圆管相贯线三维坐标方程的推导
在采用数控机床加工零件时，往往会遇到零件形状是由复杂的空间曲线构成。已知条件是曲线的方程，这些方程可能是直接得到的，或者是通过轮廓形状上的一些关键点，通过拟合的方法得到近似的曲线方程。特别在起重机、锅炉制造等行业经常有不同管径的圆管交叉连接。其中两管相贯线的确定和精确切割加工是一个难点。常用的方法是在知道管的相对位置等条件下，经过计算手工制出模板，用模板画线，手工切割。其过程十分烦琐，且切割精度也无法保证。数控加工的目的在于按照已知的曲线方程加工零件，因此将曲线转换为数控加工需要的数控代码是很重要的一个环节。
如果用手工编程，则效率低、可靠性差，不能充分发挥机床的功能和性能。随着CAD /CAM技术的发展，国外许多高档的CAD 软件都具有相应的CAM 模块。例如美国SRDC 公司的I_DEAS、PTC 公司的Pro/E、UG 、SolidWork 等性能良好的CAM 模块。利用其三维实体数据生成数控加工代码，通过通讯接口传输到数控机床的数控系统。也有一些第三方开发的CAM 模块，可与CAD 软件无缝集成，完成数控代码的生成。然而，这些软件相对来说要求高，价格昂贵。且没有配置专用的后置处理器，或者只配置了通用的后置处理器而没有根据数控机床的特点进行二次开发，由此产生的代码还需要做大量的手工修改。
本文以Autodesk 公司的AutoCAD2000为平台, 利用其内嵌的ARX 编程工具，针对生产现场的数控切割机床加工两管的相贯线，开发了一套能够计算并自动获得相贯线数控加工代码的系统。通过设置刀具路径等工艺参数和后置处理，最后生成NC 代码，供数控机床加工零件。此过程可以节省大量的人力和时间。并且最大限度的减少人为和系统因素的影响，使管缝切割精度高，保证焊接质量更加稳定可靠。在一定程度上弥补了零件制造从设计到成型的薄弱环节。
1. 数学模型的建立
两个圆管的相交形式多样。但都是两个相同或者不同直径的圆柱面以一定的角度相交形成的空间曲线。如图1所示。
图 1
圆柱面(1)的参数方程表示为：
圆柱面(2)的参数方程表示为：
两个坐标的变换式：
两圆柱面的相交轨迹即为相贯线，相贯线是一条复杂的空间曲线，在o-xyz 空间内其方程为可以表示为:
转换到极坐标下的表示为:
同理可以求得在 空间内的相贯线的方程
通过以上的数学推导，可以得到相贯线的解析式。上式是相贯线精确的数学表达式，可以根据任意精度要求来取值，满足数控系统实时加工的要求。通过公式可以求得空间曲线上每一点的坐标值。
在切割圆管时，上述数学模型可以用。但是对于一些大直径的圆管，通常的做法是直接通过板材下料，然后卷起来焊接成型。这时就需要相贯线的展开方程。展开方程可以由钣金展开理论近似计算。
建立平面坐标系omn 。管（2）相贯线在坐标面展开，展开曲线方程为：
同理，可以求出管（1）的展开公式。
2. 空间曲线的绘制
在AutoCAD 平台上提供了AutoLisp 、ADS 、ARX 、VBA 等内嵌式编程语言。用户可以利用这些编程语言进行二次开发，ObjectARX 编程环境提供了一个面向对象的C++编程接口，用户可以用这个接口来使用、优化和扩展AutoCAD ，其应用程序为动态链接库（DLL ）。笔者用VC++6.0在 ObjectARX 开发环境下开发了这一参数绘图和代码自动生成系统，并嵌入到AutoCAD2000中，在接口模块中注册了一个新的AutoCAD 的命令，用户可以像使用其他AutoCAD 命令一样使用它。
根据输入的数据计算出绘制图形所需的参数，利用这些参数确定三维的点和向量，经运算得出绘图所需的三维点。运行程序时首先要输入有关参数变量，如两个圆管的半径、倾斜角度、偏心距。包括曲线β和θ自变量的初始值、终值和步长d β和d θ接着输入曲线的函数方程x(θ) 、y(θ) 、z(θ) 。然后程序便自动按d β和d θ自变量，求出相应曲线上各节点的坐标，将各节点用直线连接。曲线绘完后可以转换为DXF 格式的文件。流程如下：
通过绘制相贯线过程，可以知道切割的轨迹，观察有无畸点等问题，以便及时调整参数以符合精度要求。所以实际只能在编程软件中根据曲线方程求解出尽可能多的节点并逐点连接成曲线。
3. 数控代码自动生成
参数设定和运算模块采用图形人机对话的方式输入空间曲线的几何参数和工艺参数，除了基本参数以外还有机床设定和刀具设定。系统为每一个参数数据设
计了存储单元，用规定的格式保存，得到图形数据文件和工艺描述文件。并且将输入的参数运算处理为实际加工空间相贯线所需要的符合G 代码插补指令的NC 图形数据。再根据加工精度，设定加工步长，离散化曲线数据点，得到最终的符合G 代码指令的图形数据。再由切割机床数控系统的加工数据格式给出了具体的数控代码接口程序。即由NC 图形数据得到加工相贯线的数控加工程序。送入机床加工。系统结构框图如下：
4. 结论
本文在推导出圆管相贯线三维坐标方程和展开方程的基础上，该系统具有和AutoCAD 融合的界面，简单易用，功能全面，完全能够满足一台数控切割机切割各种圆管相贯线的要求。数控代码的自动生成，使得圆管相贯线数控加工编程变得轻而易举，人们再不会为烦琐的编程而累。
本系统在软件方面稍加完善，可以根据设定的误差随时修改代码，控制加工误差。从而是在代码级别消除系统误差。提高加工精度。还可以专门设计一个通讯模块，数控程序直接通过串口和机床连接。可以提升机床的档次。 本系统还可以用于自动焊接机上，使焊接能自动跟踪接缝。
圆管相贯线三维坐标方程的推导
在采用数控机床加工零件时，往往会遇到零件形状是由复杂的空间曲线构成。已知条件是曲线的方程，这些方程可能是直接得到的，或者是通过轮廓形状上的一些关键点，通过拟合的方法得到近似的曲线方程。特别在起重机、锅炉制造等行业经常有不同管径的圆管交叉连接。其中两管相贯线的确定和精确切割加工是一个难点。常用的方法是在知道管的相对位置等条件下，经过计算手工制出模板，用模板画线，手工切割。其过程十分烦琐，且切割精度也无法保证。数控加工的目的在于按照已知的曲线方程加工零件，因此将曲线转换为数控加工需要的数控代码是很重要的一个环节。
如果用手工编程，则效率低、可靠性差，不能充分发挥机床的功能和性能。随着CAD /CAM技术的发展，国外许多高档的CAD 软件都具有相应的CAM 模块。例如美国SRDC 公司的I_DEAS、PTC 公司的Pro/E、UG 、SolidWork 等性能良好的CAM 模块。利用其三维实体数据生成数控加工代码，通过通讯接口传输到数控机床的数控系统。也有一些第三方开发的CAM 模块，可与CAD 软件无缝集成，完成数控代码的生成。然而，这些软件相对来说要求高，价格昂贵。且没有配置专用的后置处理器，或者只配置了通用的后置处理器而没有根据数控机床的特点进行二次开发，由此产生的代码还需要做大量的手工修改。
本文以Autodesk 公司的AutoCAD2000为平台, 利用其内嵌的ARX 编程工具，针对生产现场的数控切割机床加工两管的相贯线，开发了一套能够计算并自动获得相贯线数控加工代码的系统。通过设置刀具路径等工艺参数和后置处理，最后生成NC 代码，供数控机床加工零件。此过程可以节省大量的人力和时间。并且最大限度的减少人为和系统因素的影响，使管缝切割精度高，保证焊接质量更加稳定可靠。在一定程度上弥补了零件制造从设计到成型的薄弱环节。
1. 数学模型的建立
两个圆管的相交形式多样。但都是两个相同或者不同直径的圆柱面以一定的角度相交形成的空间曲线。如图1所示。
图 1
圆柱面(1)的参数方程表示为：
圆柱面(2)的参数方程表示为：
两个坐标的变换式：
两圆柱面的相交轨迹即为相贯线，相贯线是一条复杂的空间曲线，在o-xyz 空间内其方程为可以表示为:
转换到极坐标下的表示为:
同理可以求得在 空间内的相贯线的方程
通过以上的数学推导，可以得到相贯线的解析式。上式是相贯线精确的数学表达式，可以根据任意精度要求来取值，满足数控系统实时加工的要求。通过公式可以求得空间曲线上每一点的坐标值。
在切割圆管时，上述数学模型可以用。但是对于一些大直径的圆管，通常的做法是直接通过板材下料，然后卷起来焊接成型。这时就需要相贯线的展开方程。展开方程可以由钣金展开理论近似计算。
建立平面坐标系omn 。管（2）相贯线在坐标面展开，展开曲线方程为：
同理，可以求出管（1）的展开公式。
2. 空间曲线的绘制
在AutoCAD 平台上提供了AutoLisp 、ADS 、ARX 、VBA 等内嵌式编程语言。用户可以利用这些编程语言进行二次开发，ObjectARX 编程环境提供了一个面向对象的C++编程接口，用户可以用这个接口来使用、优化和扩展AutoCAD ，其应用程序为动态链接库（DLL ）。笔者用VC++6.0在 ObjectARX 开发环境下开发了这一参数绘图和代码自动生成系统，并嵌入到AutoCAD2000中，在接口模块中注册了一个新的AutoCAD 的命令，用户可以像使用其他AutoCAD 命令一样使用它。
根据输入的数据计算出绘制图形所需的参数，利用这些参数确定三维的点和向量，经运算得出绘图所需的三维点。运行程序时首先要输入有关参数变量，如两个圆管的半径、倾斜角度、偏心距。包括曲线β和θ自变量的初始值、终值和步长d β和d θ接着输入曲线的函数方程x(θ) 、y(θ) 、z(θ) 。然后程序便自动按d β和d θ自变量，求出相应曲线上各节点的坐标，将各节点用直线连接。曲线绘完后可以转换为DXF 格式的文件。流程如下：
通过绘制相贯线过程，可以知道切割的轨迹，观察有无畸点等问题，以便及时调整参数以符合精度要求。所以实际只能在编程软件中根据曲线方程求解出尽可能多的节点并逐点连接成曲线。
3. 数控代码自动生成
参数设定和运算模块采用图形人机对话的方式输入空间曲线的几何参数和工艺参数，除了基本参数以外还有机床设定和刀具设定。系统为每一个参数数据设
计了存储单元，用规定的格式保存，得到图形数据文件和工艺描述文件。并且将输入的参数运算处理为实际加工空间相贯线所需要的符合G 代码插补指令的NC 图形数据。再根据加工精度，设定加工步长，离散化曲线数据点，得到最终的符合G 代码指令的图形数据。再由切割机床数控系统的加工数据格式给出了具体的数控代码接口程序。即由NC 图形数据得到加工相贯线的数控加工程序。送入机床加工。系统结构框图如下：
4. 结论
本文在推导出圆管相贯线三维坐标方程和展开方程的基础上，该系统具有和AutoCAD 融合的界面，简单易用，功能全面，完全能够满足一台数控切割机切割各种圆管相贯线的要求。数控代码的自动生成，使得圆管相贯线数控加工编程变得轻而易举，人们再不会为烦琐的编程而累。
本系统在软件方面稍加完善，可以根据设定的误差随时修改代码，控制加工误差。从而是在代码级别消除系统误差。提高加工精度。还可以专门设计一个通讯模块，数控程序直接通过串口和机床连接。可以提升机床的档次。 本系统还可以用于自动焊接机上，使焊接能自动跟踪接缝。