=____。
⎫
⎪
⎪，则
⎪⎭
形为 第 1 页 共 8 页
C. t ≠6时，秩(P)=1 D. t ≠6时，秩(P)=2 2. 下列矩阵为正定的是______
⎛120⎫⎛120⎫ ⎪ ⎪
A. 230⎪ B. 240⎪ C.
002⎪ 002⎪⎝⎭⎝⎭
3. 设A 是方阵, 则下列结论错误的是______
⎛1-20⎫⎛200⎫
⎪ ⎪-250012 D. ⎪ ⎪
025⎪ 00-2⎪⎝⎭⎝⎭
A. A 与A 等价 B. A 与A 相似 C. A 与A 的特征值相同 D. A 与A 的特征向量相同 4. 下列集合是线性空间的是______
A.{(1, x 1, x 2) |x 1+x 2=0} B. {(x 1, x 2) |x 1x 2=0}
'
'
' '
x 1
C.{(
x 2
) |x 1+x 2+x 3=0} D. {(x 1, x 2) |x 1+x 2=1} x 3
⎛2-1-1⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪
5. 设A = -12-1⎪， B = 010⎪， 则A 与B______
000⎪ -1-12⎪
⎝⎭⎝⎭
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同也不相似
三、 计算题（共65分） ⎛1-11⎫ ⎪A =x 4y 1(本题10分). 设 ⎪. 已知A 有三个线性无关的特征向量，
-3-35⎪⎝⎭
λ=2是A 的二重特征值， 试求可逆矩阵P ， 使得P AP 为对角矩阵。
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-1
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2
2(本题15分). (1) 已知矩阵A 的初等因子为λ，λ，λ-2，(λ-2) 2，(λ+2) 2，求A 的行列
式因子和不变因子；
⎛-1-26⎫ ⎪
3⎪的有理标准型和Jordan 标准型。 (2) 求方阵A = -10
-1-14⎪⎝⎭
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⎛3(本题10分). 设A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2， 且A 11⎫ 00⎪⎛⎪= -11⎫ 00⎪
⎪.
⎝-11⎪⎭ ⎝11⎪⎭
（1）求A 的所有特征值和特征向量； (2)求A .
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4(本题15分). 设P的线性变换A 1在基α1=(1, 2) ，α2=(2, 1) 下的矩阵为
2
⎛12⎫
⎪，线性变换⎪⎝23⎭
⎛33⎫
A 2在基β1=(1, 1) ，β2=(1, 2) 下的矩阵为 24⎪⎪.
⎝⎭
(1)求A 1A 2在α1, α2下的矩阵； (2) 设ξ=(3, 3) ，求A 1(ξ) 在α1, α2下的坐标.
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3
5(本题15分). 已知P的线性变换A (x 1, x 2, x 3) =(x 1+x 2, x 1+x 3, ax 2+x 3) . (1) 问a 为何值时A 是可逆变换？
(2) 当A 不是可逆变换时求A 的值域A (P 3) 和核A -1(0) 的基与维数. (3) 证明P 3=A (P 3) ⊕A -1(0) .
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1(本题7分). 方阵A 为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵B 使得A =B B 。
2(本题8分). 设A,B 分别是n 阶和m 阶方阵，证明
'
四、证明题(共15分).
⎛A 0⎫
⎪可对角化。 ⎪⎝0B ⎭*
(2) 若A 为正交矩阵，则A 也是正交矩阵。
(1) 若A,B 可对角化，则
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=____。
⎫
⎪
⎪，则
⎪⎭
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C. t ≠6时，秩(P)=1 D. t ≠6时，秩(P)=2 2. 下列矩阵为正定的是______
⎛120⎫⎛120⎫ ⎪ ⎪
A. 230⎪ B. 240⎪ C.
002⎪ 002⎪⎝⎭⎝⎭
3. 设A 是方阵, 则下列结论错误的是______
⎛1-20⎫⎛200⎫
⎪ ⎪-250012 D. ⎪ ⎪
025⎪ 00-2⎪⎝⎭⎝⎭
A. A 与A 等价 B. A 与A 相似 C. A 与A 的特征值相同 D. A 与A 的特征向量相同 4. 下列集合是线性空间的是______
A.{(1, x 1, x 2) |x 1+x 2=0} B. {(x 1, x 2) |x 1x 2=0}
'
'
' '
x 1
C.{(
x 2
) |x 1+x 2+x 3=0} D. {(x 1, x 2) |x 1+x 2=1} x 3
⎛2-1-1⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪
5. 设A = -12-1⎪， B = 010⎪， 则A 与B______
000⎪ -1-12⎪
⎝⎭⎝⎭
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同也不相似
三、 计算题（共65分） ⎛1-11⎫ ⎪A =x 4y 1(本题10分). 设 ⎪. 已知A 有三个线性无关的特征向量，
-3-35⎪⎝⎭
λ=2是A 的二重特征值， 试求可逆矩阵P ， 使得P AP 为对角矩阵。
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2(本题15分). (1) 已知矩阵A 的初等因子为λ，λ，λ-2，(λ-2) 2，(λ+2) 2，求A 的行列
式因子和不变因子；
⎛-1-26⎫ ⎪
3⎪的有理标准型和Jordan 标准型。 (2) 求方阵A = -10
-1-14⎪⎝⎭
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⎛3(本题10分). 设A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2， 且A 11⎫ 00⎪⎛⎪= -11⎫ 00⎪
⎪.
⎝-11⎪⎭ ⎝11⎪⎭
（1）求A 的所有特征值和特征向量； (2)求A .
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4(本题15分). 设P的线性变换A 1在基α1=(1, 2) ，α2=(2, 1) 下的矩阵为
2
⎛12⎫
⎪，线性变换⎪⎝23⎭
⎛33⎫
A 2在基β1=(1, 1) ，β2=(1, 2) 下的矩阵为 24⎪⎪.
⎝⎭
(1)求A 1A 2在α1, α2下的矩阵； (2) 设ξ=(3, 3) ，求A 1(ξ) 在α1, α2下的坐标.
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5(本题15分). 已知P的线性变换A (x 1, x 2, x 3) =(x 1+x 2, x 1+x 3, ax 2+x 3) . (1) 问a 为何值时A 是可逆变换？
(2) 当A 不是可逆变换时求A 的值域A (P 3) 和核A -1(0) 的基与维数. (3) 证明P 3=A (P 3) ⊕A -1(0) .
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1(本题7分). 方阵A 为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵B 使得A =B B 。
2(本题8分). 设A,B 分别是n 阶和m 阶方阵，证明
'
四、证明题(共15分).
⎛A 0⎫
⎪可对角化。 ⎪⎝0B ⎭*
(2) 若A 为正交矩阵，则A 也是正交矩阵。
(1) 若A,B 可对角化，则
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