囵盈型兰塑塑型型
浅析数列递推关系的几种求法
于
烨
723000)
(陕西理工学院数学系,陕西汉中
摘要:数列是高中数学中一个重要的内容,也是高考
的热点和难点之一。涉及数列方面的题在每年的高考中都会
出现.而且占的分数比较多、作者对2010年全国统一招生考试
陕西卷分析得出:与数列有关的题接近占全卷分数的15%,可见数列在整个试卷中占的比重之巨大。在高中新教材中编者并未明确提出数列的递推关系.但在考试中往往都包含了数列递推的思想。据此.作者就求数列递推关系的几种常用方法进行浅析,希望能对同学们有所帮助。
关键词:数列
递推关系
求法
一、赋值法剖析递推关系
1.在数列(a。l中,at=l,a。+a。=a…(n,m∈N+),求a。.
分析:在已知条件中给出Ya.=1,且在等式中,由于n、m的任意性,因此我们可以考虑用赋值的方法求a。.
不妨设:
n=m=l=争a,=aI+a,=2n=2,m=l=争afal+a2=3n=3,m=l=争a4=aI+a产4
由以上关系,我们可以归纳猜想出:a。--n(n∈N+).用数学归纳法证明:
①当n=1时,at=1显然成立;
②假设n=klj寸,ak=k成立,那么当n=k+l时,ak+l=ak+al=k+
l也成立.则猜想正确.
二、迭代法求递推关系
2.在数列{an}an中^。一。+了—之_,求a。.
分析:a。。~,F而1一\[丽1一{1,令rcn,一(击一{),则
an+I--a。=f(n)是以n为自变量的函数,所以我们可以联想采用迭
代的思想求递推关系.
解
志
m
,
百可面西’…漕s—a22丽’8z咱・2丽‘
赤。
将上述所有等式左边相加,右边相加得:
8n+-~8n+8n一8n一-+8n一・一8n—z+’‘++8,一8z+8。一8t21i:而+—n(n—-1)
1
1
l
1
1(n一1)(n-2)
3x22x1
,1
1
1
11
1
111.\
・。~一t—l鬲一n+i—百+百一面+‘‘’+了一ri_1产1一上n+1
又‘.’a.=1
.・~。=2一击(n∈N÷Ⅲpa。=2-{(n
o
N+).
68
万方数据
三、累乘法求递推关系
3.在数列{a。J中,a,:1,a。:n+la。(nEN+),求a。
n
分析:.._氐=in+111
a。,...一a.+la=者龠(n)=者n
n十J
十l
则塑:f(。)是以n为自变量的函数,由此我们可以联想用
a“
累乘法求递推关系.
解:一aa+I:一n,则蔓:堕.塑:里,…,!:三,兰:土
n+l。
n
n一1
a。
a。,I
an.2
a2
3
al
2
将上述所有等式左边相乘,右边相乘得:
a×塑×...×一a3×兰:盟×—n-—2”.×一2×!
a。一I
a。。2
a2
aI
n
n一132
...!×塑ר.×兰×皇:堕×—n-—2”.×三×一1
a。一I
a。一2
a2
a
n
n—l32
.・.墨:一1.又・._a:1
1
.‘.an=二(n∈N.)
四、利用转化、归纳的思想方法将一些递推关系复杂的数
列。通过构造、变换为我们比较熟悉的类型
(一)转化为迭加型求解.
4.已知数列{a。}的前6项为1、3、6、10、15、21,求an.
分析:通过观察,前一项减后一项:a2一al=2,a3-a_2=3,a4-a产
4,as-a4=5,a6-a5=6..・
我们可以发现,相减的差都等于前项下标的值.
.・.我们可以归纳出:an—a。=n,之后用迭加法即可求出a。=
堕竺旦(n∈N).
2
(二)转化为累乘型求解.
5.在数列{a。J中,al=2,nan+I=(n+1)a。+2,(n∈N+),求a。.分析:通过观察.等式两边可同时加上2n,则等式左边变
为衄。+2n_(n+1)a。+2+2n,.’.n(a。+2)=(n+1)(a。+2),等=
一n+l,之后用累乘法可求出:a=4n一2(n∈N.).
(三)类似于一次函数a。-ma。+c的数列往往可变形为a。+
p=m(a。+p)的形式,只需要令a。十p=A。∥a。+p=A。得二!}=m
几n
(m≠O)即可转化为我们熟悉的等比数列.然后用累乘的方法,
即可求出an.
6.若数列{a。)满足a.=3,a…=÷a。+l,求an.
分析:将a。:i1
an+】变形为a。+t_妻(a+t)
如何培养高职学生学习数学的兴趣
金玉强
(江苏联合职业技术学院徐州机电工程分院.江苏徐州221011)
摘要:兴趣是学习活动中重要的动力.是学习获得良好效果的重要条件。本文通过以下几个方面说明了如何培养学生学习数学的兴趣:巧设疑问,培养兴趣:运用多媒体网络技术,培养兴趣;语言生动幽默,培养兴趣;利用口诀,培养兴趣;利用数学典故,培养兴趣;从“需要”中,培养兴趣;利用成功的喜悦。培养兴趣;建立良好的师生关系。培养兴趣。
关键词:高职生数学教学
活力。实践证明,以多媒体计算机为核心的辅助教学有利于激发学生的学习兴趣。计算机极强的交互性,使学生有了参与的
机会,使学生的想象力得到了充分的发挥,也极大地调动了学
生的积极性、学习兴趣。
3.语言生动幽默.培养兴趣
数学具有高度的“抽象性”。教师的语言艺术修养,直接影响教学的趣昧性。教师的语言艺术可以使抽象的概念、判断、定理具体化,深刻的道理通俗化,难懂的理论形象化,易于诱发学习兴趣。特别是在高职数学教学中。应尽量用学生较为熟
学习兴趣
现在的高职学生提到数学就头疼.究其原因.首先教材内容“繁、难、偏、旧”,与学生生活和经验,以及现代社会的联系
悉、容易理解,而且具有诱惑力的语言。这对引发学生学习兴
趣和积极思维有良好的作用。
例如。在解析几何中讲授参数法求轨迹方程过程中,介绍参数主要起一个桥梁作用,它可以建立起x与v之间的间接关系.但最终我们要求的是X与Y之间的直接关系。所以我们就要
不够。其次是教师照本宣科的讲授。高职学生学数学的目的
就是为了解决现实生活中的问题,学以致用。教师应让学生
真正感受到数学就是身边的数学,使学生对数学产生兴趣。兴趣是最好的老师,是认识和从事活动的巨大动力。因此,教师一定要千方百计地从教学的方方面面,激发和培养学生的
学习兴趣。如何培养高职学生学习数学的兴趣呢?下面我谈谈
“过河拆桥”,消掉参数,进而建立起x与y的普通方程。我们通过
这种生动、幽默的表述,使学生很快掌握了参数法求轨迹的本质,极大调动了自主学习的积极性,引发了学生的学习兴趣。
几点体会。
1.巧设疑问.培养兴趣
4.利用口诀.培养兴趣
苏霍姆林斯基说:“如果想使你的知识不变成僵死的静止
在数学教学中,教师要善于利用问题创设疑问来鼓励和激发学生独立思考、积极探索,点燃其智慧的火花。同时青少
年对事物充满着兴趣和好奇心,这也是开创思维的开端。在
的学问.就要把语言变成一个最重要的工具。”为了帮助学生
理解、消化、加深记忆、巩固所学知识,教师可以编制一些口诀。这样往往能提高学生的学习兴趣,收到良好的教学效果。
例如.复合函数的教学,分解复合函数El诀:
分解复合如脱衣.由外到里去分离.遇到函数设进去.如此去做很顺利。
课堂教学中,教师还应不断提出新问题.使学生始终处于探
索之中。激发学生的思维与灵感,增加他们的求知欲望,促使
他们寻找解决问题的办法。亚里士多德说:“思维自疑问和惊奇开始。”疑问是思维的开端,是创造的基础,是产生求知欲望
和兴趣的源泉。
例如在讲概率时.我提出问题:美、韩航母编队联合军演,
区域选定黄海,他触及中国的核心利益,直接威胁国家的安
例如.复合函数的求导法则教学,复合函数的求导法则1:3诀:
分解复合如脱衣.由外到里去分离。各个导数作乘积.
换回变量自然喜。
再有三角函数中的诱导公式共有九组,对这些公式,我们
全。若中国人民解放军导弹部队(二炮)奉命将其击沉,导弹的命中率30%.需要同时发射多少枚导弹?学生对这个问题产生了极大的兴趣,产生了强烈的求知欲望。
2.运用多媒体网络技术。培养兴趣
多媒体计算机的出现,网络技术的运用,信息时代的到来给教育带来深刻的变化。以多媒体计算机为核心的辅助教学
的研究正在日益兴起。计算机的运用给数学教学增添了新的
可以用一句话加以概括,即:“奇变偶不变,符号看象限。”经过
分析.学生自己体会到了这句话的奥妙,感到记这些公式原来
..~n+l:_1a。+_1・。~“2i8n+了
妻:,..2i‘2,‘一’
,
_‘。1:v一2jly=2或{y:l
当x:一l,y:2时,a
贝I]a.t-2={-(a。_2),百an+I-2={≠o
又‘.‘a,=3,即数列{an--2l是以l为首项,—2L为公比的等比数
列.然后用等比数列的性质可求出an=_1i+2(nEN+).
(四)形如al=m,a2=n,an+2--pal+qa。可变形为a叶2+xaD+l=y(a。l+
n+l—a。:2(a。一a。一1),—an+l—-an:2,可用累乘法
an—a。一1
得出a。~。一。=2n-2,然后用迭代法可求出a=2”1(n∈N+).
当X--=一2,v=1时,不成立.
对于此题用这种方法求解可能显得有点麻烦,但可以培养学生在探索中体验一题多解的思维方式,进一步使同学们在研究中学习,在学习过程中培养观察问题、分析问题、解决问题的能力和后继学习的能力.
xan)(y≠o)’其中接署,舭可解出x、y,则¨xan}是以a2+xa・
为首项,y为公比的等比数列,即可用等比数列的性质求X,a。.
参考文献:
[1]新教材完全解读.陕西科学技术出版社.
[212010年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学能力测试.
7.数列{anl满足a。=1,a2=2,an+l=3a。-2a。-I’求a。.
解:通过构造,可得a。+xa。=y(a。+xa.,)
万方数据
浅析数列递推关系的几种求法
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
于烨
陕西理工学院,数学系,陕西,汉中,723000考试周刊
KAOSHI ZHOUKAN2011(34)
参考文献(2条)1. 新教材完全解读
2. 2010年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学能力测试
本文读者也读过(10条)
1. 王志远 构造递推关系解题例说[期刊论文]-中学数学2012(3)2. 郭海献 巧用圆锥曲线的定义解题[期刊论文]-中国科技信息2005(16)
3. 王斌 怎样应用圆锥曲线的定义解题例析[期刊论文]-中学生数理化(学研版)2011(2)4. 陈桂茹 用圆锥曲线的定义解题[期刊论文]-河北理科教学研究2007(3)5. 钱灵动 例谈类比法解题[期刊论文]-成才之路2010(20)
6. 高歌 巧用递推关系求解实际问题[期刊论文]-新课程学习:学术教育2011(8)7. 宋静 例谈运用类比法学习数学[期刊论文]-新校园(当代教育研究)2008(1)8. 刘海波 谈高中数学中的类比法[期刊论文]-中学教学参考2010(20)
9. 冯胜林. 施玲 数列的递推关系在图形中应用[期刊论文]-中学数学杂志:高中版2011(5)10. 杨英娟 图象平移在三次函数中的一个应用[期刊论文]-时代教育(教育教学版)2009(7)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kszk201134056.aspx
囵盈型兰塑塑型型
浅析数列递推关系的几种求法
于
烨
723000)
(陕西理工学院数学系,陕西汉中
摘要:数列是高中数学中一个重要的内容,也是高考
的热点和难点之一。涉及数列方面的题在每年的高考中都会
出现.而且占的分数比较多、作者对2010年全国统一招生考试
陕西卷分析得出:与数列有关的题接近占全卷分数的15%,可见数列在整个试卷中占的比重之巨大。在高中新教材中编者并未明确提出数列的递推关系.但在考试中往往都包含了数列递推的思想。据此.作者就求数列递推关系的几种常用方法进行浅析,希望能对同学们有所帮助。
关键词:数列
递推关系
求法
一、赋值法剖析递推关系
1.在数列(a。l中,at=l,a。+a。=a…(n,m∈N+),求a。.
分析:在已知条件中给出Ya.=1,且在等式中,由于n、m的任意性,因此我们可以考虑用赋值的方法求a。.
不妨设:
n=m=l=争a,=aI+a,=2n=2,m=l=争afal+a2=3n=3,m=l=争a4=aI+a产4
由以上关系,我们可以归纳猜想出:a。--n(n∈N+).用数学归纳法证明:
①当n=1时,at=1显然成立;
②假设n=klj寸,ak=k成立,那么当n=k+l时,ak+l=ak+al=k+
l也成立.则猜想正确.
二、迭代法求递推关系
2.在数列{an}an中^。一。+了—之_,求a。.
分析:a。。~,F而1一\[丽1一{1,令rcn,一(击一{),则
an+I--a。=f(n)是以n为自变量的函数,所以我们可以联想采用迭
代的思想求递推关系.
解
志
m
,
百可面西’…漕s—a22丽’8z咱・2丽‘
赤。
将上述所有等式左边相加,右边相加得:
8n+-~8n+8n一8n一-+8n一・一8n—z+’‘++8,一8z+8。一8t21i:而+—n(n—-1)
1
1
l
1
1(n一1)(n-2)
3x22x1
,1
1
1
11
1
111.\
・。~一t—l鬲一n+i—百+百一面+‘‘’+了一ri_1产1一上n+1
又‘.’a.=1
.・~。=2一击(n∈N÷Ⅲpa。=2-{(n
o
N+).
68
万方数据
三、累乘法求递推关系
3.在数列{a。J中,a,:1,a。:n+la。(nEN+),求a。
n
分析:.._氐=in+111
a。,...一a.+la=者龠(n)=者n
n十J
十l
则塑:f(。)是以n为自变量的函数,由此我们可以联想用
a“
累乘法求递推关系.
解:一aa+I:一n,则蔓:堕.塑:里,…,!:三,兰:土
n+l。
n
n一1
a。
a。,I
an.2
a2
3
al
2
将上述所有等式左边相乘,右边相乘得:
a×塑×...×一a3×兰:盟×—n-—2”.×一2×!
a。一I
a。。2
a2
aI
n
n一132
...!×塑ר.×兰×皇:堕×—n-—2”.×三×一1
a。一I
a。一2
a2
a
n
n—l32
.・.墨:一1.又・._a:1
1
.‘.an=二(n∈N.)
四、利用转化、归纳的思想方法将一些递推关系复杂的数
列。通过构造、变换为我们比较熟悉的类型
(一)转化为迭加型求解.
4.已知数列{a。}的前6项为1、3、6、10、15、21,求an.
分析:通过观察,前一项减后一项:a2一al=2,a3-a_2=3,a4-a产
4,as-a4=5,a6-a5=6..・
我们可以发现,相减的差都等于前项下标的值.
.・.我们可以归纳出:an—a。=n,之后用迭加法即可求出a。=
堕竺旦(n∈N).
2
(二)转化为累乘型求解.
5.在数列{a。J中,al=2,nan+I=(n+1)a。+2,(n∈N+),求a。.分析:通过观察.等式两边可同时加上2n,则等式左边变
为衄。+2n_(n+1)a。+2+2n,.’.n(a。+2)=(n+1)(a。+2),等=
一n+l,之后用累乘法可求出:a=4n一2(n∈N.).
(三)类似于一次函数a。-ma。+c的数列往往可变形为a。+
p=m(a。+p)的形式,只需要令a。十p=A。∥a。+p=A。得二!}=m
几n
(m≠O)即可转化为我们熟悉的等比数列.然后用累乘的方法,
即可求出an.
6.若数列{a。)满足a.=3,a…=÷a。+l,求an.
分析:将a。:i1
an+】变形为a。+t_妻(a+t)
如何培养高职学生学习数学的兴趣
金玉强
(江苏联合职业技术学院徐州机电工程分院.江苏徐州221011)
摘要:兴趣是学习活动中重要的动力.是学习获得良好效果的重要条件。本文通过以下几个方面说明了如何培养学生学习数学的兴趣:巧设疑问,培养兴趣:运用多媒体网络技术,培养兴趣;语言生动幽默,培养兴趣;利用口诀,培养兴趣;利用数学典故,培养兴趣;从“需要”中,培养兴趣;利用成功的喜悦。培养兴趣;建立良好的师生关系。培养兴趣。
关键词:高职生数学教学
活力。实践证明,以多媒体计算机为核心的辅助教学有利于激发学生的学习兴趣。计算机极强的交互性,使学生有了参与的
机会,使学生的想象力得到了充分的发挥,也极大地调动了学
生的积极性、学习兴趣。
3.语言生动幽默.培养兴趣
数学具有高度的“抽象性”。教师的语言艺术修养,直接影响教学的趣昧性。教师的语言艺术可以使抽象的概念、判断、定理具体化,深刻的道理通俗化,难懂的理论形象化,易于诱发学习兴趣。特别是在高职数学教学中。应尽量用学生较为熟
学习兴趣
现在的高职学生提到数学就头疼.究其原因.首先教材内容“繁、难、偏、旧”,与学生生活和经验,以及现代社会的联系
悉、容易理解,而且具有诱惑力的语言。这对引发学生学习兴
趣和积极思维有良好的作用。
例如。在解析几何中讲授参数法求轨迹方程过程中,介绍参数主要起一个桥梁作用,它可以建立起x与v之间的间接关系.但最终我们要求的是X与Y之间的直接关系。所以我们就要
不够。其次是教师照本宣科的讲授。高职学生学数学的目的
就是为了解决现实生活中的问题,学以致用。教师应让学生
真正感受到数学就是身边的数学,使学生对数学产生兴趣。兴趣是最好的老师,是认识和从事活动的巨大动力。因此,教师一定要千方百计地从教学的方方面面,激发和培养学生的
学习兴趣。如何培养高职学生学习数学的兴趣呢?下面我谈谈
“过河拆桥”,消掉参数,进而建立起x与y的普通方程。我们通过
这种生动、幽默的表述,使学生很快掌握了参数法求轨迹的本质,极大调动了自主学习的积极性,引发了学生的学习兴趣。
几点体会。
1.巧设疑问.培养兴趣
4.利用口诀.培养兴趣
苏霍姆林斯基说:“如果想使你的知识不变成僵死的静止
在数学教学中,教师要善于利用问题创设疑问来鼓励和激发学生独立思考、积极探索,点燃其智慧的火花。同时青少
年对事物充满着兴趣和好奇心,这也是开创思维的开端。在
的学问.就要把语言变成一个最重要的工具。”为了帮助学生
理解、消化、加深记忆、巩固所学知识,教师可以编制一些口诀。这样往往能提高学生的学习兴趣,收到良好的教学效果。
例如.复合函数的教学,分解复合函数El诀:
分解复合如脱衣.由外到里去分离.遇到函数设进去.如此去做很顺利。
课堂教学中,教师还应不断提出新问题.使学生始终处于探
索之中。激发学生的思维与灵感,增加他们的求知欲望,促使
他们寻找解决问题的办法。亚里士多德说:“思维自疑问和惊奇开始。”疑问是思维的开端,是创造的基础,是产生求知欲望
和兴趣的源泉。
例如在讲概率时.我提出问题:美、韩航母编队联合军演,
区域选定黄海,他触及中国的核心利益,直接威胁国家的安
例如.复合函数的求导法则教学,复合函数的求导法则1:3诀:
分解复合如脱衣.由外到里去分离。各个导数作乘积.
换回变量自然喜。
再有三角函数中的诱导公式共有九组,对这些公式,我们
全。若中国人民解放军导弹部队(二炮)奉命将其击沉,导弹的命中率30%.需要同时发射多少枚导弹?学生对这个问题产生了极大的兴趣,产生了强烈的求知欲望。
2.运用多媒体网络技术。培养兴趣
多媒体计算机的出现,网络技术的运用,信息时代的到来给教育带来深刻的变化。以多媒体计算机为核心的辅助教学
的研究正在日益兴起。计算机的运用给数学教学增添了新的
可以用一句话加以概括,即:“奇变偶不变,符号看象限。”经过
分析.学生自己体会到了这句话的奥妙,感到记这些公式原来
..~n+l:_1a。+_1・。~“2i8n+了
妻:,..2i‘2,‘一’
,
_‘。1:v一2jly=2或{y:l
当x:一l,y:2时,a
贝I]a.t-2={-(a。_2),百an+I-2={≠o
又‘.‘a,=3,即数列{an--2l是以l为首项,—2L为公比的等比数
列.然后用等比数列的性质可求出an=_1i+2(nEN+).
(四)形如al=m,a2=n,an+2--pal+qa。可变形为a叶2+xaD+l=y(a。l+
n+l—a。:2(a。一a。一1),—an+l—-an:2,可用累乘法
an—a。一1
得出a。~。一。=2n-2,然后用迭代法可求出a=2”1(n∈N+).
当X--=一2,v=1时,不成立.
对于此题用这种方法求解可能显得有点麻烦,但可以培养学生在探索中体验一题多解的思维方式,进一步使同学们在研究中学习,在学习过程中培养观察问题、分析问题、解决问题的能力和后继学习的能力.
xan)(y≠o)’其中接署,舭可解出x、y,则¨xan}是以a2+xa・
为首项,y为公比的等比数列,即可用等比数列的性质求X,a。.
参考文献:
[1]新教材完全解读.陕西科学技术出版社.
[212010年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学能力测试.
7.数列{anl满足a。=1,a2=2,an+l=3a。-2a。-I’求a。.
解:通过构造,可得a。+xa。=y(a。+xa.,)
万方数据
浅析数列递推关系的几种求法
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
于烨
陕西理工学院,数学系,陕西,汉中,723000考试周刊
KAOSHI ZHOUKAN2011(34)
参考文献(2条)1. 新教材完全解读
2. 2010年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学能力测试
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1. 王志远 构造递推关系解题例说[期刊论文]-中学数学2012(3)2. 郭海献 巧用圆锥曲线的定义解题[期刊论文]-中国科技信息2005(16)
3. 王斌 怎样应用圆锥曲线的定义解题例析[期刊论文]-中学生数理化(学研版)2011(2)4. 陈桂茹 用圆锥曲线的定义解题[期刊论文]-河北理科教学研究2007(3)5. 钱灵动 例谈类比法解题[期刊论文]-成才之路2010(20)
6. 高歌 巧用递推关系求解实际问题[期刊论文]-新课程学习:学术教育2011(8)7. 宋静 例谈运用类比法学习数学[期刊论文]-新校园(当代教育研究)2008(1)8. 刘海波 谈高中数学中的类比法[期刊论文]-中学教学参考2010(20)
9. 冯胜林. 施玲 数列的递推关系在图形中应用[期刊论文]-中学数学杂志:高中版2011(5)10. 杨英娟 图象平移在三次函数中的一个应用[期刊论文]-时代教育(教育教学版)2009(7)
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