大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学

习题8-1 多元函数的基本概念

1.填空题：

（1）若f(x,y)xyxytan22x，则f(tx,ty)___________ y

yx2y2

（2）若f(x,y)，则f(2,3)________,f(1,)________ x2xy

y （3）若f()xx2y2 (y0)，则f(x)__________y

y

x22__ （4）若f(xy,)xy，则f(x,y)__________

（5）函数z4xy2

ln(1xy)22的定义域是_______________

（6）函数zxy的定义域是_______________

y的定义域是________________ x (7)函数zarcsin

y22x （8）函数z2的间断点是_______________ y2x

2.求下列极限：

（1）lim

2xy4 x0xyy0

班级： 姓名： 学号：

(2) lim

sinxy x0xy0

1cos(x2y2) (3) lim x0(x2y2)x2y2

y0

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

3.证明

(x,y)(0,0)limxyxy220

x2y 4.证明：极限lim0不存在 (x,y)(0,0)x4y2

班级： 姓名： 学号：

1xsin,(x,y)(0,0) 5.函数f(x,y)在点（0，0）处是否连续？为什么？ x2y2

0, (x,y)(0,0)

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题 8-2偏导数及其在经济分析中的应用

1.填空题

（1）设zlntanxzz__________，则; yxy

zz__________; xy （2）设ze(xy)，则xy

（3）设uxyuuu,________，则; zxyz

y2z2z2z （4）设zaxctan，则2_________,2_________,________ xxyxy

xz2u （5）设u()，则; ________yxy

（6）设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则limx0f(ax,b)f(ax,b)_________ x

2.求下列函数的偏导数

(1)z(1xy)y

班级： 姓名： 学号：

(2)uarcsixn(y)

z

3.设zyx，求函数在（1，1）点的二阶偏导数

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

3z3z 4.设zxln(xy)，求2和 2xyxy

5. ze

11()xy，试化简x2zzy2 xy

班级： 姓名： 学号：

3xy,(x,y)(0,0)22f(x,y)xy 6.试证函数 在点（0，0）处的偏导数存在，但不0, (x,y)(0,0)

连续.

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题8-3 全微分及其应用

1.X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：Px10005Qx;PY16004QY

公司X、Y现在的销售量分别是100个单位和250个单位。

（1） X和Y当前的价格弹性是多少？

（2） 假定Y降价后，使QY增加到300个单位，同时导致X的销量Qx下降到75

个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？

(利用弧交叉弹性公式：Erx

Qx2Qx1Py2Py1/) Qx2Qx1Py2Py1

班级： 姓名： 学号：

2.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为：

DA(PrKAIA)/Px;DBKBIB/Px

（1）商品X的市场需求函数；

（2）计算对商品X的市场需求价格弹性；若Y是另外一种商品，Pr是其价格，求商品X对Y的需求交叉弹性

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

3.求下列函数的全微分

（1）u

st st

x（2）设f(x,y,z)()z，求df(1,1,1) y

1

班级： 姓名： 学号：

（3）zln(1x2y2)，求当x1,y2,x0.1,y0.2的全增量z和全微分dz

33 4.计算(1.02)(1.97)的近似值

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题8-4 多元复合函数的求导法则

1.填空题

（1）设zulnv而u2xzz,v3x2y，则___________ yxy

（2）设zarsin(xy)而x3t，则dz_________ dt

dueax(yz)________ （3）设u,而，则yasinx,zcosxdxa21

（4）设zarctan(xy),而yex，则

（5）设uf(x2y2,exy)，则dz________ dxuu___________ xy

（6）uf(x,xy,xyz)，则

u________ x

班级： 姓名： 学号：

12z 2.设zf(xy)yf(xy),f具有二阶连续导数，求 xxy

2zx 3.设zf(x,),f具有二阶连续偏导数，求2 yx

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

y22z),f，具有二阶连续偏导数，求 4.设zxf(2x,. xxy

5.设zf(sinx,cosy,e

xy2z),f，具有二阶连续偏导数，求2 x

班级： 姓名： 学号：

22z2z 7.设f与g有二阶连续导数，且zf(xat)g(xat)，证明：2a tx2

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题8-5 隐函数的求导公式

1.填空题：

（1

）设arctanydy________ ，则dxx

（2）设x2yz2xyz0，则zz______ xy

（3）设xzzzln，则___________ xyzy

zz_________ xy（4）设zxyz，则

2z2.设exyz，求 xyz

班级： 姓名： 学号：

2z3.设z3xyza，求 xy33

4.设2sin(x2y3z)x2y3z，求

zz xy

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

22dydzzxy, 5.设2，求22dxdxx2y3z20

6.设yf(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)0所确定的x,y的函数，求

dy dx

班级： 姓名： 学号：

7.设由方程F(xzz,y)0确定zz(x,y)，F具有一阶连续偏导数，证明： yx

x

zzyzxy xy

8.设xx(y,z),yy(z,x),z(x,y)，都是由方程F(x,y,z)0所确定的有连续偏导数的函数，证明：

xyz1 yzx

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题8-6 多元函数的极值及其应用

1.填空题：

（1）zx2y22xy4xgyz驻点为_____________

（2）f(x,y)4(xy)x2y2的极值为_______________

（3）f(x,y)e2x(xy22y)的极______值为_________________

（4）zxy在适合附加条件xy1下的极大值为____________________

22（5）uf(x,y)xx2y2在Dx,yxy1上的最大值为

______________，最小值为______________

2.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.

班级： 姓名： 学号：

223.旋转抛物面zxy被平面xyz1截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与

最短距离

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为(3xy)x,(4x2y)y,(0)，求使产鱼总量最大的放养数

班级： 姓名： 学号：

5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量：若生产

函数为Q2x1x2，其中,为正常数，且1，假设两种要素的价格分别为p1和

p2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

微积分练习册[第九章]二重积分

习题9-1 二重积分的概念与性质

1.填空题

（1）当函数f(x,y)在闭区域D上_________时，则其在D上的二重积分必定存在

（2）二重积分f(x,y)d的几何意义是_____________________________________

D

（3）若f(x,y)在有界闭区域D上可积，且DD1D2，当f(x,y)0时，则f(x,y)d_____________f(x,y)d；

D1D2

当f(x,y)0时，则f(x,y)d_____________f(x,y)d

D1D2

（4）sin(x

D2y2)d______________，其中是圆域x2y242的面积，

16（注：填比较大小符号）

2.比较下列积分的大小：

(1) I123与(xy)dI(xy)d其中积分区域D是由x轴，y轴与直线2

DD

xy1所围成

班级： 姓名： 学号：

(2) I12与ln(xy)dIln(xy)2d，其中

DD

D(x,y)3x5,0y1

3.估计下列积分的值

（1）I

xy(xy1)d，其中D(x,y)0x1,0y2 D

微积分练习册[第九章]二重积分

（2）I

4

．求二重积分

2222，其中(x4y9)dD(x,y)xy4 Dx2y21

班级： 姓名： 学号：

5.利用二重积分定义证明

kf(x,y)dkf(x,y)d（其中为k常数）

DD

微积分练习册[第九章]二重积分

习题9-2 利用直角坐标计算二重积分

1.填空题

（1）

(2) (xD

D3 0x1,0y1 3x2yy3)d______________ 其中D：(0,0),(,0),(,)的三（xcos(xy)d___________其中D：顶点分别为

角形闭区域

(3)将二重积分Df(x,y)d，其中D是由x轴及上半圆周x2y2r2(y0)所围成

的闭区域，化为先y后x的积分，应为__________________________________

（4）将二重积分Df(x,y)d，其中D是由直线yx,x2及双曲线y1(x0)x

所围成的闭区域，化为先x后y的积分，应为_________________________________

（5）将二次积分

（6）将二次积分 2 1  dx2xx2 2xsinx

x

2f(x,y)dy改换积分次序，应为______________________ f(x,y)dy改换积分次序，应用______________________  0 dx -sin

（7

）将二次积分 1

e dy2 2 -lnyf(x,y)dx 1 1 2 (y1)2f(x,y)dx改换积分次序，应

为______________________

（8）将二次积分 1

0 dy2y 0f(x,y)dxdy 1 3 3y 0f(x,y)dx，改换积分次序，应为

_____________________

班级： 姓名： 学号：

2.计算下列二重积分：

(1)

(2)

xxyeD2y2d,其中D(x,y)axb,cyd (xD2y2)d,其中D是由直线y2,yx，及y2x所围成的闭区域.

微积分练习册[第九章]二重积分

(3)

Dyx2dxdy,其中D：1x1,0y2

3.

计算二次积分

 1 0dy 1dx yx

班级： 姓名： 学号：

4.交换积分次序，证明：

dye 0 0aym(a-x)f(x)dx(ax)em(ax)f(x)dx 0a

5.求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积.

微积分练习册[第九章]二重积分

习题9-3 利用极坐标计算二重积分

1.填空题

（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分

①

x2y22xy; f(x2y2,)dxdy_________________x

22②D(x,y)xy4,yx,e

Dx2y2dxdy____________

（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分

①

②

③

④

 2a 0 1dx1 0 0f(x2y2)dy____________,(a0)

0 2dxfdy________________;

dx x 0yf(arctan)dy________________; x 1 0dxf(x,y)dy________________. 0x2

班级： 姓名： 学号：

2.计算下列二重积分

(1) 2222,其中D是由圆周xy1及坐标轴所围成的在第一象限内ln(1xy)dD

的闭区域.

(2)

D1x2y2dxdy,其中D是由曲线yx2与直线yx所围成的闭区域.

微积分练习册[第九章]二重积分

(3)

(4) (2)

D,其中D是由圆周x2y2Rx所围成的闭区域 xD2y22d,其中(2) D:x2y23.

班级： 姓名： 学号：

3.计算二重积分2222，其中D由不等式yRx,xyR,y0确定(yx)dD

（注意选用适当的坐标）

4.计算以xoy面上的圆周xyax(a0)围成的区域为底，而以曲面zxy为顶的曲顶柱体的体积

2222

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-1 微分方程的基本概念

1.填空题

（1）方程x2(y)43yylnx0称为__________阶微分方程

（2）设yy(x,c1,c2,cn)是方程yxy2y的通解，则任意常数的个数n=____________

（3）设曲线yy(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程____________

（4）设曲线yy(x)上任一点(x,y)的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a，则曲线所满足的微分方程________________

（5）某人以本金p0元进行一项投资，投资的年利率为，若以连续复利计，t年后资

_ 金的总额为p(t)__________

（6）方程yx

kt x 0ydx可化为形如_______________微分方程 dQ0.03Q，问C和K的取值应如何？ dt 2.已知Qce满足微分方程

班级： 姓名： 学号

3.、若可导函数f(x)满足方程f(x)2 x

0tf(t)dt1(1)，将（1）式两边求

导，得f(x)2xf(x)(2)

易知f(x)cex(c为任意常数）是（2）的通解，从而f(x)cex为（1）的解，对吗？

4.证明：yc1xc2xlnx是微分方程x2yxyy0的通解.

22

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-2 一阶微分方程(一)

1.求下列微分方程的通解：

1y2

（1）y 21x

(2) y

(3) 3etanydx(2e)secydy0

xx2ey23xy0

班级： 姓名： 学号：

2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）sinycosxdycosysinxdx,yx0

4

（2）

3镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量R0的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系

xydxdy0,y1y1xx01

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-2 一阶微分方程（二）

1.填空题

（1）设y是dyp(x)yQ(x)的一个解，Y是对应的齐次方程的通解，则该方程的dx

x1xe是方程xyyxex的一个特解，则其通解为x通解为___________ （2）y

yx1xe___________ x

（3）微分方程xyyy2lnx0作变换____________可化为一阶线性微分方程

（4）(xy)y(xy)0的通解为______________

x

yxy （5）(12e)dx2e(1

2.求下列微分方程的通解：

(1) xyyx23x2

x)dy0的通解为______________ y

班级： 姓名： 学号：

(2) (x2xyy)yy0

22

3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

dycoxsycotxe5y 4xdx2

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：

（1）

dy(xy)2 dx

(2) xyyy(lnxlny)

班级： 姓名： 学号：

5.已知一曲线过原点，且它在点(x,y)处切线的斜率等于2xy，求该曲线的方程

6.设f(x)可微且满足关系式

2f(t)1dtf(x)1,求f(x) 0 x

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-3 一阶微分方程在经济学中的应用

1.已知某商品的需求价格弹性为EQP(lnP1)，且当P=1时，需求量Q=1 EP

(1)求商品对价格的需求函数

（2）当P时，需求量是否趋于稳定？

2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性3P，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数

2

班级： 姓名： 学号：

3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：Q

其中a0,b0为常数，价格P是时间t的函数，且满足 a,Sbp 2P

dpkQ(p)S(p) (k为正常数） dt

假设当t0时，价格为1，试求：

(1) 需求量等于供给量的均衡价格Pe

(2) 价格函数p(t)

(3) limp(t) t

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为

1N，在任意时刻t已掌握新技术人数为x(t)，其10

变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k0 N，在t0时刻已掌握新技术的人数为

求x(t)

班级： 姓名： 学号：

5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度用这一帐户支付职工工资。若t以年为单位，写出余额Bf(t)所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-4 可降阶的二阶微分方程

1.填空题

（1）微分方程y1的通解为_____________. 21x

（2）微分方程y1(y)2的通解为____________._

（3）微分方程yyx的通解为_____________.

（4）微分方程yy(y)2y的通解为_____________.

（5）微分方程y2(y)20的通解为_____________. 1y

（6）设y1x2与y2x2lnx是方程x2y3xy4y0的特解，则其方程的通解为____________.

2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解

d2y10,y y2dx3

x11,dy

dxx10.

班级： 姓名： 学号：

3.求下列微分方程满足初始条件的特解：

2 (1)yay0, yx00,yx01

ax (2) (1)ye, yx1yx10

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

4.试求yx的经过点M(0,1)且在此点与直线y

x1相切的积分曲线 2

5.验证y1ex及y2xex都是方程y4xy(4x22)y0的解，并写出该方程的通解.

22

班级： 姓名： 学号：

d2ydya(x)b(x)yf(x)的6.设函数y1(x),y2(x),y3(x)均是非齐次线性方程2dxdx

特解，其中a(x),b(x),f(x)为已知函数，而且y2(x)y1(x)常数，求证 y3(x)y1(x)

y(x)(1c1c2)y1(x)c1y2(x)c2y3(x) (c1,c2为任意常数）是该方程的通解.

7.证明函数yc1ec2e

的通解.

x2x15xe (c1,c2是任意常数）是方程y3y2ye5x12

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）

1.填空题

（1）微分方程y4y0的通解为_____________________.

（2）微分方程y4y4y0的通解为_____________________.

（3）微分方程y2y5y0的通解为_____________________.

（4）微分方程y2yay0 (a为常数）的通解为__________________________ _____________________________________________.

（5）设2i为方程ypyqy0的特征方程的两根，则其通解为__________________________________.

（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为r12 ,r24，则该二阶常系数齐次线性微分方程为___________________________.

班级： 姓名： 学号：

2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

(1) y4y3y0, y

(2) 4y4yy0, y

x0x06, yx010 2, yx00

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

(3) y4y13y0, y

3.求以y1e,y2xe为特解的二阶常系数齐次线性微分方程

xxx00, yx03

班级： 姓名： 学号

4.方程4y9y0的一条积分曲线经过点(,1)且在该点和直线y1x相切，求这条曲线方程

22 5.求xy(y)0的过（1，0）点，且在此点与yx1相切的积分曲线.

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

微积分练习册[第八章]多元函数微分学

习题8-1 多元函数的基本概念

1.填空题：

（1）若f(x,y)xyxytan22x，则f(tx,ty)___________ y

yx2y2

（2）若f(x,y)，则f(2,3)________,f(1,)________ x2xy

y （3）若f()xx2y2 (y0)，则f(x)__________y

y

x22__ （4）若f(xy,)xy，则f(x,y)__________

（5）函数z4xy2

ln(1xy)22的定义域是_______________

（6）函数zxy的定义域是_______________

y的定义域是________________ x (7)函数zarcsin

y22x （8）函数z2的间断点是_______________ y2x

2.求下列极限：

（1）lim

2xy4 x0xyy0

班级： 姓名： 学号：

(2) lim

sinxy x0xy0

1cos(x2y2) (3) lim x0(x2y2)x2y2

y0

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

3.证明

(x,y)(0,0)limxyxy220

x2y 4.证明：极限lim0不存在 (x,y)(0,0)x4y2

班级： 姓名： 学号：

1xsin,(x,y)(0,0) 5.函数f(x,y)在点（0，0）处是否连续？为什么？ x2y2

0, (x,y)(0,0)

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题 8-2偏导数及其在经济分析中的应用

1.填空题

（1）设zlntanxzz__________，则; yxy

zz__________; xy （2）设ze(xy)，则xy

（3）设uxyuuu,________，则; zxyz

y2z2z2z （4）设zaxctan，则2_________,2_________,________ xxyxy

xz2u （5）设u()，则; ________yxy

（6）设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则limx0f(ax,b)f(ax,b)_________ x

2.求下列函数的偏导数

(1)z(1xy)y

班级： 姓名： 学号：

(2)uarcsixn(y)

z

3.设zyx，求函数在（1，1）点的二阶偏导数

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

3z3z 4.设zxln(xy)，求2和 2xyxy

5. ze

11()xy，试化简x2zzy2 xy

班级： 姓名： 学号：

3xy,(x,y)(0,0)22f(x,y)xy 6.试证函数 在点（0，0）处的偏导数存在，但不0, (x,y)(0,0)

连续.

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题8-3 全微分及其应用

1.X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：Px10005Qx;PY16004QY

公司X、Y现在的销售量分别是100个单位和250个单位。

（1） X和Y当前的价格弹性是多少？

（2） 假定Y降价后，使QY增加到300个单位，同时导致X的销量Qx下降到75

个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？

(利用弧交叉弹性公式：Erx

Qx2Qx1Py2Py1/) Qx2Qx1Py2Py1

班级： 姓名： 学号：

2.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为：

DA(PrKAIA)/Px;DBKBIB/Px

（1）商品X的市场需求函数；

（2）计算对商品X的市场需求价格弹性；若Y是另外一种商品，Pr是其价格，求商品X对Y的需求交叉弹性

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

3.求下列函数的全微分

（1）u

st st

x（2）设f(x,y,z)()z，求df(1,1,1) y

1

班级： 姓名： 学号：

（3）zln(1x2y2)，求当x1,y2,x0.1,y0.2的全增量z和全微分dz

33 4.计算(1.02)(1.97)的近似值

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题8-4 多元复合函数的求导法则

1.填空题

（1）设zulnv而u2xzz,v3x2y，则___________ yxy

（2）设zarsin(xy)而x3t，则dz_________ dt

dueax(yz)________ （3）设u,而，则yasinx,zcosxdxa21

（4）设zarctan(xy),而yex，则

（5）设uf(x2y2,exy)，则dz________ dxuu___________ xy

（6）uf(x,xy,xyz)，则

u________ x

班级： 姓名： 学号：

12z 2.设zf(xy)yf(xy),f具有二阶连续导数，求 xxy

2zx 3.设zf(x,),f具有二阶连续偏导数，求2 yx

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

y22z),f，具有二阶连续偏导数，求 4.设zxf(2x,. xxy

5.设zf(sinx,cosy,e

xy2z),f，具有二阶连续偏导数，求2 x

班级： 姓名： 学号：

22z2z 7.设f与g有二阶连续导数，且zf(xat)g(xat)，证明：2a tx2

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题8-5 隐函数的求导公式

1.填空题：

（1

）设arctanydy________ ，则dxx

（2）设x2yz2xyz0，则zz______ xy

（3）设xzzzln，则___________ xyzy

zz_________ xy（4）设zxyz，则

2z2.设exyz，求 xyz

班级： 姓名： 学号：

2z3.设z3xyza，求 xy33

4.设2sin(x2y3z)x2y3z，求

zz xy

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

22dydzzxy, 5.设2，求22dxdxx2y3z20

6.设yf(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)0所确定的x,y的函数，求

dy dx

班级： 姓名： 学号：

7.设由方程F(xzz,y)0确定zz(x,y)，F具有一阶连续偏导数，证明： yx

x

zzyzxy xy

8.设xx(y,z),yy(z,x),z(x,y)，都是由方程F(x,y,z)0所确定的有连续偏导数的函数，证明：

xyz1 yzx

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

习题8-6 多元函数的极值及其应用

1.填空题：

（1）zx2y22xy4xgyz驻点为_____________

（2）f(x,y)4(xy)x2y2的极值为_______________

（3）f(x,y)e2x(xy22y)的极______值为_________________

（4）zxy在适合附加条件xy1下的极大值为____________________

22（5）uf(x,y)xx2y2在Dx,yxy1上的最大值为

______________，最小值为______________

2.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.

班级： 姓名： 学号：

223.旋转抛物面zxy被平面xyz1截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与

最短距离

微积分练习册[第八章] 多元函数微分学

4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为(3xy)x,(4x2y)y,(0)，求使产鱼总量最大的放养数

班级： 姓名： 学号：

5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量：若生产

函数为Q2x1x2，其中,为正常数，且1，假设两种要素的价格分别为p1和

p2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

微积分练习册[第九章]二重积分

习题9-1 二重积分的概念与性质

1.填空题

（1）当函数f(x,y)在闭区域D上_________时，则其在D上的二重积分必定存在

（2）二重积分f(x,y)d的几何意义是_____________________________________

D

（3）若f(x,y)在有界闭区域D上可积，且DD1D2，当f(x,y)0时，则f(x,y)d_____________f(x,y)d；

D1D2

当f(x,y)0时，则f(x,y)d_____________f(x,y)d

D1D2

（4）sin(x

D2y2)d______________，其中是圆域x2y242的面积，

16（注：填比较大小符号）

2.比较下列积分的大小：

(1) I123与(xy)dI(xy)d其中积分区域D是由x轴，y轴与直线2

DD

xy1所围成

班级： 姓名： 学号：

(2) I12与ln(xy)dIln(xy)2d，其中

DD

D(x,y)3x5,0y1

3.估计下列积分的值

（1）I

xy(xy1)d，其中D(x,y)0x1,0y2 D

微积分练习册[第九章]二重积分

（2）I

4

．求二重积分

2222，其中(x4y9)dD(x,y)xy4 Dx2y21

班级： 姓名： 学号：

5.利用二重积分定义证明

kf(x,y)dkf(x,y)d（其中为k常数）

DD

微积分练习册[第九章]二重积分

习题9-2 利用直角坐标计算二重积分

1.填空题

（1）

(2) (xD

D3 0x1,0y1 3x2yy3)d______________ 其中D：(0,0),(,0),(,)的三（xcos(xy)d___________其中D：顶点分别为

角形闭区域

(3)将二重积分Df(x,y)d，其中D是由x轴及上半圆周x2y2r2(y0)所围成

的闭区域，化为先y后x的积分，应为__________________________________

（4）将二重积分Df(x,y)d，其中D是由直线yx,x2及双曲线y1(x0)x

所围成的闭区域，化为先x后y的积分，应为_________________________________

（5）将二次积分

（6）将二次积分 2 1  dx2xx2 2xsinx

x

2f(x,y)dy改换积分次序，应为______________________ f(x,y)dy改换积分次序，应用______________________  0 dx -sin

（7

）将二次积分 1

e dy2 2 -lnyf(x,y)dx 1 1 2 (y1)2f(x,y)dx改换积分次序，应

为______________________

（8）将二次积分 1

0 dy2y 0f(x,y)dxdy 1 3 3y 0f(x,y)dx，改换积分次序，应为

_____________________

班级： 姓名： 学号：

2.计算下列二重积分：

(1)

(2)

xxyeD2y2d,其中D(x,y)axb,cyd (xD2y2)d,其中D是由直线y2,yx，及y2x所围成的闭区域.

微积分练习册[第九章]二重积分

(3)

Dyx2dxdy,其中D：1x1,0y2

3.

计算二次积分

 1 0dy 1dx yx

班级： 姓名： 学号：

4.交换积分次序，证明：

dye 0 0aym(a-x)f(x)dx(ax)em(ax)f(x)dx 0a

5.求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积.

微积分练习册[第九章]二重积分

习题9-3 利用极坐标计算二重积分

1.填空题

（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分

①

x2y22xy; f(x2y2,)dxdy_________________x

22②D(x,y)xy4,yx,e

Dx2y2dxdy____________

（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分

①

②

③

④

 2a 0 1dx1 0 0f(x2y2)dy____________,(a0)

0 2dxfdy________________;

dx x 0yf(arctan)dy________________; x 1 0dxf(x,y)dy________________. 0x2

班级： 姓名： 学号：

2.计算下列二重积分

(1) 2222,其中D是由圆周xy1及坐标轴所围成的在第一象限内ln(1xy)dD

的闭区域.

(2)

D1x2y2dxdy,其中D是由曲线yx2与直线yx所围成的闭区域.

微积分练习册[第九章]二重积分

(3)

(4) (2)

D,其中D是由圆周x2y2Rx所围成的闭区域 xD2y22d,其中(2) D:x2y23.

班级： 姓名： 学号：

3.计算二重积分2222，其中D由不等式yRx,xyR,y0确定(yx)dD

（注意选用适当的坐标）

4.计算以xoy面上的圆周xyax(a0)围成的区域为底，而以曲面zxy为顶的曲顶柱体的体积

2222

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-1 微分方程的基本概念

1.填空题

（1）方程x2(y)43yylnx0称为__________阶微分方程

（2）设yy(x,c1,c2,cn)是方程yxy2y的通解，则任意常数的个数n=____________

（3）设曲线yy(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程____________

（4）设曲线yy(x)上任一点(x,y)的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a，则曲线所满足的微分方程________________

（5）某人以本金p0元进行一项投资，投资的年利率为，若以连续复利计，t年后资

_ 金的总额为p(t)__________

（6）方程yx

kt x 0ydx可化为形如_______________微分方程 dQ0.03Q，问C和K的取值应如何？ dt 2.已知Qce满足微分方程

班级： 姓名： 学号

3.、若可导函数f(x)满足方程f(x)2 x

0tf(t)dt1(1)，将（1）式两边求

导，得f(x)2xf(x)(2)

易知f(x)cex(c为任意常数）是（2）的通解，从而f(x)cex为（1）的解，对吗？

4.证明：yc1xc2xlnx是微分方程x2yxyy0的通解.

22

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-2 一阶微分方程(一)

1.求下列微分方程的通解：

1y2

（1）y 21x

(2) y

(3) 3etanydx(2e)secydy0

xx2ey23xy0

班级： 姓名： 学号：

2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）sinycosxdycosysinxdx,yx0

4

（2）

3镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量R0的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系

xydxdy0,y1y1xx01

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-2 一阶微分方程（二）

1.填空题

（1）设y是dyp(x)yQ(x)的一个解，Y是对应的齐次方程的通解，则该方程的dx

x1xe是方程xyyxex的一个特解，则其通解为x通解为___________ （2）y

yx1xe___________ x

（3）微分方程xyyy2lnx0作变换____________可化为一阶线性微分方程

（4）(xy)y(xy)0的通解为______________

x

yxy （5）(12e)dx2e(1

2.求下列微分方程的通解：

(1) xyyx23x2

x)dy0的通解为______________ y

班级： 姓名： 学号：

(2) (x2xyy)yy0

22

3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

dycoxsycotxe5y 4xdx2

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：

（1）

dy(xy)2 dx

(2) xyyy(lnxlny)

班级： 姓名： 学号：

5.已知一曲线过原点，且它在点(x,y)处切线的斜率等于2xy，求该曲线的方程

6.设f(x)可微且满足关系式

2f(t)1dtf(x)1,求f(x) 0 x

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-3 一阶微分方程在经济学中的应用

1.已知某商品的需求价格弹性为EQP(lnP1)，且当P=1时，需求量Q=1 EP

(1)求商品对价格的需求函数

（2）当P时，需求量是否趋于稳定？

2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性3P，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数

2

班级： 姓名： 学号：

3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：Q

其中a0,b0为常数，价格P是时间t的函数，且满足 a,Sbp 2P

dpkQ(p)S(p) (k为正常数） dt

假设当t0时，价格为1，试求：

(1) 需求量等于供给量的均衡价格Pe

(2) 价格函数p(t)

(3) limp(t) t

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为

1N，在任意时刻t已掌握新技术人数为x(t)，其10

变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k0 N，在t0时刻已掌握新技术的人数为

求x(t)

班级： 姓名： 学号：

5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度用这一帐户支付职工工资。若t以年为单位，写出余额Bf(t)所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-4 可降阶的二阶微分方程

1.填空题

（1）微分方程y1的通解为_____________. 21x

（2）微分方程y1(y)2的通解为____________._

（3）微分方程yyx的通解为_____________.

（4）微分方程yy(y)2y的通解为_____________.

（5）微分方程y2(y)20的通解为_____________. 1y

（6）设y1x2与y2x2lnx是方程x2y3xy4y0的特解，则其方程的通解为____________.

2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解

d2y10,y y2dx3

x11,dy

dxx10.

班级： 姓名： 学号：

3.求下列微分方程满足初始条件的特解：

2 (1)yay0, yx00,yx01

ax (2) (1)ye, yx1yx10

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

4.试求yx的经过点M(0,1)且在此点与直线y

x1相切的积分曲线 2

5.验证y1ex及y2xex都是方程y4xy(4x22)y0的解，并写出该方程的通解.

22

班级： 姓名： 学号：

d2ydya(x)b(x)yf(x)的6.设函数y1(x),y2(x),y3(x)均是非齐次线性方程2dxdx

特解，其中a(x),b(x),f(x)为已知函数，而且y2(x)y1(x)常数，求证 y3(x)y1(x)

y(x)(1c1c2)y1(x)c1y2(x)c2y3(x) (c1,c2为任意常数）是该方程的通解.

7.证明函数yc1ec2e

的通解.

x2x15xe (c1,c2是任意常数）是方程y3y2ye5x12

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）

1.填空题

（1）微分方程y4y0的通解为_____________________.

（2）微分方程y4y4y0的通解为_____________________.

（3）微分方程y2y5y0的通解为_____________________.

（4）微分方程y2yay0 (a为常数）的通解为__________________________ _____________________________________________.

（5）设2i为方程ypyqy0的特征方程的两根，则其通解为__________________________________.

（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为r12 ,r24，则该二阶常系数齐次线性微分方程为___________________________.

班级： 姓名： 学号：

2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

(1) y4y3y0, y

(2) 4y4yy0, y

x0x06, yx010 2, yx00

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程

(3) y4y13y0, y

3.求以y1e,y2xe为特解的二阶常系数齐次线性微分方程

xxx00, yx03

班级： 姓名： 学号

4.方程4y9y0的一条积分曲线经过点(,1)且在该点和直线y1x相切，求这条曲线方程

22 5.求xy(y)0的过（1，0）点，且在此点与yx1相切的积分曲线.

微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程