生日相同的概率(一)
教学目标
(一)教学知识点
能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率. (二)能力训练要求
经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
(三)情感与价值观要求
通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣.并且有
助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观. 教学重点：用实验的方法估计一些复杂的随机事件的概率.
教学难点：经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到50个同学中有2个同学生日相同的概率较大.
教学方法：探究——实验——合作交流法.
本课时选择了贴近学生生活的生日问题，旨在通过具体收集数据.进行实验，统计结果，合作交流的过程，丰富学生的活动经验，并初步感受到频率与概率的关系.
教具准备：每个同学课外凋查10个人的生日、生肖； 多媒体课件； 教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]《红楼梦》62回中有这样一段话：
探春笑道：“倒有些意思.一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就这样巧，也有三
个一日的，两个一日的„„过了灯节，就是大太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧，”宝玉
又在旁边补充，一面笑指袭人：“二月十二日是林姑娘的生日，他和林妹妹是一月，他所以 记得.”
关于生日问题，还有几个很有趣的故事：
(1)有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了22名观众，叫他们报出自己的生日，结果竟然有两个人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊.
(2)还有一个人也作了一次实验.一天他与一群高级军官用餐，席问，大家天南地北地
闲聊.慢慢地，话题转到生日上来，他说：“我们来打个赌.我说，我们之间至少有两个人的生日相同.”
“赌输了.罚酒三杯！”在场的军官们都很感兴趣.“行!”在场的各人把生日一一报出.
结果没有生日恰巧相同的. “快!你可得罚酒啊!” 突然，一个女佣人在门口说：
“先生.我的生日正巧与那边的将军一样”. 大家傻了似的望望女佣.他趁机赖掉了三杯罚酒.
那么，在几个人中，有2个人生日相同的可能性到底有多大，即几个人中，有2个人生日相同的概率是多少呢?故事中情境是一种必然还是一种偶然呢? 下面，我们就带着这个问题，学习研究一个历史上很有名的趣味性问题——生日相同的概率.
Ⅱ.经历实验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率 [师]400个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗? [生]一定! [师]依据是什么呢?
[生]抽屉原理——把m个东西任意放进n个空抽屉里(m>n).那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西.
在上面的问题小，由于一年最多有366天，因此，在400个同学中一定会出现至少2个人出生在同月同日.就相当于把400个东西放到366个抽屉里，一定至少有2个东西放在同一抽屉里.
[师]这位同学解释得很精彩!同学们可接着思考：300个同学中，一定有两个同学的生日相同吗? [生]这就不敢保征了.
[师]但我认为我们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同. [生]不可能吧？！(惊讶)
[师]不相信吗?我们现在就来调查一下全班同学的生日，看看有无2个同学的生日是相同的.
为了节约时间，写生日时，可以进行一定的简化，如可将“2月16日”记为“0216”.然后，我们请两位同学把结果板演在黑板上.同时，请同学们想一想：在结果未出来之前，你能猜想到什么？ [生]没有2个同学的生日相同. [生]有2个同学的生日相同. [生]也许会有3个同学的生闩相同， „„
[师]有3个同学的生日当然也必然有2个同学的生日相同了.这节课我们研究的只要有2个同学的生日相同即可.
但是，如果咱们班50个同学中市两个同学的生日相同，那么能说明这50个同学中有
2个同学生日相同的概率是1吗?如果咱们班没有两个同学的生日相同，能说明其相应概率为0吗?
[师]调查的结果出来了.同学们根据调查的结果，反思并评判一下上面的两个问题.
[生]咱们班50个同学中有2个同学的生日相同，并不能说明50个同学中行2个同学生日相同的概率是1；而50个同学中没有2个同学生日相同.也不能说明其相应概率为0.
[生]我也这样想的.例如“随意抛掷一枚硬币.落地后国徽朝上，我们就说同徽朝上的概率为1，国徽朝下的概率是0，很显然是错误的.概率的意义应是建立
在大量的重复实验的基础上，用事件发生的频率近似地表示概率.因此.我们要真正体验随机选取的50个同学中有2个同学生日相同的概率，必须经过大量的重复的实验去体会、感受.
活动一：每个同学课外调查10个人的生日，从全班的调查结果中随机选择50个被调查人，看看他们中有没有2个人的牛日相同.将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案.估计50个人中有2个人生日相同的概率.
(1)设计目的：旨在通过具体收集数据、进行实验、统计结果等过程，进一步丰富学生的数学活动经验，同时对本节问题有比较自观的感知，经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到体问题的概率较大.
(2)准备工作：每个同学课外调查10个人的生日，为了节约时间，可仿照前面的办
法，进行一定的简化，如可将“3月8日”记为“0308”.
(3)设计方案：(可由学小生自主设计，这里的方案，在具体实验时仅供参考) 方案一：在具体实验时，可以将学生所调查的生日写在纸条上并放在箱子里随机抽取.
方案二：将每个同学所调查的生日随机排列成某一适当的形式(如方阵)，然后，再按照某规则从中选取50个进行实验，例如排成20×25的方阵，由学生随机说出从某行某列的一个数开始，从左往右，自上而下地数出50个数，进行实验.
方案三：要求学生每次随机地写下自己查的一个生日，再汇总. (4)过程指导：
(a)收集数据为了节约时间，可以对生日的表示方式简化，还可以以小组的形式参与整理、收集数据，以保证时间的充分利用.
(b)鼓励学生大胆地发言，交流、讨论从大量重复实验过程中初步感受到本问题的概率较大.
(c)在活动和分析的基础上，激励学生提出更好的活动方案，例如，可发动大家随机地写出1～365之间的某一个自然数代表生日进行实验；让同学们分工合作制作365个依次写有1～365的自然数的卡片，放入纸箱，然后随机抽取1张，记下号码放，回去；再随机抽取1张，记下号码，放回去；再从中抽取，一张„„直至抽取第50张.记下号码为一次试验.重复多次实验，即可估计出50个人中有2个人生日相同的概率，实际上这就是模拟实验. (5)评价指导
(a)主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作交流的情况.
(b)鼓励学生思维的多样性.
(c)关注学生能否用实验的方法估计一些较复杂的随机事件发生的概率. (d)关注学生对概率的理解是否全面.
[师]通过大量重复的试验，你能估算一下50个人中有2个人生日相同的概率吗?
[师生共析]我们可从实验的频率估计理论概率，并使我们感受到本问题的概率较大。
约为0.9704.其计算过程稍后再说明.
[生]难怪老师刚开始那么肯定地说：“咱们班50个同学中很可能有2个同学的生日相同.”
[生]原来《红楼梦》中贾宝玉和探春说的“遇的巧”，实则是极为平凡的事. [生]美国数学家伯格米尼和与高级军官一起用餐的那个人，原来他们早已知道这里的“玄机”了.
[师]这个问题出入意料之处在于其结果违反了人们的自觉.人们往往觉得两个人生日相同是一种可能性不大的事情.但计算结果告诉我们：如果人数不少于23人，那么这种可能性就会达到50％.下面是一张说明“几个人中至少有两人生日相同”的概率大小表，你看了一定会很吃惊吧!
Ⅲ.应用、深化——比一比、赛一赛
活动二：课外调查的10个人的生肖分别是什么?他们中有2个人的生肖相同吗?6个人中呢?利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率.
(1)设计目的：本问题与生日问题类似，借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动的经验，对较复杂的概率问题有较直观的感受. (2)设计方案：(可由学生模仿生日问题，自主设计，这里的方案在具体实验时仅供参考)
方案一：将每个同学所调查的生肖随机排成某一适当的形式(如方阵)，然后按照某规则从中随机抽取6个进行实验.
方案：二：分小组实验(6人一组)，要求小组每个成员每次随机地写下自己所调查的一个生肖，由小组组长汇总收集数据，统计结果.最后根据全班收集的数据.估算出6个人中有2个人生肖相同的概率.
方案三：可以将学生所调查的生肖写在纸条上，并放到某个箱子中随机抽取. (3)过程指导
(a)鼓励学生积极、大胆地发言，阐述自己的没计方案.在讨论、交流的过程小进一步感受到大量重复试验中频率稳定于概率的基本意义. (b)在活动和分析的基础上，激励学生探索出该问题的模拟实验. ①评价指导：
(a)主要评价学生能否用实验的方法估计一些复杂的随机事件的慨率. (b)鼓励学生思维的多样性，关注学生对概率意义的理解是否全面. (c)6个人中有2个人生肖相同的概率约为0.78.在这里不要求学生把结果精确到具体哪一位. Ⅳ.课时小结
[师]在这节课快要结束时，我还有一个故事要说，在美国的一次大选期间，两位朋友在一起叙谈，谈到了生日问题.其中一位是懂数学的.他说，以往的36届总统中，该有生日相同的.另一位不信.后来他们查了资料.发现确有生日相同的，而且逝世日相同的：
扑尔克和哈定都生于11月2日，扑尔克生于1795年.而哈定生于1865年. 还有，亚当斯、杰弗孙、门罗三人也都死于7月4日.前两位都是1826年去世的，后面一位死于1831年.
一些别有用心的人常常利用人们这种直觉上的错误，把这些看似巧合，实则平凡而且极为平凡的现象大加渲染，从中谋取暴利.我们要想破除这种迷信思想.必须从科学的角度，通过实验估计随机事件发生的概率，用“知识”去武装我们的头脑.
Ⅴ.课后作业 1.课本习题6.4
2.从网上收集《自觉引出的错误——概论悖论》并在全班交流. Ⅵ.活动与探究
用“树图”原理，求如果你们班上有48人，那么至少有两人生日相同的概率.
[过程]我们设想有365只盒子，盒子上分别标有“1月1日”“1月2日”„„“12月
31日”；另有48颗小球，上面分别写有你班上海个同学的姓名.然后，我们把球随意地抛进盒子中去，如果标着“张三”的球抛进写着“2月5日”的盒子里，那么意味着“张三的生日是2月5日”；如果标着“李四”的球抛入写着”11月11日”的盒子里，那么意味着“李四生于11月11日”；如果标着“赵五”和”王六”的球同时落在写着“8月7日”的盒子里，那么就意味着”赵五和王六的生日相同，都是日月7日”.于是，看有没有同学生日相同，只要看有没有两颗以上的球落在同一盒子里.因此，求“48人中至少有两人生日相同”的概率，只需求“48颗球中，至少有两颗落在同一盒中”的概率.
但是“48颗球中至少有两颗落在同一盒中”的概率不容易求，而它的对立事件“48颗球分别落在不同的盒中”的概率却比较容易求得，因此我们可以先求出它的对立事件的概率，然后再根据上节所述的公式求出它的概率. “48颗球分别落在不同的盒中”的概率仍可利用树图求出.不过这个树图画起来太繁，不妨把树图默记在心中.
抛第一颗球，有365种可能，抛第二颗球，又有365种可能„„因此，这张树图，最终应有 个分叉点.
其中.有多少种情况是“分别落在不同的盒子中”的呢?
抛第一颗球，有365种可能.抛第二颗球时，当然仍有365种可能，但其中只有364种可能是与第一颗球不落在同一盒中的.抛第三颗球时，仍应有365种可能，但其中只有363种是与前两颗球不重复的„„因此，这张树图中，只有365×364×363ׄ×318个分叉点符合“不落入同一盒”的要求.所以，“48颗球分别落在不同的盒中”的概率是 =0.0394
[结果]把事件“48颗球中至少有两颗落在同一盒中”记作A.它的对立事件“48颗球分别落在不同的盒中”可记作 ，于是 P(A)＝1-P( ) ＝1-0.0394＝0.9606.
即“48个人中至少有两人生日相同”的概率是0.9606.其余情况.可类似地进行计算. 板书设计
备课资料
直觉并不可靠 盲棋战
没有学过概率论的人，常常凭直觉估计一个偶然事件发生的概率的大小.但是，直觉常常会欺骗我们.有人说.在数学的各个分支小，没有哪一个分支像概率论那样有那么多的例子能说明直觉的不可靠.这话不假.本章各篇都是这样的例子.不过，为了揭露直觉的错误，要计算出正确的结果×常常需用到不少专门知识，这里就没法向少年朋友介绍了.好在有一个弥补的方法——做试验，只要你肯动手做试验.并且做大量的试验，你会理解的.
这篇文章讲的是怎样排比赛名单的故事. 少年宫请来了一位象棋大师，他对少年象棋队的队员们做了一些辅导之后，决定与少年棋手来几盘棋赛.大师的棋艺高出少年棋手好多好多.怎么能比呢？不要紧，大师下的是盲棋——不看棋盘，由别人将对手的走着告诉大师，大师再把自己的走着告诉这个人，由他代走.
比赛作了这样的约定：由少年象棋队挑出两名队员，轮流与大师赛棋，共赛三盘.如果能连胜大师两盘，就算少年棋队胜.注意，是连胜两盘，不是共胜两盘.
假定少年棋手甲能胜大师的概率中0.75，乙能胜大师的概率是0.5.那么少年棋队应该用“甲——乙——甲”.还是用“乙——甲——乙”的阵容来对付大师呢?
“当然用‘甲—乙——甲’阵容啦!甲是我队最好的队员嘛！”少年棋队的队员们一致这样看.
其实，“甲——乙——甲”阵容战胜大师(连胜两盘)的概率只有 ，而“乙——甲——乙”阵容战胜大师的概率却达到 ，后者大一些. 直觉欺骗了你!
为什么呢?我们在这里只作一些直观的解释
用“甲 乙 甲”阵容参战.最佳的棋手甲可以上场两次.看来好像是有利的.但是，我们现在的规则是：连胜两盘才能算少年队赢.用这个阵容，即使甲胜了两盘，也没用，因为不是“连胜”两盘.
要连胜两盘，必须在第二盘比赛中取胜，因此第二盘比赛上关键.而“乙 甲 乙”阵容，就是把最佳选手甲安排在最关键的场合， 所以是较好的方案.
§6.3.2 生日相同的概率(二)
教学目标 (一)教学知识点
能利用计算器或计算机等进行模拟实验，估计一些复杂的随机事件发生的概率.
(二)能力训练要求
1.经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
2.鼓励学生的思维多样化，避免思维的单一性. (三)情感与价值观要求
1.鼓励学生积极参与数学活动，培养学习数学的兴趣. 2.形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点
利用计算机或计算器等进行模拟实验。估计一些复杂的随机事件发生的概率. 教学难点
用模拟实验代替实际凋查，估计一些随机事件的概率. 教学方法 探索交流法. 教具准备
若干个大小相同的球. 计算器. 教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]我们上节课利用全班的调查数据设计了不同方案。估计6个人中有2个人生肖相同的概率.要想使这种估计尽可能精确，就要尽可能多地增加调查对象，而这样做既费人力又费物力.能不能不用调查即可估计出这一概率呢?请同学们在小组内交流，思考具体方案. Ⅱ.讲授新课
[生]不同的生肖有12个，而我们要估计的是6个人中有2个人生肖相同的概率.可以设计一个自由转动的转盘，并将其等分成面积相等的十二个扇形.分别在每个扇形区域标出相应的生肖或绘出相应的生肖图，然后自由转动转盘6次，记下每次转出的生肖，为一次实验.重复多次实验，即可估计出6个人中有2个人生日相同的概率。
[生]也可以取扑克牌中任何一种花色12张分别代表12个生肖.这样每个人的生肖都对应着一张扑克牌.6个人中有两个人生肖相同.就意味着6张扑克牌中有2张扑克牌完全相同.因此，我们充分“洗”过这12张扑克牌后，从中抽取一张，记下它的牌面数字，放回去；再重新“洗”牌，从中抽取一张，记下它的牌面数字，放回去„„直至重新“洗”牌后.从中抽取一张，记下第6个牌面数字。为一次实验.重复多次实验，即可估计6个人中有2个人生肖相同的概率. [生]还可以用12个编有号码的，大小相同的球代替12种不同的生肖.这样每个人的生肖都对应着一个球.6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同.因此，可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，
记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码.放回去„„直至摸出第6个球，记下第6个号码，为一次实验.重复多次实验，即可估计6个人中有2个人生日相同的概率.
[师]同学们设计的方案都是合理的，都应给予肯定和鼓励.但为什么每次摸出球后都要放回去呢?
[生]为了保证每次摸球时，12个球被摸到的可能性是相同的.保持实验的随机性. [师]上面的方法是用摸球实验代替实际调查，类似这样的实验移为模拟实验.
[议一议]除了用大小相同的12个球进行模拟实验外，你还能想出其他方法吗?
[师]事实上，还可以利用计算器产生的随机数进行模拟实验.
使用计算器产生随机数的大体步骤是：进入产生随机数的状态，输入所产生的随机数的范围，按键得出随机数.具体来说计算器产生随机数的过程如下：
1.打开计算器.
2.按 键，利用或 键选择RANDI，并按 键，进入产生随机数的状态.
3.按键，输入所产生的随机数的范围.
4.每按一次键，计算器就产生一个1—12之间的整数，并显示在显示器的第二行.
(不同的计算器产生随机数的方法可能不同，教学时，可引导学生利用自己所使用的计算器探索产生随机数的具体步骤)
我们用计算器能产生一个1～12之间的一个随机整数，我们如何用计算器模拟刚才的实验呢？
[做一做]两人组成一个小组，利用计算器产生1～12之间的随机数，并记录下来，每产生6个随机数为一次实验，每组做10次实验，看看有几次实验中存在2个相同的整数.将全班的数据集中起来，估计6个1～12之间的整数中有2个数相同的概率.
(要求学生利用计算器实际进行模拟实验，如果学生的计算器不具有产生随机数的功能，那么可以引导学生用其他方法进行模拟实验，如有放回的抽签等.当然，实验结果未必有很好的精确度，只要让学生体会到实验次数很大时结果将较为精确即可.这里的结果未必和上一课时的估计结果一致，但要让学生体会到两者的差异只是由实验次数的差异造成的，当实验次数很大时，两者应较为相近)
[评价指导]1.主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式，与同学合作交流的情况.
2.鼓励学生思维的多样化.
3.关注学生能否用计算器产生的随机数进行模拟实验.
4.关注学生对频率与概率的理解，弄清它们的联系与区别.
Ⅲ.随堂练习
1.用计算器模拟实验估计50个人中有2个人生日相同的概率：
两人组成一个小组。利用计算器产生1～366之间的随机数，并记录下来，每产生50个随机数为一次实验，每组做5次实验，看看有几次实验中存在2个相同的整数.将全班的数据集中起来，估计50个1～366之间的整数中有2个数相同的概率.
(利用计算器模拟实验解决上一课时的生日问题，以加强前后知识的联系，这里的结果未必与上一课时的估计一致，但要让学生进一步体会到两者的差异只是由实验次数的差异造成的，当实验次数很大时，两者应是较为相近的.同时，让学生真正地体会到模型实验既不费时也不费力是一个很好的用实验、统计估计概率的方法)
2.老师有5张电影票，现在要将他们随机分给班上的5个同学，为了保证公正，你能利用计算器帮老师作出决定吗?
解：如班级有45人，可以利用计算器产生5个1～45之间的随机整数，学号与这5个随机数相同的同学将获得电影票，当然，这5个数中可能有重复的.此时，可以利用计算器再产生几个随机数，只要最终产生5个不同的数即可.
3.如果手头没有硬币，那么你能用什么办法模拟掷硬币的实验?你能用计算器模拟该实验吗?做一做，看看结果如何?
解：用计算器进行模拟实验，如可将产生的随机数1对应硬币的正面，而将随机数2对应硬币的反面.如果计算器只有产生，0～1之间随机小数的功能，那么可将0～0.5之间的随机数对应硬币的正面，而将0.5～1之间的随机数对应硬币的反面.可以两人组成一个小组，每组做这样的模拟实验50次，看出现0～0.5之间的数有几个，出现0.5～1之间的数有几个，将全班的数据集中起来，就可估计出硬币投出后，正面(或反面)朝上的概率.
Ⅳ.课时小结
生活中.为了尽可能使实验所得频率稳定于理论概率，并且用频率去估计理论概率，使这种估计尽可能精确，就需要尽可能多地增加调查对象，而这样做即费时又费力，于是为了节省时间和精力，用模拟实验代替实际调查，用计算器产
生的随机数进行模拟实验.经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展了学生合作交流的意识和能力，提高了思维水平.
Ⅴ.课后作业
1.习题6.5第2题.
2.用计算器模拟实验，估计生活中一些复杂的随机事件发生的概率.你还能设计出不同的模拟实验方案吗?
Ⅵ.活动与探究
某种“15选5”的彩票的获奖号码是从1～15这15个数字小选择5个数字(可以重复)，若彩民所选择的5个数字恰与获奖号码相同，即可获得特等奖.小明观察了最近100期获奖号码，发现其中竟有51期有重号(同一期获奖号码有2个或2个以上的数字相同)，66期有连号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相邻).他认为获奖号码不应该有这么多重号和连号，获奖号码可能不是随机产生的，有失公允.小明的观点有道理吗?重号的概率大约是多少?利用计算器模拟实验可以估计重号的概率.
[过程]两人组成一个小组，利用计算器产生1～15之间的随机数.并记录下来，每产生5个随机数为一次实验，每组做10次实验，看看有几次重号和连号.将全班的数据汇总集中起来，就可估计出1～15之间的整数中随机抽出5个数出现重号和连号的概率.
出现重号的概率等.
[结果]小明的观点没有道理。实际上，在完全随机的情况下，出现重号和连号的概率比较大.例如：出现重号的理论概率是1- ≈0.53.当然学生只能通过模拟实验宋体会这一点. 板书设计
§ 6.3.2 生日相同的概率(二)
1.用模拟实验估计6个人中有2个人生肖相同的概率：
方案—：制作卡片、抽签.
方案二：自山转动的转盘.
方案三：利用，计算器产生随机数，进行模拟实验.
2.议一议：计算器产生随机数的过程.
3.做一做：合作交流用计算器产生随机数进行模拟实验.
4.练习：用计算器模拟上节课的生日问题.
备课资料
消息的传播
大家都知道,消息的传播是很快的,那往往是这样假定的：一传十,十传百，百传千„„
现在，假定在某—个有200人的小村庄里,开始有一个人向三个人传出某种消息,第二天,听到消息的三个人中，有—个人把消息传了开去.不过，他也只传了三个人。第三天,刚听到消息的三个人中,也只有一个人把消息传开去，而且也只传三个人„„
在这样的假定下，传播的速度似乎并不十分快.因为不是一传三，三传九，九传二十七„„而是每天只传三个，半个月最多不过传了45人，不到全村人数的四分之一。
但是，有一个出乎意料的情况，半个月之后，几乎必定有人重复听到这一消息.
根据计算.经过15次传播之后，至少有1个人重复听到消息的概率达到99.45%。
你信不信?如果有疑问，可以设计一则实验来验证这个结论.
准备200张卡片，在上面分别写上1，2，3，„,200，将卡片装入布袋里. 第一次从布袋中盲目地取出一张，把号码记下,这个号码就算是消息的发布者，暂时不放回。
第二次，从布袋中盲目取出三张，记下号码，这算是第一批听到消息的三个人，留一张
暂时不放回(这张卡片代表下一次传播消息的人)，另两张放回。
把第一张卡片放回，然后第三次从布袋中盲目取三张卡片，记下号码.这算是第二批听到消息的三个人.留一张暂时不放回，其余两张放回.
把第二次摸出的并暂时留下的一张卡片收回，然后第四次从布袋中摸„„ 看一下，15次后，有没有被重复摸出的?
上述消息传播问题是很有实用价值的，比如，在医疗事业中，必须十分注意疾病的重复感染问题，因为传染病的传播就像消息传播一样，既然重复听到消息的可能性是很大的，当然重复感染的可能性也是很大的。
生日相同的概率(一)
教学目标
(一)教学知识点
能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率. (二)能力训练要求
经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
(三)情感与价值观要求
通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣.并且有
助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观. 教学重点：用实验的方法估计一些复杂的随机事件的概率.
教学难点：经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到50个同学中有2个同学生日相同的概率较大.
教学方法：探究——实验——合作交流法.
本课时选择了贴近学生生活的生日问题，旨在通过具体收集数据.进行实验，统计结果，合作交流的过程，丰富学生的活动经验，并初步感受到频率与概率的关系.
教具准备：每个同学课外凋查10个人的生日、生肖； 多媒体课件； 教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]《红楼梦》62回中有这样一段话：
探春笑道：“倒有些意思.一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就这样巧，也有三
个一日的，两个一日的„„过了灯节，就是大太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧，”宝玉
又在旁边补充，一面笑指袭人：“二月十二日是林姑娘的生日，他和林妹妹是一月，他所以 记得.”
关于生日问题，还有几个很有趣的故事：
(1)有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了22名观众，叫他们报出自己的生日，结果竟然有两个人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊.
(2)还有一个人也作了一次实验.一天他与一群高级军官用餐，席问，大家天南地北地
闲聊.慢慢地，话题转到生日上来，他说：“我们来打个赌.我说，我们之间至少有两个人的生日相同.”
“赌输了.罚酒三杯！”在场的军官们都很感兴趣.“行!”在场的各人把生日一一报出.
结果没有生日恰巧相同的. “快!你可得罚酒啊!” 突然，一个女佣人在门口说：
“先生.我的生日正巧与那边的将军一样”. 大家傻了似的望望女佣.他趁机赖掉了三杯罚酒.
那么，在几个人中，有2个人生日相同的可能性到底有多大，即几个人中，有2个人生日相同的概率是多少呢?故事中情境是一种必然还是一种偶然呢? 下面，我们就带着这个问题，学习研究一个历史上很有名的趣味性问题——生日相同的概率.
Ⅱ.经历实验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率 [师]400个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗? [生]一定! [师]依据是什么呢?
[生]抽屉原理——把m个东西任意放进n个空抽屉里(m>n).那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西.
在上面的问题小，由于一年最多有366天，因此，在400个同学中一定会出现至少2个人出生在同月同日.就相当于把400个东西放到366个抽屉里，一定至少有2个东西放在同一抽屉里.
[师]这位同学解释得很精彩!同学们可接着思考：300个同学中，一定有两个同学的生日相同吗? [生]这就不敢保征了.
[师]但我认为我们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同. [生]不可能吧？！(惊讶)
[师]不相信吗?我们现在就来调查一下全班同学的生日，看看有无2个同学的生日是相同的.
为了节约时间，写生日时，可以进行一定的简化，如可将“2月16日”记为“0216”.然后，我们请两位同学把结果板演在黑板上.同时，请同学们想一想：在结果未出来之前，你能猜想到什么？ [生]没有2个同学的生日相同. [生]有2个同学的生日相同. [生]也许会有3个同学的生闩相同， „„
[师]有3个同学的生日当然也必然有2个同学的生日相同了.这节课我们研究的只要有2个同学的生日相同即可.
但是，如果咱们班50个同学中市两个同学的生日相同，那么能说明这50个同学中有
2个同学生日相同的概率是1吗?如果咱们班没有两个同学的生日相同，能说明其相应概率为0吗?
[师]调查的结果出来了.同学们根据调查的结果，反思并评判一下上面的两个问题.
[生]咱们班50个同学中有2个同学的生日相同，并不能说明50个同学中行2个同学生日相同的概率是1；而50个同学中没有2个同学生日相同.也不能说明其相应概率为0.
[生]我也这样想的.例如“随意抛掷一枚硬币.落地后国徽朝上，我们就说同徽朝上的概率为1，国徽朝下的概率是0，很显然是错误的.概率的意义应是建立
在大量的重复实验的基础上，用事件发生的频率近似地表示概率.因此.我们要真正体验随机选取的50个同学中有2个同学生日相同的概率，必须经过大量的重复的实验去体会、感受.
活动一：每个同学课外调查10个人的生日，从全班的调查结果中随机选择50个被调查人，看看他们中有没有2个人的牛日相同.将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案.估计50个人中有2个人生日相同的概率.
(1)设计目的：旨在通过具体收集数据、进行实验、统计结果等过程，进一步丰富学生的数学活动经验，同时对本节问题有比较自观的感知，经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到体问题的概率较大.
(2)准备工作：每个同学课外调查10个人的生日，为了节约时间，可仿照前面的办
法，进行一定的简化，如可将“3月8日”记为“0308”.
(3)设计方案：(可由学小生自主设计，这里的方案，在具体实验时仅供参考) 方案一：在具体实验时，可以将学生所调查的生日写在纸条上并放在箱子里随机抽取.
方案二：将每个同学所调查的生日随机排列成某一适当的形式(如方阵)，然后，再按照某规则从中选取50个进行实验，例如排成20×25的方阵，由学生随机说出从某行某列的一个数开始，从左往右，自上而下地数出50个数，进行实验.
方案三：要求学生每次随机地写下自己查的一个生日，再汇总. (4)过程指导：
(a)收集数据为了节约时间，可以对生日的表示方式简化，还可以以小组的形式参与整理、收集数据，以保证时间的充分利用.
(b)鼓励学生大胆地发言，交流、讨论从大量重复实验过程中初步感受到本问题的概率较大.
(c)在活动和分析的基础上，激励学生提出更好的活动方案，例如，可发动大家随机地写出1～365之间的某一个自然数代表生日进行实验；让同学们分工合作制作365个依次写有1～365的自然数的卡片，放入纸箱，然后随机抽取1张，记下号码放，回去；再随机抽取1张，记下号码，放回去；再从中抽取，一张„„直至抽取第50张.记下号码为一次试验.重复多次实验，即可估计出50个人中有2个人生日相同的概率，实际上这就是模拟实验. (5)评价指导
(a)主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作交流的情况.
(b)鼓励学生思维的多样性.
(c)关注学生能否用实验的方法估计一些较复杂的随机事件发生的概率. (d)关注学生对概率的理解是否全面.
[师]通过大量重复的试验，你能估算一下50个人中有2个人生日相同的概率吗?
[师生共析]我们可从实验的频率估计理论概率，并使我们感受到本问题的概率较大。
约为0.9704.其计算过程稍后再说明.
[生]难怪老师刚开始那么肯定地说：“咱们班50个同学中很可能有2个同学的生日相同.”
[生]原来《红楼梦》中贾宝玉和探春说的“遇的巧”，实则是极为平凡的事. [生]美国数学家伯格米尼和与高级军官一起用餐的那个人，原来他们早已知道这里的“玄机”了.
[师]这个问题出入意料之处在于其结果违反了人们的自觉.人们往往觉得两个人生日相同是一种可能性不大的事情.但计算结果告诉我们：如果人数不少于23人，那么这种可能性就会达到50％.下面是一张说明“几个人中至少有两人生日相同”的概率大小表，你看了一定会很吃惊吧!
Ⅲ.应用、深化——比一比、赛一赛
活动二：课外调查的10个人的生肖分别是什么?他们中有2个人的生肖相同吗?6个人中呢?利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率.
(1)设计目的：本问题与生日问题类似，借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动的经验，对较复杂的概率问题有较直观的感受. (2)设计方案：(可由学生模仿生日问题，自主设计，这里的方案在具体实验时仅供参考)
方案一：将每个同学所调查的生肖随机排成某一适当的形式(如方阵)，然后按照某规则从中随机抽取6个进行实验.
方案：二：分小组实验(6人一组)，要求小组每个成员每次随机地写下自己所调查的一个生肖，由小组组长汇总收集数据，统计结果.最后根据全班收集的数据.估算出6个人中有2个人生肖相同的概率.
方案三：可以将学生所调查的生肖写在纸条上，并放到某个箱子中随机抽取. (3)过程指导
(a)鼓励学生积极、大胆地发言，阐述自己的没计方案.在讨论、交流的过程小进一步感受到大量重复试验中频率稳定于概率的基本意义. (b)在活动和分析的基础上，激励学生探索出该问题的模拟实验. ①评价指导：
(a)主要评价学生能否用实验的方法估计一些复杂的随机事件的慨率. (b)鼓励学生思维的多样性，关注学生对概率意义的理解是否全面. (c)6个人中有2个人生肖相同的概率约为0.78.在这里不要求学生把结果精确到具体哪一位. Ⅳ.课时小结
[师]在这节课快要结束时，我还有一个故事要说，在美国的一次大选期间，两位朋友在一起叙谈，谈到了生日问题.其中一位是懂数学的.他说，以往的36届总统中，该有生日相同的.另一位不信.后来他们查了资料.发现确有生日相同的，而且逝世日相同的：
扑尔克和哈定都生于11月2日，扑尔克生于1795年.而哈定生于1865年. 还有，亚当斯、杰弗孙、门罗三人也都死于7月4日.前两位都是1826年去世的，后面一位死于1831年.
一些别有用心的人常常利用人们这种直觉上的错误，把这些看似巧合，实则平凡而且极为平凡的现象大加渲染，从中谋取暴利.我们要想破除这种迷信思想.必须从科学的角度，通过实验估计随机事件发生的概率，用“知识”去武装我们的头脑.
Ⅴ.课后作业 1.课本习题6.4
2.从网上收集《自觉引出的错误——概论悖论》并在全班交流. Ⅵ.活动与探究
用“树图”原理，求如果你们班上有48人，那么至少有两人生日相同的概率.
[过程]我们设想有365只盒子，盒子上分别标有“1月1日”“1月2日”„„“12月
31日”；另有48颗小球，上面分别写有你班上海个同学的姓名.然后，我们把球随意地抛进盒子中去，如果标着“张三”的球抛进写着“2月5日”的盒子里，那么意味着“张三的生日是2月5日”；如果标着“李四”的球抛入写着”11月11日”的盒子里，那么意味着“李四生于11月11日”；如果标着“赵五”和”王六”的球同时落在写着“8月7日”的盒子里，那么就意味着”赵五和王六的生日相同，都是日月7日”.于是，看有没有同学生日相同，只要看有没有两颗以上的球落在同一盒子里.因此，求“48人中至少有两人生日相同”的概率，只需求“48颗球中，至少有两颗落在同一盒中”的概率.
但是“48颗球中至少有两颗落在同一盒中”的概率不容易求，而它的对立事件“48颗球分别落在不同的盒中”的概率却比较容易求得，因此我们可以先求出它的对立事件的概率，然后再根据上节所述的公式求出它的概率. “48颗球分别落在不同的盒中”的概率仍可利用树图求出.不过这个树图画起来太繁，不妨把树图默记在心中.
抛第一颗球，有365种可能，抛第二颗球，又有365种可能„„因此，这张树图，最终应有 个分叉点.
其中.有多少种情况是“分别落在不同的盒子中”的呢?
抛第一颗球，有365种可能.抛第二颗球时，当然仍有365种可能，但其中只有364种可能是与第一颗球不落在同一盒中的.抛第三颗球时，仍应有365种可能，但其中只有363种是与前两颗球不重复的„„因此，这张树图中，只有365×364×363ׄ×318个分叉点符合“不落入同一盒”的要求.所以，“48颗球分别落在不同的盒中”的概率是 =0.0394
[结果]把事件“48颗球中至少有两颗落在同一盒中”记作A.它的对立事件“48颗球分别落在不同的盒中”可记作 ，于是 P(A)＝1-P( ) ＝1-0.0394＝0.9606.
即“48个人中至少有两人生日相同”的概率是0.9606.其余情况.可类似地进行计算. 板书设计
备课资料
直觉并不可靠 盲棋战
没有学过概率论的人，常常凭直觉估计一个偶然事件发生的概率的大小.但是，直觉常常会欺骗我们.有人说.在数学的各个分支小，没有哪一个分支像概率论那样有那么多的例子能说明直觉的不可靠.这话不假.本章各篇都是这样的例子.不过，为了揭露直觉的错误，要计算出正确的结果×常常需用到不少专门知识，这里就没法向少年朋友介绍了.好在有一个弥补的方法——做试验，只要你肯动手做试验.并且做大量的试验，你会理解的.
这篇文章讲的是怎样排比赛名单的故事. 少年宫请来了一位象棋大师，他对少年象棋队的队员们做了一些辅导之后，决定与少年棋手来几盘棋赛.大师的棋艺高出少年棋手好多好多.怎么能比呢？不要紧，大师下的是盲棋——不看棋盘，由别人将对手的走着告诉大师，大师再把自己的走着告诉这个人，由他代走.
比赛作了这样的约定：由少年象棋队挑出两名队员，轮流与大师赛棋，共赛三盘.如果能连胜大师两盘，就算少年棋队胜.注意，是连胜两盘，不是共胜两盘.
假定少年棋手甲能胜大师的概率中0.75，乙能胜大师的概率是0.5.那么少年棋队应该用“甲——乙——甲”.还是用“乙——甲——乙”的阵容来对付大师呢?
“当然用‘甲—乙——甲’阵容啦!甲是我队最好的队员嘛！”少年棋队的队员们一致这样看.
其实，“甲——乙——甲”阵容战胜大师(连胜两盘)的概率只有 ，而“乙——甲——乙”阵容战胜大师的概率却达到 ，后者大一些. 直觉欺骗了你!
为什么呢?我们在这里只作一些直观的解释
用“甲 乙 甲”阵容参战.最佳的棋手甲可以上场两次.看来好像是有利的.但是，我们现在的规则是：连胜两盘才能算少年队赢.用这个阵容，即使甲胜了两盘，也没用，因为不是“连胜”两盘.
要连胜两盘，必须在第二盘比赛中取胜，因此第二盘比赛上关键.而“乙 甲 乙”阵容，就是把最佳选手甲安排在最关键的场合， 所以是较好的方案.
§6.3.2 生日相同的概率(二)
教学目标 (一)教学知识点
能利用计算器或计算机等进行模拟实验，估计一些复杂的随机事件发生的概率.
(二)能力训练要求
1.经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
2.鼓励学生的思维多样化，避免思维的单一性. (三)情感与价值观要求
1.鼓励学生积极参与数学活动，培养学习数学的兴趣. 2.形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点
利用计算机或计算器等进行模拟实验。估计一些复杂的随机事件发生的概率. 教学难点
用模拟实验代替实际凋查，估计一些随机事件的概率. 教学方法 探索交流法. 教具准备
若干个大小相同的球. 计算器. 教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]我们上节课利用全班的调查数据设计了不同方案。估计6个人中有2个人生肖相同的概率.要想使这种估计尽可能精确，就要尽可能多地增加调查对象，而这样做既费人力又费物力.能不能不用调查即可估计出这一概率呢?请同学们在小组内交流，思考具体方案. Ⅱ.讲授新课
[生]不同的生肖有12个，而我们要估计的是6个人中有2个人生肖相同的概率.可以设计一个自由转动的转盘，并将其等分成面积相等的十二个扇形.分别在每个扇形区域标出相应的生肖或绘出相应的生肖图，然后自由转动转盘6次，记下每次转出的生肖，为一次实验.重复多次实验，即可估计出6个人中有2个人生日相同的概率。
[生]也可以取扑克牌中任何一种花色12张分别代表12个生肖.这样每个人的生肖都对应着一张扑克牌.6个人中有两个人生肖相同.就意味着6张扑克牌中有2张扑克牌完全相同.因此，我们充分“洗”过这12张扑克牌后，从中抽取一张，记下它的牌面数字，放回去；再重新“洗”牌，从中抽取一张，记下它的牌面数字，放回去„„直至重新“洗”牌后.从中抽取一张，记下第6个牌面数字。为一次实验.重复多次实验，即可估计6个人中有2个人生肖相同的概率. [生]还可以用12个编有号码的，大小相同的球代替12种不同的生肖.这样每个人的生肖都对应着一个球.6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同.因此，可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，
记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码.放回去„„直至摸出第6个球，记下第6个号码，为一次实验.重复多次实验，即可估计6个人中有2个人生日相同的概率.
[师]同学们设计的方案都是合理的，都应给予肯定和鼓励.但为什么每次摸出球后都要放回去呢?
[生]为了保证每次摸球时，12个球被摸到的可能性是相同的.保持实验的随机性. [师]上面的方法是用摸球实验代替实际调查，类似这样的实验移为模拟实验.
[议一议]除了用大小相同的12个球进行模拟实验外，你还能想出其他方法吗?
[师]事实上，还可以利用计算器产生的随机数进行模拟实验.
使用计算器产生随机数的大体步骤是：进入产生随机数的状态，输入所产生的随机数的范围，按键得出随机数.具体来说计算器产生随机数的过程如下：
1.打开计算器.
2.按 键，利用或 键选择RANDI，并按 键，进入产生随机数的状态.
3.按键，输入所产生的随机数的范围.
4.每按一次键，计算器就产生一个1—12之间的整数，并显示在显示器的第二行.
(不同的计算器产生随机数的方法可能不同，教学时，可引导学生利用自己所使用的计算器探索产生随机数的具体步骤)
我们用计算器能产生一个1～12之间的一个随机整数，我们如何用计算器模拟刚才的实验呢？
[做一做]两人组成一个小组，利用计算器产生1～12之间的随机数，并记录下来，每产生6个随机数为一次实验，每组做10次实验，看看有几次实验中存在2个相同的整数.将全班的数据集中起来，估计6个1～12之间的整数中有2个数相同的概率.
(要求学生利用计算器实际进行模拟实验，如果学生的计算器不具有产生随机数的功能，那么可以引导学生用其他方法进行模拟实验，如有放回的抽签等.当然，实验结果未必有很好的精确度，只要让学生体会到实验次数很大时结果将较为精确即可.这里的结果未必和上一课时的估计结果一致，但要让学生体会到两者的差异只是由实验次数的差异造成的，当实验次数很大时，两者应较为相近)
[评价指导]1.主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式，与同学合作交流的情况.
2.鼓励学生思维的多样化.
3.关注学生能否用计算器产生的随机数进行模拟实验.
4.关注学生对频率与概率的理解，弄清它们的联系与区别.
Ⅲ.随堂练习
1.用计算器模拟实验估计50个人中有2个人生日相同的概率：
两人组成一个小组。利用计算器产生1～366之间的随机数，并记录下来，每产生50个随机数为一次实验，每组做5次实验，看看有几次实验中存在2个相同的整数.将全班的数据集中起来，估计50个1～366之间的整数中有2个数相同的概率.
(利用计算器模拟实验解决上一课时的生日问题，以加强前后知识的联系，这里的结果未必与上一课时的估计一致，但要让学生进一步体会到两者的差异只是由实验次数的差异造成的，当实验次数很大时，两者应是较为相近的.同时，让学生真正地体会到模型实验既不费时也不费力是一个很好的用实验、统计估计概率的方法)
2.老师有5张电影票，现在要将他们随机分给班上的5个同学，为了保证公正，你能利用计算器帮老师作出决定吗?
解：如班级有45人，可以利用计算器产生5个1～45之间的随机整数，学号与这5个随机数相同的同学将获得电影票，当然，这5个数中可能有重复的.此时，可以利用计算器再产生几个随机数，只要最终产生5个不同的数即可.
3.如果手头没有硬币，那么你能用什么办法模拟掷硬币的实验?你能用计算器模拟该实验吗?做一做，看看结果如何?
解：用计算器进行模拟实验，如可将产生的随机数1对应硬币的正面，而将随机数2对应硬币的反面.如果计算器只有产生，0～1之间随机小数的功能，那么可将0～0.5之间的随机数对应硬币的正面，而将0.5～1之间的随机数对应硬币的反面.可以两人组成一个小组，每组做这样的模拟实验50次，看出现0～0.5之间的数有几个，出现0.5～1之间的数有几个，将全班的数据集中起来，就可估计出硬币投出后，正面(或反面)朝上的概率.
Ⅳ.课时小结
生活中.为了尽可能使实验所得频率稳定于理论概率，并且用频率去估计理论概率，使这种估计尽可能精确，就需要尽可能多地增加调查对象，而这样做即费时又费力，于是为了节省时间和精力，用模拟实验代替实际调查，用计算器产
生的随机数进行模拟实验.经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展了学生合作交流的意识和能力，提高了思维水平.
Ⅴ.课后作业
1.习题6.5第2题.
2.用计算器模拟实验，估计生活中一些复杂的随机事件发生的概率.你还能设计出不同的模拟实验方案吗?
Ⅵ.活动与探究
某种“15选5”的彩票的获奖号码是从1～15这15个数字小选择5个数字(可以重复)，若彩民所选择的5个数字恰与获奖号码相同，即可获得特等奖.小明观察了最近100期获奖号码，发现其中竟有51期有重号(同一期获奖号码有2个或2个以上的数字相同)，66期有连号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相邻).他认为获奖号码不应该有这么多重号和连号，获奖号码可能不是随机产生的，有失公允.小明的观点有道理吗?重号的概率大约是多少?利用计算器模拟实验可以估计重号的概率.
[过程]两人组成一个小组，利用计算器产生1～15之间的随机数.并记录下来，每产生5个随机数为一次实验，每组做10次实验，看看有几次重号和连号.将全班的数据汇总集中起来，就可估计出1～15之间的整数中随机抽出5个数出现重号和连号的概率.
出现重号的概率等.
[结果]小明的观点没有道理。实际上，在完全随机的情况下，出现重号和连号的概率比较大.例如：出现重号的理论概率是1- ≈0.53.当然学生只能通过模拟实验宋体会这一点. 板书设计
§ 6.3.2 生日相同的概率(二)
1.用模拟实验估计6个人中有2个人生肖相同的概率：
方案—：制作卡片、抽签.
方案二：自山转动的转盘.
方案三：利用，计算器产生随机数，进行模拟实验.
2.议一议：计算器产生随机数的过程.
3.做一做：合作交流用计算器产生随机数进行模拟实验.
4.练习：用计算器模拟上节课的生日问题.
备课资料
消息的传播
大家都知道,消息的传播是很快的,那往往是这样假定的：一传十,十传百，百传千„„
现在，假定在某—个有200人的小村庄里,开始有一个人向三个人传出某种消息,第二天,听到消息的三个人中，有—个人把消息传了开去.不过，他也只传了三个人。第三天,刚听到消息的三个人中,也只有一个人把消息传开去，而且也只传三个人„„
在这样的假定下，传播的速度似乎并不十分快.因为不是一传三，三传九，九传二十七„„而是每天只传三个，半个月最多不过传了45人，不到全村人数的四分之一。
但是，有一个出乎意料的情况，半个月之后，几乎必定有人重复听到这一消息.
根据计算.经过15次传播之后，至少有1个人重复听到消息的概率达到99.45%。
你信不信?如果有疑问，可以设计一则实验来验证这个结论.
准备200张卡片，在上面分别写上1，2，3，„,200，将卡片装入布袋里. 第一次从布袋中盲目地取出一张，把号码记下,这个号码就算是消息的发布者，暂时不放回。
第二次，从布袋中盲目取出三张，记下号码，这算是第一批听到消息的三个人，留一张
暂时不放回(这张卡片代表下一次传播消息的人)，另两张放回。
把第一张卡片放回，然后第三次从布袋中盲目取三张卡片，记下号码.这算是第二批听到消息的三个人.留一张暂时不放回，其余两张放回.
把第二次摸出的并暂时留下的一张卡片收回，然后第四次从布袋中摸„„ 看一下，15次后，有没有被重复摸出的?
上述消息传播问题是很有实用价值的，比如，在医疗事业中，必须十分注意疾病的重复感染问题，因为传染病的传播就像消息传播一样，既然重复听到消息的可能性是很大的，当然重复感染的可能性也是很大的。