幂函数常见题型解析
学习幂函数重点是掌握幂函数的图象特征及有关性质，会根据题意求出函数的定义域、值域，下面就一些常见题型选解如下． 例1
求函数y
=
a
≠0
，n ∈N *）的定义域和值域，并讨论其奇偶性与单调性．
解：分两种情况讨论：
（1）当k 为偶数时，函数的定义域由
x
2n
-a
2n
≥0决定．故x 2n ≥a 2n ，得x ≥a ，即函数的定义域为
{x |x ≤-
a 或x ≥a
}．
⎡+∞)⎣a ，
函数显然是偶函数，它在区间
y ∈[0，+∞)
上为增函数，所以y ∈[0，+∞)；在区间(-∞，-
a ⎦⎤上为减函数，
+∞)． ．故函数的值域为[0，
（2）当k 为奇数时，函数的定义域为R ．
+∞)内函数为增函数，
函数显然是偶函数，由于在区间[0，所以y ∈⎡⎣
+∞
0]内函数为减函数，
)，在区间(-∞，
所以y ∈⎡⎣
+∞
)
，故其值域为⎡⎣
+∞
)．
评注：此题将幂函数与根式相结合，运用了分类讨论的思想．关键是分k 为偶数和奇数两种情况讨论，然后根据
幂函数的性质解答，所以要求同学们对幂函数的性质要“了如指掌”． 例2 已知幂函数 （1）求函数
f (x ) x
2
m -1
2
(m ∈Z )
的图象与x ，y 轴都无交点，且关于原点对称．
f (x ) =x
m -1
的解析式；
（2
）讨论函数F (x )
=b f (x )
的奇偶性．
-1≤0
解：（1）因为函数图象与x 轴，y 轴都无交点，所以m 2 又图象关于原点对称，则m 2 （2
）F (x )
F (-x ) =
a x =，解得-1≤，所以m
=0
m ≤1．
-1为奇数，又因为m ∈Z ，故
f (x ) =x
-1
．
b x
-1
=
a x -
-b x a x
． ，
+b x
，-F (x ) =
+b x
因此，F (x ) 的奇偶性，由参数a ，b 是否为零决定． ①当a ≠0，且b ≠0时，F (x ) 是非奇非偶函数； ②当a =0，且b ≠0时，F (x ) 是奇函数； ③当a ≠0，且b ≠0时，F (x ) 是偶函数；
④当a =0，且b ≠0时，F (x ) 既是奇函数又是偶函数．
=x
α
评注：本题考察了幂函数的图象和解析式的联系．对于幂函数y （1）若图象与x ，y 轴都无交点，则α≤0； （2）若图象过原点，则α>0；
（3）若图象关于y 轴对称，则α为偶数；
（4）若图象关于原点对称，则α为奇数．
的图象：
1
例3 已知x
2
>x 3
2
，求x 的取值范围．
1
解：注意到y
=x
与y
=x 3
均为幂函数，所以在同一个坐标系中作出它们的图法，它将抽象的数量关系数的图象，可以直观、明
象，不难看出，x 的取值范围是x 1．
评注：数形结合是解决数学问题的一类重要的思想方与直观的图形结合起来，使问题变得简单易懂．通过幂函了的掌握幂函数的性质．
提示：要特别注意下面的错误． 解：当x ∵2
>13
>1时，f (x ) =x
1
α
是增函数，
>1；
1
，∴x
2
>x 3
恒成立，故x
a
当0＜x ＜1时， 当x ∴x 当x
f (x ) =x
是减函数，此时有x
1
2
；
时，x
1
2
>0
，而x 3
，
2
>x 3
恒成立，故x
2
． ．
>1或x
=0
或x =1时，x =
13
综上所述，x 的取值范围是x ．
=a (a >0，且a ≠1) 中，自变量为指数
x
以上解法混淆了指数函数和幂函数的概念．指数函数y 幂函数y
=x
α
x ，底数a 为常数；
中，自变量为底数x ，指数α为常数．我们可以通过比较下面两组数的大小来加深对它们的理解．
①比较30.1与30.5的大小；②比较30.5与3.10.5的大小． 解析：①中两个幂底数相同，则联想指数函数y 两个幂指数相同，则联想幂函数y
=x
α
=a (a >0，且a ≠1)
x
，因为y
=3
x
是增函数，所以30.1．
0.5
．②中
，因为y
=x
0.5
(x >0)
为增函数，所以30.5
0.5
相信通过本篇文章的学习同学们对幂函数又有了新的认识，自己总结一下吧！
幂函数常见题型解析
学习幂函数重点是掌握幂函数的图象特征及有关性质，会根据题意求出函数的定义域、值域，下面就一些常见题型选解如下． 例1
求函数y
=
a
≠0
，n ∈N *）的定义域和值域，并讨论其奇偶性与单调性．
解：分两种情况讨论：
（1）当k 为偶数时，函数的定义域由
x
2n
-a
2n
≥0决定．故x 2n ≥a 2n ，得x ≥a ，即函数的定义域为
{x |x ≤-
a 或x ≥a
}．
⎡+∞)⎣a ，
函数显然是偶函数，它在区间
y ∈[0，+∞)
上为增函数，所以y ∈[0，+∞)；在区间(-∞，-
a ⎦⎤上为减函数，
+∞)． ．故函数的值域为[0，
（2）当k 为奇数时，函数的定义域为R ．
+∞)内函数为增函数，
函数显然是偶函数，由于在区间[0，所以y ∈⎡⎣
+∞
0]内函数为减函数，
)，在区间(-∞，
所以y ∈⎡⎣
+∞
)
，故其值域为⎡⎣
+∞
)．
评注：此题将幂函数与根式相结合，运用了分类讨论的思想．关键是分k 为偶数和奇数两种情况讨论，然后根据
幂函数的性质解答，所以要求同学们对幂函数的性质要“了如指掌”． 例2 已知幂函数 （1）求函数
f (x ) x
2
m -1
2
(m ∈Z )
的图象与x ，y 轴都无交点，且关于原点对称．
f (x ) =x
m -1
的解析式；
（2
）讨论函数F (x )
=b f (x )
的奇偶性．
-1≤0
解：（1）因为函数图象与x 轴，y 轴都无交点，所以m 2 又图象关于原点对称，则m 2 （2
）F (x )
F (-x ) =
a x =，解得-1≤，所以m
=0
m ≤1．
-1为奇数，又因为m ∈Z ，故
f (x ) =x
-1
．
b x
-1
=
a x -
-b x a x
． ，
+b x
，-F (x ) =
+b x
因此，F (x ) 的奇偶性，由参数a ，b 是否为零决定． ①当a ≠0，且b ≠0时，F (x ) 是非奇非偶函数； ②当a =0，且b ≠0时，F (x ) 是奇函数； ③当a ≠0，且b ≠0时，F (x ) 是偶函数；
④当a =0，且b ≠0时，F (x ) 既是奇函数又是偶函数．
=x
α
评注：本题考察了幂函数的图象和解析式的联系．对于幂函数y （1）若图象与x ，y 轴都无交点，则α≤0； （2）若图象过原点，则α>0；
（3）若图象关于y 轴对称，则α为偶数；
（4）若图象关于原点对称，则α为奇数．
的图象：
1
例3 已知x
2
>x 3
2
，求x 的取值范围．
1
解：注意到y
=x
与y
=x 3
均为幂函数，所以在同一个坐标系中作出它们的图法，它将抽象的数量关系数的图象，可以直观、明
象，不难看出，x 的取值范围是x 1．
评注：数形结合是解决数学问题的一类重要的思想方与直观的图形结合起来，使问题变得简单易懂．通过幂函了的掌握幂函数的性质．
提示：要特别注意下面的错误． 解：当x ∵2
>13
>1时，f (x ) =x
1
α
是增函数，
>1；
1
，∴x
2
>x 3
恒成立，故x
a
当0＜x ＜1时， 当x ∴x 当x
f (x ) =x
是减函数，此时有x
1
2
；
时，x
1
2
>0
，而x 3
，
2
>x 3
恒成立，故x
2
． ．
>1或x
=0
或x =1时，x =
13
综上所述，x 的取值范围是x ．
=a (a >0，且a ≠1) 中，自变量为指数
x
以上解法混淆了指数函数和幂函数的概念．指数函数y 幂函数y
=x
α
x ，底数a 为常数；
中，自变量为底数x ，指数α为常数．我们可以通过比较下面两组数的大小来加深对它们的理解．
①比较30.1与30.5的大小；②比较30.5与3.10.5的大小． 解析：①中两个幂底数相同，则联想指数函数y 两个幂指数相同，则联想幂函数y
=x
α
=a (a >0，且a ≠1)
x
，因为y
=3
x
是增函数，所以30.1．
0.5
．②中
，因为y
=x
0.5
(x >0)
为增函数，所以30.5
0.5
相信通过本篇文章的学习同学们对幂函数又有了新的认识，自己总结一下吧！