线性代数知识点总结
第一章 行列式
(一) 要点
1、二阶、三阶行列式
2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义
3、行列式的性质
4、n 阶行列式D =a ij ，元素a ij 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理
5、克莱姆法则
（二）基本要求
1、理解n 阶行列式的定义
2、掌握n 阶行列式的性质
3、会用定义判定行列式中项的符号
4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即
⎧D i =j a i 1A j 1+a i 2A j 2+ +a in A jn =⎨0 i ≠j ⎩
⎧D i =j a 1i A 1j +a 2i A 2j + +a ni A nj =⎨i ≠j ⎩0
5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：
归化为上三角或下三角行列式，
各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，
利用展开式计算
6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论
会用克莱姆法则解低阶的线性方程组
7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件
第二章 矩阵
（一）要点
1、矩阵的概念
m ⨯n 矩阵A =(a ij ) m ⨯n 是一个矩阵表。当m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A .
注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。
2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法
（1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。
如果两矩阵A 与B 相乘，有AB =BA , 则称矩阵A 与B 可换。
注：矩阵乘积不一定符合交换
（2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ，
A k = A ⋅A ⋅A
k 个
规定A =I , 其中I 为单位阵 .
(3) 设多项式函数ϕ(λ) =a 0λk +a 1λk -1+ +a k -1λ+a k ，A 为方阵，矩阵A 的多项式ϕ(A ) =a 0A k +a 1A k -1+ +a k -1A +a k I , 其中I 为单位阵。
（4）n 阶矩阵A 和B ，则AB =A B .
n （5）n 阶矩阵A ，则λA =λA 0
4、分块矩阵及其运算
5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为A ， *
AA *=A *A =A E
矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。
6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。
7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩
8、矩阵的等价
（二）要求
1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等
2、了解几种特殊的矩阵及其性质
3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质
4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时, 会用伴随矩阵求逆矩阵
5、了解分块矩阵及其运算的方法
（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。
（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m ⨯n ，B n ⨯l ，将矩阵B 分块为
B =(b 1 b 2 b l ) ，其中b j （j =1, 2, l ）是矩阵B 的第j 列，
则
AB =A (b 1 b 2 b l ) =(Ab 1 Ab 2 Ab l )
又如将n 阶矩阵P 分块为P =(p 1 p 2 p n ) ，其中p j （j =1, 2, n ）是矩阵P
的第j 列.
⎡λ1 0 0 0⎤⎡λ1 0 0 0⎤⎢0 λ 0 0⎥⎢0 λ 0 0⎥
22⎥ =(p p p ) ⎢⎥=(λp λp λp ) P ⎢1122n n 12n ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥0 0 0 λ0 0 0 λn ⎦n ⎦⎣⎣
（3）设对角分块矩阵
⎡A 11 ⎤⎢ A ⎥
22⎥, A (P =1, 2, s ) 均为方阵， A =⎢⎢ ⎥PP ⎢⎥ A SS ⎦⎣
A 可逆的充要条件是A PP 均可逆，P =1, 2, s ，且
-1⎡A 11⎤ ⎢⎥-1 A 22 ⎥ A -1=⎢⎢ ⎥ ⎢⎥-1⎢ A ss ⎥⎣ ⎦
6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵
7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论
8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B , 则称矩阵A 和矩阵B 等价，记为A ≅B . m ⨯n 矩阵A 和B 等价当且仅当r (A ) =r (B ) , 在等价意义下的标准型：若r (A ) =r ，则
⎡I r 0⎤ A ≅D r ，D r =⎢⎥，I r 为r 阶单位矩阵。 0 0⎣⎦
因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为A ≅I n 。
第三章 线性方程组
(一) 要点
1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律
记所有n 维向量的集合为R ，R 中定义了n 维向量的线性运算，则称R 为 n 维向量空间。
2、向量间的线性关系
（1）线性组合与线性表示；线性表示的判定
（2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定
3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法
（1）设有两个向量组 n n n
α1, α2, αs (A )
β1, β2, βt (B )
向量组(A ) 和(B ) 可以相互表示，称向量组(A ) 和(B ) 等价。向量组的等价具有传
递性。
（2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同
的个数定义为向量组的秩。
4、矩阵的秩与向量组的秩的关系
5、线性方程组的求解
（1）线性方程组的消元解法
（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定
（3）线性方程组解的结构
（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法
（5）非齐次方程组解的求法
（二）要求
1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律
2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念
3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理
4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法
5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法
6、会用消元法解线性方程组
7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法
8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法
9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法
第四章 矩阵的特征值与特征向量
（一）要点
1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质
2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件
3、实对称矩阵的特征值和特征向量
向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化
（二）要求
1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质
2、掌握特征值与特征向量的求法
3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质
4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法
5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。
第五章 二次型
（一）要点
1、二次型与对称矩阵：
二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系
2、二次型与对称矩阵的标准形
配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形
3、二次型与对称矩阵的有定性
二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定
（二）要求
1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。
2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型
3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义，会判定二次型的正定性。
线性代数知识点总结
第一章 行列式
(一) 要点
1、二阶、三阶行列式
2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义
3、行列式的性质
4、n 阶行列式D =a ij ，元素a ij 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理
5、克莱姆法则
（二）基本要求
1、理解n 阶行列式的定义
2、掌握n 阶行列式的性质
3、会用定义判定行列式中项的符号
4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即
⎧D i =j a i 1A j 1+a i 2A j 2+ +a in A jn =⎨0 i ≠j ⎩
⎧D i =j a 1i A 1j +a 2i A 2j + +a ni A nj =⎨i ≠j ⎩0
5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：
归化为上三角或下三角行列式，
各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，
利用展开式计算
6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论
会用克莱姆法则解低阶的线性方程组
7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件
第二章 矩阵
（一）要点
1、矩阵的概念
m ⨯n 矩阵A =(a ij ) m ⨯n 是一个矩阵表。当m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A .
注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。
2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法
（1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。
如果两矩阵A 与B 相乘，有AB =BA , 则称矩阵A 与B 可换。
注：矩阵乘积不一定符合交换
（2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ，
A k = A ⋅A ⋅A
k 个
规定A =I , 其中I 为单位阵 .
(3) 设多项式函数ϕ(λ) =a 0λk +a 1λk -1+ +a k -1λ+a k ，A 为方阵，矩阵A 的多项式ϕ(A ) =a 0A k +a 1A k -1+ +a k -1A +a k I , 其中I 为单位阵。
（4）n 阶矩阵A 和B ，则AB =A B .
n （5）n 阶矩阵A ，则λA =λA 0
4、分块矩阵及其运算
5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为A ， *
AA *=A *A =A E
矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。
6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。
7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩
8、矩阵的等价
（二）要求
1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等
2、了解几种特殊的矩阵及其性质
3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质
4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时, 会用伴随矩阵求逆矩阵
5、了解分块矩阵及其运算的方法
（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。
（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m ⨯n ，B n ⨯l ，将矩阵B 分块为
B =(b 1 b 2 b l ) ，其中b j （j =1, 2, l ）是矩阵B 的第j 列，
则
AB =A (b 1 b 2 b l ) =(Ab 1 Ab 2 Ab l )
又如将n 阶矩阵P 分块为P =(p 1 p 2 p n ) ，其中p j （j =1, 2, n ）是矩阵P
的第j 列.
⎡λ1 0 0 0⎤⎡λ1 0 0 0⎤⎢0 λ 0 0⎥⎢0 λ 0 0⎥
22⎥ =(p p p ) ⎢⎥=(λp λp λp ) P ⎢1122n n 12n ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥0 0 0 λ0 0 0 λn ⎦n ⎦⎣⎣
（3）设对角分块矩阵
⎡A 11 ⎤⎢ A ⎥
22⎥, A (P =1, 2, s ) 均为方阵， A =⎢⎢ ⎥PP ⎢⎥ A SS ⎦⎣
A 可逆的充要条件是A PP 均可逆，P =1, 2, s ，且
-1⎡A 11⎤ ⎢⎥-1 A 22 ⎥ A -1=⎢⎢ ⎥ ⎢⎥-1⎢ A ss ⎥⎣ ⎦
6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵
7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论
8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B , 则称矩阵A 和矩阵B 等价，记为A ≅B . m ⨯n 矩阵A 和B 等价当且仅当r (A ) =r (B ) , 在等价意义下的标准型：若r (A ) =r ，则
⎡I r 0⎤ A ≅D r ，D r =⎢⎥，I r 为r 阶单位矩阵。 0 0⎣⎦
因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为A ≅I n 。
第三章 线性方程组
(一) 要点
1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律
记所有n 维向量的集合为R ，R 中定义了n 维向量的线性运算，则称R 为 n 维向量空间。
2、向量间的线性关系
（1）线性组合与线性表示；线性表示的判定
（2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定
3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法
（1）设有两个向量组 n n n
α1, α2, αs (A )
β1, β2, βt (B )
向量组(A ) 和(B ) 可以相互表示，称向量组(A ) 和(B ) 等价。向量组的等价具有传
递性。
（2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同
的个数定义为向量组的秩。
4、矩阵的秩与向量组的秩的关系
5、线性方程组的求解
（1）线性方程组的消元解法
（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定
（3）线性方程组解的结构
（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法
（5）非齐次方程组解的求法
（二）要求
1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律
2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念
3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理
4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法
5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法
6、会用消元法解线性方程组
7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法
8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法
9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法
第四章 矩阵的特征值与特征向量
（一）要点
1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质
2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件
3、实对称矩阵的特征值和特征向量
向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化
（二）要求
1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质
2、掌握特征值与特征向量的求法
3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质
4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法
5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。
第五章 二次型
（一）要点
1、二次型与对称矩阵：
二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系
2、二次型与对称矩阵的标准形
配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形
3、二次型与对称矩阵的有定性
二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定
（二）要求
1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。
2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型
3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义，会判定二次型的正定性。