一理明则百法通
―――《两位数乘一位数》教学案例分析
浙江省杭州市抚宁巷小学（310002） 周隽祺
写在前面：
计算在生活中随处可见，并得到了最广泛的应用。在小学阶段，计算教学贯穿整个数学教学过程，数学知识的学习几乎都离不开计算。它是当今数学教学的一个基本点，也是一个难点。我们常说“熟能生巧”，多做一些练习、多花一点时间，学生的计算能力就能达到一个比较高的水平。可是，我们还是会不由自主的思考：计算教学是否就是指导学生学会正确计算，提高计算能力是不是一定要依赖反复的、机械的计算训练，有没有更好的方法在不加重学生课业负担的情况下提高学习效率。
正是基于以上的思考背景，笔者就浙教版《数学》三年级上第一单元“两位数乘一位数”这一内容进行了尝试教学。本课是在学生已经掌握表内乘法和整十数乘一位数的基础上展开的。结合学生的学情，制定了以下教学目标：基本理解两位数乘一位数的算理，能正确计算两位数乘一位数，为乘法分配律、两位数乘两位数及除数是两位数除法的试商做深入铺垫；学生经历与他人交流各自计算方法的过程，体验算法多样化，感受算法最优化；学生在数学学习中获得成功感，树立信心，增强克服困难的勇气和毅力。
课堂回放一. 复习铺垫，适时训练。
1、常规训练：听算。（每题报2遍，学生听题后直接在草稿本上写得数）
10×8
7×8
教学反思：
现在的计算教学几乎不见传统教学中的复习铺垫，许多计算课总是直接由一个情境引入，的确，创设一个贴近学生生活的教学情境固然重要，但是复习铺垫其实也是很需要的，我们应该重视基本功的训练。学习“两位数乘一位数”的基础是：表内乘法与整十数乘一位数。因此，在教学新课前进行相应的听算训练，有助于学生在后面的学习中联系旧知，进行迁移。同时，听算训练作为数学课堂中的一个常规性训练，不仅有利于学生的后续学习，更能培养学生的倾听能力，提高学生的注意力。
课堂回放二. 结合实际，理解算理。
1、师：谁能根据这幅主题图提数学问题？（课件出示主题图1）
生：每筐桃子12千克，4筐桃子有多少千克？算式为12×4。
2、师：那么这幅图又能提什么数学问题呢？（出示主题图2）生：
每行有12个桃子，有这样的4行，一共有多少个桃子？算式是：
1 30×3 6×3 40×2 5×2 50×9 2×9 2、学生交换批改，进行反馈。
12×4。
3、师：咦，这两道题的算式都是12×4！（利用课件将两幅图同时出现）师：为什么明明是不一样的情境，偏偏都能用12×4计算？结合学生的回答，教师引导学生发现这两幅图的共同点：每份是12，有这样的4份。
4、师：那么12×4还能表示什么？你们能不能用不同情境来表示？生1：每把尺子长12厘米，4把尺子连起来长多少厘米？生2：一件衣服要12元，买4件衣服要多少元？生3：学校里种菊花，每行种12盆，种了4行，一共有几盆？
5、师：你们说得都很棒，只要乘法意义不变，就可以通过
不同的情境来表示其含义。现在请以同桌的形式互相说一
说，请认真倾听同学的发言。
教学反思：
运算概念的建立需要时间充分和情境丰富的过程，因此，教师在这个环节上预留了10分钟的时间，让学生尽可能多的丰富学习经验，理解两位数乘一位数的含义。学生从具体情境入手，提出相应的数学问题，引出算式12×4，并对为何可用同一个算式解决不同数学问题进行思考，迫使学生从不同的素材中提炼、概括乘法的真正含义、理解算理。 课堂回放三. 交流算法，优化选择。
1、师：我们明白了乘法的含义，那12×4究竟等于几呢？请同学们仔细思考，将计算过程写在草稿本上，看看有几种好办法介绍给大家？（教师巡回，收集典型例题，进行板书。）
2、在教师的引导下，学生介绍自己的思考方法。
（1）生1：把4个12进行连加所得的数就是12×4的结果。
（2）生2：我把12分成10和2，然后10×4＝40，2×4＝8，40＋8＝48。师追问：为什么将12分成10和2，而不是随便分成5和7之类的呢？生2：因为10×4比较好算。教师引导学生指出将两位数拆成整十数和一位数的形式更容易计算，并引导学生结合点子图来说明10×4、2×4所表示的含义。
（3）生3：我是用竖式来做的，先算个位2×4＝8，在积的个位写8；再算十位1×4＝4，因为是在十位所以在积的十位上写4。师：那么2×4表示什么呢？生3：2×4表示4个2。师（做恍然大悟状）：哦，其实啊，竖式中的2×4和方法2中的2×4是一个道理。（将竖 2
式中的乘积个位8与方法2中的2×4连起来。）那么，十位上的1×4又表示什么呢？生3：就是4个10，10×4的意思。（教师将竖式中乘积的十位4与方法2中的10×4连起来。）
3、完成练习纸第一题。教师在教室中巡视指导。（在实物投影中打出学生作业，集体批改。）
教学反思：
新课标倡导算法多样化，教师在教学设计中给了学生充分时间思考，鼓励学生利用学过的知识来探索，课前的听算训练在此就体现了他的价值，学生可以轻松地利用刚才的复习铺垫进行迁移学习。因此，在课堂上出现了三类算法：1、采用连加的方式进行计算；2、把12拆分成整十数和一位数相加的方法，把这个过程用算式表示出来，就是乘法的分解式，为后继学习的乘法分配律进行了必要的渗透；3、利用竖式进行计算。虽然我们鼓励算法多样化，但一味追求算法的数量并不恰当，例如在教学中一名学生提出了这样一种算法：4＋4＋4＋……＋4＝12，12个4连加，很显然这个方法并不简便、可取，如果在教学中教师不指出这一点的话，或许学生就会误入歧途，把数学越做越复杂，远离了数学教学的实质。教师在教学中要懂得舍取，在鼓励算法多样化的同时更要注意引导学生学会选择最优化的算法。此外，为了学生能更好的理解计算的本质，教师在指导方法2时与点子图联系起来，采用“组合中引进”的方式来帮助学生进一步理解算理。另外，竖式是一种必不可少的计算方法，对后继学习有着深远的影响，因此教师着重介绍了竖式计算方法，并将其与方法2联系起来，加深学生理解。同时，强调进位点的书写，利于学生养成良好的学习习惯，提高计算正确率。
课堂回放四. 拓展比较，提炼升华。
1、计算12×8，学生独立完成。（学生板演）师：请这位同学介绍一下自己的算法。
2
3、师：找一找12×4与12×8的相同点和不同点。生1：乘数都有12。生2：12×8的得数是12×4的两倍。生3：都是两位数乘一位数。生4：12×8进位，12×4不进位。师：不错，这两道题虽然都是两位数乘一位数，但是有进位和不进位之分，所以我们要注意， 3
如果需要进位的话，点上进位点就能更好的保证计算正确。
教学反思：
两位数乘一位数的算式共有720道，分为8类，在本节课中出现了其中三类：个位积、十位积都不进位，如12×4；个位积不进位，十位积进位，如51×4；个位积进位，十位积不进位，乘积十位迭加不进位，如12×8。对算式进行区分比较，有利于学生建立比较系统、严谨的计算知识体系，同时也能更明晰计算时所要注意的关键所在。12×8＝（ ）＋（ ）＝（ ）是口算训练的一种，关键在于需要学生将（ ）里所填的数与两位数乘一位数的算理联系起来，这样的练习有一定难度，因此拓展比较后跟进了一个练习，即对照着竖式进行填空。
课堂回放五. 回顾总结，巩固提高。
1、总结。教师帮助学生梳理本课的知识要点，概括课题，归纳两位数乘一位数的计算方法及计算所需要注意的地方。
2、巩固训练，完成数学书P4第一题。学生独立完成后交换批改。
分析学生错题：生：3×2＝5，把乘看作加了。20×3＝6，忘记在末尾添0了„„
3、跟进训练，出示听算的习题，将上下两道题合为一道两位数乘一位数的算式。 10×8＝80
2×8＝16
25×2＝40＋（ ）
＝（ ）
81×4＝（ ）＋4
＝（ ）
教学反思：
计算训练绝对不是“多多益善”，必定要有一
“度”，题海战是行不通的。计算训练，不等于增
机械重复的练习题量，而要做到训练科学化，做到
时、适量、适度。练习的设计要注重计算方法的训
练，新课标对两位数乘一位数这一类计算提出了熟练口算的教学目标。因此在练习设计上要创造更多的机会进行口算，发展学生的口算能力。本环节设计的“跟进训练，将上下两道题合为一道两位数乘一位数的算式”及25×2＝40＋（ ）＝（ ）这类题的目的就在于强调算理，提高口算能力。
写在最后：
1、计算与解决问题相结合，从现实情境中概括出数学模型。
4 30×3＝90 6×3＝18 40×2＝80 5×2＝10 46×2＝80＋（ ） ＝（ ） 71×5＝（ ）＋5 ＝（ ） 50×9＝450 2×9＝18 4、分层训练（有能力的同学独立完成，有困难的学生在教师的指导下进行练习。） 个大适
“问题是数学的心脏”，数学教学必须用问题驱动。新课程下的计算教学不再是单纯的技能性训练，而是要把它作为解决问题的一个组成部分。这节课通过提数学问题、根据已有学习经验解决问题，引发学生自主学习，在老师的引导下逐渐提炼、归纳算理，概括出数学模型。这样的学习过程向学生提供了许多从事数学活动的机会，有助于学生能力的发展。
2、算理的理解对学生掌握计算方法起促进作用。
有道是“欲行其事，必先明其理”。要使学生会计算，首先必须使学生知道怎样算，也就是加强算理的理解。《课标》明确指出：“教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进对运算意义的理解。”如果首次教学时学生对算理没有一个清晰概念的话，那他在学习计算方法时就会受到一定干扰，影响其对解题策略的运用。低年级学生的思维还处在以具体形象思维为主的阶段上，数学知识过于抽象将会影响学生对知识的理解，因此，我们要处理好具体实物、半抽象的符号，到抽象算式之间的关系。在这节课上，教师首先利用具体直观的主题图来帮助学生初步理解算理，然后在借助半抽象的点子图辅助教学，学生在对算理有了更为深刻的感悟后，最后脱离实物符号继续学习。
3、尊重学生的独立思考，给予学生充分交流的机会，鼓励算法多样化。
算法多样化是学生经历的一种思维过程。他所关注的是让学生经历创造思考、独立探索知识的过程。在课堂上我们要尊重学生独立思考，在时间上予以保证，保障每个孩子都曾经认真思考。此外，独立思考后如果没有交流介绍的机会，那也不会产生精彩纷呈的多样算法。交流算法、评价算法的过程是学生对算法进行比较、感悟的过程，也是理解各种算法优劣的过程，走马观花式的交流讨论没有任何实际意义。因此，教师在课堂中创造一个和谐、民主的学习氛围十分重要。在一个轻松、自由的环境中，学生们可以尽情崭露自己的才华，阐明自己的观点，让智慧火花相互碰撞，成就最美丽的数学火焰。
4、学会“多中选优，择优而用”。
《数学课程标准》明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”要提高口算速度，算法就必须优化。只有掌握了高效的计算方法，口算速度才能提高，所以，算法多样化后应该提倡优化，而且必须进行优化。例如在进行12×4的计算时，几乎所有教师都明白将12拆分成5和7计算远不如拆分成10和2来得方便。但是在算法多样化的探讨过程中，每个学生都会认为自己的算法就是最好的，对于别人的想法根本不屑一听，更不会虚心接受别人好的想法，很可能介绍将12拆分成5和7的学生自始至终都认为自己的方法最好，因此，适时引导学生对多种算法进行比较分析，就显得尤为重要了。学生在经历对多种方法的比较过程后，就会逐渐发现哪种方法最简便、最适合自己，再通过内化与记忆，就可以由学生在体验中通过自主比较获得最优的方法。
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一理明则百法通
―――《两位数乘一位数》教学案例分析
浙江省杭州市抚宁巷小学（310002） 周隽祺
写在前面：
计算在生活中随处可见，并得到了最广泛的应用。在小学阶段，计算教学贯穿整个数学教学过程，数学知识的学习几乎都离不开计算。它是当今数学教学的一个基本点，也是一个难点。我们常说“熟能生巧”，多做一些练习、多花一点时间，学生的计算能力就能达到一个比较高的水平。可是，我们还是会不由自主的思考：计算教学是否就是指导学生学会正确计算，提高计算能力是不是一定要依赖反复的、机械的计算训练，有没有更好的方法在不加重学生课业负担的情况下提高学习效率。
正是基于以上的思考背景，笔者就浙教版《数学》三年级上第一单元“两位数乘一位数”这一内容进行了尝试教学。本课是在学生已经掌握表内乘法和整十数乘一位数的基础上展开的。结合学生的学情，制定了以下教学目标：基本理解两位数乘一位数的算理，能正确计算两位数乘一位数，为乘法分配律、两位数乘两位数及除数是两位数除法的试商做深入铺垫；学生经历与他人交流各自计算方法的过程，体验算法多样化，感受算法最优化；学生在数学学习中获得成功感，树立信心，增强克服困难的勇气和毅力。
课堂回放一. 复习铺垫，适时训练。
1、常规训练：听算。（每题报2遍，学生听题后直接在草稿本上写得数）
10×8
7×8
教学反思：
现在的计算教学几乎不见传统教学中的复习铺垫，许多计算课总是直接由一个情境引入，的确，创设一个贴近学生生活的教学情境固然重要，但是复习铺垫其实也是很需要的，我们应该重视基本功的训练。学习“两位数乘一位数”的基础是：表内乘法与整十数乘一位数。因此，在教学新课前进行相应的听算训练，有助于学生在后面的学习中联系旧知，进行迁移。同时，听算训练作为数学课堂中的一个常规性训练，不仅有利于学生的后续学习，更能培养学生的倾听能力，提高学生的注意力。
课堂回放二. 结合实际，理解算理。
1、师：谁能根据这幅主题图提数学问题？（课件出示主题图1）
生：每筐桃子12千克，4筐桃子有多少千克？算式为12×4。
2、师：那么这幅图又能提什么数学问题呢？（出示主题图2）生：
每行有12个桃子，有这样的4行，一共有多少个桃子？算式是：
1 30×3 6×3 40×2 5×2 50×9 2×9 2、学生交换批改，进行反馈。
12×4。
3、师：咦，这两道题的算式都是12×4！（利用课件将两幅图同时出现）师：为什么明明是不一样的情境，偏偏都能用12×4计算？结合学生的回答，教师引导学生发现这两幅图的共同点：每份是12，有这样的4份。
4、师：那么12×4还能表示什么？你们能不能用不同情境来表示？生1：每把尺子长12厘米，4把尺子连起来长多少厘米？生2：一件衣服要12元，买4件衣服要多少元？生3：学校里种菊花，每行种12盆，种了4行，一共有几盆？
5、师：你们说得都很棒，只要乘法意义不变，就可以通过
不同的情境来表示其含义。现在请以同桌的形式互相说一
说，请认真倾听同学的发言。
教学反思：
运算概念的建立需要时间充分和情境丰富的过程，因此，教师在这个环节上预留了10分钟的时间，让学生尽可能多的丰富学习经验，理解两位数乘一位数的含义。学生从具体情境入手，提出相应的数学问题，引出算式12×4，并对为何可用同一个算式解决不同数学问题进行思考，迫使学生从不同的素材中提炼、概括乘法的真正含义、理解算理。 课堂回放三. 交流算法，优化选择。
1、师：我们明白了乘法的含义，那12×4究竟等于几呢？请同学们仔细思考，将计算过程写在草稿本上，看看有几种好办法介绍给大家？（教师巡回，收集典型例题，进行板书。）
2、在教师的引导下，学生介绍自己的思考方法。
（1）生1：把4个12进行连加所得的数就是12×4的结果。
（2）生2：我把12分成10和2，然后10×4＝40，2×4＝8，40＋8＝48。师追问：为什么将12分成10和2，而不是随便分成5和7之类的呢？生2：因为10×4比较好算。教师引导学生指出将两位数拆成整十数和一位数的形式更容易计算，并引导学生结合点子图来说明10×4、2×4所表示的含义。
（3）生3：我是用竖式来做的，先算个位2×4＝8，在积的个位写8；再算十位1×4＝4，因为是在十位所以在积的十位上写4。师：那么2×4表示什么呢？生3：2×4表示4个2。师（做恍然大悟状）：哦，其实啊，竖式中的2×4和方法2中的2×4是一个道理。（将竖 2
式中的乘积个位8与方法2中的2×4连起来。）那么，十位上的1×4又表示什么呢？生3：就是4个10，10×4的意思。（教师将竖式中乘积的十位4与方法2中的10×4连起来。）
3、完成练习纸第一题。教师在教室中巡视指导。（在实物投影中打出学生作业，集体批改。）
教学反思：
新课标倡导算法多样化，教师在教学设计中给了学生充分时间思考，鼓励学生利用学过的知识来探索，课前的听算训练在此就体现了他的价值，学生可以轻松地利用刚才的复习铺垫进行迁移学习。因此，在课堂上出现了三类算法：1、采用连加的方式进行计算；2、把12拆分成整十数和一位数相加的方法，把这个过程用算式表示出来，就是乘法的分解式，为后继学习的乘法分配律进行了必要的渗透；3、利用竖式进行计算。虽然我们鼓励算法多样化，但一味追求算法的数量并不恰当，例如在教学中一名学生提出了这样一种算法：4＋4＋4＋……＋4＝12，12个4连加，很显然这个方法并不简便、可取，如果在教学中教师不指出这一点的话，或许学生就会误入歧途，把数学越做越复杂，远离了数学教学的实质。教师在教学中要懂得舍取，在鼓励算法多样化的同时更要注意引导学生学会选择最优化的算法。此外，为了学生能更好的理解计算的本质，教师在指导方法2时与点子图联系起来，采用“组合中引进”的方式来帮助学生进一步理解算理。另外，竖式是一种必不可少的计算方法，对后继学习有着深远的影响，因此教师着重介绍了竖式计算方法，并将其与方法2联系起来，加深学生理解。同时，强调进位点的书写，利于学生养成良好的学习习惯，提高计算正确率。
课堂回放四. 拓展比较，提炼升华。
1、计算12×8，学生独立完成。（学生板演）师：请这位同学介绍一下自己的算法。
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3、师：找一找12×4与12×8的相同点和不同点。生1：乘数都有12。生2：12×8的得数是12×4的两倍。生3：都是两位数乘一位数。生4：12×8进位，12×4不进位。师：不错，这两道题虽然都是两位数乘一位数，但是有进位和不进位之分，所以我们要注意， 3
如果需要进位的话，点上进位点就能更好的保证计算正确。
教学反思：
两位数乘一位数的算式共有720道，分为8类，在本节课中出现了其中三类：个位积、十位积都不进位，如12×4；个位积不进位，十位积进位，如51×4；个位积进位，十位积不进位，乘积十位迭加不进位，如12×8。对算式进行区分比较，有利于学生建立比较系统、严谨的计算知识体系，同时也能更明晰计算时所要注意的关键所在。12×8＝（ ）＋（ ）＝（ ）是口算训练的一种，关键在于需要学生将（ ）里所填的数与两位数乘一位数的算理联系起来，这样的练习有一定难度，因此拓展比较后跟进了一个练习，即对照着竖式进行填空。
课堂回放五. 回顾总结，巩固提高。
1、总结。教师帮助学生梳理本课的知识要点，概括课题，归纳两位数乘一位数的计算方法及计算所需要注意的地方。
2、巩固训练，完成数学书P4第一题。学生独立完成后交换批改。
分析学生错题：生：3×2＝5，把乘看作加了。20×3＝6，忘记在末尾添0了„„
3、跟进训练，出示听算的习题，将上下两道题合为一道两位数乘一位数的算式。 10×8＝80
2×8＝16
25×2＝40＋（ ）
＝（ ）
81×4＝（ ）＋4
＝（ ）
教学反思：
计算训练绝对不是“多多益善”，必定要有一
“度”，题海战是行不通的。计算训练，不等于增
机械重复的练习题量，而要做到训练科学化，做到
时、适量、适度。练习的设计要注重计算方法的训
练，新课标对两位数乘一位数这一类计算提出了熟练口算的教学目标。因此在练习设计上要创造更多的机会进行口算，发展学生的口算能力。本环节设计的“跟进训练，将上下两道题合为一道两位数乘一位数的算式”及25×2＝40＋（ ）＝（ ）这类题的目的就在于强调算理，提高口算能力。
写在最后：
1、计算与解决问题相结合，从现实情境中概括出数学模型。
4 30×3＝90 6×3＝18 40×2＝80 5×2＝10 46×2＝80＋（ ） ＝（ ） 71×5＝（ ）＋5 ＝（ ） 50×9＝450 2×9＝18 4、分层训练（有能力的同学独立完成，有困难的学生在教师的指导下进行练习。） 个大适
“问题是数学的心脏”，数学教学必须用问题驱动。新课程下的计算教学不再是单纯的技能性训练，而是要把它作为解决问题的一个组成部分。这节课通过提数学问题、根据已有学习经验解决问题，引发学生自主学习，在老师的引导下逐渐提炼、归纳算理，概括出数学模型。这样的学习过程向学生提供了许多从事数学活动的机会，有助于学生能力的发展。
2、算理的理解对学生掌握计算方法起促进作用。
有道是“欲行其事，必先明其理”。要使学生会计算，首先必须使学生知道怎样算，也就是加强算理的理解。《课标》明确指出：“教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进对运算意义的理解。”如果首次教学时学生对算理没有一个清晰概念的话，那他在学习计算方法时就会受到一定干扰，影响其对解题策略的运用。低年级学生的思维还处在以具体形象思维为主的阶段上，数学知识过于抽象将会影响学生对知识的理解，因此，我们要处理好具体实物、半抽象的符号，到抽象算式之间的关系。在这节课上，教师首先利用具体直观的主题图来帮助学生初步理解算理，然后在借助半抽象的点子图辅助教学，学生在对算理有了更为深刻的感悟后，最后脱离实物符号继续学习。
3、尊重学生的独立思考，给予学生充分交流的机会，鼓励算法多样化。
算法多样化是学生经历的一种思维过程。他所关注的是让学生经历创造思考、独立探索知识的过程。在课堂上我们要尊重学生独立思考，在时间上予以保证，保障每个孩子都曾经认真思考。此外，独立思考后如果没有交流介绍的机会，那也不会产生精彩纷呈的多样算法。交流算法、评价算法的过程是学生对算法进行比较、感悟的过程，也是理解各种算法优劣的过程，走马观花式的交流讨论没有任何实际意义。因此，教师在课堂中创造一个和谐、民主的学习氛围十分重要。在一个轻松、自由的环境中，学生们可以尽情崭露自己的才华，阐明自己的观点，让智慧火花相互碰撞，成就最美丽的数学火焰。
4、学会“多中选优，择优而用”。
《数学课程标准》明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”要提高口算速度，算法就必须优化。只有掌握了高效的计算方法，口算速度才能提高，所以，算法多样化后应该提倡优化，而且必须进行优化。例如在进行12×4的计算时，几乎所有教师都明白将12拆分成5和7计算远不如拆分成10和2来得方便。但是在算法多样化的探讨过程中，每个学生都会认为自己的算法就是最好的，对于别人的想法根本不屑一听，更不会虚心接受别人好的想法，很可能介绍将12拆分成5和7的学生自始至终都认为自己的方法最好，因此，适时引导学生对多种算法进行比较分析，就显得尤为重要了。学生在经历对多种方法的比较过程后，就会逐渐发现哪种方法最简便、最适合自己，再通过内化与记忆，就可以由学生在体验中通过自主比较获得最优的方法。
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