第三章 直杆的基本变形
一、本章主要内容与特点
算满足强度要求选择最小的截面尺寸作铺垫。由于材料的机械性能不相同，受载荷的方向和作压、剪、弯、扭等不同状态条件的强度问题，为机械零件的强度计算提供理论依据。 学习理论力学的目的是为求出杆件任何截面所受到的最大外力或扭矩，为本章材料力学计用效果不同，断面形状不同，对于截面的尺寸要求也不同。本章将研究最常见直杆在受拉、 直杆的拉伸和压缩是最常见的受力状态，在外载荷作用下，杆件将发生变形，产生应力。验的方法来测量材料的力学性能，力学性能的指标较多，最为常用的是以抗拉强度σｂ作为构态，所以塑性材料以屈服阶段的极限应力σｓ作为计算的依据更为准确。件所能承受的最大拉应力，简称强度极限。但是塑性材料在屈服阶段时，构件就处于危险的状 为了保证构件能安全可靠的工作，通常将强度极限除以一个大于１的安全系数作为构件工外载荷越大，产生的内应力也越大。为了检测出不同的材料所能承担的最大应力，通常用做试作时所允许的最大应力，这个应力称为材料的许用应力，常用［σ］表示。这一点是计算中常用的，凡是带有中括号符号的，都是表示许用应力的值，如果材料受到的载荷超过许用值，材料的强度就不能得到保证，这是不允许的。教学中要注意提醒学生。许用值可以看作是警戒线。 连接件的剪切与挤压和拉压相似，所不同的是受力方向与轴线相垂直，而拉压是与轴线的方向一致。在剪切变形的同时也发生挤压变形，所以强度计算时，需要同时进行剪切和挤压强度的校核，方能保证强度的要求。 圆轴的扭转是传动构件常见的受力变形，传递功率时，圆轴受扭矩的作用，产生扭转变形，对圆轴的断面产生扭转剪应力。剪应力在截面上的分布不是均匀的，最大剪应力发生在离轴心最远处。剪应力的大小与圆轴的材料、直径大小和形状有关。相同质量的材料，空心轴比实心轴的抗扭转应力好；材料的抗扭截面系数与直径的３次方成反比。 直梁的弯曲及组合变形在实际生产中较为普遍，单一状态的受力比较少，如机器的变速箱中的传动轴，不仅要传递扭矩，而且齿轮、带、链对轴产生径向力和轴向力，使轴发生弯曲变形。所以，扭、弯组合变形是常见的。弯曲应力的大小与直梁的材料、抗弯截面系数有关。材料的强度越好，许用应力就越大。直梁的抗弯截面系数越大，抗弯曲能力就越强。 对于本章内容，中职学生只要求懂得简单的强度计算方法即可，对于计算过程不必要求，但是要懂得通过哪些措施可以提高材料的强度和寿命，即要求懂得定性描述，不要求定量计算。贯穿本章思路的主线是：外载硳变形硳内力硳应力与许用应力硳强度计算。
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二、教学目标与教材分析
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析
（一）教学目标
（二）教材分析 １畅了解拉伸与压缩时杆件的变形特点。 ２畅理解截面法求断面的内力和应力的方法及应力的常用单位。
形的能力，刚度的要求比强度高，刚度不够的材料，其强度一般不会出现问题。对中职学生，只要求熟悉强度的计算过程就已足够。刚度计算一般仅限于机床主轴或其他有刚度要求的零 １畅拉伸和压缩变形件。直杆的稳定性作为一般了解就可以。 本章每一节中都要应用到强度的概念，它是指材料抵抗破坏的能力。刚度是指零件抵抗变
或缩短变形量的大小与杆件材料自身的弹性变形特性有关，塑性材料比脆性材料的弹性变形能力强，所以变形量大，而脆性材料的变形量较小。在相同载荷作用下，混凝土的拉伸性能不如低碳钢，而低碳钢不如橡胶棒。弹性越好，其变形量越大。讲课时注意以生活中的实例来说明变形的特点，如细铁丝受拉后将伸长，而紫铜丝受拉后的伸长量要比铁丝大，这是因为紫铜的塑性比铁丝好。 ２畅内力与截面法 杆件受到轴线方向的拉伸必然发生伸长，受到压缩时必然发生缩短，这是自然现象。伸长 内力是杆件受到外力作用之后，杆件内部材料产生阻止变形的抗力。变形越大，形成的抗力也越大，内力也越大。如果外力消失，内力也自然随之消失，即没有外力的作用，也没有内力的产生。以橡皮筋为例，不受外力时，处于常态；当受到外力时，橡皮筋伸长、变细、拉紧，必定由于变形而产生内力。外力越大，产生的变形也越大，内力也越大，断面变得越细。 要想求得内力的大小，就得用假想的截面法，将所要求得的截面截开，仅取所求截面的左段或右段，一般以左段作为研究对象比较多，按照截面求力平衡的方法，作出左段所受到的主动力和截面上受到的内力相平衡，求出内力的大小。同样截面法也是假想的，这一点应当引起学生的注意。这是一种科学研究的思维方式。一般以F Ｎ作为所求的内力，Ｎ表示截面上的正 ３畅应力应力代号。注意与外力F 的区别。
杆件的变形与截面的大小有关，相同外载荷作用，截面积大的，其变形量必定小；而截面积小的杆件，其变形量必然大。不管是用什么材料做成的杆件，当受到外力作用后，必然会产生内力，内力的大小仅与杆件的截面大小有关。不同材料的杆件，由于其许用的应力不同，允许承受的载荷大小也不同。
示，１ＭＰａ＝１０Ｐａ＝１Ｎ／ｍｍ。６２ 应力的常用单位是Ｐａ（帕），１Ｐａ＝１Ｎ／ｍ，由于Ｐａ的单位过小，所以常用ＭＰａ（兆帕）表２
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拉伸与压缩时材料的力学性能
（一）教学目标 １畅了解材料的力学性能是在试验室内按国家标准用试验方法测定出来的，是工程技术人 ３畅了解铸铁材料作拉伸或压缩试验时的变形特点，与低碳钢变形的区别。
（二）教材分析员作强度计算的依据。 ２畅了解低碳钢材料作拉伸试验的不同变形阶段的特点及该阶段的应力定义。 ４畅了解塑性指标的断后伸长率和断面收缩率定义和冷作硬化对材料塑性的影响。
现有的各种材料的力学性能是在实验室的常温条件下，用相应的试验机作试验而得出来 １畅低碳钢的拉伸与压缩试验矱１０×１００。拉伸机常用规格是３０吨和５０吨。的。常用作拉伸和压缩试验的是万能拉伸试验机，其试验棒的规格由国家标准规定，一般是 如果有作试验的条件，应先带学生去看试验过程，然后再讲课效果较好。如果没有试验条件，可以借助于课件的演示，也能收到好的效果。使学生感到教材中应力－应变曲线的真实性。 由于低碳钢中碳的质量分数较低、塑性好，所以其应力－应变曲线都有着共同的特点，可分为四个不同的阶段。在教学中重点让学生记住屈服阶段，即弹性变形后的塑性变形阶段，将力。如常用于建筑中的盘条钢筋Ｑ２１５、Ｑ２３５，其中的２１５和２３５即表示该钢材的屈服极限为屈服点对应的应力称为屈服极限σｓ，它是低碳钢强度校核的指标，也表示材料抵抗破坏的能２１５ＭＰａ和２３５ＭＰａ。由此可见Ｑ２３５牌号的强度要大于Ｑ２１５，也就是其数字越大，屈服极限值越大，强度越高。 ２畅铸铁的力学性能 由于铸铁等脆性材料的抗拉强度比较低，而相对于抗压强度来说，后者相对高得多。所以低碳钢或低碳合金钢制成。板、管等型材很多都是低碳钢。 ３畅塑性与冷作硬化 由于低碳钢的塑性好，所以大量的成形冲压件，如汽车外壳、容器、异型钢材等都是选用 塑性是材料的一个很重要的指标。塑性好的材料，用伸长率和断面收缩率的两个指标来衡脆性材料比较适合于用作抗压缩的杆件，这一规律在教学中要给予注意。量，而更多的是用伸长率指标。伸长率指标大于５％的材料称为塑性材料。 冷作硬化是经过冷加工后，材料的屈服极限有所提高，表面的硬度变大。如用手锤去敲打铁板，铁板表面将较敲打之前硬，冷轧后的钢板比热轧钢板的表面硬度高。建筑工人将整盘钢筋展开拉直，一是起到拉直的作用，二是起到表面硬化提高钢筋强度的作用，就是应用了冷作硬化的原理。
直杆轴向拉伸与压缩时的强度计算
（一）教学目标 １畅了解安全系数的含义和作用应力在强度计算中的作用，以及安全系数与许用应力之间·25·
的关系。
（二）教材分析 ２畅能应用强度计算公式校核直杆的强度，或求满足强度要求条件下的最小尺寸。 １畅安全系数与许用应力
够用，不会出现安全问题。但是，如果材料受到的最大应力正好等于极限应力值，从理论上讲必然要出现安全问题。为了防止出现这种情况，用材料的极限应力除以一个大于１的数，得出 ２畅拉伸和压缩时的强度条件一个比极限应力小的应力值，称之为许用应力，用中括号与极限应力区分开。 从理论上讲，只要材料受到的拉伸或压缩的应力值小于材料的极限应力，材料的强度就足
应力是指材料受到的内力，要在力F 的右下角注上Ｎ字母与外力F 区别，Ｎ表示正压力。内力F Ｎ与横截面积的比值，称为单位面积上的内力，即应力σ，当应力的最大值小于许用应分为以下几种情况：力，即σ］时，可满足强度条件，不会出现安全问题。什么位置的应力为最大值呢？可ｍａｘ≤［σ
②阶梯轴的阶梯直径变化的截面。此截面受到的外载荷一般不是最大值，但是由于截面积突变，所以应力也会突然变化，尤其加工因素会产生应力集中。通常轴的疲劳断裂出现在直 ③轴上应力集中处。如轴上开有键槽、退刀槽、越程槽、小孔、凹坑、螺纹等处，易形 以上这几个位置应当注意校核强度是否满足要求。 ３畅温差应力 热应力或温差应力仅局限在输送温度较高的液体等管道，如北方冬季的取暖管道，由于管成应力集中，会降低轴的强度。径突变的截面位置，这一点应提醒学生注意。 ①受载荷最大的截面。包括外载荷和外力矩。路较长，热胀冷缩的自然现象将对管道产生热胀应力，使管道伸长。如没有留下消除热涨应力的办法，将会使管道出现事故，所以通常在一定长度的管道上都要做出Ｕ型膨胀节，使直管道有消除热胀而引起内应力增大的问题。
连接件的剪切与挤压
（一）教学目标 １畅了解剪切变形的受力特点是截面沿外力方向产生错动。
（二）教材分析
１畅剪切 ３畅熟悉剪切与挤压应力的计算方法。 ２畅了解挤压变形的特点和挤压面积的计算。小相等、方向相反、作用线平行，但相距很近，对轴形成剪切的外力。 与拉伸和压缩所不相同的是，剪切和挤压时，受力的方向与轴向方向相垂直，且是一对大
剪切方向正好与拉压方向相垂直。对轴产生剪应力，用力F 加上右下角标Ｑ，即F Ｑ表示，与正应力方向的拉压应力F Ｎ区别。单位仍然是Ｐａ和ＭＰａ。剪切面积是指被剪断构件的实际面·26·积。剪切面为圆，则为圆断面面积；剪切面为长方形，则为长与宽的积。
２畅挤压
中的难点是如何决定挤压面积的大小？ 在剪断之前，接触面会产生挤压应力，挤压力用F Ｐ表示，挤压接触面积用A ｐ表示。教学时，在外力作用下必定先挤压剪切面。 剪切面是一个横截面，但是产生剪切力的剪切刃必定有一定的宽度，当剪切刃接触剪切面 ①剪切平面 如剪切钢板，其挤压面应当是剪切刃的宽度与被剪切钢板长度的乘积。应当注意的是挤压面不是最后的剪切断面，所以与剪切面的厚度无关。 ②剪切圆柱面 如螺栓、铆钉，其挤压面为螺栓或铆钉的半个圆柱面与作为剪切刃的被螺栓或铆钉的直径，所以实际的挤压面积应当是螺栓或铆钉的直径，与被连接件的厚度作为剪 ③剪切圆环面 如冲压圆孔，其挤压面应当是冲头与被冲压件之间接触的圆孔面积，与被冲压件的厚度无关。 ３畅剪切与挤压强度 用剪切力或挤压力分别除以被剪切或被挤压面积，即可求出最大的剪切应力和挤压应力，切刃宽度的乘积。并不是用螺栓或铆钉的面积作为挤压面。这一点对学生来说是最难理解的。连接件之间的半个圆柱接触面，该实际连接面为半圆形，但是在剪切力的方向上的投影只等于只要剪切应力或挤压应力小于许用应力值，其强度足够。许用应力值与材料自身的极限应力有 计算挤压强度时，应提醒学生注意，如果挤压面的材料强度较低，有可能出现压溃，所以关，如铝板的极限应力一定小于钢板的极限应力。
计算时要校核强度较低材料的挤压强度是否足够。如用钢铆钉连接铝板，由于铝板较软，可能出现挤压强度不足的是铝板接触面；反之，用铝铆钉去铆钢板，出现挤压强度不足的是铝铆钉，而不是钢板，所以要对铝件作挤压强度校核。
圆轴的扭转
（一）教学目标 １畅了解圆轴扭转变形的特点及应力分布规律。
（二）教材分析 ４畅掌握如何提高圆轴扭转强度的方法。 ３畅熟悉圆轴扭转的强度计算方法。 ２畅熟悉外力偶矩与功率的关系。
１畅扭转变形与应力分布
转变形。其变形的特点是轴受到大小相等、方向相反、作用面与轴线相垂直的力偶作用，截面将绕轴线相对转动。如拧毛巾、拧衣服时毛巾和衣服发生扭转一样。变形的大小是越远离轴线，变形越大，产生的应力也大，说明其应力分布是不均匀的，这一点和拉伸与压缩时的正应力分布相等的特点不同。讲课时如有圆筒形海绵并画上方格网络线演示，或借助于动画课件教学，效果能更好些。演示时注意端面扭转角的变化是一样的，但随着半径的增大，变形量增大，应力增大。 ２畅圆轴扭转应力和强度计算 圆轴受扭转在机械传动中很常见，只要传递扭矩，就必然对轴产生扭转作用，使轴发生扭·27·
只要有变形，就会有应力，通常用应力的大小是否超过材料的许用值来检验材料的强度是否足够，是否会发生超载而破坏零件。由于扭转力偶与圆轴的轴线垂直，轴上所受到的应力也和轴线垂直，与剪切的应力方向相似，不同的是剪切应力方向是沿剪切力同一方向，而扭转产生的应力方向与力偶的转动方向相同，外圆端部的应力值最大，达到极限时将轴扭断。为了提高抗扭转的强度，一般把相同重量的圆轴作成中空形状，以增大外圆的直径，提高抗扭转能力。 影响材料抗扭转强度的因素称为抗扭截面系数，它与圆轴的直径成立方关系，所以直径越大，抗扭转能力越强。由于圆轴扭转破坏对轴产生的应力为剪切应力，所以用剪切应力的大小 ３畅提高抗扭能力的措施作为强度计算的依据。只要小于许用剪应力值，即视为安全可靠。
空心轴不仅可提高抗扭能力，还可以提高圆轴的刚度，一般机床主轴都选用空心轴。此外，合理分布扭矩位置，以降低截面上的最大扭矩而产生扭转应力，也是降低最大扭转剪应力，提高轴的强度的方法。在这个问题上要通过例题计算实心轴与空心轴相同扭矩的比较，才能达到好的教学效果。
直梁的弯曲及组合变形
（一）教学目标 １畅了解弯曲的受力特点和对梁产生的变形作用及梁的基本形式。 ２畅了解梁的弯曲应力最大值计算方法及强度校核方法。
（二）教材分析
增加。 ３畅了解提高梁的抗弯曲能力的措施。 梁的弯曲不管是在静止状态或运动状态中都随时发生。弯曲产生的变形随外载的增大而 １畅直梁的弯曲变形与应力 对于直梁来说，受载一侧向下弯曲变形，所以受到压缩的作用，越靠近中性层，其变形量大。所以，以中性层为界分成压应力和拉应力两个部分。这一点与单纯的拉、压、剪、扭转变形产生的应力作用不同，是一种复合的应力作用。讲课时，如有橡胶或塑料棒作为演示教具，效果会好些。 ２畅常用的梁的基本变形越小。另一侧也向下弯曲，但过了中性层之后，受到的是拉伸的作用，变形量越远离中性层越 由于梁的支承结构和位置不同，对梁产生的弯曲变形也不同。将梁的支承分为活动铰链、固定铰链和固定支承三种形式，即简支梁、悬臂梁和外伸梁。相比之下，悬臂梁的支点除了受到约束反力外，还有附加扭矩，讲课时要特别注意！三种梁的比较，悬臂梁的弯矩最大，对直梁影响较大，需要的断面尺寸也相对较大。 如果构件上产生的变形是多种变形的组合，称为组合变形。在实际使用中，组合变形的实弯矩，所以实际上是受到扭、弯组合作用。电动机轴也是一样。 ３畅弯曲强度计算·28·例很多，如洗衣机的波轮轴，受到扭矩的作用，搅拌水流，但也受到皮带轮上皮带的拉力产生
其计算方法与前面相似，只不过抗弯曲截面系数的计算略有不同。由于越远离中性层，其抗弯曲截面系数的值越大，对于圆形截面成立方关系。对于矩形截面与其高度成平方关系，所以使用矩形截面作梁时，要尽可能增加梁的高度，以提高抗弯曲的能力。如楼房建筑时横梁的 ４畅提高梁的抗弯能力高要比宽大得多；农村用木头桁架作成三角梁，可产生很大的抗弯曲能力。
梁，可以根据弯矩的变化，将梁作成等强度梁，如常用的阶梯轴，中间受到的弯曲应力大，做成中间粗，而两端应力小，做成两端细。 这部分内容讲课时应尽量联系学生生活实际的所见所闻，比较容易理解。 在载荷不变时，可减小支承点的距离，使跨度减小，或者改变支承梁的形状。如果是悬臂
压杆稳定、交变应力与疲劳强度
（一）教学目标 １畅了解压杆稳定、交变应力与疲劳强度的概念、含义。
（二）教材分析 ２畅了解产生压杆失稳的原因及防止失稳的措施，以及提高疲劳强度的措施。
１畅压杆稳定 该内容只作一般介绍，能够知道常识即可，不作过高的要求。
受到的压力没有经过杆件的轴线，会使杆件产生弯曲，称之为失稳。杆件越长，失稳的可能性越大。一旦失稳，杆件就产生弯曲变形。如冰冻而引起的高压电线塔架失稳造成塔架倒塌破 ２畅交变应力坏。所以，凡是细长轴受压时，要防止失稳现象的发生。 对于细长杆来说，无论拉力的大小，都不会使杆件变弯。而如果受到压缩就不一样，一旦
力大得多。如火车车轮轴与车轮一同转动，在车厢载荷作用下，车轮轴受到的弯曲应力是周期性变化的，如果车轴固定，则轴只受到单方向的弯曲作用。再如用单杠作引体向上，单杠只受到向下的弯曲，如果体操运动员绕单杠回转，单杠就受到交变弯曲应力的作用。显然受周期性作用的交变应力对杆件的影响大得多。 ３畅疲劳强度 在长期交变应力作用下的金属材料会产生疲劳，当超过疲劳极限时，材料会出现疲劳损伤断裂。疲劳损伤一般出现在零件断面尺寸发生突然变化的位置，因为该位置应力比较集中。 为提高材料抗疲劳强度，常选用以下措施： ①增加材料的断面积，把轴做大。但会增加重量、成本、体积。 ②采用高强度材料，如合金钢代替普通钢。增加成本。 ③减小表面粗糙度值，提高加工精度。制造成本增高。 ④消除局部应力，如做过渡圆角；零件表面处理，如淬火等。 应力随时间的变化而发生周期性变化的应力称为交变应力。交变应力对材料的影响比静应
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三、教学参考题
１畅如图３－１所示，求杆件１—１、２—２、３—３截面上的轴力。其中F １＝１０Ｎ，F ２＝３０Ｎ， 解 用截面法求轴力，与截面积的大小无关。 （１）取１—１左截面
（２）取２—２左截面
（３）取３—３左截面
钞F x ＝０，F １＋F ２－F ３－F Ｎ３＝０F Ｎ３＝F １＋F ２－F ３＝（１０＋３０－４０）
Ｎ＝０钞F x ＝０，F １－F Ｎ１＝０F ３＝４０Ｎ。F Ｎ１＝F １＝１０Ｎ钞F x ＝０，F １＋F ２－F Ｎ２＝０F Ｎ２＝F １＋F ２＝（１０＋３０）Ｎ＝４０Ｎ钞F x 改成钞F y 。 如果将图形竖直放置，其方法相同，只是将 ２畅如图３－２所示，为了变换手动挡汽车的速度，在换挡时需要先踩下离合器的踏板，使离合器
脱开后再换挡。如果踏板受力F ＝３００Ｎ，压杆BC
材料的许用应力［σ］＝５０ＭＰａ，试校核压杆的强度。的直径d ＝１０ｍｍ，L １＝３００ｍｍ，L ２＝５０ｍｍ，压杆
F ·ｃｏｓ４５°·L １－F Ｒ·L ２＝０
＝１２７２畅６Ｎ２图３－１ 解 先求出压杆BC 所受到的外力F Ｒ，才能求出其强度。这里AOB 是杠杆关系：F Ｒ＝F ·ｃｏｓ４５°·L １／L ２＝３００×０畅３／０畅０５Ｎ２σ＝F Ｒ／A ＝４F Ｒ／π·d
所以杆件强度足够。＝４×１２７２畅６／３畅１４×１０ＭＰａ＝１６畅２ＭＰａ＜［σ］
２ ３畅如图３－３所示，AB 杆件为钢杆，其横截面A １＝８００ｍｍ，许用应力［σ１５０ＭＰａ；１］＝BC 杆件为铸铁，横截面A ２＝６００ｍｍ，许用应力［σ２５０ＭＰａ，试求该结构B 点上能够承受２］＝２
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的最大载荷为多少
？其中AB ＝４ｍ，AC
＝３ｍ。
别求出杆件能承受的最大载荷。 解 （１）作B 点的受力图，图中AB 、BC 杆都是二力杆，AB 杆受拉伸，BC 杆受压缩。分
F ＡＢ≤［σ１５０×８００Ｎ＝１２０ｋＮ１］·A １＝
（２）杆件AB 能承受１２０ｋＮ载荷，杆件BC 能承受１５０ｋＮ载荷，所以该结构B 点所能承F ＢＣ≤［σ２５０×６００Ｎ＝１５０ｋＮ２］·A ２＝σF ＢＣ／A ２≤［σ２＝２］σF ＡＢ／A １≤［σ１＝１］图３－２图３－３
２５ｍｍ，钢板的剪切极限强度τ３２０ＭＰａ，试求冲床所需压的剪切冲压力F Ｑ。ｂ＝
周长度和钢板厚度所围成的矩形面积。τF Ｑ／A ｍａｘ＝ ４畅如图３－４所示的冲床冲制钢板上的圆孔，如果钢板的厚度是４ｍｍ，冲孔的直径是受的最大载荷应当是１２０ｋＮ。 解 由于需要将钢板冲切下来，所以冲压力需要超过材料的极限强度。冲切面积应当是圆F Ｑ＝ττ３２０×３畅１４×２５×４Ｎ＝１００畅４８ｋＮｍａｘ·A ＝ｂ·A ＝
ｋＮ，如果挂钩连接部分的厚度δ＝１５ｍｍ，销钉的直径d ＝４０ｍｍ，销钉材料的许用切应力［τ］＝６０ＭＰａ，许用挤压应力［τＰ］
多大的销钉直径？ ５畅如图３－５所示为汽车牵引用的挂钩，牵引力F ＝２００＝１８０ＭＰａ，试校核销钉的强度。如销钉的强度不够，应当选用
是销钉的横断面，挤压面是销钉的半圆弧在受力方向上的投
影，为圆的直径，宽度为挂钩厚度 解 牵引汽车时，销钉受到剪切和挤压的作用，剪切面
图３－４
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图３－５
３F τＭＰａ＝１５９畅２４ＭＰａ＞［τ］ｍａｘ２×４０ 由于τ［τ］＝６０ＭＰａ，而τ［τｍａｘ＞Ｐｍａｘ＜Ｐ］，所以剪切强度不够，需要加大销钉直径。F ≤［τ］２τＰｍａｘ３F ＭＰａ＝１６６畅６７ＭＰａ＜［τＰ］Ｐd ≥
５０ｋＮ·ｍ，M ２＝３０ｋＮ·ｍ，M ３＝２０ｋＮ·ｍ。减小轴的直径？图中M １＝ ６畅比较图３－６所示（ａ）、（ｂ）两图在
１—１和２—２两处的截面扭矩大小？哪一种安排可以 所以销钉直径应选择大于６６ｍｍ的直径。３＝ｍｍ＝６５畅１６ｍｍ 解 （ａ）图１—１截面图３－６
２—２截面
·32·钞M ＝０，M １－M T １＝０M １＝５０ｋＮ·ｍM T １＝
（ｂ）图
１—１截面钞M ＝０，M １－M ２－M T ２＝０M １－M ２＝（５０－３０）ｋＮ·ｍ＝２０ｋＮ·ｍM T ２＝
１—２截面
M T １＝M ２＝３０ｋＮ·ｍM T １＝０钞M ＝０，－M ２＋钞M ＝０，M １－M ２－M T ２＝０
M T ２＝M １－M ２＝（５０－３０）ｋＮ·ｍ＝２０ｋＮ·ｍ
面的扭矩才３０ｋＮ。两图中２—２截面上的扭矩均为２０ｋＮ。所以选择（ｂ）图的安排可以减小轴的直径。 ７畅两根长度和重量相同，且用同一种材料制成的传动轴，其中一根为空心轴，其内外径６０ＭＰａ，问该实心轴能传递多大的扭矩？如果是空心轴，又能传递多大的扭矩？ 解 实心轴
３ 相比之下，在（ａ）图中的１—１截面上受到的扭矩最大，为５０ｋＮ·ｍ，而（ｂ）图中１—１截d 空之比值为＝０畅７５；另一根实心轴的外径是６０ｍｍ。材料的许用剪切应力为［τ］＝M τ≤［τ］ｍａｘｔ３
空心轴］＝０畅２D ·［τ］＝０畅２×６０×６０Ｎ·ｍｍ＝２５９２Ｎ·ｍM ｍａｘ≤W ｔ·［τM M τ≤［τ］ｍａｘｔM ｍａｘ≤０畅２D （１－α）·［τ］３４
２２２d 实（D 外－d 空）２实
２２２２ 求此时D 为多少？由于空心轴与实心轴截面积相等，所以d 空d ＝D １－外
２
扭矩。 相比之下空心轴所传递的扭矩为实心轴的２畅８倍。所以空心轴广泛应用在传动轴上传递 所以M ｍａｘ≤［０畅２×９０畅７１（１－０畅７５）×６０］Ｎ·ｍｍ＝７２４２畅３Ｎ·ｍ３４D ＝ｍｍ＝９０畅７１ｍｍd 实＝D ·（１－０畅７５）２
跳板材料的许用应力为［σ］＝５０ＭＰａ，试求跳板的最小厚度应为多少？ ８畅如图３－７所示的跳水运动员用的跳板。如果运动员的体重为８００Ｎ，跳板长度为２４００ｍｍ，
·33·
图３－７
解M σ≤［σ］ｍａｘＺM ］≤［σh ≥２
为安全考虑应取２０ｍｍ以上。h ≥１８畅１４ｍｍｍｍ＝３２９畅１４ｍｍb ＝６ｍｍ，h ＝１８ｍｍ，作用扳手右端的力量F ＝３００Ｎ，扳手材料的许用应力［σ］＝１３０ＭＰａ，试校核扳手手柄部分的强度
。如果将手柄用铁管加长１５０ｍｍ，此扳手强度是否够用。 ９畅用呆扳手拧紧螺母，受力情况如图３－８所示。已知扳手长度为l ＝１３０ｍｍ，l １＝１００ｍｍ，
图３－８ 加上手柄长度１５０ｍｍ后，手柄的强度为 该手柄的强度足够。 解M σＭＰａ＝１２０畅３７ＭＰａ＜［σ］ｍａｘ２许增加扳手的长度。如果扳手不扭弯，螺钉可能被拧断。
３２ 超过材料的许用应力，扳手会出现弯曲变形。所以一般情况下，使用扳手拧紧螺母，不允σＭＰａ＝２５９畅２６ＭＰａ＞［σ］ｍａｘ２０４ｃｍ，截面积为４３ｃｍ，材料许用应力［σ］＝１６０ＭＰａ，试确定梁的许可最大载荷。如果跨距、材料和载荷相同，但改用矩形截面梁（设h ／b ＝２）或圆形截面，试比较三种梁的重量。·34· １０畅如图３－９所示为吊车横梁。已知横梁跨度L ＡＢ为１２ｍ，选用１８号工字钢的W Ｚ＝
解
图３－９
M ≤［σ］Ｚ
F · 改用矩形梁，承受同样载荷，则３F ≤Ｎ＝５４４０ＮＡＢL ＡＢ≤［σ］Ｚ
３３b ≥ｍｍ＝３０６０００ｍｍ３３］≤［σM ］≤［σb ≥６７畅３９ｍｍ
如改用圆形截面h ＝２b ＝１３４畅７８ｍｍ
M ］≤［σ３ 矩形截面积 A 矩＝b ·h ＝６７畅３９×１３４畅７８ｍｍ＝９０畅８３ｃｍ２ 工字钢的面积 A 工＝４３ｃｍ３３D ≥ｍｍ＝２０４００００ｍｍ３２
２D ≥１２６畅８３ｍｍ
２２２２ 圆形截面积 A 圆·D ×１２６畅８３ｍｍ＝１２６畅２７ｃｍ１２６畅２７＝１∶２畅１１∶２畅９４碝１∶２∶３。其重量之比也一样。可见用工字钢的效果最好。 工字钢与矩形截面和圆形截面作吊车横梁，承受同样外载时其截面积的比为４３∶９０畅８３∶
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第三章 直杆的基本变形
一、本章主要内容与特点
算满足强度要求选择最小的截面尺寸作铺垫。由于材料的机械性能不相同，受载荷的方向和作压、剪、弯、扭等不同状态条件的强度问题，为机械零件的强度计算提供理论依据。 学习理论力学的目的是为求出杆件任何截面所受到的最大外力或扭矩，为本章材料力学计用效果不同，断面形状不同，对于截面的尺寸要求也不同。本章将研究最常见直杆在受拉、 直杆的拉伸和压缩是最常见的受力状态，在外载荷作用下，杆件将发生变形，产生应力。验的方法来测量材料的力学性能，力学性能的指标较多，最为常用的是以抗拉强度σｂ作为构态，所以塑性材料以屈服阶段的极限应力σｓ作为计算的依据更为准确。件所能承受的最大拉应力，简称强度极限。但是塑性材料在屈服阶段时，构件就处于危险的状 为了保证构件能安全可靠的工作，通常将强度极限除以一个大于１的安全系数作为构件工外载荷越大，产生的内应力也越大。为了检测出不同的材料所能承担的最大应力，通常用做试作时所允许的最大应力，这个应力称为材料的许用应力，常用［σ］表示。这一点是计算中常用的，凡是带有中括号符号的，都是表示许用应力的值，如果材料受到的载荷超过许用值，材料的强度就不能得到保证，这是不允许的。教学中要注意提醒学生。许用值可以看作是警戒线。 连接件的剪切与挤压和拉压相似，所不同的是受力方向与轴线相垂直，而拉压是与轴线的方向一致。在剪切变形的同时也发生挤压变形，所以强度计算时，需要同时进行剪切和挤压强度的校核，方能保证强度的要求。 圆轴的扭转是传动构件常见的受力变形，传递功率时，圆轴受扭矩的作用，产生扭转变形，对圆轴的断面产生扭转剪应力。剪应力在截面上的分布不是均匀的，最大剪应力发生在离轴心最远处。剪应力的大小与圆轴的材料、直径大小和形状有关。相同质量的材料，空心轴比实心轴的抗扭转应力好；材料的抗扭截面系数与直径的３次方成反比。 直梁的弯曲及组合变形在实际生产中较为普遍，单一状态的受力比较少，如机器的变速箱中的传动轴，不仅要传递扭矩，而且齿轮、带、链对轴产生径向力和轴向力，使轴发生弯曲变形。所以，扭、弯组合变形是常见的。弯曲应力的大小与直梁的材料、抗弯截面系数有关。材料的强度越好，许用应力就越大。直梁的抗弯截面系数越大，抗弯曲能力就越强。 对于本章内容，中职学生只要求懂得简单的强度计算方法即可，对于计算过程不必要求，但是要懂得通过哪些措施可以提高材料的强度和寿命，即要求懂得定性描述，不要求定量计算。贯穿本章思路的主线是：外载硳变形硳内力硳应力与许用应力硳强度计算。
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二、教学目标与教材分析
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析
（一）教学目标
（二）教材分析 １畅了解拉伸与压缩时杆件的变形特点。 ２畅理解截面法求断面的内力和应力的方法及应力的常用单位。
形的能力，刚度的要求比强度高，刚度不够的材料，其强度一般不会出现问题。对中职学生，只要求熟悉强度的计算过程就已足够。刚度计算一般仅限于机床主轴或其他有刚度要求的零 １畅拉伸和压缩变形件。直杆的稳定性作为一般了解就可以。 本章每一节中都要应用到强度的概念，它是指材料抵抗破坏的能力。刚度是指零件抵抗变
或缩短变形量的大小与杆件材料自身的弹性变形特性有关，塑性材料比脆性材料的弹性变形能力强，所以变形量大，而脆性材料的变形量较小。在相同载荷作用下，混凝土的拉伸性能不如低碳钢，而低碳钢不如橡胶棒。弹性越好，其变形量越大。讲课时注意以生活中的实例来说明变形的特点，如细铁丝受拉后将伸长，而紫铜丝受拉后的伸长量要比铁丝大，这是因为紫铜的塑性比铁丝好。 ２畅内力与截面法 杆件受到轴线方向的拉伸必然发生伸长，受到压缩时必然发生缩短，这是自然现象。伸长 内力是杆件受到外力作用之后，杆件内部材料产生阻止变形的抗力。变形越大，形成的抗力也越大，内力也越大。如果外力消失，内力也自然随之消失，即没有外力的作用，也没有内力的产生。以橡皮筋为例，不受外力时，处于常态；当受到外力时，橡皮筋伸长、变细、拉紧，必定由于变形而产生内力。外力越大，产生的变形也越大，内力也越大，断面变得越细。 要想求得内力的大小，就得用假想的截面法，将所要求得的截面截开，仅取所求截面的左段或右段，一般以左段作为研究对象比较多，按照截面求力平衡的方法，作出左段所受到的主动力和截面上受到的内力相平衡，求出内力的大小。同样截面法也是假想的，这一点应当引起学生的注意。这是一种科学研究的思维方式。一般以F Ｎ作为所求的内力，Ｎ表示截面上的正 ３畅应力应力代号。注意与外力F 的区别。
杆件的变形与截面的大小有关，相同外载荷作用，截面积大的，其变形量必定小；而截面积小的杆件，其变形量必然大。不管是用什么材料做成的杆件，当受到外力作用后，必然会产生内力，内力的大小仅与杆件的截面大小有关。不同材料的杆件，由于其许用的应力不同，允许承受的载荷大小也不同。
示，１ＭＰａ＝１０Ｐａ＝１Ｎ／ｍｍ。６２ 应力的常用单位是Ｐａ（帕），１Ｐａ＝１Ｎ／ｍ，由于Ｐａ的单位过小，所以常用ＭＰａ（兆帕）表２
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拉伸与压缩时材料的力学性能
（一）教学目标 １畅了解材料的力学性能是在试验室内按国家标准用试验方法测定出来的，是工程技术人 ３畅了解铸铁材料作拉伸或压缩试验时的变形特点，与低碳钢变形的区别。
（二）教材分析员作强度计算的依据。 ２畅了解低碳钢材料作拉伸试验的不同变形阶段的特点及该阶段的应力定义。 ４畅了解塑性指标的断后伸长率和断面收缩率定义和冷作硬化对材料塑性的影响。
现有的各种材料的力学性能是在实验室的常温条件下，用相应的试验机作试验而得出来 １畅低碳钢的拉伸与压缩试验矱１０×１００。拉伸机常用规格是３０吨和５０吨。的。常用作拉伸和压缩试验的是万能拉伸试验机，其试验棒的规格由国家标准规定，一般是 如果有作试验的条件，应先带学生去看试验过程，然后再讲课效果较好。如果没有试验条件，可以借助于课件的演示，也能收到好的效果。使学生感到教材中应力－应变曲线的真实性。 由于低碳钢中碳的质量分数较低、塑性好，所以其应力－应变曲线都有着共同的特点，可分为四个不同的阶段。在教学中重点让学生记住屈服阶段，即弹性变形后的塑性变形阶段，将力。如常用于建筑中的盘条钢筋Ｑ２１５、Ｑ２３５，其中的２１５和２３５即表示该钢材的屈服极限为屈服点对应的应力称为屈服极限σｓ，它是低碳钢强度校核的指标，也表示材料抵抗破坏的能２１５ＭＰａ和２３５ＭＰａ。由此可见Ｑ２３５牌号的强度要大于Ｑ２１５，也就是其数字越大，屈服极限值越大，强度越高。 ２畅铸铁的力学性能 由于铸铁等脆性材料的抗拉强度比较低，而相对于抗压强度来说，后者相对高得多。所以低碳钢或低碳合金钢制成。板、管等型材很多都是低碳钢。 ３畅塑性与冷作硬化 由于低碳钢的塑性好，所以大量的成形冲压件，如汽车外壳、容器、异型钢材等都是选用 塑性是材料的一个很重要的指标。塑性好的材料，用伸长率和断面收缩率的两个指标来衡脆性材料比较适合于用作抗压缩的杆件，这一规律在教学中要给予注意。量，而更多的是用伸长率指标。伸长率指标大于５％的材料称为塑性材料。 冷作硬化是经过冷加工后，材料的屈服极限有所提高，表面的硬度变大。如用手锤去敲打铁板，铁板表面将较敲打之前硬，冷轧后的钢板比热轧钢板的表面硬度高。建筑工人将整盘钢筋展开拉直，一是起到拉直的作用，二是起到表面硬化提高钢筋强度的作用，就是应用了冷作硬化的原理。
直杆轴向拉伸与压缩时的强度计算
（一）教学目标 １畅了解安全系数的含义和作用应力在强度计算中的作用，以及安全系数与许用应力之间·25·
的关系。
（二）教材分析 ２畅能应用强度计算公式校核直杆的强度，或求满足强度要求条件下的最小尺寸。 １畅安全系数与许用应力
够用，不会出现安全问题。但是，如果材料受到的最大应力正好等于极限应力值，从理论上讲必然要出现安全问题。为了防止出现这种情况，用材料的极限应力除以一个大于１的数，得出 ２畅拉伸和压缩时的强度条件一个比极限应力小的应力值，称之为许用应力，用中括号与极限应力区分开。 从理论上讲，只要材料受到的拉伸或压缩的应力值小于材料的极限应力，材料的强度就足
应力是指材料受到的内力，要在力F 的右下角注上Ｎ字母与外力F 区别，Ｎ表示正压力。内力F Ｎ与横截面积的比值，称为单位面积上的内力，即应力σ，当应力的最大值小于许用应分为以下几种情况：力，即σ］时，可满足强度条件，不会出现安全问题。什么位置的应力为最大值呢？可ｍａｘ≤［σ
②阶梯轴的阶梯直径变化的截面。此截面受到的外载荷一般不是最大值，但是由于截面积突变，所以应力也会突然变化，尤其加工因素会产生应力集中。通常轴的疲劳断裂出现在直 ③轴上应力集中处。如轴上开有键槽、退刀槽、越程槽、小孔、凹坑、螺纹等处，易形 以上这几个位置应当注意校核强度是否满足要求。 ３畅温差应力 热应力或温差应力仅局限在输送温度较高的液体等管道，如北方冬季的取暖管道，由于管成应力集中，会降低轴的强度。径突变的截面位置，这一点应提醒学生注意。 ①受载荷最大的截面。包括外载荷和外力矩。路较长，热胀冷缩的自然现象将对管道产生热胀应力，使管道伸长。如没有留下消除热涨应力的办法，将会使管道出现事故，所以通常在一定长度的管道上都要做出Ｕ型膨胀节，使直管道有消除热胀而引起内应力增大的问题。
连接件的剪切与挤压
（一）教学目标 １畅了解剪切变形的受力特点是截面沿外力方向产生错动。
（二）教材分析
１畅剪切 ３畅熟悉剪切与挤压应力的计算方法。 ２畅了解挤压变形的特点和挤压面积的计算。小相等、方向相反、作用线平行，但相距很近，对轴形成剪切的外力。 与拉伸和压缩所不相同的是，剪切和挤压时，受力的方向与轴向方向相垂直，且是一对大
剪切方向正好与拉压方向相垂直。对轴产生剪应力，用力F 加上右下角标Ｑ，即F Ｑ表示，与正应力方向的拉压应力F Ｎ区别。单位仍然是Ｐａ和ＭＰａ。剪切面积是指被剪断构件的实际面·26·积。剪切面为圆，则为圆断面面积；剪切面为长方形，则为长与宽的积。
２畅挤压
中的难点是如何决定挤压面积的大小？ 在剪断之前，接触面会产生挤压应力，挤压力用F Ｐ表示，挤压接触面积用A ｐ表示。教学时，在外力作用下必定先挤压剪切面。 剪切面是一个横截面，但是产生剪切力的剪切刃必定有一定的宽度，当剪切刃接触剪切面 ①剪切平面 如剪切钢板，其挤压面应当是剪切刃的宽度与被剪切钢板长度的乘积。应当注意的是挤压面不是最后的剪切断面，所以与剪切面的厚度无关。 ②剪切圆柱面 如螺栓、铆钉，其挤压面为螺栓或铆钉的半个圆柱面与作为剪切刃的被螺栓或铆钉的直径，所以实际的挤压面积应当是螺栓或铆钉的直径，与被连接件的厚度作为剪 ③剪切圆环面 如冲压圆孔，其挤压面应当是冲头与被冲压件之间接触的圆孔面积，与被冲压件的厚度无关。 ３畅剪切与挤压强度 用剪切力或挤压力分别除以被剪切或被挤压面积，即可求出最大的剪切应力和挤压应力，切刃宽度的乘积。并不是用螺栓或铆钉的面积作为挤压面。这一点对学生来说是最难理解的。连接件之间的半个圆柱接触面，该实际连接面为半圆形，但是在剪切力的方向上的投影只等于只要剪切应力或挤压应力小于许用应力值，其强度足够。许用应力值与材料自身的极限应力有 计算挤压强度时，应提醒学生注意，如果挤压面的材料强度较低，有可能出现压溃，所以关，如铝板的极限应力一定小于钢板的极限应力。
计算时要校核强度较低材料的挤压强度是否足够。如用钢铆钉连接铝板，由于铝板较软，可能出现挤压强度不足的是铝板接触面；反之，用铝铆钉去铆钢板，出现挤压强度不足的是铝铆钉，而不是钢板，所以要对铝件作挤压强度校核。
圆轴的扭转
（一）教学目标 １畅了解圆轴扭转变形的特点及应力分布规律。
（二）教材分析 ４畅掌握如何提高圆轴扭转强度的方法。 ３畅熟悉圆轴扭转的强度计算方法。 ２畅熟悉外力偶矩与功率的关系。
１畅扭转变形与应力分布
转变形。其变形的特点是轴受到大小相等、方向相反、作用面与轴线相垂直的力偶作用，截面将绕轴线相对转动。如拧毛巾、拧衣服时毛巾和衣服发生扭转一样。变形的大小是越远离轴线，变形越大，产生的应力也大，说明其应力分布是不均匀的，这一点和拉伸与压缩时的正应力分布相等的特点不同。讲课时如有圆筒形海绵并画上方格网络线演示，或借助于动画课件教学，效果能更好些。演示时注意端面扭转角的变化是一样的，但随着半径的增大，变形量增大，应力增大。 ２畅圆轴扭转应力和强度计算 圆轴受扭转在机械传动中很常见，只要传递扭矩，就必然对轴产生扭转作用，使轴发生扭·27·
只要有变形，就会有应力，通常用应力的大小是否超过材料的许用值来检验材料的强度是否足够，是否会发生超载而破坏零件。由于扭转力偶与圆轴的轴线垂直，轴上所受到的应力也和轴线垂直，与剪切的应力方向相似，不同的是剪切应力方向是沿剪切力同一方向，而扭转产生的应力方向与力偶的转动方向相同，外圆端部的应力值最大，达到极限时将轴扭断。为了提高抗扭转的强度，一般把相同重量的圆轴作成中空形状，以增大外圆的直径，提高抗扭转能力。 影响材料抗扭转强度的因素称为抗扭截面系数，它与圆轴的直径成立方关系，所以直径越大，抗扭转能力越强。由于圆轴扭转破坏对轴产生的应力为剪切应力，所以用剪切应力的大小 ３畅提高抗扭能力的措施作为强度计算的依据。只要小于许用剪应力值，即视为安全可靠。
空心轴不仅可提高抗扭能力，还可以提高圆轴的刚度，一般机床主轴都选用空心轴。此外，合理分布扭矩位置，以降低截面上的最大扭矩而产生扭转应力，也是降低最大扭转剪应力，提高轴的强度的方法。在这个问题上要通过例题计算实心轴与空心轴相同扭矩的比较，才能达到好的教学效果。
直梁的弯曲及组合变形
（一）教学目标 １畅了解弯曲的受力特点和对梁产生的变形作用及梁的基本形式。 ２畅了解梁的弯曲应力最大值计算方法及强度校核方法。
（二）教材分析
增加。 ３畅了解提高梁的抗弯曲能力的措施。 梁的弯曲不管是在静止状态或运动状态中都随时发生。弯曲产生的变形随外载的增大而 １畅直梁的弯曲变形与应力 对于直梁来说，受载一侧向下弯曲变形，所以受到压缩的作用，越靠近中性层，其变形量大。所以，以中性层为界分成压应力和拉应力两个部分。这一点与单纯的拉、压、剪、扭转变形产生的应力作用不同，是一种复合的应力作用。讲课时，如有橡胶或塑料棒作为演示教具，效果会好些。 ２畅常用的梁的基本变形越小。另一侧也向下弯曲，但过了中性层之后，受到的是拉伸的作用，变形量越远离中性层越 由于梁的支承结构和位置不同，对梁产生的弯曲变形也不同。将梁的支承分为活动铰链、固定铰链和固定支承三种形式，即简支梁、悬臂梁和外伸梁。相比之下，悬臂梁的支点除了受到约束反力外，还有附加扭矩，讲课时要特别注意！三种梁的比较，悬臂梁的弯矩最大，对直梁影响较大，需要的断面尺寸也相对较大。 如果构件上产生的变形是多种变形的组合，称为组合变形。在实际使用中，组合变形的实弯矩，所以实际上是受到扭、弯组合作用。电动机轴也是一样。 ３畅弯曲强度计算·28·例很多，如洗衣机的波轮轴，受到扭矩的作用，搅拌水流，但也受到皮带轮上皮带的拉力产生
其计算方法与前面相似，只不过抗弯曲截面系数的计算略有不同。由于越远离中性层，其抗弯曲截面系数的值越大，对于圆形截面成立方关系。对于矩形截面与其高度成平方关系，所以使用矩形截面作梁时，要尽可能增加梁的高度，以提高抗弯曲的能力。如楼房建筑时横梁的 ４畅提高梁的抗弯能力高要比宽大得多；农村用木头桁架作成三角梁，可产生很大的抗弯曲能力。
梁，可以根据弯矩的变化，将梁作成等强度梁，如常用的阶梯轴，中间受到的弯曲应力大，做成中间粗，而两端应力小，做成两端细。 这部分内容讲课时应尽量联系学生生活实际的所见所闻，比较容易理解。 在载荷不变时，可减小支承点的距离，使跨度减小，或者改变支承梁的形状。如果是悬臂
压杆稳定、交变应力与疲劳强度
（一）教学目标 １畅了解压杆稳定、交变应力与疲劳强度的概念、含义。
（二）教材分析 ２畅了解产生压杆失稳的原因及防止失稳的措施，以及提高疲劳强度的措施。
１畅压杆稳定 该内容只作一般介绍，能够知道常识即可，不作过高的要求。
受到的压力没有经过杆件的轴线，会使杆件产生弯曲，称之为失稳。杆件越长，失稳的可能性越大。一旦失稳，杆件就产生弯曲变形。如冰冻而引起的高压电线塔架失稳造成塔架倒塌破 ２畅交变应力坏。所以，凡是细长轴受压时，要防止失稳现象的发生。 对于细长杆来说，无论拉力的大小，都不会使杆件变弯。而如果受到压缩就不一样，一旦
力大得多。如火车车轮轴与车轮一同转动，在车厢载荷作用下，车轮轴受到的弯曲应力是周期性变化的，如果车轴固定，则轴只受到单方向的弯曲作用。再如用单杠作引体向上，单杠只受到向下的弯曲，如果体操运动员绕单杠回转，单杠就受到交变弯曲应力的作用。显然受周期性作用的交变应力对杆件的影响大得多。 ３畅疲劳强度 在长期交变应力作用下的金属材料会产生疲劳，当超过疲劳极限时，材料会出现疲劳损伤断裂。疲劳损伤一般出现在零件断面尺寸发生突然变化的位置，因为该位置应力比较集中。 为提高材料抗疲劳强度，常选用以下措施： ①增加材料的断面积，把轴做大。但会增加重量、成本、体积。 ②采用高强度材料，如合金钢代替普通钢。增加成本。 ③减小表面粗糙度值，提高加工精度。制造成本增高。 ④消除局部应力，如做过渡圆角；零件表面处理，如淬火等。 应力随时间的变化而发生周期性变化的应力称为交变应力。交变应力对材料的影响比静应
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三、教学参考题
１畅如图３－１所示，求杆件１—１、２—２、３—３截面上的轴力。其中F １＝１０Ｎ，F ２＝３０Ｎ， 解 用截面法求轴力，与截面积的大小无关。 （１）取１—１左截面
（２）取２—２左截面
（３）取３—３左截面
钞F x ＝０，F １＋F ２－F ３－F Ｎ３＝０F Ｎ３＝F １＋F ２－F ３＝（１０＋３０－４０）
Ｎ＝０钞F x ＝０，F １－F Ｎ１＝０F ３＝４０Ｎ。F Ｎ１＝F １＝１０Ｎ钞F x ＝０，F １＋F ２－F Ｎ２＝０F Ｎ２＝F １＋F ２＝（１０＋３０）Ｎ＝４０Ｎ钞F x 改成钞F y 。 如果将图形竖直放置，其方法相同，只是将 ２畅如图３－２所示，为了变换手动挡汽车的速度，在换挡时需要先踩下离合器的踏板，使离合器
脱开后再换挡。如果踏板受力F ＝３００Ｎ，压杆BC
材料的许用应力［σ］＝５０ＭＰａ，试校核压杆的强度。的直径d ＝１０ｍｍ，L １＝３００ｍｍ，L ２＝５０ｍｍ，压杆
F ·ｃｏｓ４５°·L １－F Ｒ·L ２＝０
＝１２７２畅６Ｎ２图３－１ 解 先求出压杆BC 所受到的外力F Ｒ，才能求出其强度。这里AOB 是杠杆关系：F Ｒ＝F ·ｃｏｓ４５°·L １／L ２＝３００×０畅３／０畅０５Ｎ２σ＝F Ｒ／A ＝４F Ｒ／π·d
所以杆件强度足够。＝４×１２７２畅６／３畅１４×１０ＭＰａ＝１６畅２ＭＰａ＜［σ］
２ ３畅如图３－３所示，AB 杆件为钢杆，其横截面A １＝８００ｍｍ，许用应力［σ１５０ＭＰａ；１］＝BC 杆件为铸铁，横截面A ２＝６００ｍｍ，许用应力［σ２５０ＭＰａ，试求该结构B 点上能够承受２］＝２
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的最大载荷为多少
？其中AB ＝４ｍ，AC
＝３ｍ。
别求出杆件能承受的最大载荷。 解 （１）作B 点的受力图，图中AB 、BC 杆都是二力杆，AB 杆受拉伸，BC 杆受压缩。分
F ＡＢ≤［σ１５０×８００Ｎ＝１２０ｋＮ１］·A １＝
（２）杆件AB 能承受１２０ｋＮ载荷，杆件BC 能承受１５０ｋＮ载荷，所以该结构B 点所能承F ＢＣ≤［σ２５０×６００Ｎ＝１５０ｋＮ２］·A ２＝σF ＢＣ／A ２≤［σ２＝２］σF ＡＢ／A １≤［σ１＝１］图３－２图３－３
２５ｍｍ，钢板的剪切极限强度τ３２０ＭＰａ，试求冲床所需压的剪切冲压力F Ｑ。ｂ＝
周长度和钢板厚度所围成的矩形面积。τF Ｑ／A ｍａｘ＝ ４畅如图３－４所示的冲床冲制钢板上的圆孔，如果钢板的厚度是４ｍｍ，冲孔的直径是受的最大载荷应当是１２０ｋＮ。 解 由于需要将钢板冲切下来，所以冲压力需要超过材料的极限强度。冲切面积应当是圆F Ｑ＝ττ３２０×３畅１４×２５×４Ｎ＝１００畅４８ｋＮｍａｘ·A ＝ｂ·A ＝
ｋＮ，如果挂钩连接部分的厚度δ＝１５ｍｍ，销钉的直径d ＝４０ｍｍ，销钉材料的许用切应力［τ］＝６０ＭＰａ，许用挤压应力［τＰ］
多大的销钉直径？ ５畅如图３－５所示为汽车牵引用的挂钩，牵引力F ＝２００＝１８０ＭＰａ，试校核销钉的强度。如销钉的强度不够，应当选用
是销钉的横断面，挤压面是销钉的半圆弧在受力方向上的投
影，为圆的直径，宽度为挂钩厚度 解 牵引汽车时，销钉受到剪切和挤压的作用，剪切面
图３－４
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图３－５
３F τＭＰａ＝１５９畅２４ＭＰａ＞［τ］ｍａｘ２×４０ 由于τ［τ］＝６０ＭＰａ，而τ［τｍａｘ＞Ｐｍａｘ＜Ｐ］，所以剪切强度不够，需要加大销钉直径。F ≤［τ］２τＰｍａｘ３F ＭＰａ＝１６６畅６７ＭＰａ＜［τＰ］Ｐd ≥
５０ｋＮ·ｍ，M ２＝３０ｋＮ·ｍ，M ３＝２０ｋＮ·ｍ。减小轴的直径？图中M １＝ ６畅比较图３－６所示（ａ）、（ｂ）两图在
１—１和２—２两处的截面扭矩大小？哪一种安排可以 所以销钉直径应选择大于６６ｍｍ的直径。３＝ｍｍ＝６５畅１６ｍｍ 解 （ａ）图１—１截面图３－６
２—２截面
·32·钞M ＝０，M １－M T １＝０M １＝５０ｋＮ·ｍM T １＝
（ｂ）图
１—１截面钞M ＝０，M １－M ２－M T ２＝０M １－M ２＝（５０－３０）ｋＮ·ｍ＝２０ｋＮ·ｍM T ２＝
１—２截面
M T １＝M ２＝３０ｋＮ·ｍM T １＝０钞M ＝０，－M ２＋钞M ＝０，M １－M ２－M T ２＝０
M T ２＝M １－M ２＝（５０－３０）ｋＮ·ｍ＝２０ｋＮ·ｍ
面的扭矩才３０ｋＮ。两图中２—２截面上的扭矩均为２０ｋＮ。所以选择（ｂ）图的安排可以减小轴的直径。 ７畅两根长度和重量相同，且用同一种材料制成的传动轴，其中一根为空心轴，其内外径６０ＭＰａ，问该实心轴能传递多大的扭矩？如果是空心轴，又能传递多大的扭矩？ 解 实心轴
３ 相比之下，在（ａ）图中的１—１截面上受到的扭矩最大，为５０ｋＮ·ｍ，而（ｂ）图中１—１截d 空之比值为＝０畅７５；另一根实心轴的外径是６０ｍｍ。材料的许用剪切应力为［τ］＝M τ≤［τ］ｍａｘｔ３
空心轴］＝０畅２D ·［τ］＝０畅２×６０×６０Ｎ·ｍｍ＝２５９２Ｎ·ｍM ｍａｘ≤W ｔ·［τM M τ≤［τ］ｍａｘｔM ｍａｘ≤０畅２D （１－α）·［τ］３４
２２２d 实（D 外－d 空）２实
２２２２ 求此时D 为多少？由于空心轴与实心轴截面积相等，所以d 空d ＝D １－外
２
扭矩。 相比之下空心轴所传递的扭矩为实心轴的２畅８倍。所以空心轴广泛应用在传动轴上传递 所以M ｍａｘ≤［０畅２×９０畅７１（１－０畅７５）×６０］Ｎ·ｍｍ＝７２４２畅３Ｎ·ｍ３４D ＝ｍｍ＝９０畅７１ｍｍd 实＝D ·（１－０畅７５）２
跳板材料的许用应力为［σ］＝５０ＭＰａ，试求跳板的最小厚度应为多少？ ８畅如图３－７所示的跳水运动员用的跳板。如果运动员的体重为８００Ｎ，跳板长度为２４００ｍｍ，
·33·
图３－７
解M σ≤［σ］ｍａｘＺM ］≤［σh ≥２
为安全考虑应取２０ｍｍ以上。h ≥１８畅１４ｍｍｍｍ＝３２９畅１４ｍｍb ＝６ｍｍ，h ＝１８ｍｍ，作用扳手右端的力量F ＝３００Ｎ，扳手材料的许用应力［σ］＝１３０ＭＰａ，试校核扳手手柄部分的强度
。如果将手柄用铁管加长１５０ｍｍ，此扳手强度是否够用。 ９畅用呆扳手拧紧螺母，受力情况如图３－８所示。已知扳手长度为l ＝１３０ｍｍ，l １＝１００ｍｍ，
图３－８ 加上手柄长度１５０ｍｍ后，手柄的强度为 该手柄的强度足够。 解M σＭＰａ＝１２０畅３７ＭＰａ＜［σ］ｍａｘ２许增加扳手的长度。如果扳手不扭弯，螺钉可能被拧断。
３２ 超过材料的许用应力，扳手会出现弯曲变形。所以一般情况下，使用扳手拧紧螺母，不允σＭＰａ＝２５９畅２６ＭＰａ＞［σ］ｍａｘ２０４ｃｍ，截面积为４３ｃｍ，材料许用应力［σ］＝１６０ＭＰａ，试确定梁的许可最大载荷。如果跨距、材料和载荷相同，但改用矩形截面梁（设h ／b ＝２）或圆形截面，试比较三种梁的重量。·34· １０畅如图３－９所示为吊车横梁。已知横梁跨度L ＡＢ为１２ｍ，选用１８号工字钢的W Ｚ＝
解
图３－９
M ≤［σ］Ｚ
F · 改用矩形梁，承受同样载荷，则３F ≤Ｎ＝５４４０ＮＡＢL ＡＢ≤［σ］Ｚ
３３b ≥ｍｍ＝３０６０００ｍｍ３３］≤［σM ］≤［σb ≥６７畅３９ｍｍ
如改用圆形截面h ＝２b ＝１３４畅７８ｍｍ
M ］≤［σ３ 矩形截面积 A 矩＝b ·h ＝６７畅３９×１３４畅７８ｍｍ＝９０畅８３ｃｍ２ 工字钢的面积 A 工＝４３ｃｍ３３D ≥ｍｍ＝２０４００００ｍｍ３２
２D ≥１２６畅８３ｍｍ
２２２２ 圆形截面积 A 圆·D ×１２６畅８３ｍｍ＝１２６畅２７ｃｍ１２６畅２７＝１∶２畅１１∶２畅９４碝１∶２∶３。其重量之比也一样。可见用工字钢的效果最好。 工字钢与矩形截面和圆形截面作吊车横梁，承受同样外载时其截面积的比为４３∶９０畅８３∶
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