通过扩大间距后的新时间数列中，可以明显地看出商场的销售量呈现出增加的趋势。
时距扩大法的优点是简便直观。但是它的缺点也很突出，扩大间距后形成的新时间数列包含的数据减少，信息量大量流失，不便于做进一步分析。
㈡移动平均法
移动平均法是对间距扩大法的一种改良。它是采取逐期递推移动的方法对原数列按一定时距扩大，得到一系列扩大时距的平均数。它的原理和间距扩大法类似，通过扩大时距来消除时间数列中的不规则变动和其他变动，揭示出时间数列的长期趋势，较间距扩大法的优点在于移动平均法可以保留更多的数据信息，对原时间数列的波动起一定的修匀作用。移动平均法的具体步骤如下：
⒈扩大原时间数列的时间间隔，选定一定的时距项数N 。
⒉采用递次移动的方法对原序列递次移动N 项计算一系列序时平均数。 【例6.11】表6-8是某地粮食产量及其三项移动平均和四项移动平均的计算结果。
表6-8 某地粮食产量 （单位：吨）
在三项移动中，T 1994=
T 1995=
Y 1993+Y 1994+Y 1995
3
Y 1994+Y 1995+Y 1996
3
==
2.86+2.83+3.05
3
2.83+3.05+3.32
3
=2.91 =3.07
„„
T 2001=
Y 2000+Y 2001+Y 2002
3
=
3.87+4.07+3.79
3
=3.91
四项移动与三项移动有所不同，四项移动要求移动两次，第一次移动也是按照以上方法求的一个时间数列的趋势值。
T 1994*=T 1995*=
Y 1993+Y 1994+Y 1995+Y 1996
4
Y 1994+Y 1995+Y 1996+Y 1997
4
==
2.86+2.83+3.05+3.32
4
2.83+3.05+3.32+3.21
4
=3.02 =3.10
„„
T 2000*=
Y 1999+Y 2000+Y 2001+Y 2002
4
=
3.54+3.87+4.07+3.79
4
=3.82
然后再对以上求得的趋势值进行两项平均得到长期趋势值。
T 1995=
T 1994*+T 1995*
2T 1995*+T 1996*
2
=
3.02+3.10
23.10+3.21
2
=3.06
T 1996=
==3.16
„„ T 1999*+T 2000*
2
3.68+3.82
2
T 2000=
==3.75
从【例6.11】中我们可以看出，移动平均法具有以下特点：
⒈时距项数N 越大，对时间数列的修匀效果越强，【例6.11】中，三项移动平均的波动较原序列明显削弱了，但是仍存在一些小波动，四项移动平均进一步削弱了波动，时间数列呈现出持续上升的长期趋势。
⒉移动平均时距项数N 为奇数时，只需要一次移动平均，其移动平均值作为移动平均项数的中间一期的趋势代表值；当移动平均时距项数N 为偶数时，移动
平均值代表的是这偶数项的中间位置的水平，无法对正某一时期，所以需要进行一次相邻两项平均值的再次移动平均，如此才能使得平均值对正某一时期，第二次移动平均称为移正平均，也称中心化的移动平均数。
⒊N 的选择要考虑周期性波动的周期长短，平均时距N 应和周期长度一致。当时间数列包含季节变动时，移动平均时距项数N 应与季节变动长度一致，一般为4个季度或12个月。
⒋移动平均以后，其序列的项数较原序列减少。当原序列的项数为N 时，移动n 项，那么，移动后新序列项数为N －（n －1）= N －n+1项，比原序列项数减少（n －1）项。
⒌虽然移动项数越多，修匀效果更强。但是移动项数过多，还将造成数据丢失增加的结果。由此，必须综合地考虑以上几个特点来选择适合的移动平均时距项数。
二、趋势模型法
时间数列的长期趋势可以分为线性趋势和非线性趋势。当时间数列的长期趋势近似地呈现为直线，每期的增减数量大致相同时，则称时间数列具有线性趋势。当时间数列在各时期的变动随时间而不同，各时期的变化率或趋势线的斜率有明显变动但又有一定规律性时，现象的长期趋势就不再是线性趋势，而可能是非线性趋势。在本书中，我们重点介绍线性趋势的模型法。
线性趋势的模型法，是利用以时间t 作为解释变量和指标值Y 为被解释变量的线性回归方法，对原时间数列进行拟合线性方程，消除其他成分变动，揭示时间数列的长期线性趋势。线性方程的一般形式为：
ˆ=a +bt （6-21） Y
t
式中，Y ˆt -时间数列的趋势值，t-时间标号，a-趋势线在Y 轴上的截距，b-趋势线的斜率，表示时间t 变动一个单位时趋势值Y ˆt 的平均变动数量。通常利用最小二乘法估计线性趋势方程的参数，即
⎧n ∑tY t -∑t ∑Y t b =⎪2⎪2
n t -t ()⎨∑∑
⎪⎪⎩a =Y t -b （6-22）
上式中，n 为时间数列中数据的项数，Yt 为原时间数列中各项的原始数值。 【例6.12】根据表6-9中年末人口数据，用最小二乘法确定直线趋势方程，
计算出各期的趋势值，预测2006年的人口趋势值，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较。
解：利用最小二乘法求得a=950.9, b=120701.6, 线性趋势方程为：
ˆ=120701.6-950.9t Y t
将t=1，2，„，11分别代入上式中，算出趋势值列在表6-9中 预测2006年的人口趋势值，即将t=12代入上式中，得到：
ˆ=120701.6-950.9⨯12=135916(万人) Y t
原序列和各期的趋势值序列绘制成图如下：
图6-3 我国人口数及长期趋势图
第六节 季节变动的测定与预测
季节变动常会给人们的社会经济生活带来某种影响，如影响某些商品的生产、销售与库存。测定季节变动的意义主要在于通过分析与测定过去的季节变动规律，为当前的经营管理决策提供依据，特别是组织商业活动，避免由于季节变动引起的不良影响。还可以预测未来，制定计划，提前做好合理安排。由于季节变动的最大周期为一年，所以以年份为间隔单位的时间数列中不可能有季节变动。测定季节变动的方法很多，下面介绍常用的同期平均法和趋势剔除法。
一、同期平均法
这种方法是测定季节变动最简便的方法，其特点是测定季节变动时，不考虑长期趋势的影响。它是以若干年资料数据求出同月（季）的平均水平与全年各月（季）水平，二者对比得出各月（季）的季节指数来表明季节变动的程度。季节指数是用来刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征，反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小。如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数应等于100%，季节变动的程度是根据各季节指数与其平均数(100%)的偏差程度来测定，如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%。
同期平均法的具体步骤如下：
⒈列表，将各年同月（季）的数值列在同一栏内； ⒉将各年同月（季）数值加总，求出月（季）平均； ⒊将所有月（季）数值加总，求出总的月（季）平均；
⒋求季节指数 S = 各月（季）平均/全期各月（季）平均×100%。 【例6.13】根据表6-9中数据用同期平均法计算季节指数，并今年4月份禽蛋增加值100万元，预计今年10月份的禽蛋增加值为多少？ 解：第一步：列表，将各年同月的数值列在同一栏内；
第二步：将各年同月数值加总，求出月平均； 第三步：将所有月数值加总，求出总的月平均；
各月总平均=
266760
44.45（万元）
第四步：求季节指数 S = 各月（季）平均/全期各月（季）平均×100%。 第五步：画出季节指数图
第六步：预测10月份的禽蛋增加值。
10月份产量增加值=
100213
⨯
176=
82.63（万元）
表6-10 某禽蛋加工厂增加值资料（单位：万元）
图6-4 禽蛋加工增加值的季节指数
二、趋势剔除法
在具有明显的长期趋势变动的数列中，为了测定季节变动，必须先将长期趋势变动因素加以剔除。假定长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动对时间数列的影响可以用乘法模型来反映，为了精确计算季节指数，首先设法从数列中
21
消除趋势因素(T)，然后再用平均的方法消除循环变动(S)， 从而分解出季节变动成分。具体的步骤如下：
⒈计算移动平均值(季度数据采用4项移动平均，月份数据采用12项移动平均) ，并将其结果进行“中心化”处理，得到各期的长期趋势值T 。
⒉计算移动平均的比值，即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，得到包含了循环变动和不规则变动的季节变动指数S t C t I t 。
S t C t I t =
T t S t C t I t
T t
=Y t T t
（6-23）
⒊用平均的方法消除循环变动和不规则变动，计算出各比值的季度(或月份) 平均值，即季节指数。
⒋季节指数调整，各季节指数的平均数应等于1或100%，若根据第三步计算的季节比率的平均值不等于1时，则需要进行调整，具体方法是：将第三步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值。
【例6.14】按趋势剔除法计算表6-11中某企业电视机销售量的季节指数。
表6-11 某企业四年的季度电视机销售量（千台）
解：首先，将用移动平均法求得长期趋势值T t ，然后利用公式S t C t I t =Y t /T t
计算出各季的包含了循环变动和不规则变动的季节变动指数，如表6-12所示。
22
其次，利用同季平均的方法计算出电视机销售量时间数列的季节指数，消除循环变动和不规则变动。求得的季节指数分别是：0.93，0.84，1.09，1.14，如表6-13。
如果上一步求得的四个季节指数的平均数不为1，还要进行调整，先求得四个季节指数的总平均数，再用四个季节指数和总平均数的比例作为最后的季节指数。该例题中上一步计算的四个季节指数的平均数已经为1，所以不用再进行调整。
23
第六章 时间数列分析
第一节 时间数列分析概述
一、时间数列的概念
我们对现象总体的数量方面进行分析研究时，通常需要掌握和积累现象各个时期的统计资料，从时间上反映和研究现象发展变化的过程、趋势及其规律。所谓时间数列也称动态数列，它是指各个不同时间的社会经济统计指标，按时间先后顺序排列而形成的一列数。表6-1显示的都是我国1995年-2005年若干统计指标的时间数列，从中可以看出时间数列有两个基本要素构成：一是统计指标所属的时间；二是统计指标在特定时间的具体指标值。
表6-1 中国的国内生产总值、人口及第三产业产值
注：人均国内生产总值按年平均人口数计算
资料来源：《中国统计年鉴》（2006），北京：中国统计出版社
研究时间数列具有重要的作用，通过时间数列的编制和分析：⑴可以描述社会经济现象的发展状况和结果；⑵可以研究社会经济现象的发展速度、发展趋势，
探索现象发展变化的规律，并据以进行统计预测；⑶分析长期趋势、季节变动和循环变动等了解和分析社会现象发展变化的规律性。
二、时间数列的种类
时间数列按照其指标的性质，可以分为总量指标、相对指标和平均指标时间数列等三大类型。总量指标时间数列也称绝对数时间数列，是基本的时间数列，相对指标和平均指标时间数列都是在总量指标时间数列的基础上派生出来的。
㈠总量指标时间数列
总量指标时间数列是指把一系列同类的总量指标按时间先后顺序排列起来形成的时间数列。它反映社会经济现象在各个时期达到的绝对水平及其变化发展的状态。表6-1中的国内生产总值、年末人口和第三产业产值都属于总量指标时间数列。按照总量指标所反映的内容的不同，可以分为总体单位总量和总体标志总量两种。年末人口数是总体单位总量指标，而国内生产总值和第三产业产值是总体标志总量指标。根据总量指标反映的社会经济现象所属的时间不同，又可将总量指标时间数列分为时期数列和时点数列。下面来讨论时期数列和时点数列的特点。
⒈时期序列
各项指标都是反映某种现象在一段时期内发展过程的总量，该时间数列称为时期序列。例如表6-1中第（6）列的国内生产总值和第三产业产值，每一项指标都反映在一年的发展总量。时期序列的特点如下：
⑴可加性。不同时期的总量指标可以相加，所得数值表明现象在更长一个时期的数值。例如，月度国内生产总值相加得到季度国内生产总值，季度国内生产总值相加得到年度国内生产总值。
⑵序列中每个指标数值的大小与所属的时期长短有直接的联系。一般指标所属时期越长，指标值越大。
⑶每个指标的数值，通过连续不断的登记而取得。由于时期指标是反映现象在一段时间内的发展过程总量，因而必须在这段时间把现象发生的数量逐一登记，并进行累计得到指标值。
⒉时点序列
时点序列是反映现象在某一时点上（瞬间）所处的数量水平的时间数列。表6-1中的年末人口数就是时点序列。它具有以下特点：
⑴不可加性。由于时点序列中每个指标都是表明某一时间上瞬间现象的数量，相加以后无法说明属于哪一时点的数量，相加后不具有实际经济意义。
⑵指标数值的大小与时点间隔的长短没有直接关系。在时点序列中两个相邻指标在时间上的距离叫做“间隔”。时点指标的时间单位是瞬间，因而许多现象时间间隔的长短与指标值的大小没有直接关系。如果现象本身存在长期变化趋势，呈现增长或下降趋势，则指标数值与时间间隔有一定的关系。例如，我国总人口呈增长趋势，时点间隔越长，指标的数值越大。
⑶指标值采取间断统计的方法获得。例如，我国历年的人口普查就是采取10年一次的方式获得。
㈡相对指标和平均指标时间数列
相对指标和平均指标都是由总量指标派生出来的，它们分别反映社会经济现象达到的相对水平和平均水平。将一系列同类的相对指标或平均指标按时间先后顺序排列起来而形成的时间数列，就成了相对指标时间数列和平均指标时间数列。表6-1中第（7）列的第三产业所占比率属于相对指标时间数列，人均国内生产总值属于平均指标时间数列。
三、时间数列的编制原则
编制时间数列的目的就是要通过不同时间的各个指标值的比较，分析社会经济现象的发展规律。因此，保持时间数列中指标值的可比性是编制时间数列的基本原则。具体可以表现在以下几个方面：
㈠时间长短一致
在时期序列中，由于时间长短直接影响指标值的大小，所以必须保持各指标值所属时期长短一致。在时点序列中，虽然指标值的大小与时间间隔没有直接关系，但为了更好地分析其长期趋势、增加可比性，尽量保持时间间隔一致。
㈡总体范围一致
不同时期的研究对象范围要一致。例如，研究某市的人口发展情况，要注意该市的行政区划有否变动，这种变动将使人口数发生变动。如果各个指标数值所属的总体空间范围不一致，则前后数值就不能直接进行对比，此时应对指标数值进行调整，使总体范围前后达到一致，然后再作动态分析。
㈢指标的经济内容一致
例如，新中国成立以来，我国曾经采取过工农业总产值、社会总产值、国民
收入和国内生产总值等指标反映我国的经济活动总量，这些指标都有不同的经济内容。在编制新中国成立以来的经济活动总量时间数列时，就需要对这些指标加以区别和调整，才具有可比性。
㈣计算方法、计算价格和计量单位应该一致
采用什么方法计算、按照何种价格或单位进行计量，各个指标值都要保持前后一致。如国内生产总值的计算有三种方法，生产法、支出法和收入法，理论上这三种方法的计算结果应该相同，但由于资料获得的渠道不同，三种方法计算的国内生产总值往往存在差异。所以，在编制时间数列时，应注意各指标的计算方法是否统一。另外，在研究工业企业劳动生产率时，产量可以用实物量计算，也可以用价值量计算；人数可以是全部职工数，也可以是生产工人数。编制时间数列时要有明确指示，以保证前后各期的统一。如果按实物指标计算，就应采取统一的计量单位，否则就违背了指标值可比性的原则；如果按价值量计算，就涉及到以现行价格或不变价格进行计算的问题。在同一时间数列中，各指标值的计算价格应该保持一致。
保证时间数列中各个时期（时点）指标数值的可比性是认识客观事物发展变化的原则。但是任何事物绝对可比是不存在的，在利用时间数列进行动态分析时，只要能满足统计研究目的的基本要求，就可视为可比。
为了研究现象的发展规模和程度，揭示事物发展的规律，需要根据时间数列的资料计算一系列动态分析指标。这些动态分析指标可分为两大类：一类是发展水平指标，另一类是发展速度指标。下面分两节对此进行介绍。
第二节 时间数列的水平分析指标
一、发展水平和平均发展水平
㈠发展水平
在时间数列中，各项具体的指标数值叫做发展水平，即该指标反映的社会经济现象在所属时间的发展水平。表6-1中，1995年的国内生产总值为60793.7亿元即为1995年的GDP 发展水平，2005年的年末人口数为130372万人即为2005年的人口发展水平。在一个时间数列中，各时间上的发展水平按时间顺序可以记为y 0，y 1，y 2，„，y n 1，y n 。在对各个时间的发展水平进行比较时，把作为比较基础的那个时间称为基期，相对应的发展水平称为基期水平；把所研究考察
的那个时间称为报告期，相对应的发展水平称为报告期水平。基期和报告期将根据研究的需要而定。
㈡平均发展水平
为了综合说明社会经济现象在一段时期内的发展水平，需要计算平均发展水平。平均发展水平又称序时平均数，它与平均指标的概念既有相同也有不同。相同点是两种平均数都是所有变量值的代表数值，表现的都是现象的一般水平。不同点是平均发展水平平均的是现象在不同时间上指标数值的差别，是从动态上说明现象的一般水平，是根据时间数列计算的；而平均指标平均的是现象在同一个时间上的数量差别，是从静态上说明现象的一般水平，是根据变量数列计算的。
计算平均发展水平的方法根据时间数列指标的性质来确定，以下将具体介绍总量指标、相对指标和平均指标的平均发展水平的计算方法。
⒈总量指标平均发展水平
总量指标分为时期指标和时点指标，两者计算平均发展水平的方法不同。 ⑴时期序列的平均发展水平
时期序列的平均发展水平的计算比较简单，采取简单算术平均数方法计算。用公式表示为：
n
y =
y 1+y 2+⋅⋅⋅+y n
n
∑
=
i =1
y i
n
（6-1）
式中，y —平均发展水平，y 1+y 2+⋅⋅⋅+y n —各期的发展水平，n —时期项数
【例6.1】根据表6-1第（2）列的数据计算1996-2005年期间我国的年均国内生产总值。
解：将1996年至2005年的国内生产总值代入公式6-1，即 1996年至2005年的平均国内生产总值为：
y =
y 1+y 2+⋅⋅⋅+y n
n
=
71176.6+78973+⋅⋅⋅+183084.8
10
=113221.74
（亿元）
⑵时点序列的平均发展水平
如果利用公式6-1计算时点序列的平均发展水平，理论上要求掌握现象在每一时点上的数据。但是时点序列的各项数据大多是间断统计的，例如有的每月、每季或每年统计一次，而有的是现象发生时才统计一次，即不定期统计。对于这些不同的资料情况，时点序列的平均发展水平的计算方法也有所不同。
①间隔相同的时点序列平均发展水平的计算
间隔相同的时点序列的平均发展水平的计算采用“首末折半法”，公式如下：
y 1+y 2
y =
+y 2+y 3
+⋅⋅⋅+
y n -1+y n
y 1=+y 2+⋅⋅⋅+y n -1+
n -1
y n
（6-2）
n -1
式中，y ——平均发展水平，y 1+
y 2+⋅⋅⋅+y n ——各时点的发展水平
，n —时点个数
这个公式基于一个假设，假设每个时间间隔间的现象数量的变化是均匀的。
【例6.2】根据表6-1第（3）列的数据计算1996-2005年期间我国年平均人口数。
解：首先要考虑的是首项应该是哪一年的数据，显然，首项不是1996年年末人口数，而是1995年年末人口数。1996年的人口变化从1995年年末开始到1996年年末，所以1996年年末人口数不能作为1996年人口的代表值，将1995年年末的人口数看成是1996年年初的人口数，1996年的年平均人口就是年初和年末人口的简单平均数。即：
1996年的人口数=
121121+122389
2
=121755
（万人）
类似地可以计算1997-2005年的各年平均人口数，计算结果如表6-1中第（4）列所示。然后再对各年平均人口数进行算术平均求出1996-2005年的年平均人口数。即：
1996-2005年的年平均人口数为：
121121+122389y ==
+
122389+123626
11-1
+⋅⋅⋅+
129988+130756
121755+123007.5+⋅⋅⋅+130372
11-1
=126453.85(万人）
②间隔不等的时点序列平均发展水平的计算
时点间隔不等的时间数列计算平均发展水平的思路与时点间隔相等的时点序列相同，同样假设每个时间间隔间的现象数量的变化是均匀的，由于时点间隔不同，需要用时点间隔为权数进行加权计算。计算公式如下：
y 1+y 2
y =
f 1+
y 2+y 3
f 1+f 2+⋅⋅⋅+f n -1
f 2+⋅⋅⋅+
y n -1+y n
f n -1
（6-3）
y —平均发展水平，y 1+栏数。
y 2+⋅⋅⋅+y n —各时点的发展水平，f —时点间隔的距离
【例6.3】某农场某年的生猪存栏数如表6-2，计算该农场的年平均生猪存
解：该农场的年平均生猪存栏数为：
y 1+y 2
y =
2
f 1+
y 2+y 3
2
f 1+f 2+⋅⋅⋅+f n -1
f 2+⋅⋅⋅+
y n -1+y n
2
f n -1
1250+1460
1420+1400=
⨯2+
1400+1200
⨯5+
1200+1250
⨯2+⨯3
2+5+2+3
≈1320（头）
③现象发生变动时登记一次的时点序列平均发展水平的计算
y =
y 1f 1+y 2f 2+⋅⋅⋅+y n f n
f 1+f 2+⋅⋅⋅+f n
（6-4）
y —平均发展水平，y 1+
y 2+⋅⋅⋅+y n —各时点的发展水平，f —时点间隔的距离
公式（6-4）和（6-3）的不同原因在于：（6-3）式情况中，后一时点的数据是前一时点数据逐渐变化而来，我们假设这种变动是均匀变动，可计算两个时点数据的简单平均数作为两个时点之间的代表值；（6-4）式情况中，后一时点的数据并非前一时点数据逐渐变化而来的，是前一时点现象一直维持到后一时点的前一时刻，在后一时点上才发生变化。因此，现象发生变动时登记一次的时点序列也称为连续时点序列。这也是（6-4）式区别于（6-3）式的原因所在，（6-3）式反映的情况是现象在两个时间点逐渐变化发展的，而（6-4）式反映的情况是现象从前一时点一直维持到后一时点，在后一时点发生瞬间变化的，所以，在计算之前必须要先分析现象的变化特点。
【例6.4】某企业2007年6月份某成品的库存量资料如表6-3，计算该企业6月份某成品的平均库存量。
表6-3 某农场某年的生猪存栏数
解：该企业6月份某成品的平均库存量为：
y =
85⨯7+6⨯7+105⨯6+50⨯9+20⨯1
7+7+6+9+1
≈58(个）
⒉相对指标和平均指标
由于相对指标和平均指标是由总量指标派生出来的，相对指标或平均指标时间数列都是派生序列，即其中各项指标都是由两个总量指标对比计算出来的。所以在计算相对指标和平均指标的平均发展水平时不能直接计算其各项指标的平均数，而是要分别先计算出两个总量指标的平均发展水平，然后再进行对比。公式表示如下：
y =
a b
（6-5）
y —— 相对数或平均数动态数列的平均发展水平
a —— 分子数列的平均发展水平b —— 分母数列的平均发展水平
【例6.5】根据表6-1的数据计算1996-2005年期间我国年平均的人均GDP 。 解：不能对人均GDP 的各项发展水平直接进行算术平均，而是先计算国内生产总值的平均发展水平和年均人口数，再对比得到年平均的人均GDP ，具体计算如下：
a =113221.74（亿元）， b =126453.85（万人）
113221.74（亿元）y ===8953.6（元/人）
b 126453.85（万人）
a
二、增长量和平均增长量
㈠增长量
增长量也称增长水平，是报告期发展水平与基期发展水平之差。增长量有逐期增长量和累计增长量之分。逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，即以前一期为基期。累计增长量是报告期水平与某一固定时间发展水平的差，即将基期固定在某一时间。这两个指标用公式表达如下：
逐期增长量 y 1-y 0, y 2-y 1, ⋅⋅⋅, y n -y n -1 （6-6） 累计增长量 y 1-y 0, y 2-y 0, ⋅⋅⋅, y n -y 0 (6-7) 【例6.6】根据表6-1的数据计算2001-2005年期间我国GDP 的逐期增长量和累计增长量。
表6-4 中国国内生产总值历年的逐期增长量和累计增长量
㈡平均增长量
平均增长量也称平均增长水平，它是逐期增长量的平均数。计算公式如下：
平均增长量=
逐期增长量之和逐期增长量个数
=
累积增长量时间序列项数-1
（6-8）
【例6.7】根据表6-1的数据计算1995-2005年期间我国GDP 的平均增长量。
平均增长量=
逐期增长量之和逐期增长量个数
累积增长量时间序列项数-1
=
10383+7796+ +23207
10
12229110
=12229.11（亿元）
或平均增长量==
=12229.11（亿元）
第三节 时间数列的速度分析指标
一、发展速度和增长速度
㈠发展速度
发展速度是反映社会经济现象发展快慢的相对指标。用两个不同时期的发展水平相对比而求得，一般用百分比来表示。计算公式如下：
发展速度=
报告期水平基期水平
（6-9）
由于发展速度的基期不同，可以将其分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度是将基期定为报告期的前一期，反映现象的逐期发展程度。定基发展速度是将基期固定为某一期，反映现象在较长一段时间内的发展程度，也称为总发展速度。这两种发展速度用公式来表示如下：
环比发展速度：
y 1y 0
，
y 2y 1
，„，
y n y n -1
（6-10）
定基发展速度：
y 1y 0
，
y 2y 0
，„，
y n y 0
（6-11）
环比发展速度和定基发展速度之间存在一定的数量关系，即： ⒈环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度
y 1y 0
⨯y 2y 1
⨯⋅⋅⋅⨯
y n y n -1
=y n y 0
（6-12）
⒉相邻两个时期的定基发展速度之商等于相应时期的环比发展速度
y i y 0
÷y i -1y 0
=y i y i -1
（6-13）
㈡增长速度
增长速度是表明社会经济现象增长程度的相对指标。它可以根据增长量与基期发展水平对比求得，也可以根据发展速度来求得。公式如下：
增长速度=
增长量基期发展水平
=发展速度-1 （6-14）
由于基期的不同，增长速度也有环比增长速度和定基增长速度之分。环比增长速度是将基期定为报告期的前一期，用报告期的增长量与前一期的发展水平对比而得，反映现象的逐期增长程度。定基增长速度是将基期固定为某一期，用报告期的增长量与固定基期的发展水平对比而得，反映现象在较长一段时间内的增长程度。
定基增长速度=定基发展速度-1 环比增长速度=环比发展速度-1
（6-15） （6-16）
【例6.8】某企业几年来产量不断增长，已知2001年比2000年增长20%，2002年比2000年增长50%，2003年比2002年增长25%，2004年比2003年增长15%，2005年比2000年增长132.5%，计算下表空缺数字。
解：由于环比发展速度和定基发展速度之间存在着式（6-12）和(6-13)的数量关系，增长速度可以根据发展速度求得，所以计算增长速度时先计算各期的发
展速度，然后再通过“增长速度=发展速度－1”的关系式，计算出各增长速度。
2001年定基增长速度=20% 2002年环比增长速度=
1+50%1+20%
-1=25%
2003年定基增长速度=（⨯（1+25%）⨯（1+25%）[1+20%）]-1=87.5%
2004年定基增长速度=⎡⎣(1+87.5%)⨯(1+15%)⎤⎦-1=115.6% 2005年环比增长速度=⎡⎣(1+132.5%)÷(1+115.6%)⎤⎦-1=7.8%
二、平均发展速度和平均增长速度
平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度。
我国计算平均发展速度有两种方法：水平法和累计法。水平法又称几何平均法，是以时间数列最后一年的发展水平同基期水平对比来计算平均每年增长（或下降）速度。累计法又称代数平均法或方程法，是以时间数列内各年发展水平的总和同基期水平对比来计算平均每年增长（或下降）速度，即时间数列中各年发展水平的总和等于全期的总水平，各期发展水平是基期水平与各该期定基发展速度的乘积。
水平法侧重于考察最末一年的发展水平，按这种方法确定的平均发展速度，推算的最后一年发展水平，等于最末一年的实际发展水平；推算的最末一年的定基发展速度和根据实际资料计算的最末一年定基发展速度是一致的。累计法侧重考察全期各部分发展水平的总和，按这种方法确定的平均发展速度，推算的全期各部分发展水平的总和与实际资料的总数是一致的；推算的各部分定基发展速度的总和与根据实际资料计算的定基发展速度的总和是一致的。
在一般正常情况下，两种方法计算的平均每年增长速度比较接近；但在经济发展不平衡、出现大起大落时，两种方法计算的结果差别较大。在我国的实际统计工作中，除固定资产投资用“累计法”计算外，其余均用“水平法”计算。所以在此我们只对水平法做重点介绍。 水平法的公式如下：
X
n
=
y n y 0
⇒X =
（6-17）
y 0⨯X 1⨯X 2⋅⋅⋅⋅⨯X n =y n ⇒ y 0⨯X ⨯X ⨯⋅⋅⋅⨯X =y n
⇒
X =
（6-18）
上式中，X —平均发展速度，X i —环比发展速度，n —环比发展速度的项数。式（6-18）是水平法公式的推导过程，其中蕴含的数学依据是：现象发展的总速度不等于各期发展速度之和，而等于各期环比发展速度的连乘积，也就是说，现象从最初的水平通过n 期的增长（或下降）最终发展到了最末期的水平。 平均增长速度和平均发展速度的关系是：
平均增长速度 = 平均发展速度－1
【例6.9】根据表6-1的数据，按水平法计算我国2001-2005年这五年期间的国内生产总值的平均增长率。
解：根据题意基期水平为2000年的国内生产总值，最末水平是2005年的国内生产总值，由此，2001年至2005年这五年间国内生产总值的平均发展速度为：
X =
=
=
=
=113.04%
2001年至2005年这五年间国内生产总值的平均增长速度 = 平均发展速度－1 = 13.05%
（注意：这里计算的平均增长速度是按当年价格计算的名义平均增长速度，与按可比价格计算的增长速度有所不同。）
三、发展速度分析应注意的问题
时间数列的速度指标是由水平指标对比计算而来的，以百分数表示的抽象化指标。速度指标把现象的具体规模或水平抽象掉了，不能反映现象的绝对量差别，所以运用速度指标时，最好结合基期水平进行分析。平均发展速度只依赖于最初水平和最末水平，如果期间的环比发展速度很不平衡，那么用这样的资料来计算平均发展速度将降低或失去指标的代表性和实际分析意义，所以可以结合各个时期的环比发展速度来补充说明平均发展速度。
第四节 时间数列的构成因素
一、时间数列的构成因素
客观事物随着时间推移而发展变化，是受多种因素共同影响的结果。在诸多
影响因素中，有的是长期因素在起作用，对事物的发展变化发挥着决定性作用；有的只是短期因素在起作用，或者只是偶然性因素发挥着决定性的作用。例如，一个国家的经济发展可能受到劳动力、资源和生产力水平的长期稳定的影响，同时也可能受到自然灾害、国际环境、政治因素等非长期因素的影响。在分析时间数列的变动规律时，我们很难将这些因素的影响精确地一一区分，但是我们可以对这些影响因素进行归纳分类，以更好地揭示时间数列变动的规律性。可以将时间数列的构成要素归纳为四类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。
㈠长期趋势
长期趋势是指现象在一段相当长的时期内所表现出来的持续上升或下降或不变的趋势。长期趋势是受某种根本性的支配因素影响。例如，我国的国民生产总值呈现逐年上升的趋势，人口总量也呈现逐年上升的趋势（如图6-1所示，根据表6-1数据制图）。需要注意的是，这里的长期并非时间意义上的绝对长短，而是针对时间数列的各期间隔而言的。也就说，当我们的时间数列以年为间隔，那么两年三年不为长期，所表现出来的变化趋势不具有长期规律性；如果时间数列以月为间隔，则一年有12个月，也可以从中看出一些长期规律。
图6-1 1995年-2005年我国人口数量的长期趋势
㈡季节变动
季节变动指时间数列在一年内重复出现的周期性波动。原来最基本的意义是受自然界季节更替影响而发生的年复一年的有规律的变化。例如，农产品的生产、水电消费的季节变动等。在实际分析中，季节变动也包括一年内由于社会、政治、经济、自然因素影响形成的有规律的周期性的重复变动。例如, 民工潮造成的交通部门的客流量在一年中的规律性变化。图6-2是某农场禽蛋产值一年内随月份变动的图形。
图6-2 某农场禽蛋产值季节变化
㈢循环变动
循环变动是指变动周期大于一年的有一定规律的重复变动，如商业周期的繁荣、衰退、萧条、复苏四个阶段的循环变动。循环变动和季节变动都是一种重复出现的周期性变动，不同的是，季节变动是一年内的按月或按季的周期性变动，而循环变动的周期一般超过一年，而且循环变动的周期长短不一致，规律性不明显。
㈣不规则变动
不规则变动也称随机变动，指现象受偶然因素的影响而出现的不规则变动。例如，2005年那场海啸对东南亚地区的旅游业造成的影响表现在旅游人数上就是一种不规则变动。
二、时间数列的组合模型
时间数列分析的目的就是对以上的四大构成要素进行测定，揭示现象变动的规律性，为认识和预测事物的发展提供依据。按照四大构成要素影响方式的不同，可以设定为不同的组合模型，有乘法模型和加法模型两种。以Y 表示时间数列的指标数值，T 表示长期趋势成分，S 表示季节变动成分，C 表示循环变动成分，I 表示不规则变动成分，用下标t 表示时间（t=1，2，„，n ），n 为时间数列的项数。乘法模型和加法模型的表现形式如下：
乘法模型 Y t =T t S t C t I t （6-19） 加法模型 Y t =T t +S t +C t +I t （6-20） 乘法模型是假定四个构成要素对现象发展的影响是相互的，长期趋势成分与时间数列原始指标值都是以绝对数的形式存在的，其余成分则均以比例形式（相
对数）表示。
加法模型是假定四个要素的影响相对独立，每个成分均以时间数列原始指标数值相同的用绝对数表示。
第五节 长期趋势的测定与预测
时间数列的长期趋势是就一个较长的时期而言的，一般地说，分析长期趋势所选的时期越长越好。对长期趋势的测定和分析，是时间数列的重要工作，其主要目的有三个：一是为了认识现象随时间发展变化的趋势和规律性；二是为了对现象未来的发展趋势做出预测；三是为了从时间数列中剔除长期趋势成分，以便于分解出其他类型的影响因素。时间数列趋势的测定方法有许多种，最常用的有移动平均法和趋势模型法。
一、移动平均法
㈠间距扩大法
在介绍移动平均法之前，我们先来介绍间距扩大法，间距扩大法是测定长期趋势最原始、最简单的方法。它是将原来时间数列中较小时距单位的若干个数据加以合并，得到较大时距单位的数据。当原始时间数列中各指标数值上下波动，使得现象变化规律表现不明显时，可通过扩大序列时间间隔，使得较小时距数据所受到的偶然因素的影响相互抵消，以反映现象发展的长期趋势。
【例6.10】根据表6-6的数据，用间距扩大法分析某商场商品销售额的长期趋势。
解：将以月为时距的时间数列合并为以季为时距的时间数列，如表6-7所示。原时间数列中并不能很好的观察出长期趋势来，通过扩大间距后的新时间数列中，可以明显地看出商场的销售量呈现出增加的趋势。
时距扩大法的优点是简便直观。但是它的缺点也很突出，扩大间距后形成的新时间数列包含的数据减少，信息量大量流失，不便于做进一步分析。
㈡移动平均法
移动平均法是对间距扩大法的一种改良。它是采取逐期递推移动的方法对原数列按一定时距扩大，得到一系列扩大时距的平均数。它的原理和间距扩大法类似，通过扩大时距来消除时间数列中的不规则变动和其他变动，揭示出时间数列的长期趋势，较间距扩大法的优点在于移动平均法可以保留更多的数据信息，对原时间数列的波动起一定的修匀作用。移动平均法的具体步骤如下：
⒈扩大原时间数列的时间间隔，选定一定的时距项数N 。
⒉采用递次移动的方法对原序列递次移动N 项计算一系列序时平均数。 【例6.11】表6-8是某地粮食产量及其三项移动平均和四项移动平均的计算结果。
表6-8 某地粮食产量 （单位：吨）
在三项移动中，T 1994=
T 1995=
Y 1993+Y 1994+Y 1995
3
Y 1994+Y 1995+Y 1996
3
==
2.86+2.83+3.05
3
2.83+3.05+3.32
3
=2.91 =3.07
„„
T 2001=
Y 2000+Y 2001+Y 2002
3
=
3.87+4.07+3.79
3
=3.91
四项移动与三项移动有所不同，四项移动要求移动两次，第一次移动也是按照以上方法求的一个时间数列的趋势值。
T 1994*=T 1995*=
Y 1993+Y 1994+Y 1995+Y 1996
4
Y 1994+Y 1995+Y 1996+Y 1997
4
==
2.86+2.83+3.05+3.32
4
2.83+3.05+3.32+3.21
4
=3.02 =3.10
„„
T 2000*=
Y 1999+Y 2000+Y 2001+Y 2002
4
=
3.54+3.87+4.07+3.79
4
=3.82
然后再对以上求得的趋势值进行两项平均得到长期趋势值。
T 1995=
T 1994*+T 1995*
2T 1995*+T 1996*
2
=
3.02+3.10
23.10+3.21
2
=3.06
T 1996=
==3.16
„„ T 1999*+T 2000*
2
3.68+3.82
2
T 2000=
==3.75
从【例6.11】中我们可以看出，移动平均法具有以下特点：
⒈时距项数N 越大，对时间数列的修匀效果越强，【例6.11】中，三项移动平均的波动较原序列明显削弱了，但是仍存在一些小波动，四项移动平均进一步削弱了波动，时间数列呈现出持续上升的长期趋势。
⒉移动平均时距项数N 为奇数时，只需要一次移动平均，其移动平均值作为移动平均项数的中间一期的趋势代表值；当移动平均时距项数N 为偶数时，移动
平均值代表的是这偶数项的中间位置的水平，无法对正某一时期，所以需要进行一次相邻两项平均值的再次移动平均，如此才能使得平均值对正某一时期，第二次移动平均称为移正平均，也称中心化的移动平均数。
⒊N 的选择要考虑周期性波动的周期长短，平均时距N 应和周期长度一致。当时间数列包含季节变动时，移动平均时距项数N 应与季节变动长度一致，一般为4个季度或12个月。
⒋移动平均以后，其序列的项数较原序列减少。当原序列的项数为N 时，移动n 项，那么，移动后新序列项数为N －（n －1）= N －n+1项，比原序列项数减少（n －1）项。
⒌虽然移动项数越多，修匀效果更强。但是移动项数过多，还将造成数据丢失增加的结果。由此，必须综合地考虑以上几个特点来选择适合的移动平均时距项数。
二、趋势模型法
时间数列的长期趋势可以分为线性趋势和非线性趋势。当时间数列的长期趋势近似地呈现为直线，每期的增减数量大致相同时，则称时间数列具有线性趋势。当时间数列在各时期的变动随时间而不同，各时期的变化率或趋势线的斜率有明显变动但又有一定规律性时，现象的长期趋势就不再是线性趋势，而可能是非线性趋势。在本书中，我们重点介绍线性趋势的模型法。
线性趋势的模型法，是利用以时间t 作为解释变量和指标值Y 为被解释变量的线性回归方法，对原时间数列进行拟合线性方程，消除其他成分变动，揭示时间数列的长期线性趋势。线性方程的一般形式为：
ˆ=a +bt （6-21） Y
t
式中，Y ˆt -时间数列的趋势值，t-时间标号，a-趋势线在Y 轴上的截距，b-趋势线的斜率，表示时间t 变动一个单位时趋势值Y ˆt 的平均变动数量。通常利用最小二乘法估计线性趋势方程的参数，即
⎧n ∑tY t -∑t ∑Y t b =⎪2⎪2
n t -t ()⎨∑∑
⎪⎪⎩a =Y t -b （6-22）
上式中，n 为时间数列中数据的项数，Yt 为原时间数列中各项的原始数值。 【例6.12】根据表6-9中年末人口数据，用最小二乘法确定直线趋势方程，
计算出各期的趋势值，预测2006年的人口趋势值，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较。
解：利用最小二乘法求得a=950.9, b=120701.6, 线性趋势方程为：
ˆ=120701.6-950.9t Y t
将t=1，2，„，11分别代入上式中，算出趋势值列在表6-9中 预测2006年的人口趋势值，即将t=12代入上式中，得到：
ˆ=120701.6-950.9⨯12=135916(万人) Y t
原序列和各期的趋势值序列绘制成图如下：
图6-3 我国人口数及长期趋势图
第六节 季节变动的测定与预测
季节变动常会给人们的社会经济生活带来某种影响，如影响某些商品的生产、销售与库存。测定季节变动的意义主要在于通过分析与测定过去的季节变动规律，为当前的经营管理决策提供依据，特别是组织商业活动，避免由于季节变动引起的不良影响。还可以预测未来，制定计划，提前做好合理安排。由于季节变动的最大周期为一年，所以以年份为间隔单位的时间数列中不可能有季节变动。测定季节变动的方法很多，下面介绍常用的同期平均法和趋势剔除法。
一、同期平均法
这种方法是测定季节变动最简便的方法，其特点是测定季节变动时，不考虑长期趋势的影响。它是以若干年资料数据求出同月（季）的平均水平与全年各月（季）水平，二者对比得出各月（季）的季节指数来表明季节变动的程度。季节指数是用来刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征，反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小。如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数应等于100%，季节变动的程度是根据各季节指数与其平均数(100%)的偏差程度来测定，如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%。
同期平均法的具体步骤如下：
⒈列表，将各年同月（季）的数值列在同一栏内； ⒉将各年同月（季）数值加总，求出月（季）平均； ⒊将所有月（季）数值加总，求出总的月（季）平均；
⒋求季节指数 S = 各月（季）平均/全期各月（季）平均×100%。 【例6.13】根据表6-9中数据用同期平均法计算季节指数，并今年4月份禽蛋增加值100万元，预计今年10月份的禽蛋增加值为多少？ 解：第一步：列表，将各年同月的数值列在同一栏内；
第二步：将各年同月数值加总，求出月平均； 第三步：将所有月数值加总，求出总的月平均；
各月总平均=
266760
44.45（万元）
第四步：求季节指数 S = 各月（季）平均/全期各月（季）平均×100%。 第五步：画出季节指数图
第六步：预测10月份的禽蛋增加值。
10月份产量增加值=
100213
⨯
176=
82.63（万元）
表6-10 某禽蛋加工厂增加值资料（单位：万元）
图6-4 禽蛋加工增加值的季节指数
二、趋势剔除法
在具有明显的长期趋势变动的数列中，为了测定季节变动，必须先将长期趋势变动因素加以剔除。假定长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动对时间数列的影响可以用乘法模型来反映，为了精确计算季节指数，首先设法从数列中
21
消除趋势因素(T)，然后再用平均的方法消除循环变动(S)， 从而分解出季节变动成分。具体的步骤如下：
⒈计算移动平均值(季度数据采用4项移动平均，月份数据采用12项移动平均) ，并将其结果进行“中心化”处理，得到各期的长期趋势值T 。
⒉计算移动平均的比值，即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，得到包含了循环变动和不规则变动的季节变动指数S t C t I t 。
S t C t I t =
T t S t C t I t
T t
=Y t T t
（6-23）
⒊用平均的方法消除循环变动和不规则变动，计算出各比值的季度(或月份) 平均值，即季节指数。
⒋季节指数调整，各季节指数的平均数应等于1或100%，若根据第三步计算的季节比率的平均值不等于1时，则需要进行调整，具体方法是：将第三步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值。
【例6.14】按趋势剔除法计算表6-11中某企业电视机销售量的季节指数。
表6-11 某企业四年的季度电视机销售量（千台）
解：首先，将用移动平均法求得长期趋势值T t ，然后利用公式S t C t I t =Y t /T t
计算出各季的包含了循环变动和不规则变动的季节变动指数，如表6-12所示。
22
其次，利用同季平均的方法计算出电视机销售量时间数列的季节指数，消除循环变动和不规则变动。求得的季节指数分别是：0.93，0.84，1.09，1.14，如表6-13。
如果上一步求得的四个季节指数的平均数不为1，还要进行调整，先求得四个季节指数的总平均数，再用四个季节指数和总平均数的比例作为最后的季节指数。该例题中上一步计算的四个季节指数的平均数已经为1，所以不用再进行调整。
23