关于系统冲激响应、卷积、系统函数的调研报告
调研目的：深入理解系统的冲击响应、卷积、系统函数 调研时间：2014年 11月 19日 调研地点：图书馆以及互联网
调研者：
邓玉林：负责组员的分工以及ppt 的讲解 陈明：负责调研报告的总结 高洁：负责搜集与管理信息 陈晨：负责ppt 内容的
关于系统冲激响应、卷积、系统函数的调研报告
陈明，邓玉林，陈晨， 高洁
（湖南大学信息科学与工程学院 长沙 410082）
摘要：系统的冲激响应、卷积是信号与系统中的重要知识点，本文主要阐述了求系统零状态响应的卷积分积分法、 卷积分的概念理解、冲激响应及系统函数的理解、分类情况等 关键字：冲激响应，卷积，系统函数
1. 引言
信号系统的冲激响应、卷积及系统函数是《信号与系统》中的重要知识点，本文将对相关知识点进行一定阐述，以便学习与理解。
2. 冲激响应和卷积
2.1求系统零状态响应的卷积积分法
线性非时变系统对任意激励的卷积积分求解，即
(2-17)
式（2-17）的证明过程如图2-17所示。
的零状态响应
，可用
与其单位冲激响应
为时的函数值
的步骤是：
用卷积积分法求线性非时变系统零状态响应(1) 求系统的单位冲激响应
。
。
(2) 按式(2-17)求系统的零状态响应例2-18如图2-18(a)所示电路，激励示。求零状态响应
，并画出波形。
，其波形如图2-18(b)所
解该电路的微分方程为即
其转移算子为
单位冲激响应为
故零状态响应为
的波形如图2-18(c)所示。
例2-19如图2-19(a)所示电路，已知所示。求零状态响应
。
，其波形如图2-19(b)
解电路的单位冲激响应
故零状态响应
为
当t ＜0时， f(t)=0，故
当时，
，
故
当
时，
，故
故得
的波形如图2-19(c)所示。 例2-20图2-20(a)所示电路，已知关于解(1) 求
的单位冲激响应
、零输入响应
，
，
及全响应
。求。
、零状态响应
。图2-20(a)所示电路的算子电路模型如图2-20(b)所示。故
故
(2) 求有
。求零输入响应
的电路如图2-20(c)所示。根据磁链守恒定律与KCL
联解得
又因
，故得特征根
故
故
故得
t>0
的波形如图2-20(d)所示。进而得
(3) 求
激励下的零状态响应
。即
(4) 全响应。即
例2-21已知线性时不变系统对激励示。求该系统的单位冲激响应解根据图2-21(a)可写出
，写出
的零状态响应
如图2-21(a)所
的表示式，画出其波形。
又因有
故有
又
式①和②相等，即
得
h(t)的波形如图2-21(b)所示。
①
②
1.2卷积求解的理解
两个时域上的函数做卷积可以这样理解：一个函数表征一个线性系统的 冲激响应，这个系统可以是时变的，但一定要是线性的；另一个函数表征 输入到该系统的信号；卷积的结果表征线性系统的输出。对于非线性系统， 输出信号无法表示为输入信号与系统冲激响应的卷积，所以有些教材是叫作 信号与线性系统，强调系统的线性。
任何一个信号都可以表示成单位冲击信号之和。当这个信号通过一个线性系统时，若系统的冲击响应已知，则只需将表示该信号的每一个单位冲击信号在不同时延后的冲击响应叠加，总和就是输出信号。
3. 理解冲激响应和系统函数
3.1冲激响应：系统在单位冲激函数激励下引起的零状态响应被称之为该系统的“冲激响应。冲激响应”完全由系统本身的特性所决定，与系统的激励源无关，是用时间函数表示系统特性的一种常用方式。
冲击响应的一般求法：
（1）简单电路，列出微分方程，直接求冲激响应。注意电感电流和电容电压会产生跳变。
（2
）最普遍的一种方法，利用三要素法先求出阶跃响应，再对时间求导的冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应 h(t)=ds(t)/d(t)
其中，h(t)为冲激响应，s(t)为阶跃响应。
3.2系统函数：
我们知道，用单位脉冲响应h(n)可以表示线性时不变离散系统，这时 y（n ）=x（n ）*h（n ）
两边取z 变换： Y(z)=X(z) H(z) 则定义为系统函数。它是单位脉冲响应的z 变换。单位圆上的系统函数z=e就是系统的频率响应。所以可以用单位脉冲响应的z 变换来描述线性时不变离散系统。
几种常用系统：
a. 因果系统——单位脉冲响应h （n ）是因果序列的系统，其系统函数H(z)具有包括∞点的收敛域：Rx-
b. 稳定系统——单位脉冲响应h （n ）满足绝对可和，
因此稳定系统的H （z ）必须在单位圆上收敛，即H(e)存在。 c. 因果稳定系统——最普遍最重要的一种系统，其系统函数H （z ）必须在从单位圆到∞的整个领域收敛，即1≤∣Z|≤∞ ， H （z ）的全部极点在单位圆以内。因此，因果稳定系统的系统函数的全部极点必须在单位圆以内。
4. 总结
系统的冲激响应、卷积是信号与系统中的重要知识点，上文通过知识讲解、例题的形式，及其解法，进行了详细的讲解。本文另外一个重点阐述是冲激响应及系统函数的理解、分类情况等。系统函数的常用系统有因果系统、稳定系统、因果稳定系统。
参考文献：
[1] 郑君里，谷源涛. 信号与系统课程历史变革与进展. 电气电子教学学报[J]. 北京: 第34 卷 第2 期2012 年 4 月;
[2] 郑君里，应启珩，杨为理，“信号与系统”( 上、下册) ［M ］2版，北京: 高等教育出版社，2000 年5 月[3] 胡航. 语言信号处理. 黑龙江:哈尔滨工业大学出版社, 2000.5;
关于系统冲激响应、卷积、系统函数的调研报告
调研目的：深入理解系统的冲击响应、卷积、系统函数 调研时间：2014年 11月 19日 调研地点：图书馆以及互联网
调研者：
邓玉林：负责组员的分工以及ppt 的讲解 陈明：负责调研报告的总结 高洁：负责搜集与管理信息 陈晨：负责ppt 内容的
关于系统冲激响应、卷积、系统函数的调研报告
陈明，邓玉林，陈晨， 高洁
（湖南大学信息科学与工程学院 长沙 410082）
摘要：系统的冲激响应、卷积是信号与系统中的重要知识点，本文主要阐述了求系统零状态响应的卷积分积分法、 卷积分的概念理解、冲激响应及系统函数的理解、分类情况等 关键字：冲激响应，卷积，系统函数
1. 引言
信号系统的冲激响应、卷积及系统函数是《信号与系统》中的重要知识点，本文将对相关知识点进行一定阐述，以便学习与理解。
2. 冲激响应和卷积
2.1求系统零状态响应的卷积积分法
线性非时变系统对任意激励的卷积积分求解，即
(2-17)
式（2-17）的证明过程如图2-17所示。
的零状态响应
，可用
与其单位冲激响应
为时的函数值
的步骤是：
用卷积积分法求线性非时变系统零状态响应(1) 求系统的单位冲激响应
。
。
(2) 按式(2-17)求系统的零状态响应例2-18如图2-18(a)所示电路，激励示。求零状态响应
，并画出波形。
，其波形如图2-18(b)所
解该电路的微分方程为即
其转移算子为
单位冲激响应为
故零状态响应为
的波形如图2-18(c)所示。
例2-19如图2-19(a)所示电路，已知所示。求零状态响应
。
，其波形如图2-19(b)
解电路的单位冲激响应
故零状态响应
为
当t ＜0时， f(t)=0，故
当时，
，
故
当
时，
，故
故得
的波形如图2-19(c)所示。 例2-20图2-20(a)所示电路，已知关于解(1) 求
的单位冲激响应
、零输入响应
，
，
及全响应
。求。
、零状态响应
。图2-20(a)所示电路的算子电路模型如图2-20(b)所示。故
故
(2) 求有
。求零输入响应
的电路如图2-20(c)所示。根据磁链守恒定律与KCL
联解得
又因
，故得特征根
故
故
故得
t>0
的波形如图2-20(d)所示。进而得
(3) 求
激励下的零状态响应
。即
(4) 全响应。即
例2-21已知线性时不变系统对激励示。求该系统的单位冲激响应解根据图2-21(a)可写出
，写出
的零状态响应
如图2-21(a)所
的表示式，画出其波形。
又因有
故有
又
式①和②相等，即
得
h(t)的波形如图2-21(b)所示。
①
②
1.2卷积求解的理解
两个时域上的函数做卷积可以这样理解：一个函数表征一个线性系统的 冲激响应，这个系统可以是时变的，但一定要是线性的；另一个函数表征 输入到该系统的信号；卷积的结果表征线性系统的输出。对于非线性系统， 输出信号无法表示为输入信号与系统冲激响应的卷积，所以有些教材是叫作 信号与线性系统，强调系统的线性。
任何一个信号都可以表示成单位冲击信号之和。当这个信号通过一个线性系统时，若系统的冲击响应已知，则只需将表示该信号的每一个单位冲击信号在不同时延后的冲击响应叠加，总和就是输出信号。
3. 理解冲激响应和系统函数
3.1冲激响应：系统在单位冲激函数激励下引起的零状态响应被称之为该系统的“冲激响应。冲激响应”完全由系统本身的特性所决定，与系统的激励源无关，是用时间函数表示系统特性的一种常用方式。
冲击响应的一般求法：
（1）简单电路，列出微分方程，直接求冲激响应。注意电感电流和电容电压会产生跳变。
（2
）最普遍的一种方法，利用三要素法先求出阶跃响应，再对时间求导的冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应 h(t)=ds(t)/d(t)
其中，h(t)为冲激响应，s(t)为阶跃响应。
3.2系统函数：
我们知道，用单位脉冲响应h(n)可以表示线性时不变离散系统，这时 y（n ）=x（n ）*h（n ）
两边取z 变换： Y(z)=X(z) H(z) 则定义为系统函数。它是单位脉冲响应的z 变换。单位圆上的系统函数z=e就是系统的频率响应。所以可以用单位脉冲响应的z 变换来描述线性时不变离散系统。
几种常用系统：
a. 因果系统——单位脉冲响应h （n ）是因果序列的系统，其系统函数H(z)具有包括∞点的收敛域：Rx-
b. 稳定系统——单位脉冲响应h （n ）满足绝对可和，
因此稳定系统的H （z ）必须在单位圆上收敛，即H(e)存在。 c. 因果稳定系统——最普遍最重要的一种系统，其系统函数H （z ）必须在从单位圆到∞的整个领域收敛，即1≤∣Z|≤∞ ， H （z ）的全部极点在单位圆以内。因此，因果稳定系统的系统函数的全部极点必须在单位圆以内。
4. 总结
系统的冲激响应、卷积是信号与系统中的重要知识点，上文通过知识讲解、例题的形式，及其解法，进行了详细的讲解。本文另外一个重点阐述是冲激响应及系统函数的理解、分类情况等。系统函数的常用系统有因果系统、稳定系统、因果稳定系统。
参考文献：
[1] 郑君里，谷源涛. 信号与系统课程历史变革与进展. 电气电子教学学报[J]. 北京: 第34 卷 第2 期2012 年 4 月;
[2] 郑君里，应启珩，杨为理，“信号与系统”( 上、下册) ［M ］2版，北京: 高等教育出版社，2000 年5 月[3] 胡航. 语言信号处理. 黑龙江:哈尔滨工业大学出版社, 2000.5;