第五节 从新《课程标准》看数学史的教育意义①
数学史与数学哲学、数学方法论和数学教育学一样，都是数学文化的一个模块．在第四、六、十章，我们分别对数学教育、数学方法论和数学哲学简要地进行了介绍．对于数学史，由于它相对于其他三个模块而言，内容比较集中和单纯，争议也较少，容易从一本书中得到较完整的了解．譬如就笔者所知，近年来，不少高校新开设数学史课程，就普遍采用了中国科学院数学与系统科学研究院李文林研究员所著《数学史概论》（第一版叫作《数学史教程》）．这本书已经突破了传统的单纯罗列数学成果和数学家那种“内史”的写法，也没有受《外国数学史》或《中国数学史》之局限，而是从整个人类数学发展的主线出发，用数学文化史的视野对古今中外的数学发展经历作了一个精练的概括介绍，并夹叙夹议地作了客观的评论．因此，鉴于这些原因，本书就不再专门介绍数学史，只在这里谈谈在基础教育课程改革的理念下，数学史的教育意义．
5.5.1 数学史与数学教育结合概述
在数学几千年漫长的发展进程中，数学史与数学教育几乎一直都相互联系：以发表“爱尔朗根纲领”统一近代几何学而著名的大数学家F．克莱因就曾写过《19世纪数学史》；美国数学教育家D．E史密斯曾关注日本和中国的数学史，他和我国著名数学史家李俨早有交往；前面多次提到的美国数学家M．克莱因本人就身兼数学家、数学教育家、数学哲学家和数学史家多重身份；我国著名数学史家钱宝琮先生不辞辛劳地为中学教师讲课„„20世纪下半叶开始，数学史更深地介入数学教育．1976年一个国际性的“数学史与数学教育”研究组成立．1998年，在法国马塞举行了“数学教育中的历史”国际性会议„„
在我国，2005年5月在西安召开了第一届全国数学史与数学教育会议，对数学史在我国数学教育中的历史、现状作了回顾与反思，对未来的设想则与当前我国正在推进的基础教育课程改革不谋而合．中国科学院数学与系统科学研究院李文林研究员在会议开幕式上说：“数学史研究具有三重目的．一是历史的目的，即恢复历史的本来面目；二是数学的目的，即古为今用，为现实的数学研究与自主创新提供历史借鉴；三是教育的目的，即在数学教育中利用数学史”．
在西安会议上，国内许多著名数学家、数学教育家和数学史家作了精彩的学术讲座，发表了精辟、深刻、全面、系统的见解．例如：
西南师范大学校长宋乃庆教授作了题为“发掘数学史教育功能，促进数学教育发展——新课程理念下的数学史与数学教育”的讲座，分别从：
⑴ 理性思考——适应时代的数学课程理念；
⑵ 理念诉求——数学史和数学史家对数学教育的作用；
⑶ 现象表征——数学史和数学史家在数学教育中的寂寞；
⑷ 原因探究——观念弱化和功利强势挤压；
⑸ 策略设计——让数学史和数学史家走到数学教育的前台．
等几个层次，剖析了数学史与数学教育错综复杂的历史和现实关系，提出了在新课程理念下数学史与①② 本节曾以“从基础教育课程改革谈数学史的教育意义”发表于《黔南民族师范学院学报》，2005年第6期，现在作些微改动放在这里．由于原来是单独成文的，所以有些词句可能会与其他章节有某些重复，但为了保持本文的基本面貌，这里就不作大的改动了．
数学教育结合的策略．并且在最后介绍了他们的一些尝试和体会．主要是在中小学（基础教育阶段）数学教材的编写融入数学史，在中小学教学中分层次按规律渗透数学史，具体层次划分为：
小学阶段——展示兴趣点与兴奋点——激发与唤醒——爱数学；
初中阶段——提供生长点与闪光点——启励与提高——学数学；
高中阶段——设置突破点与制高点——创造与超越——做数学．
可以看出，这是从一名经验丰富的教育家和高校领导的视野提出的宏观与微观结合的、可操作性极强的指导性论著．
北京师范大学刘洁民教授的讲座为：“数学史进入中小学数学课程的意义和影响”．首先就指出：在新一轮中小学数学课程中，数学史首先被看作理解数学的一种途径．数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义．数学史可以使学生感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，认识到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，进而引导他们重视数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系．数学史可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程．对这种创造过程的了解， 可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学．从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛， 而不是单纯地传授知识．这既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容．
刘洁民教授还对数学史进入中小学数学课程带来的连锁反应，即如何提高中小学数学教师的数学史素养？如何实施数学系本科数学史课程的普遍开设？如何培养高师院校数学系数学史师资？等课题进行了有独到见解的阐述，反映了一名数学教育专家对这一领域深刻睿智的洞悉和成熟完善的设想．
由此不难看到数学史正把数学教育引向“数学文化” 的轨道．数学史的介入将为数学教学注入青春活力，带来勃勃生机．为弘扬数学灿烂的历史文化，促进数学教育的蓬勃发展，将数学史有机地渗透、融入数学教学内容之中，即促使数学史与数学教学内容的结合，彼此交融，交相辉映，形成一个水乳交融的完美统一体系．
数学课程要把数学作为一种文化传播给学生．就必须将数学与生活、数学与人类文化交互影响的历史，把数学精神、数学思想方法的形成，把数学知识概念，技能技巧产生的过程，数学的产生、演化、发展的历史进程及未来趋势，数学发展的轨迹和重大历史事件（如著名的三次数学危机）等，完整地呈现给学生．数学与人类文化浩如烟海博大精深的历史内容，将把学生引入人类文化的辉煌殿堂，让学生接受全面的真正意义上的数学教育，增加数学学习的兴味，提高数学教学的质量和效率，加快素质教育的进程．
长期以来，由于种种原因，我国的基础教育课程中数学史基本是空白，翻开传统的中小学数学教材，几乎没有数学史的介绍，学了十多年数学的学生对数学史的了解几乎是零，甚至在基础教育的工作母机——师范院校的数学专业也是如此，这是数学教育的一个失误．我国在数学史的教学和研究中可谓欠账太多，有大量工作要做．所幸的是，基础教育课程改革的春风与第一次全国数学史与数学教育会议在这方面给我们带来由衷的欣慰．相信基础教育课程改革新《课标》指导下的数学教材会在这方面体现崭新的面貌．
鉴于基础教育课程改革提出以数学史为载体树立数学文化观，发挥数学史的教育价值．本节只是概要地从基础教育课程改革的角度谈谈数学史的教育意义．
5.5.2 基础教育课程改革将数学与数学教育提到一个新的高度
教育部2001年审定颁布的《全日制义务教育数学课程标准》指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”；而教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《高中课标准》)指出：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质”、“数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用„„是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要„„使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”„„十分突出地强调了数学的重要性．是对我国长期以来数学教育正反两方面经验教训的反思和数学在现代社会中作用的认识．表明当代数学教育远远不是单纯的某一学科的知识传授，而是一种重要的文化传承，涵盖了科学教育与人文教育．简言之，两个新《课标》对数学与数学教育的定位，都体现了一种新的高度．
新《课标》把素质教育的核心——人的全面发展，着重赋予数学教育，是基础教育课程改革的显著特点．《高中课标》又提出：“数学是人类文化的重要组成部分．数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神．数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观．为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求，设立‘数学史选讲’等专题”③．上述要求实际上已经将数学史的教育功能概括地进行了阐述，说明基础教育课程改革必须有数学史参与．
②①
5.5.3 数学史的教育意义
从基础教育课程改革对数学与数学教育的定位来看，数学史具有以下的教育意义：
1．真正认识数学的文化价值——重视数学
因为文化即人类的文明进化．所以，数学的文化价值则可理解为数学在人类整个文明发展中的作用．从历史来看，数学的文化价值主要体现在以下几个方面：
⑴ 数学为其他科学提供工具和语言
数学语言的显著特征之一是简洁准确，是其它任何语言所无法比拟的，美国数学史家M·克莱因在《西方文化中的数学》中有生动的例子予以说明．任何科学的发展从定性到定量是成熟和精确化的过程，而在这个过程中都要用到数学这个工具．马克思说：“一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步”；“数学王子”高斯说：“数学是科学的女仆”，就是强调数学的工具性，这一点是大多数人都知道的．
⑵ 数学为人类提供理性思维
导致人类社会与人类本身发展的科学就其本质来说是一种理性活动，理性思维是人与其它动物的根本① 教育部：《全日制义务教育数学课程标准》．北京师范大学出版社，2001年版．第2页．
教育部：《普通高中数学课程标准(实验)》．人民教育出版社，2003年版．第1页．
②
区别，是人类的智慧与行动的结晶，人类科学的发展离不开理性思维．在人类科学启蒙的希腊时期，作为“科学的科学”的“智慧之学”——哲学，就是与数学紧密联系在一起的，而作为数学典型特征的“证明”与“算法”则更是训练理性思维的最佳工具．因此，正如《高中课标》指出：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用”．
⑶ 数学是人文社会科学的重要工具
自然科学与人文社会科学是人类科学的两翼．传统观点认为，数学的作用主要体现在自然科学中．实际上，数学的影响遍及人文社会科学的绘画、音乐、建筑、经济学和文学众多方面．M·克莱因在《西方文化中的数学》前言中说：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量„„数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了．作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南”①．经历了中世纪漫长的黑暗宗教统治的思想禁锢后，理性的全面复苏与觉醒，人类近代科学突飞猛进的发展，是从文艺复兴开始的，而文艺复兴当然不只是限于文艺．但就从文艺方面来看，音乐、美术大量利用了透视、对称、黄金分割等手法，经济学对数学的依赖更为密切．因此，人文社会科学也离不开数学．
⑷ 数学能引导人类的思想革命
人类通过科学认识世界，其认识的深度和广度要受一定时期科学水平和技术条件的限制而形成思想的局限，许多因为数学理论体系内部矛盾发展的需要和数学家出于求知目的的探索而得出的纯粹的、抽象的数学成果形成的超前性能够打破这种思想局限，引导思想革命．如海王星的发现是通过数学推理和浩繁艰巨的数学计算而先于观察得到的，它促成了日心说的最终胜利；悖论的产生、数学危机的出现、非欧几何的诞生，都一次次冲击人类思想体系，冲破原有的思想局限和认识视野，更新思想观念，形成思想革命．这些成果的意义绝不仅仅在数学上，在人类的思想史、哲学史、认识史上都有极大的影响．它们使人类在很大程度上改变了原来的看法，重新客观而全面的审视自身认识能力以及现有的知识与逻辑体系的局限，在认识自己和认识客观世界方面有了很大的提高．
⑸ 数学推动人类社会的发展
生产力的发展是推动人类社会发展的根本动力．“科学技术是第一生产力”广泛体现在自然科学的成果在技术层面的应用，这些都离不开数学．相对论、电磁波等改变世界的科学成果，其基础都来自数学；二十世纪计算机诞生和发展导致人类社会各方面发生了巨大变化．这也是数学的成果．数学与人类生产的联系是复杂的、曲折的，社会实践提出的难题需要数学来解决，因数学内部理论体系的需要推动而发展起来的纯粹的、抽象的理论，最终也会用于社会生产的发展．
数学发展史与人类整个文明进化史是并行的，数学史是人类文明史最重要的组成部分之一，能从一个侧面反映的人类文化史．数学史可使我们了解数学的文化价值从而重视数学．
2．概括地认识数学的全貌——了解数学
数学在整个社会发展的中的基础性作用是不言而喻的，随着社会的进步，人们也越来越认识到数学在人类文明的发展中的重要性．而作为数学本身来说，也随着时代的前进而不断地开拓着新的领域，作为一名数学工作者，了解数学发展的全貌是非常必要的．历史探索是理解自身的最好方式，现在的根，深扎在过去．关注历史，思考历史是人类前进的基础，尽管这不能改变历史．近代科学发展的特点是的高度分化
和高度综合，数学在这方面尤为突出．如果把现代数学比喻成一株大树，那么，形成于十七世纪之前的初等数学是大树的根；以微积分为主的古典高等数学是主干；十八世纪以后发展起来的数学内容是大树的枝，现当代数学包含着并且正在继续生长出越来越多的分支，而不同分支产生的新分支又出现交叉而形成交叉或边缘学科，呈现高度分化又高度综合的形势．可谓枝繁叶茂，独木也成林．按美国《数学评论》杂志的分类，当今数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计．有人这样描绘全面认识数学的两难处境：在数学这棵大树外面（意指不介入数学）不知里面的情况——不入虎穴，焉得虎子？而进入里面又可能身陷迷津——“不识庐山真面目，之缘身在此山中”．M．克莱因说：“通常一些课程所介绍的是一些似乎没有什么关系的数学片断，历史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来”．
所以说，要全面了解数学科学，就必须对数学史有了一定的了解，才能达到“会当临绝顶，一览众山小”、“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的境界．
①
3．树立正确的数学观——认识数学
“数学是什么？”即数学观，是数学哲学最基本的问题，也是数学工作者应当知道的基本问题，它影响着数学教育与研究的方向．从亚里士多德给出第一个定义——数学是量的科学——以来，不少数学家、哲学家探索过这个问题，发表过不同的观点，迄今为止，可以找出很多种数学定义．传统的数学观将数学视为研究数量、图形及其相互关系的一门学科．在相当长时期内，我国数学界就是以19世纪恩格斯的描述：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”作为数学的定义的„„19世纪70年代以来，围绕这个问题导致了数学哲学的兴衰——争论本身就源于走入了歧途——实际上数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，数学观也应是动态的，给数学下一个一劳永逸的定义实际上是不大可能的．只有通过对历史的回顾与反思，对数学史有所了解，才能全面深刻地认识和理解数学，形成正确的数学观．
4．纠正数学的公众形象——热爱数学
M·克莱因认为，在教科书和学校的课程中，都将数学看作是一系列毫无意义的、充满技巧性的程序，导致：“有教养的人们几乎普遍拒绝将数学作为一项智力爱好„„对这些通常显得枯燥无味的东西很反感„„就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度．的确，对数学的无知已经成了一种社会风尚”②．我国的实际情况也是这样，大多数公众对数学的应用价值并不真正了解，只觉得数学是一堆数字和公式，抽象、深奥甚至神秘，视数学为枯燥的学科，甚至视其为畏途；较多学生对数学学习只是一种完成任务，一般都难以形成愉快体验，难以产生学习的兴趣．数学教育对学生在情感态度、价值观上不能起到应有的作用，学生数学能力的发展不全面，尤其缺乏实践能力和创新精神„„
国际数学教育的权威学者H·弗赖登塔尔说：“没有一种数学观念象当初被发现那样得以出版．一旦问
③题获得解决，一种技巧得到了发展和使用，就会转向解的程序侧面，„„火热的思考变为冰冷的美丽”．我
国的数学教育长期以来只注重现成数学知识的灌输，使公众难以获得数学的原貌，对数学发展的真实情况一无所知，歪曲了数学的公众形象．它严重影响社会对数学的理解支持、压抑了学生对数学的兴趣．而实际上，数学的发现过程、认识过程、研究形态与教学形态本身是一种“火热的思考”．英国数学史家J．F．斯① M·克莱因．古今数学思想[M]．上海∶上海科学技术出版社，1979．序．
M·克莱因．西方文化中的数学[M]．上海∶复旦大学出版社，2004．前言．
②
科特说：“人类曾经花费了辛勤而艰巨的劳动以建立一个宏伟的结构，在这个结构的基础上产生了近代数学．对这种结构的建立过程的考察不能不引起人们的惊奇和赞叹，对专家来说是如此，对所有认识到数学史和文化史之间的联系是多么密切的人们来说更是如此„„循着我们前辈们在建成的数学这样一座巍峨大厦中所从事的事业的历程前进，没有什么事比这个更令人高兴和具有诱惑力了”①．数学史的任务，就是还历史以本来面目，再现数学发展中“火热的思考”的真实过程即数学发展的原貌，为数学树立准确全面的形象．使公众了解数学、热爱数学．
5．加深对数学的理解——学好数学
由于数学的抽象的特点，其概念、方法和思想大都以抽象的形式出现，如何帮助学生理解接受并能掌握乃至应用这些数学概念、方法和思想，始终是数学教学中需要关注和值得探讨的问题．数学概念和方法形成的知识基础、实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素、发现过程中产生的思想和方法，对于学习、研究和应用数学的人来说，是至关重要的．新《课标》增加了不少适应时代需要的学习内容，使这方面的问题显得尤为重要和突出，数学史再现了发现的曲折过程和产生的思想方法，有助于学生了解数学的原始思考及其来龙去脉，帮助学生对抽象数学概念、方法和思想，获得真正的理解．学生可以从前人的探索与奋斗的曲曲折折中汲取教益，起到激发兴趣、启迪智慧的作用，提高学习数学的效率．
6．科学精神的培养
“科学技术是第一生产力”长期以来在相当广的范围内往往被单纯曲解为科学在物质层面应用，科技教育也常常被理解为科学知识的传授，这在很大程度上是受近代史上改良派“师夷之长以制夷”的实用主义科学观的影响．然而对社会的进步和人才的培养而言，更重要的是科学地对待事物的态度即科学精神的培养．科学精神的主要表现为探索求知、批判质疑、坚持真理、淡泊名利、追求真善美等等．数学发展史上有很多生动的事例和丰富的材料，展现了数学家们的科学精神，他们的事迹都是开展科学精神教育的很好的素材，能让学生体会什么是科学精神，怎样培养科学精神．
7．人的全面发展
不少有识之士认为，长期应试教育形成文科与理科的鸿沟，导致所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会．社会需要全面发展的复合型人才，恢复科学的人文面目，使科学与人贴近，已是当务之急．数学史涉及人类文化的方方面面，是一门文理交叉学科，在推进素质教育和通识教育方面，能起到文理沟通的作用．科学史的奠基者和创始人，美国著名学者乔治．萨顿（G．Sarto，1884～1956）说得好，科学史是自然科学与人文学科之间的桥梁，它能够帮助学生获得自然科学的整体形象、人性的形象，从而全面的理解科学、理解科学与人文的关系．众所周知，北京大学以文科见长，但2000年秋就开始在全校不分文、理，不分年级开设数学素质教育通选课《数学的源与流》（2004年改为《数学的美与理》），不愧为国家最高学府之一，确有战略眼光．
②
8．人格塑造
乔治．萨顿特别强调科学史在促进教育改革与完成科学人文化两方面的重要作用，他曾深刻地指出：在任何学科中任何一个不知道它的历史概况的人是不能被承认为大师的„„他应该熟悉他那一门科学的① [英] J．F．斯科特著、侯德润、张兰译：《数学史》．广西师范大学出版社，2002年版．作者序．
前辈．这几乎是一种道义上的责任，我们可以把它和任何受过教育的公民有责任去了解他自己的国家的历史相比．
伴随着科学的进步，人类社会也在不断地前进．每一次科学发现，都对人类的生活产生了相当的影响；每一次科学发明，都与那些向全人类贡献着自己聪明才智的科学家息息相关．今天人们常说“科学技术是第一生产力”，实际上科学转化为物质生产力——技术，主要体现在物理、化学、生物等自然科学的应用上，而数学对这些科学来说，则是提供思想方法与工具．人文社会科学的发展，则是由生产力的发展所推动的．从这一意义上来说，一部数学发展史，也正是人类创造文明、发展文明的历史．数学家们的辛勤劳动与卓越贡献，正是人类社会发展史上最具耀眼光彩的一环．在群星璀璨的数学发展史上，数学家为了追求真理，不畏险阻，站在“巨人的肩上”，不断超越，推动着数学的发展．而且，在漫长的数学发展道路上，数学家们为了发现和坚持真理，维护新知，敢于向传统旧势力挑战、蔑视教会权威，进行着艰难的探索和奋斗、忍受了世人的曲解冷漠甚至习惯势力和宗教势力的迫害、忍受精神和肉体上的磨难，甚至不惜以生命为代价——希帕索斯因发现2被扔进大海、希帕蒂娅的惨死、伽罗华与罗巴捷夫斯基所遭受的冷遇．罗素和怀特海的三大卷《数学原理》是近2000页满是符号的巨著，给他们两人带来莫大的声誉，但十年拼搏的确使罗素产生一种“以监狱走出来的感觉”„„他们生活的时代和国度以及所从事的研究领域各不相同，但有一点是共同的，这就是对于科学执着的信念、不畏险阻、不畏强权地对真理不屈不挠的探索与坚持、异乎寻常的勤奋、超乎常人的汗水、对社会的强烈责任感与献身精神、自身对物质享受与功名利禄的淡泊．他们留给后世的不仅仅是其不朽的发现发明和理论体系，更重要的还有他们的精神和灵魂——数学家们人格的无穷魅力将永远是人类巨大的精神财富．当今，素质教育要求培养具有德识才学的通才，数学教育也承担着育人的使命．因此，通过对数学史的研究，在了解世界数学宝库中中外各国数学家令人神往的成就的同时，数学前辈的奋斗历程和人格魅力也将起到榜样的教育作用，可以使学生心灵得到净化，意志和情操得到砥砺与提高．
9．正确认识个人的作用
进行数学创造的天赋是某种人的特征，但是这绝对是与辛勤劳动结合起来的．数学家是因发表出论述他们发现的著作而知名的人．数学发展史上许多重大的发明和发现是以数学家的姓名为标志的：欧几里得与《几何原本》、笛卡儿与解析几何、牛顿——莱布尼兹与微积分、罗巴捷夫斯基与非欧几何„„重要的数学建树，仅来自少数杰出的数学家．美国著名数学史家克莱因说：“数学的每一个分支打上了它的奠基者的烙印，并且杰出的人物在确定数学的进程方面起决定性的作用”①、“数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中做出一点一滴贡献的许多人的工作之上的．需要有一个人来走那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的说法，有足够的想像力把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划．在微积中，这个人就是Isaac Newton．”②这些富创造性的杰出人物能够别出蹊径，在前人的基础上集大成而创立新的理论体系．
但是，正如牛顿“站在巨人肩上”和克莱因认为任何较大的数学分支甚或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作．充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人、充满凝聚力的团体的力量和众多个人的贡献共同决定着事业的成就．„„微积分是牛顿和莱布尼茨创造的，同样也是欧多克索斯、阿基米德和许多 17世纪数学家的创造．在数学中，这一点显得特别突出：当一位数学家做出了创造性工作时，他的成功实际上是千百年来数学思想的结晶，凝聚了许多数学家的心血”．如果没有前人的知识作为基础，他们有不可能有这样的建树．正①
M·克莱因：《古今数学思想》（第1册），上海科学技术出版社，1979年版，序第1页．
如库恩科学革命的理论所描绘的，在科学理论的渐变阶段——量的积累阶段，是由众人进行的；而当量变积累到一定程度而形成的突变——科学的革命，则是由少数突出人物完成的．因此，在肯定杰出数学家功绩的时候，应该客观地看到其他人的贡献．所以，数学家帕斯卡（Pascal）说：“当我们援引作者时，我们是援引他们的证明，而不是援引他们的姓名”①．
杰出数学家有时候甚至会阻碍数学的正常发展，数学史上因此而造成的遗憾也不是一、两次：
集合论的创始人——乔治.康托尔的集合论一提出，便招来包括他的老师克罗内克在内一些权威们的极力反对，致使他的身体受到摧残，精神失常，晚年只能在精神病院中度过，并且在那里死去；挪威青年阿贝尔创立了阿贝尔积分，解决了法国著名数学家勒让德苦苦思索40年未曾解决的例题，却得不到当时的数学权威高斯、柯西甚至勒让德本人的支持，也使他在贫困中病殁；高斯因为罗巴切夫斯基的非欧几何著作，既私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”，却害怕有损自己的声誉而不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白；罗巴切夫斯基的第一篇关于非欧几何的论文一问世，却遭到参加当日会议的学术造诣较深的专家西蒙诺夫等人的冷漠和反对；纳什用两篇论文创立了著名的纳什均衡，奠定了现代非合作博弈论的基石，却遭到他的老师冯·诺依曼的断然否定，在此之前他还受到爱因斯坦的冷遇„„
应该说，任何科学领域内的大师，都有扶助后生、支持和鼓励新成果的义务．而上述情况发生的原因，综合起来有几点：一是自己思想上的守旧或受某些错误的学术观念和哲学思想的影响，不能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度；二是一种自傲思想导致看不起从而不相信别人；三是怕承担风险影响自己作为权威的声誉和威望；四是甚至有一种争名夺利、疾贤妒能的自私心理„„从历史唯物主义的观点来看，这也是正常的——历史上的杰出人物也有其局限性，具有对历史促进与阻碍两种作用．明白这一道理，作为数学领域中的前辈，就应该努力摆正自己的位置，坚持“真理面前人人平等”的数学精神，本着对人类的数学事业负责的态度，抛弃任何学术成见和私心杂念．后生则要本着“百花齐放、百家争鸣”的态度大胆地发表自己的创见．前辈则应当好伯乐、用虚心热情、客观冷静的的心态对待自己和别人的研究成果和评论，人人都应力争做数学事业前进的动力，尽可能避免自己成为阻力甚至成为历史的罪人．
10．增进民族自信心和责任感
中国数学有着最悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展．16世纪以后中国在数学乃至整个科学上远远落后于世界，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流．我们常常以我国古代的造纸、火药、指南针和印刷术“四大发明”而自豪．的确，“四大发明”对人类科学与文明起到不可估量的作用．但是，一部不忍卒读的中国积贫积弱的近代史，正是西方列强运用我们发明的火药、指南针装备的坚船利炮轰开我国的国门而写下．这种数学乃至科学上由强到弱的历史演变过程，正是科学史上的“李约瑟难题”．多年来，由于教育上对科学史的遗忘，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对历史及其演变过程一无所知或知之甚少．所以，通过学习数学史，可以使我们了解中国古代数学的辉煌成就，提高民族自尊心与自信心；在缅怀先人成就的同时，不要躺在祖先的功劳簿上自我陶醉，应该深思中国近代数学落后的原因．以史为鉴，总结我国数学发展史上的经验教训、中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，从中提炼有益的思想与方法．对于我们更自觉、更清醒地认识与把握今天以至将来数学科学与数学教育发展的方向，更明确、更有效地从事数学活动，同心同德，激发爱国热情，再创中华民族新的辉煌，振兴中华民族的数学科学事业，有着重要的意义与价值．我们常说，中国要成为二十一世纪的数学大国，这是一个美好的愿望．新中国成立半个多
世纪以来，我们的数学事业有了长足的发展，只看从事数学工作的人数，我国早就是数学大国．但是，如按参加历次世界数学家大会并提交重要论文的人次、提出重要的、有影响的数学思想和创见的人次，每千万人口中杰出数学家数这些指标来衡量，特别是局限在我国本土来看，就显得很不够了．换句话说，数学大国不等于数学强国，我们应立志成为数学强国．毛泽东说过：“中国应该对于人类有更大的贡献”．作为占世界人口四分之一的文明古国，这应该是在各个领域的一种责任——有的专家称为“大国心态”．我们不应该只是着眼于我国数学在世界上排名第几，更不能单从“奥数”比赛的名次来看问题，而应该考虑我们对人类的数学事业作了多少贡献．如果从这样的基点出发，我们的境界就会十分开阔，任务也更加艰巨．
以上，我们对课程改革理念下数学史的教育意义作了十个方面的归纳，意在说明数学史对于课程改革的重要性．本次课程改革对数学文化当然也包含数学史的高度重视，近年来，国内许多高等院校也相继在大学生中开设科学史课程，这是非常令人高兴的．因为这样就基础教育师资培养奠定了良好的基础．相信随着课程改革的进一步深入，数学史的教育意义将会得到更好的发挥．
第五节 从新《课程标准》看数学史的教育意义①
数学史与数学哲学、数学方法论和数学教育学一样，都是数学文化的一个模块．在第四、六、十章，我们分别对数学教育、数学方法论和数学哲学简要地进行了介绍．对于数学史，由于它相对于其他三个模块而言，内容比较集中和单纯，争议也较少，容易从一本书中得到较完整的了解．譬如就笔者所知，近年来，不少高校新开设数学史课程，就普遍采用了中国科学院数学与系统科学研究院李文林研究员所著《数学史概论》（第一版叫作《数学史教程》）．这本书已经突破了传统的单纯罗列数学成果和数学家那种“内史”的写法，也没有受《外国数学史》或《中国数学史》之局限，而是从整个人类数学发展的主线出发，用数学文化史的视野对古今中外的数学发展经历作了一个精练的概括介绍，并夹叙夹议地作了客观的评论．因此，鉴于这些原因，本书就不再专门介绍数学史，只在这里谈谈在基础教育课程改革的理念下，数学史的教育意义．
5.5.1 数学史与数学教育结合概述
在数学几千年漫长的发展进程中，数学史与数学教育几乎一直都相互联系：以发表“爱尔朗根纲领”统一近代几何学而著名的大数学家F．克莱因就曾写过《19世纪数学史》；美国数学教育家D．E史密斯曾关注日本和中国的数学史，他和我国著名数学史家李俨早有交往；前面多次提到的美国数学家M．克莱因本人就身兼数学家、数学教育家、数学哲学家和数学史家多重身份；我国著名数学史家钱宝琮先生不辞辛劳地为中学教师讲课„„20世纪下半叶开始，数学史更深地介入数学教育．1976年一个国际性的“数学史与数学教育”研究组成立．1998年，在法国马塞举行了“数学教育中的历史”国际性会议„„
在我国，2005年5月在西安召开了第一届全国数学史与数学教育会议，对数学史在我国数学教育中的历史、现状作了回顾与反思，对未来的设想则与当前我国正在推进的基础教育课程改革不谋而合．中国科学院数学与系统科学研究院李文林研究员在会议开幕式上说：“数学史研究具有三重目的．一是历史的目的，即恢复历史的本来面目；二是数学的目的，即古为今用，为现实的数学研究与自主创新提供历史借鉴；三是教育的目的，即在数学教育中利用数学史”．
在西安会议上，国内许多著名数学家、数学教育家和数学史家作了精彩的学术讲座，发表了精辟、深刻、全面、系统的见解．例如：
西南师范大学校长宋乃庆教授作了题为“发掘数学史教育功能，促进数学教育发展——新课程理念下的数学史与数学教育”的讲座，分别从：
⑴ 理性思考——适应时代的数学课程理念；
⑵ 理念诉求——数学史和数学史家对数学教育的作用；
⑶ 现象表征——数学史和数学史家在数学教育中的寂寞；
⑷ 原因探究——观念弱化和功利强势挤压；
⑸ 策略设计——让数学史和数学史家走到数学教育的前台．
等几个层次，剖析了数学史与数学教育错综复杂的历史和现实关系，提出了在新课程理念下数学史与①② 本节曾以“从基础教育课程改革谈数学史的教育意义”发表于《黔南民族师范学院学报》，2005年第6期，现在作些微改动放在这里．由于原来是单独成文的，所以有些词句可能会与其他章节有某些重复，但为了保持本文的基本面貌，这里就不作大的改动了．
数学教育结合的策略．并且在最后介绍了他们的一些尝试和体会．主要是在中小学（基础教育阶段）数学教材的编写融入数学史，在中小学教学中分层次按规律渗透数学史，具体层次划分为：
小学阶段——展示兴趣点与兴奋点——激发与唤醒——爱数学；
初中阶段——提供生长点与闪光点——启励与提高——学数学；
高中阶段——设置突破点与制高点——创造与超越——做数学．
可以看出，这是从一名经验丰富的教育家和高校领导的视野提出的宏观与微观结合的、可操作性极强的指导性论著．
北京师范大学刘洁民教授的讲座为：“数学史进入中小学数学课程的意义和影响”．首先就指出：在新一轮中小学数学课程中，数学史首先被看作理解数学的一种途径．数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义．数学史可以使学生感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，认识到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，进而引导他们重视数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系．数学史可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程．对这种创造过程的了解， 可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学．从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛， 而不是单纯地传授知识．这既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容．
刘洁民教授还对数学史进入中小学数学课程带来的连锁反应，即如何提高中小学数学教师的数学史素养？如何实施数学系本科数学史课程的普遍开设？如何培养高师院校数学系数学史师资？等课题进行了有独到见解的阐述，反映了一名数学教育专家对这一领域深刻睿智的洞悉和成熟完善的设想．
由此不难看到数学史正把数学教育引向“数学文化” 的轨道．数学史的介入将为数学教学注入青春活力，带来勃勃生机．为弘扬数学灿烂的历史文化，促进数学教育的蓬勃发展，将数学史有机地渗透、融入数学教学内容之中，即促使数学史与数学教学内容的结合，彼此交融，交相辉映，形成一个水乳交融的完美统一体系．
数学课程要把数学作为一种文化传播给学生．就必须将数学与生活、数学与人类文化交互影响的历史，把数学精神、数学思想方法的形成，把数学知识概念，技能技巧产生的过程，数学的产生、演化、发展的历史进程及未来趋势，数学发展的轨迹和重大历史事件（如著名的三次数学危机）等，完整地呈现给学生．数学与人类文化浩如烟海博大精深的历史内容，将把学生引入人类文化的辉煌殿堂，让学生接受全面的真正意义上的数学教育，增加数学学习的兴味，提高数学教学的质量和效率，加快素质教育的进程．
长期以来，由于种种原因，我国的基础教育课程中数学史基本是空白，翻开传统的中小学数学教材，几乎没有数学史的介绍，学了十多年数学的学生对数学史的了解几乎是零，甚至在基础教育的工作母机——师范院校的数学专业也是如此，这是数学教育的一个失误．我国在数学史的教学和研究中可谓欠账太多，有大量工作要做．所幸的是，基础教育课程改革的春风与第一次全国数学史与数学教育会议在这方面给我们带来由衷的欣慰．相信基础教育课程改革新《课标》指导下的数学教材会在这方面体现崭新的面貌．
鉴于基础教育课程改革提出以数学史为载体树立数学文化观，发挥数学史的教育价值．本节只是概要地从基础教育课程改革的角度谈谈数学史的教育意义．
5.5.2 基础教育课程改革将数学与数学教育提到一个新的高度
教育部2001年审定颁布的《全日制义务教育数学课程标准》指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”；而教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《高中课标准》)指出：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质”、“数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用„„是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要„„使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”„„十分突出地强调了数学的重要性．是对我国长期以来数学教育正反两方面经验教训的反思和数学在现代社会中作用的认识．表明当代数学教育远远不是单纯的某一学科的知识传授，而是一种重要的文化传承，涵盖了科学教育与人文教育．简言之，两个新《课标》对数学与数学教育的定位，都体现了一种新的高度．
新《课标》把素质教育的核心——人的全面发展，着重赋予数学教育，是基础教育课程改革的显著特点．《高中课标》又提出：“数学是人类文化的重要组成部分．数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神．数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观．为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求，设立‘数学史选讲’等专题”③．上述要求实际上已经将数学史的教育功能概括地进行了阐述，说明基础教育课程改革必须有数学史参与．
②①
5.5.3 数学史的教育意义
从基础教育课程改革对数学与数学教育的定位来看，数学史具有以下的教育意义：
1．真正认识数学的文化价值——重视数学
因为文化即人类的文明进化．所以，数学的文化价值则可理解为数学在人类整个文明发展中的作用．从历史来看，数学的文化价值主要体现在以下几个方面：
⑴ 数学为其他科学提供工具和语言
数学语言的显著特征之一是简洁准确，是其它任何语言所无法比拟的，美国数学史家M·克莱因在《西方文化中的数学》中有生动的例子予以说明．任何科学的发展从定性到定量是成熟和精确化的过程，而在这个过程中都要用到数学这个工具．马克思说：“一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步”；“数学王子”高斯说：“数学是科学的女仆”，就是强调数学的工具性，这一点是大多数人都知道的．
⑵ 数学为人类提供理性思维
导致人类社会与人类本身发展的科学就其本质来说是一种理性活动，理性思维是人与其它动物的根本① 教育部：《全日制义务教育数学课程标准》．北京师范大学出版社，2001年版．第2页．
教育部：《普通高中数学课程标准(实验)》．人民教育出版社，2003年版．第1页．
②
区别，是人类的智慧与行动的结晶，人类科学的发展离不开理性思维．在人类科学启蒙的希腊时期，作为“科学的科学”的“智慧之学”——哲学，就是与数学紧密联系在一起的，而作为数学典型特征的“证明”与“算法”则更是训练理性思维的最佳工具．因此，正如《高中课标》指出：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用”．
⑶ 数学是人文社会科学的重要工具
自然科学与人文社会科学是人类科学的两翼．传统观点认为，数学的作用主要体现在自然科学中．实际上，数学的影响遍及人文社会科学的绘画、音乐、建筑、经济学和文学众多方面．M·克莱因在《西方文化中的数学》前言中说：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量„„数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了．作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南”①．经历了中世纪漫长的黑暗宗教统治的思想禁锢后，理性的全面复苏与觉醒，人类近代科学突飞猛进的发展，是从文艺复兴开始的，而文艺复兴当然不只是限于文艺．但就从文艺方面来看，音乐、美术大量利用了透视、对称、黄金分割等手法，经济学对数学的依赖更为密切．因此，人文社会科学也离不开数学．
⑷ 数学能引导人类的思想革命
人类通过科学认识世界，其认识的深度和广度要受一定时期科学水平和技术条件的限制而形成思想的局限，许多因为数学理论体系内部矛盾发展的需要和数学家出于求知目的的探索而得出的纯粹的、抽象的数学成果形成的超前性能够打破这种思想局限，引导思想革命．如海王星的发现是通过数学推理和浩繁艰巨的数学计算而先于观察得到的，它促成了日心说的最终胜利；悖论的产生、数学危机的出现、非欧几何的诞生，都一次次冲击人类思想体系，冲破原有的思想局限和认识视野，更新思想观念，形成思想革命．这些成果的意义绝不仅仅在数学上，在人类的思想史、哲学史、认识史上都有极大的影响．它们使人类在很大程度上改变了原来的看法，重新客观而全面的审视自身认识能力以及现有的知识与逻辑体系的局限，在认识自己和认识客观世界方面有了很大的提高．
⑸ 数学推动人类社会的发展
生产力的发展是推动人类社会发展的根本动力．“科学技术是第一生产力”广泛体现在自然科学的成果在技术层面的应用，这些都离不开数学．相对论、电磁波等改变世界的科学成果，其基础都来自数学；二十世纪计算机诞生和发展导致人类社会各方面发生了巨大变化．这也是数学的成果．数学与人类生产的联系是复杂的、曲折的，社会实践提出的难题需要数学来解决，因数学内部理论体系的需要推动而发展起来的纯粹的、抽象的理论，最终也会用于社会生产的发展．
数学发展史与人类整个文明进化史是并行的，数学史是人类文明史最重要的组成部分之一，能从一个侧面反映的人类文化史．数学史可使我们了解数学的文化价值从而重视数学．
2．概括地认识数学的全貌——了解数学
数学在整个社会发展的中的基础性作用是不言而喻的，随着社会的进步，人们也越来越认识到数学在人类文明的发展中的重要性．而作为数学本身来说，也随着时代的前进而不断地开拓着新的领域，作为一名数学工作者，了解数学发展的全貌是非常必要的．历史探索是理解自身的最好方式，现在的根，深扎在过去．关注历史，思考历史是人类前进的基础，尽管这不能改变历史．近代科学发展的特点是的高度分化
和高度综合，数学在这方面尤为突出．如果把现代数学比喻成一株大树，那么，形成于十七世纪之前的初等数学是大树的根；以微积分为主的古典高等数学是主干；十八世纪以后发展起来的数学内容是大树的枝，现当代数学包含着并且正在继续生长出越来越多的分支，而不同分支产生的新分支又出现交叉而形成交叉或边缘学科，呈现高度分化又高度综合的形势．可谓枝繁叶茂，独木也成林．按美国《数学评论》杂志的分类，当今数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计．有人这样描绘全面认识数学的两难处境：在数学这棵大树外面（意指不介入数学）不知里面的情况——不入虎穴，焉得虎子？而进入里面又可能身陷迷津——“不识庐山真面目，之缘身在此山中”．M．克莱因说：“通常一些课程所介绍的是一些似乎没有什么关系的数学片断，历史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来”．
所以说，要全面了解数学科学，就必须对数学史有了一定的了解，才能达到“会当临绝顶，一览众山小”、“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的境界．
①
3．树立正确的数学观——认识数学
“数学是什么？”即数学观，是数学哲学最基本的问题，也是数学工作者应当知道的基本问题，它影响着数学教育与研究的方向．从亚里士多德给出第一个定义——数学是量的科学——以来，不少数学家、哲学家探索过这个问题，发表过不同的观点，迄今为止，可以找出很多种数学定义．传统的数学观将数学视为研究数量、图形及其相互关系的一门学科．在相当长时期内，我国数学界就是以19世纪恩格斯的描述：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”作为数学的定义的„„19世纪70年代以来，围绕这个问题导致了数学哲学的兴衰——争论本身就源于走入了歧途——实际上数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，数学观也应是动态的，给数学下一个一劳永逸的定义实际上是不大可能的．只有通过对历史的回顾与反思，对数学史有所了解，才能全面深刻地认识和理解数学，形成正确的数学观．
4．纠正数学的公众形象——热爱数学
M·克莱因认为，在教科书和学校的课程中，都将数学看作是一系列毫无意义的、充满技巧性的程序，导致：“有教养的人们几乎普遍拒绝将数学作为一项智力爱好„„对这些通常显得枯燥无味的东西很反感„„就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度．的确，对数学的无知已经成了一种社会风尚”②．我国的实际情况也是这样，大多数公众对数学的应用价值并不真正了解，只觉得数学是一堆数字和公式，抽象、深奥甚至神秘，视数学为枯燥的学科，甚至视其为畏途；较多学生对数学学习只是一种完成任务，一般都难以形成愉快体验，难以产生学习的兴趣．数学教育对学生在情感态度、价值观上不能起到应有的作用，学生数学能力的发展不全面，尤其缺乏实践能力和创新精神„„
国际数学教育的权威学者H·弗赖登塔尔说：“没有一种数学观念象当初被发现那样得以出版．一旦问
③题获得解决，一种技巧得到了发展和使用，就会转向解的程序侧面，„„火热的思考变为冰冷的美丽”．我
国的数学教育长期以来只注重现成数学知识的灌输，使公众难以获得数学的原貌，对数学发展的真实情况一无所知，歪曲了数学的公众形象．它严重影响社会对数学的理解支持、压抑了学生对数学的兴趣．而实际上，数学的发现过程、认识过程、研究形态与教学形态本身是一种“火热的思考”．英国数学史家J．F．斯① M·克莱因．古今数学思想[M]．上海∶上海科学技术出版社，1979．序．
M·克莱因．西方文化中的数学[M]．上海∶复旦大学出版社，2004．前言．
②
科特说：“人类曾经花费了辛勤而艰巨的劳动以建立一个宏伟的结构，在这个结构的基础上产生了近代数学．对这种结构的建立过程的考察不能不引起人们的惊奇和赞叹，对专家来说是如此，对所有认识到数学史和文化史之间的联系是多么密切的人们来说更是如此„„循着我们前辈们在建成的数学这样一座巍峨大厦中所从事的事业的历程前进，没有什么事比这个更令人高兴和具有诱惑力了”①．数学史的任务，就是还历史以本来面目，再现数学发展中“火热的思考”的真实过程即数学发展的原貌，为数学树立准确全面的形象．使公众了解数学、热爱数学．
5．加深对数学的理解——学好数学
由于数学的抽象的特点，其概念、方法和思想大都以抽象的形式出现，如何帮助学生理解接受并能掌握乃至应用这些数学概念、方法和思想，始终是数学教学中需要关注和值得探讨的问题．数学概念和方法形成的知识基础、实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素、发现过程中产生的思想和方法，对于学习、研究和应用数学的人来说，是至关重要的．新《课标》增加了不少适应时代需要的学习内容，使这方面的问题显得尤为重要和突出，数学史再现了发现的曲折过程和产生的思想方法，有助于学生了解数学的原始思考及其来龙去脉，帮助学生对抽象数学概念、方法和思想，获得真正的理解．学生可以从前人的探索与奋斗的曲曲折折中汲取教益，起到激发兴趣、启迪智慧的作用，提高学习数学的效率．
6．科学精神的培养
“科学技术是第一生产力”长期以来在相当广的范围内往往被单纯曲解为科学在物质层面应用，科技教育也常常被理解为科学知识的传授，这在很大程度上是受近代史上改良派“师夷之长以制夷”的实用主义科学观的影响．然而对社会的进步和人才的培养而言，更重要的是科学地对待事物的态度即科学精神的培养．科学精神的主要表现为探索求知、批判质疑、坚持真理、淡泊名利、追求真善美等等．数学发展史上有很多生动的事例和丰富的材料，展现了数学家们的科学精神，他们的事迹都是开展科学精神教育的很好的素材，能让学生体会什么是科学精神，怎样培养科学精神．
7．人的全面发展
不少有识之士认为，长期应试教育形成文科与理科的鸿沟，导致所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会．社会需要全面发展的复合型人才，恢复科学的人文面目，使科学与人贴近，已是当务之急．数学史涉及人类文化的方方面面，是一门文理交叉学科，在推进素质教育和通识教育方面，能起到文理沟通的作用．科学史的奠基者和创始人，美国著名学者乔治．萨顿（G．Sarto，1884～1956）说得好，科学史是自然科学与人文学科之间的桥梁，它能够帮助学生获得自然科学的整体形象、人性的形象，从而全面的理解科学、理解科学与人文的关系．众所周知，北京大学以文科见长，但2000年秋就开始在全校不分文、理，不分年级开设数学素质教育通选课《数学的源与流》（2004年改为《数学的美与理》），不愧为国家最高学府之一，确有战略眼光．
②
8．人格塑造
乔治．萨顿特别强调科学史在促进教育改革与完成科学人文化两方面的重要作用，他曾深刻地指出：在任何学科中任何一个不知道它的历史概况的人是不能被承认为大师的„„他应该熟悉他那一门科学的① [英] J．F．斯科特著、侯德润、张兰译：《数学史》．广西师范大学出版社，2002年版．作者序．
前辈．这几乎是一种道义上的责任，我们可以把它和任何受过教育的公民有责任去了解他自己的国家的历史相比．
伴随着科学的进步，人类社会也在不断地前进．每一次科学发现，都对人类的生活产生了相当的影响；每一次科学发明，都与那些向全人类贡献着自己聪明才智的科学家息息相关．今天人们常说“科学技术是第一生产力”，实际上科学转化为物质生产力——技术，主要体现在物理、化学、生物等自然科学的应用上，而数学对这些科学来说，则是提供思想方法与工具．人文社会科学的发展，则是由生产力的发展所推动的．从这一意义上来说，一部数学发展史，也正是人类创造文明、发展文明的历史．数学家们的辛勤劳动与卓越贡献，正是人类社会发展史上最具耀眼光彩的一环．在群星璀璨的数学发展史上，数学家为了追求真理，不畏险阻，站在“巨人的肩上”，不断超越，推动着数学的发展．而且，在漫长的数学发展道路上，数学家们为了发现和坚持真理，维护新知，敢于向传统旧势力挑战、蔑视教会权威，进行着艰难的探索和奋斗、忍受了世人的曲解冷漠甚至习惯势力和宗教势力的迫害、忍受精神和肉体上的磨难，甚至不惜以生命为代价——希帕索斯因发现2被扔进大海、希帕蒂娅的惨死、伽罗华与罗巴捷夫斯基所遭受的冷遇．罗素和怀特海的三大卷《数学原理》是近2000页满是符号的巨著，给他们两人带来莫大的声誉，但十年拼搏的确使罗素产生一种“以监狱走出来的感觉”„„他们生活的时代和国度以及所从事的研究领域各不相同，但有一点是共同的，这就是对于科学执着的信念、不畏险阻、不畏强权地对真理不屈不挠的探索与坚持、异乎寻常的勤奋、超乎常人的汗水、对社会的强烈责任感与献身精神、自身对物质享受与功名利禄的淡泊．他们留给后世的不仅仅是其不朽的发现发明和理论体系，更重要的还有他们的精神和灵魂——数学家们人格的无穷魅力将永远是人类巨大的精神财富．当今，素质教育要求培养具有德识才学的通才，数学教育也承担着育人的使命．因此，通过对数学史的研究，在了解世界数学宝库中中外各国数学家令人神往的成就的同时，数学前辈的奋斗历程和人格魅力也将起到榜样的教育作用，可以使学生心灵得到净化，意志和情操得到砥砺与提高．
9．正确认识个人的作用
进行数学创造的天赋是某种人的特征，但是这绝对是与辛勤劳动结合起来的．数学家是因发表出论述他们发现的著作而知名的人．数学发展史上许多重大的发明和发现是以数学家的姓名为标志的：欧几里得与《几何原本》、笛卡儿与解析几何、牛顿——莱布尼兹与微积分、罗巴捷夫斯基与非欧几何„„重要的数学建树，仅来自少数杰出的数学家．美国著名数学史家克莱因说：“数学的每一个分支打上了它的奠基者的烙印，并且杰出的人物在确定数学的进程方面起决定性的作用”①、“数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中做出一点一滴贡献的许多人的工作之上的．需要有一个人来走那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的说法，有足够的想像力把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划．在微积中，这个人就是Isaac Newton．”②这些富创造性的杰出人物能够别出蹊径，在前人的基础上集大成而创立新的理论体系．
但是，正如牛顿“站在巨人肩上”和克莱因认为任何较大的数学分支甚或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作．充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人、充满凝聚力的团体的力量和众多个人的贡献共同决定着事业的成就．„„微积分是牛顿和莱布尼茨创造的，同样也是欧多克索斯、阿基米德和许多 17世纪数学家的创造．在数学中，这一点显得特别突出：当一位数学家做出了创造性工作时，他的成功实际上是千百年来数学思想的结晶，凝聚了许多数学家的心血”．如果没有前人的知识作为基础，他们有不可能有这样的建树．正①
M·克莱因：《古今数学思想》（第1册），上海科学技术出版社，1979年版，序第1页．
如库恩科学革命的理论所描绘的，在科学理论的渐变阶段——量的积累阶段，是由众人进行的；而当量变积累到一定程度而形成的突变——科学的革命，则是由少数突出人物完成的．因此，在肯定杰出数学家功绩的时候，应该客观地看到其他人的贡献．所以，数学家帕斯卡（Pascal）说：“当我们援引作者时，我们是援引他们的证明，而不是援引他们的姓名”①．
杰出数学家有时候甚至会阻碍数学的正常发展，数学史上因此而造成的遗憾也不是一、两次：
集合论的创始人——乔治.康托尔的集合论一提出，便招来包括他的老师克罗内克在内一些权威们的极力反对，致使他的身体受到摧残，精神失常，晚年只能在精神病院中度过，并且在那里死去；挪威青年阿贝尔创立了阿贝尔积分，解决了法国著名数学家勒让德苦苦思索40年未曾解决的例题，却得不到当时的数学权威高斯、柯西甚至勒让德本人的支持，也使他在贫困中病殁；高斯因为罗巴切夫斯基的非欧几何著作，既私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”，却害怕有损自己的声誉而不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白；罗巴切夫斯基的第一篇关于非欧几何的论文一问世，却遭到参加当日会议的学术造诣较深的专家西蒙诺夫等人的冷漠和反对；纳什用两篇论文创立了著名的纳什均衡，奠定了现代非合作博弈论的基石，却遭到他的老师冯·诺依曼的断然否定，在此之前他还受到爱因斯坦的冷遇„„
应该说，任何科学领域内的大师，都有扶助后生、支持和鼓励新成果的义务．而上述情况发生的原因，综合起来有几点：一是自己思想上的守旧或受某些错误的学术观念和哲学思想的影响，不能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度；二是一种自傲思想导致看不起从而不相信别人；三是怕承担风险影响自己作为权威的声誉和威望；四是甚至有一种争名夺利、疾贤妒能的自私心理„„从历史唯物主义的观点来看，这也是正常的——历史上的杰出人物也有其局限性，具有对历史促进与阻碍两种作用．明白这一道理，作为数学领域中的前辈，就应该努力摆正自己的位置，坚持“真理面前人人平等”的数学精神，本着对人类的数学事业负责的态度，抛弃任何学术成见和私心杂念．后生则要本着“百花齐放、百家争鸣”的态度大胆地发表自己的创见．前辈则应当好伯乐、用虚心热情、客观冷静的的心态对待自己和别人的研究成果和评论，人人都应力争做数学事业前进的动力，尽可能避免自己成为阻力甚至成为历史的罪人．
10．增进民族自信心和责任感
中国数学有着最悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展．16世纪以后中国在数学乃至整个科学上远远落后于世界，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流．我们常常以我国古代的造纸、火药、指南针和印刷术“四大发明”而自豪．的确，“四大发明”对人类科学与文明起到不可估量的作用．但是，一部不忍卒读的中国积贫积弱的近代史，正是西方列强运用我们发明的火药、指南针装备的坚船利炮轰开我国的国门而写下．这种数学乃至科学上由强到弱的历史演变过程，正是科学史上的“李约瑟难题”．多年来，由于教育上对科学史的遗忘，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对历史及其演变过程一无所知或知之甚少．所以，通过学习数学史，可以使我们了解中国古代数学的辉煌成就，提高民族自尊心与自信心；在缅怀先人成就的同时，不要躺在祖先的功劳簿上自我陶醉，应该深思中国近代数学落后的原因．以史为鉴，总结我国数学发展史上的经验教训、中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，从中提炼有益的思想与方法．对于我们更自觉、更清醒地认识与把握今天以至将来数学科学与数学教育发展的方向，更明确、更有效地从事数学活动，同心同德，激发爱国热情，再创中华民族新的辉煌，振兴中华民族的数学科学事业，有着重要的意义与价值．我们常说，中国要成为二十一世纪的数学大国，这是一个美好的愿望．新中国成立半个多
世纪以来，我们的数学事业有了长足的发展，只看从事数学工作的人数，我国早就是数学大国．但是，如按参加历次世界数学家大会并提交重要论文的人次、提出重要的、有影响的数学思想和创见的人次，每千万人口中杰出数学家数这些指标来衡量，特别是局限在我国本土来看，就显得很不够了．换句话说，数学大国不等于数学强国，我们应立志成为数学强国．毛泽东说过：“中国应该对于人类有更大的贡献”．作为占世界人口四分之一的文明古国，这应该是在各个领域的一种责任——有的专家称为“大国心态”．我们不应该只是着眼于我国数学在世界上排名第几，更不能单从“奥数”比赛的名次来看问题，而应该考虑我们对人类的数学事业作了多少贡献．如果从这样的基点出发，我们的境界就会十分开阔，任务也更加艰巨．
以上，我们对课程改革理念下数学史的教育意义作了十个方面的归纳，意在说明数学史对于课程改革的重要性．本次课程改革对数学文化当然也包含数学史的高度重视，近年来，国内许多高等院校也相继在大学生中开设科学史课程，这是非常令人高兴的．因为这样就基础教育师资培养奠定了良好的基础．相信随着课程改革的进一步深入，数学史的教育意义将会得到更好的发挥．