不等关系、不等式与基本不等式
一、不等式的基本性质：
（1）如果a >b ，那么b b . 即a >b ⇔b
（2）如果a >b ，b >c ，那么a >c . 即a >b ，b >c ⇒a >c .
（3）如果a >b ，那么a +c >b +c . （4）如果a >b , c >0, 那么ac >bc ；如果a >b , c
n （5）如果a >b >0，那么a n >b （n ∈N ，n ≥2）.
（6）如果a >b >0a >n ∈N ，n ≥2）.
练习：
1. 比较(x +3)(x +7) 和(x +4)(x +6) 的大小.
a b 2. 已知a 、b 为正实数，试比++b 的大小. b a
a c 例1. 设a 、b 、c 、d 均为正数，且a =，求证a +d >b +c . b d
例2. 已知a >b >0，c >d >0二、基本不等式 c b >. d c
定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立
基本不等式
a +b 如果a ，b >0，那≥ab ，当且仅当a =b 时，等号成立. 2 a +b 其叫算术平ab 叫a 、b 的几何平均. 2
思考：
你能用几何法解释改不等式吗？
练习：
1. 下列不等式中，正确是的（）
a +b 1A . a 、b ∈R ，则≥ab B . a ∈R ，则x 2+2+2≥22x +2
C . a ∈R ，则x 2+1+
例题讲解 1≥2x 2+1D . a 、b ∈R +，则a +≥ab 2
例3. 求函数y =x +2的最值. x
1
例4. 求函数y =x +16x >4）的最小值. x -4
例5. 设0
三、有条件不等式的应用：
例（）已知1. 1 a ≥0，b ≥0. 且 a +b =2，则（
1
2
C. a 2+b 2≥2A. ab ≤B. ab ≥12D. a 2+b 2≤3）
y 2
（2）设x 、y 、z 为正实数，满足x -2y +3z =0的最小值为xz
（3）已知x >0，y >0. 且x +y =6. 求x 2+y 2的最小值.
四、实际问题中的应用： .
例2. 求证（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.
例3. 某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域. 计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形铺花钢岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元.
（1）设总造价为S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式；
（2）当x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值.
例4. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池. 如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248圆/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总的造价最低，并求出最低总造价.
2
不等关系、不等式与基本不等式
一、不等式的基本性质：
（1）如果a >b ，那么b b . 即a >b ⇔b
（2）如果a >b ，b >c ，那么a >c . 即a >b ，b >c ⇒a >c .
（3）如果a >b ，那么a +c >b +c . （4）如果a >b , c >0, 那么ac >bc ；如果a >b , c
n （5）如果a >b >0，那么a n >b （n ∈N ，n ≥2）.
（6）如果a >b >0a >n ∈N ，n ≥2）.
练习：
1. 比较(x +3)(x +7) 和(x +4)(x +6) 的大小.
a b 2. 已知a 、b 为正实数，试比++b 的大小. b a
a c 例1. 设a 、b 、c 、d 均为正数，且a =，求证a +d >b +c . b d
例2. 已知a >b >0，c >d >0二、基本不等式 c b >. d c
定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立
基本不等式
a +b 如果a ，b >0，那≥ab ，当且仅当a =b 时，等号成立. 2 a +b 其叫算术平ab 叫a 、b 的几何平均. 2
思考：
你能用几何法解释改不等式吗？
练习：
1. 下列不等式中，正确是的（）
a +b 1A . a 、b ∈R ，则≥ab B . a ∈R ，则x 2+2+2≥22x +2
C . a ∈R ，则x 2+1+
例题讲解 1≥2x 2+1D . a 、b ∈R +，则a +≥ab 2
例3. 求函数y =x +2的最值. x
1
例4. 求函数y =x +16x >4）的最小值. x -4
例5. 设0
三、有条件不等式的应用：
例（）已知1. 1 a ≥0，b ≥0. 且 a +b =2，则（
1
2
C. a 2+b 2≥2A. ab ≤B. ab ≥12D. a 2+b 2≤3）
y 2
（2）设x 、y 、z 为正实数，满足x -2y +3z =0的最小值为xz
（3）已知x >0，y >0. 且x +y =6. 求x 2+y 2的最小值.
四、实际问题中的应用： .
例2. 求证（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.
例3. 某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域. 计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形铺花钢岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元.
（1）设总造价为S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式；
（2）当x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值.
例4. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池. 如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248圆/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总的造价最低，并求出最低总造价.
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