一、填空题（每小题3分，共30分）
1. 设A,B 为相互独立的两事件，P(A)=0.7, P(B)=0.8, 则事件A 、B 至多有一个发生的概率为2. 设某学习小组有10位同学，其中4位女生，6位男生，今任选3位组成一个代表队。则代表队由1位
12C 4C 1
女生和2位男生组成的概率为36=.
C 1023. 设P (A -B ) =0.5, P (AB ) =0.3, 则P (A ) =4. 设X 在区间[1, 5]上均匀分布, 即X ~U [1,5] 则5. 设X ~B (200,p ), 且EX =100, 则p =⎛σ2⎫1n
6. 设X 1, K , X n 独立同N (m , s ) 分布，=åX i ，则~N μ, ⎪.
n i =1n ⎝⎭
2
ìï2e -2x , x >0ï. í
ïx £0ï0,
8. 设X 与Y 为任意两随机变量，DX=1, DY=4, r XY =0.6 则D (X -Y ) 9. 设X 1, X 2, X 3, X 4是总体X 的一组简单随机样本，EX =m , 则下列统计量
1
7. 设X 服从指数分布，且EX =, 则X 的概率密度函数为f (x ) =
2
X 1+X 2+X 3+X 4X +X 2+X 3
, T 2=1, T 3=2X 4-X 1, T 4=X 1+X 2
43
中有____3____个是m 的无偏估计量.
T 1=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 设事件A 在某试验中发生的概率P (A ) =p (0
P (X =k ) =p (1-p ) k -1, k =1,2, L 。
二、解答下列各题（每小题5分，共15分）
1. 某人投篮的命中率为0.7, 独立地投篮10次. 记X 为命中的次数。 (1) 写出X 的分布律； (2) 求至少命中一次的概率 .
k
【解】（1）P (X =k ) =C 100.7k 0.310-k , k =0,1, ,10. …………3分
（2）P (至少命中一次)=P (X ≥1) =1-P (X =0)
=1-0.310=0.999994. …………5分
2.
【解】（填写上表中最后一行Y =|X |-1的值） …………1分
EY =0.1-0.3=-0.2，EY 2=0.1+0.3=0.4 …………3分
2
--(0. 2=) 0. DY =0. 4 3 6. …………5分
3. 设X 1, L , X 100为X 的简单随机样本，已知EX =2, DX =4, 利用独立同分布中心极限定理求
Y =
å
100
X i 150的概率。(注：标准正态分布表，见第6页)
i =1
【解】EY =200, DY =400
⎛Y -200150-200⎫⎛Y -200⎫
P (Y ≤150) =P ≤=P ≤-2.5⎪ ⎪ …………2分
20⎝20⎭⎝20⎭
≈Φ(-2.5) =1-Φ(2.5)=1-0.9938
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=0.0062. …………5分
三、解答下列题(第1～3小题各6分；第4、5小题各8分，共34分)
x 2
⎧-⎪2
1. 设连续型随机变量X 的分布函数为F (x ) =P (X ≤x ) =⎨1-e , x ≥0.
⎪x
(1)求X 的概率密度函数f (x ); (2)求P (-2
【解】（1）由x ≠0时，f (x ) =F '(x ), 得
⎧-x
⎪2
f (x ) =⎨xe , x >0; …………3分
⎪x ≤0⎩0,
（2）P (-2
2. 设有一批同类产品由某厂的甲、乙、丙三个车间生产，其产量分别为批量的25%、35%、40%，次品率分别为5%、4%、2%，从这批产品中任取一件。【提示：分别以A 、B 、C 表示取到甲、乙、丙车间的产品；D 表示取到次品】 （1） 求取得次品的概率；（2）已知取得次品，求该次品是乙车间生产的概率. 【解】（1）P (D ) =P (A ) P (D |A ) +P (B ) P (D |B ) +P (C ) P (D |C )
[1**********]5
=++==0.0345 …………3分
[***********]10000
P (B ) P (D |B ) 35%⨯4%14028
====0.4058. …………6分 (2) P (B |D ) =
P (D ) 345/1000034569
2
⎧1
⎪, -1
3. 设X 的概率密度f X (x ) =⎨2， 求Y =X 的概率密度函数f Y (y ).
⎪others ⎩0,
【解】F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P (X 2≤y ) 当y ≤0时，F Y (y ) =P (X 2≤y ) =0,
f Y (y ) =0; …………2分
当y >
0时，F Y (y ) =P (X 2≤y ) =P (X ≤=F X -F X (
f Y (y ) =
f X
+f X ( …………4分
)
0
所以，Y 的分布密度函数
0
f Y (y ) =0, others ⎩
(1)求X 和Y 的边缘分布律(填入上表中) ；(2)求XY 的数学期望E(XY)； (3)求Z =min(X , Y ) 的分布律.
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【解】（1）（见上表） …………3分 （2）E (XY ) =-0.2+0.2=0 …………5分 （3）
⎧32
⎪x y , 0≤x ≤1,0≤y ≤2
5. 设(X,Y)的联合概率密度为f (x , y ) =⎨2.
⎪others ⎩0,
(1) 求X 及Y 的边缘概率密度函数f X (x ), f Y (y );
(2)指出X 与Y 的独立性，并说明理由。
⎧232+∞2
⎪⎰0x ydy =3x , 0≤x ≤1
; …………3分 【解】（1）f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨2
-∞⎪0, others ⎩
y ⎧132
⎪⎰0x ydx =, 0≤y ≤2
; …………6分 f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎨22
-∞⎪0, others ⎩
（2）X 与Y 相互独立，因为f (x , y ) =f
X (x ) f Y (y ), -∞
+∞
四、解答下列题(每小题7分，共21分)
1. 设某自动化包装机包装每袋重量X ~N (m , s 2) （单位：g ）, 其中m 和s 2均为未知参数，从总体X 中抽取容量n=10的一组样本，其样本值为：
495，492，513，505，501，505
，492，489，490，498. ① 指出枢轴量T =
求m 的置信水平为0.90的置信区间. 1n 1n
2
(x i -) 2】 【提示：样本均值=åx i ，样本方差观测值s =ån i =1n -1i =1
【解】（1
）枢轴量T =
（2）由P (≤t 0.05(9))=0.9~t (n -1); …………2分
≤t 0.05(9)，解得
-0.05(9)≤μ≤-0.05(9) …………4分
又计算得x =498, s =7.874，查表得t 0.05(9)=1.8331，m 的置信水平为0.90的置信区间：
[493.44,502.56] …………7分 2. 设X 1, , X n 是来自总体X 的样本，且X 的概率密度为
⎧λ3x 2-λx
e , x >0⎪
，其中未知参数λ>0. f (x ; λ) =⎨2
⎪0, others ⎩
(1) 求参数λ的最大似然估计量；
(2) 当样本均值的观测值=0.001时，求λ的最大似然估计值.
【解】（1）似然函数
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2
n
(x 1x 2 x n ) 2
-λ∑x i , x 1, , x n >0 对数似然函数 ln L =3n ln λ+ln n
2i =1
d ln L 3n n
=3 …………5分 =-∑x i =0得，λ的最大似然估计量为λ令
d λλi =1 =3=3000. …………7分 （2）当=0.001时，λ的最大似然估计值λ
0.001
3. 设某自动生产设备加工一种机器零件，尺寸误差X ~N (m ,1) （单位：10分之一毫米）. 现抽取容量为
i =1
L (x 1, , x n ; λ) =
λ
3n n
2
∏x i 2e
n -λ
∑x i
i =1
n
=
λ
3n n
(x 1x 2 x n ) 2e
-λ
∑x i
i =1
n
, x 1, , x n >0………2分
n =10的一组样本，计算得x =1.01, 在显著性水平a =0.05之下，检验该设备工作是否正常（即H 0:m =0）？试写出检验的过程（包括：原假设H 0、备择假设H 1；检验统计量及其分布；拒绝域；检验统计量的观测值及结论） 【解】H 0:m =0; H 1:m 0;
由Z =
=~N (0,1)得，当H 0成立时，检验统计量
Z ~N (0,1) …………3分
由P (|Z |≥z 0.025) =
0.05得，拒绝域：(x 1, x 2, , x n ) |z |{
>z 0.025=1.96 ……5分
}
由题给数据，n =10, x =1.01得检验统计量Z
的观测值|z |=3.194>1.96，所以，应否定H 0，即
5下，认为误差均值与零有显著差异（该设备工作不正在显著性水平a =0. 0之
常）。 …………7分
x
-t 2
附表2：t 分布表（部分）P (t (n ) >t a (n )) =a
2
附表3：c 2分布表（部分）P (c 2(n ) >c a (n )) =a
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一、填空题（每小题3分，共30分）
1. 设A,B 为相互独立的两事件，P(A)=0.7, P(B)=0.8, 则事件A 、B 至多有一个发生的概率为2. 设某学习小组有10位同学，其中4位女生，6位男生，今任选3位组成一个代表队。则代表队由1位
12C 4C 1
女生和2位男生组成的概率为36=.
C 1023. 设P (A -B ) =0.5, P (AB ) =0.3, 则P (A ) =4. 设X 在区间[1, 5]上均匀分布, 即X ~U [1,5] 则5. 设X ~B (200,p ), 且EX =100, 则p =⎛σ2⎫1n
6. 设X 1, K , X n 独立同N (m , s ) 分布，=åX i ，则~N μ, ⎪.
n i =1n ⎝⎭
2
ìï2e -2x , x >0ï. í
ïx £0ï0,
8. 设X 与Y 为任意两随机变量，DX=1, DY=4, r XY =0.6 则D (X -Y ) 9. 设X 1, X 2, X 3, X 4是总体X 的一组简单随机样本，EX =m , 则下列统计量
1
7. 设X 服从指数分布，且EX =, 则X 的概率密度函数为f (x ) =
2
X 1+X 2+X 3+X 4X +X 2+X 3
, T 2=1, T 3=2X 4-X 1, T 4=X 1+X 2
43
中有____3____个是m 的无偏估计量.
T 1=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 设事件A 在某试验中发生的概率P (A ) =p (0
P (X =k ) =p (1-p ) k -1, k =1,2, L 。
二、解答下列各题（每小题5分，共15分）
1. 某人投篮的命中率为0.7, 独立地投篮10次. 记X 为命中的次数。 (1) 写出X 的分布律； (2) 求至少命中一次的概率 .
k
【解】（1）P (X =k ) =C 100.7k 0.310-k , k =0,1, ,10. …………3分
（2）P (至少命中一次)=P (X ≥1) =1-P (X =0)
=1-0.310=0.999994. …………5分
2.
【解】（填写上表中最后一行Y =|X |-1的值） …………1分
EY =0.1-0.3=-0.2，EY 2=0.1+0.3=0.4 …………3分
2
--(0. 2=) 0. DY =0. 4 3 6. …………5分
3. 设X 1, L , X 100为X 的简单随机样本，已知EX =2, DX =4, 利用独立同分布中心极限定理求
Y =
å
100
X i 150的概率。(注：标准正态分布表，见第6页)
i =1
【解】EY =200, DY =400
⎛Y -200150-200⎫⎛Y -200⎫
P (Y ≤150) =P ≤=P ≤-2.5⎪ ⎪ …………2分
20⎝20⎭⎝20⎭
≈Φ(-2.5) =1-Φ(2.5)=1-0.9938
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=0.0062. …………5分
三、解答下列题(第1～3小题各6分；第4、5小题各8分，共34分)
x 2
⎧-⎪2
1. 设连续型随机变量X 的分布函数为F (x ) =P (X ≤x ) =⎨1-e , x ≥0.
⎪x
(1)求X 的概率密度函数f (x ); (2)求P (-2
【解】（1）由x ≠0时，f (x ) =F '(x ), 得
⎧-x
⎪2
f (x ) =⎨xe , x >0; …………3分
⎪x ≤0⎩0,
（2）P (-2
2. 设有一批同类产品由某厂的甲、乙、丙三个车间生产，其产量分别为批量的25%、35%、40%，次品率分别为5%、4%、2%，从这批产品中任取一件。【提示：分别以A 、B 、C 表示取到甲、乙、丙车间的产品；D 表示取到次品】 （1） 求取得次品的概率；（2）已知取得次品，求该次品是乙车间生产的概率. 【解】（1）P (D ) =P (A ) P (D |A ) +P (B ) P (D |B ) +P (C ) P (D |C )
[1**********]5
=++==0.0345 …………3分
[***********]10000
P (B ) P (D |B ) 35%⨯4%14028
====0.4058. …………6分 (2) P (B |D ) =
P (D ) 345/1000034569
2
⎧1
⎪, -1
3. 设X 的概率密度f X (x ) =⎨2， 求Y =X 的概率密度函数f Y (y ).
⎪others ⎩0,
【解】F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P (X 2≤y ) 当y ≤0时，F Y (y ) =P (X 2≤y ) =0,
f Y (y ) =0; …………2分
当y >
0时，F Y (y ) =P (X 2≤y ) =P (X ≤=F X -F X (
f Y (y ) =
f X
+f X ( …………4分
)
0
所以，Y 的分布密度函数
0
f Y (y ) =0, others ⎩
(1)求X 和Y 的边缘分布律(填入上表中) ；(2)求XY 的数学期望E(XY)； (3)求Z =min(X , Y ) 的分布律.
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【解】（1）（见上表） …………3分 （2）E (XY ) =-0.2+0.2=0 …………5分 （3）
⎧32
⎪x y , 0≤x ≤1,0≤y ≤2
5. 设(X,Y)的联合概率密度为f (x , y ) =⎨2.
⎪others ⎩0,
(1) 求X 及Y 的边缘概率密度函数f X (x ), f Y (y );
(2)指出X 与Y 的独立性，并说明理由。
⎧232+∞2
⎪⎰0x ydy =3x , 0≤x ≤1
; …………3分 【解】（1）f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨2
-∞⎪0, others ⎩
y ⎧132
⎪⎰0x ydx =, 0≤y ≤2
; …………6分 f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎨22
-∞⎪0, others ⎩
（2）X 与Y 相互独立，因为f (x , y ) =f
X (x ) f Y (y ), -∞
+∞
四、解答下列题(每小题7分，共21分)
1. 设某自动化包装机包装每袋重量X ~N (m , s 2) （单位：g ）, 其中m 和s 2均为未知参数，从总体X 中抽取容量n=10的一组样本，其样本值为：
495，492，513，505，501，505
，492，489，490，498. ① 指出枢轴量T =
求m 的置信水平为0.90的置信区间. 1n 1n
2
(x i -) 2】 【提示：样本均值=åx i ，样本方差观测值s =ån i =1n -1i =1
【解】（1
）枢轴量T =
（2）由P (≤t 0.05(9))=0.9~t (n -1); …………2分
≤t 0.05(9)，解得
-0.05(9)≤μ≤-0.05(9) …………4分
又计算得x =498, s =7.874，查表得t 0.05(9)=1.8331，m 的置信水平为0.90的置信区间：
[493.44,502.56] …………7分 2. 设X 1, , X n 是来自总体X 的样本，且X 的概率密度为
⎧λ3x 2-λx
e , x >0⎪
，其中未知参数λ>0. f (x ; λ) =⎨2
⎪0, others ⎩
(1) 求参数λ的最大似然估计量；
(2) 当样本均值的观测值=0.001时，求λ的最大似然估计值.
【解】（1）似然函数
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2
n
(x 1x 2 x n ) 2
-λ∑x i , x 1, , x n >0 对数似然函数 ln L =3n ln λ+ln n
2i =1
d ln L 3n n
=3 …………5分 =-∑x i =0得，λ的最大似然估计量为λ令
d λλi =1 =3=3000. …………7分 （2）当=0.001时，λ的最大似然估计值λ
0.001
3. 设某自动生产设备加工一种机器零件，尺寸误差X ~N (m ,1) （单位：10分之一毫米）. 现抽取容量为
i =1
L (x 1, , x n ; λ) =
λ
3n n
2
∏x i 2e
n -λ
∑x i
i =1
n
=
λ
3n n
(x 1x 2 x n ) 2e
-λ
∑x i
i =1
n
, x 1, , x n >0………2分
n =10的一组样本，计算得x =1.01, 在显著性水平a =0.05之下，检验该设备工作是否正常（即H 0:m =0）？试写出检验的过程（包括：原假设H 0、备择假设H 1；检验统计量及其分布；拒绝域；检验统计量的观测值及结论） 【解】H 0:m =0; H 1:m 0;
由Z =
=~N (0,1)得，当H 0成立时，检验统计量
Z ~N (0,1) …………3分
由P (|Z |≥z 0.025) =
0.05得，拒绝域：(x 1, x 2, , x n ) |z |{
>z 0.025=1.96 ……5分
}
由题给数据，n =10, x =1.01得检验统计量Z
的观测值|z |=3.194>1.96，所以，应否定H 0，即
5下，认为误差均值与零有显著差异（该设备工作不正在显著性水平a =0. 0之
常）。 …………7分
x
-t 2
附表2：t 分布表（部分）P (t (n ) >t a (n )) =a
2
附表3：c 2分布表（部分）P (c 2(n ) >c a (n )) =a
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