第五讲 薄壁箱梁的自由扭转
第一节 基本假定
在材料力学中，我们曾经讨论过圆截面杆的扭转问题，那时，我们假定杆件变形后截面保持为平面，只是相对地转动了一个角度，而截面的大小和形状都保持不变。这个假定对于圆截面杆来说是比较符合实际情况的，那么对于非圆截面的杆在扭转时，这个“平截面假定”不符合实际情况了，也就是说原来的平截面将产生“翘曲”，即截面可以产生沿轴线方向的位移。
当截面纵向翘曲不受约束，截面上只存在扭转剪应力而无正应力时，这种扭转称为“自由扭转”或“纯扭转”，或“圣维南扭转”。
实际工程结构中由于支承条件（支座或横隔板）、扭转力矩沿杆轴的不均匀分布等原因，杆件纵向位移往往受到约束，这时杆件截面上除存在自由扭转剪应力外，尚有因纵向位移受约束而产生的附加正应力及其相应的附加剪应力，这种扭转称为约束扭转。约束扭转产生的附加正应力及和剪应力称为翘曲正应力和翘曲剪应力。
在薄壁杆件自由扭转线性分析中，除线弹性、小变形（第三讲第二节所述假定2、3）假定有效外，还采用“截面周边投影不变形”假定，即无“畸变”。该假定认为，杆件受扭转变形后，其截面周边在原有平面（x , y ）内投影形状不变。即截面可以产生沿轴线方向（z 方向）的位移w （称为截面的纵向翘曲）。也就是说，在发生纵向翘曲后截面不再为平面（即平截面假定无效）。
第二节 自由扭转的基本方程
为了分析需要，先简述实体等截面直杆的自由扭转方程。
观察图5-1所示实体截面，设ϕ为杆件截面的扭转角，杆件截面上任一点p (x , y ) 仅存在剪应力τxz 、τyz 和剪应变γxz 、γyz 以及相应的面内位移u 、v 及纵向翘曲位移w 。
根据虎克定律，有如下的物理方程：
τxz =G γxz ⎫
⎬ （5-1）
τyz =G γyz ⎭
按弹性理论，在xz 平面内剪应变与位移间的关系——几何方程为：
图5-1
γxz =γyz
∂u ∂w ⎫+
∂z ∂x ⎪⎪
（5-2）
∂v ∂w ⎬⎪=+
∂z ∂y ⎪⎭
根据周边投影不变形假设，当截面绕z
轴转动ϕ角时（图5-2a ），截面内任一点p (x , y ) 移动至p '(x +u , y +v ) ，由图（5-2a ）有：
x +u =ρcos(α+ϕ) ⎫
⎬
y +v =ρsin(α+ϕ) ⎭
展开上式，根据小变形假定有：
cos ϕ≈1⎫
⎬
sin ϕ≈ϕ⎭
及
ρcos α=x ⎫
⎬
ρsin α=y ⎭
u =-y ϕ⎫
⎬ （5-3）
v =x ϕ⎭
y
则
图5-2b
图5-2a
将其代入几何关系式（5-2），
γxz =γyz
∂u ∂w ∂ϕ∂w
+=-y +∂z ∂x ∂z ∂x
∂v ∂w ∂ϕ∂w =+=x +∂z ∂y ∂z ∂y
第一式对y 求导，第二式对x 求导，两者相减得到：
∂γxz ∂γyz ∂ϕ
（5-4-1） -=-2
∂y ∂x ∂z
将物理关系式（5-1）代入上式有：
∂τxz ∂τyz ∂ϕ
-=-2G （5-4-2） ∂y ∂x ∂z
下面讨论问题的静力学方程。根据图5-1，截面内力(M z )与应力有如下关系：
M z =⎰(-τxz y +τyz x ) d A （5-5）
A
考虑受力单元体（图5-2b ）z 轴方向的平衡条件
∑z =0可得
∂τxz ∂τyz -=0 （5-6）
∂x ∂y
至此，理论上由式（5-4）、(5-5）、（5-6）可以求解τxz 、τyz 及ϕ，实际上对于任意形状截面和任意支承条件的杆件，由这些方程直接求解，往往存在数学上的困难，故在下一节中将介绍“薄膜比拟法”。为便于进行“薄膜比拟”，现引入Aires 应力函数ψ，将式（5-4）和式（5-6）联立，可得到关于应力函数ψ和扭转角ϕ的微分方程。
观察式（5-6），定义应力函数ψ=ψ(x , y ) ，使得
τxz =τyz
∂ψ
∂y ∂ψ=-
∂x
⎫⎪⎪
⎬ （5-7） ⎪⎪⎭
于是平衡方程式（5-6）自动满足，将式（5-7）代入式（5-4）、式（5-5）后，便得到以应力函数表达的微分方程
∂2ψ∂2ψ∂ϕ⎫
+=-2G ⎪
∂z ⎪∂x 2∂y 2
⎬ （5-8） ⎪M z =2⎰⎰ψd A
⎪A ⎭
其中第二式推导如下：
将由应力函数表达的剪应力式（5-7）代入式（5-5）有：
⎡∂ψ∂ψ⎤
M z =-⎰⎰⎢y +x ⎥d A （a ）
∂y ∂x ⎦A ⎣∂ψ∂ψd x =d ψ，d y =d ψ。注意到d A =d x d y ，以及∂x ∂y
则式（a ）参照图5-3可表达为：
r y 2(x )h x 2(y )⎤ （b ）⎫⎛⎫M Z =-⎡⎰⎛y d ψd x +xd ψdy ⎪ ⎪⎰⎰⎰⎢⎥l y (x )k x (y )11⎭⎝⎭⎦⎣⎝
l 图5-3
应用分部积分法，式（b ）中第一项
⎰
式（c ）中即有：
r
l
y 2(x )r ⎛ ⎰y (x )y d ψ⎫⎪d x =⎰l ⎛ y ψ⎝1⎭⎝
y 2(x )
y 1(x )
-⎰
y 2(x )
y 1(x )
ψd y ⎫⎪d x （c ）
⎭
根据式（5-7）可知，剪应力为ψ一阶偏导数，而在截面周边上，可取ψ=常数=0，
ψ(y 1)=ψ(y 2)=0
因此，由式（c ）可得：
⎰
r
l
y 2(x )r y 2(x )
⎛ ⎰y (x )y d ψ⎫⎪d x =-⎰l ⎰y (x )ψd x d y =-⎰⎰ψd A （d ）
1⎝1⎭A
同样可得出式（b ）的第二项
x 2(y )
⎛x d ψ⎫⎪d y =-⎰⎰ψd A （e ）
⎰k ⎰⎝x 1(x )⎭A h
将式（d ）、式（e ）代入式（b ）后得到：
M z =2⎰⎰ψd A
A
此外，也可按如下更为简捷的方法证明。 将d A =d x d y 代入式（a ），则有：
⎡∂⎤∂
M z =-⎰⎰⎢(x ψ)+(y ψ)⎥d x d y +2⎰⎰ψd x d y （f ）
∂x ∂y ⎦A ⎣A
根据Green 定理，式（f ）右边第一项积分
⎡∂⎤∂()()x ψ+y ψd x d y =⎰(x ψl +y ψm )d s （g ） ⎢∂x ⎥⎰⎰s 0
∂y ⎦A ⎣
即沿截面A 的面积积分，可转化为沿周边S 0的积分，其中l 、m 分别为边界法线的方向余弦。对于在扭矩M Z 作用下的实体截面，其边界S 0上有ψ=0，故式（g ）应等于零，于是得到：
M z =2
⎰⎰ψd A
A
第三节 薄膜比拟法
由于杆件自由扭转微分方程求解的数学困难，L.Prantl 于1903年首先提出应用薄膜比拟法求解杆件的自由扭转问题，不但直观方便，而且也为实验方法提供了基础。
在自然界中有一些本质上完全不同的物理现象，却可以用同样的数学规律来描述。这样，如果我们借助于某种实验或近似方法，对其中一种物理现象取得有关的量，从而推出另一种物理现象的。这种方法称为比拟法。我们即将介绍的薄膜比拟法，便是利用扭转问题的应力函数，与在均布横向力作用下张紧的薄膜垂度之间在数学上的相似性来求解扭转方法。
其基本思想是：利用杆件自由扭转时应力函数微分方程与均布压力作用下薄膜挠度w 微分方程的数学相似性，对二者进行比拟，通过研究具有直观意义的薄膜挠度，简捷地讨论杆件的自由扭转问题。
如图5-4所示柔软薄膜具有与受扭杆件截面相同（或相似）的形状，薄膜粘附在刚性周边上，对其施加均布垂直压力p ，设薄膜周边张力为T 。容易理解，对于张紧的柔软薄膜，可以认为张力T 为常数，据此可导出薄膜挠度w 微分方程为：
z ∂2w ∂2w p ⎫
+=-⎪∂x 2∂y 2T ⎪ （5-9）
⎬⎪2V =2⎰⎰w d A
⎪A ⎭
图5-4
式（5-9）推导如下：
在图5-4中，薄膜受均布压力p =常数作用，产生的挠曲面为w =w (x , y )，取其中边长为d x 、d y 的微分研究其平衡。
设微元ad 边上的张力T d y 与x 轴的夹角为α1，根据小变形假定有tg α1≈α1，以及
()
α1=
∂w
∂x
而bc 边上的压力s d y 与x 轴的夹角为：
∂w ∂⎛∂w ⎫∂w ∂2w α2=+ ⎪d x =+d x
∂x ∂x ⎝∂x ⎭∂x ∂x 2
那么作用在ad 和bc 边上的张力沿z 轴方向的分量为：
⎛∂w ∂2w ⎫∂w ∂2w -T d y +T d y +2d x ⎪=T 2d x d y ⎪∂x ∂x ⎝∂x ∂x ⎭
同理作用在ab 和cd 边上的张力沿z 轴方向的分量为：
∂2w
T 2d x d y ∂x
竖向荷载为p d x d y ，由Z 方向的平衡条件
∑Z
=0可得：
⎛∂2w ∂2w ⎫T ∂x 2+∂y 2⎪⎪d x d y +p d x d y =0 ⎝⎭
∂2w ∂2w p
则 +=-22
T ∂x ∂y
比较式（5-9）和式（5-8），并注意到二者边界条件相同(ψ=0和w =0)，故可以建立表5-1的比拟关系。
表5-1
在图5-4所示的薄膜挠曲面上，任取一等高线s ，在此等高线上有w =常数，故沿等
高线s 有：
∂w
=0 ∂s
应用比拟条件式(5-11)，将上式的w 换为应力函数ψ，则有：
∂ψ
=0 ∂s
即
∂ψ∂ψd x ∂ψd y
=⋅+⋅=0 ∂s ∂x d s ∂y d s
d x d y
+τxz =0 d s d s
引用比拟关系式（5-12），得到：
-τyz
表明应力分量在等高线法线方向上(n ) 投影的代数和等于零，可见等高线上任一点的切线即为该点剪应力的方向，称此挠曲面的等高线为剪应力线。
将p 点剪应力分量投影到该点等高线的方向，便得到总剪应力为：
τ=τyz cos(n , x ) -τxz cos(n , y )
将式（5-12）代入，则
⎡∂ψ⎤∂ψ∂ψ
τ=-⎢cos(n , x ) +cos(n , y ) ⎥=-
∂x ∂y ∂n ⎣⎦
式中系：
∂ψ
为应力函数ψ在P 点的梯度，即通过P 点的最大斜率，故又有如下的比拟关∂n
∂ψ
（5-14） ∂n
τ=-
上式表明，应力函数的梯度，即为总剪应力。
以下将应用表5-1的比拟关系讨论开口及闭口截面的自由扭转问题。
第四节 开口薄壁杆件的自由扭转 一、矩形板条截面
实际工程中采用的开口截面，大多可视为矩形板条的组合，故首先讨论矩形板条截面的自由扭转。
如图5-5所示矩形板条，其宽度为
b ，厚度为t ，且b >>t 。采用薄膜比
拟时，可以忽略短边支承对薄膜挠曲变形的影响，即可设w 与x 无关。则薄膜的挠曲方程为：
图5-5
∂2w p
=-2
T ∂y
积分得：
w =-
p 2
y +Ay +B 2T
pt 2
利用边界条件，有A =0，B =，代入上式得
8T
pt 24y 2
w =-(1-2)
8T t
当y =0时，w =w max
pt 2
=。 8T
薄膜挠曲面与xy 平面所包围的体积为：
⎛4y 2⎫2
⎪V =⎰⎰w d x d y =w max ⎰⎰ 1-d x d y =w max bt 2⎪ 3t ⎭A A ⎝
运用薄膜比拟关系式（5-13），可以得出：
2
M z =2V =2⨯w max bt
3
则 w max =
3M z
4bt
那么薄膜比拟挠曲面方程最后确定为：
3M z w =
4bt
⎛4y 2⎫ 1-t 2⎪⎪ （5-15） ⎝⎭
再利用薄膜比拟关系式（5-12），便得到剪应力为：
τxz =
3M z 8y M z ∂w =-⋅2=-3⋅2y ∂y 4bt t bt
3
或 τz =-
M z
⋅2y （5-16） I T
bt 3
其中： I T = （5-17）
3
而 τyz =-
∂w
=0 ∂x
式（5-16）中I T 称为扭转常数，也称St. Venent扭转常数，它反映了截面的抗扭能力，具有与截面惯性相同的量纲。
由图5-5可知，当y =
t
时，剪应力有最大值，由式（5-16）得 2
τmax =τxz I
比拟关系式（5-10）中的即有：
y =
t 2
=
M z
⋅t （5-18） I T
p
值可由图5-5中单位宽度薄膜在Z 轴方向的平衡条件给出，s
pt =2s
则
M ∂w
I t =2s τmax =2s z t ∂y y =2I T M p
=2z s I T
将上式代入比拟关系式（5-10），得到扭转角微分方程为：
M p ∂ϕ⎫
=2z =2G s I T ∂z ⎪
⎪⎪∂ϕM z
=故 ⎬ （5-19） ∂z GI T
⎪⎪GI T ϕ'=M z
⎪⎭
于是，可根据杆件的静力平衡条件及几何边界条件，由式（5-19）求解扭转角ϕ。
二、矩形板条组合截面
矩形板条组成的组合截面，对于其中任一板条i ，其扭转角微分方程可由式(5-19)写出
ϕi '=
∂ϕi M zi
（5-20） =
∂z GI Ti
式中M zi 为第i 个矩形板条所承受的扭矩，I Ti 为抗扭常数，按式(5-17)计算。 将组合截面视为整体，设组合截面抗扭常数为I T，则根据式（5-19）又有：
ϕ'=
∂ϕM z
=
∂z GI T
根据周边不变形假定，各板条的扭转角ϕi 与组合截面整体的扭转角ϕ应相等，即有：
ϕ=ϕi ，ϕ'=ϕi '。
故
M M Z
=Zi （5-21） GI TGI Ti
n
显然，截面上的总扭矩（M z ）应为各板条承受的扭矩（M zi ）之和。即
M z =∑M zi
i =1
将式（5-21）代入便有：
n
I z =∑I zi
i =1
再由式（5-17）得到组合截面的扭转常数为：
1n 3
I T=∑b i t i （5-22）
3i =1
于是，求解矩形板条组合开口截面自由扭转问题时，可先按式（5-22）求出截面的扭转常数I T，然后按式（5-21）求各板条承受的扭矩M zi ，再根据公式（5-17）求解剪应力，而扭转角微分方程可按整体截面或任一板条用式（5-19）或（5-20）来表示。
三、圆截面
图5-6所示为圆截面及其比拟薄膜，参照本节矩形板条的讨论步骤，在垂直均布压力作用下，薄膜的挠度方程用坐标表示为：
p
⎛r 2⎫
w =w max 1-R 2⎪⎪
⎝⎭
薄膜圆与xy 平面所包围的体积为
V =
π
2
R 2w max （5-24）
利用比拟关系式（5-13）得：
M z =2V =πR 2w max
M z
则 w =
πR 2
⎛r 2⎫ 1-R 2⎪⎪ （5-26） ⎝⎭
根据比拟关系式（5-12）
τrz =
∂w M z
=⋅r ∂r πR 4
2
故
τrz =
M z
r （5-27） I T
其中： I T=
πR 4
2
（5-28）
I T为圆截面的扭转常数。
显然，最大剪应力发生在r =R 的截面外缘。
τmax =
M z
R （5-29） I T
p
值则由薄膜总体在z 轴T
扭转角微分方程可利用比拟关系式（5-10）得到。而其中的方向的静力平衡条件给出。由∑z =0，有：
p πR 2=T ⋅2πR ⋅
则
∂w ∂r
r =R =T ⋅2πR ⋅
M z
R I T
M p
=2z （5-30） T I T M ∂ϕ
=2z ∂z I T
将比拟关系式（5-10）代入，便得到扭转角微分方程为：
2G
∂ϕM z ⎫=⎪
GI T ⎬ （5-31） 故 ∂z
GI T ϕ'=M z ⎪⎭
由此可见，圆截面与矩形板条截面的扭转角微分方程具有相同的形式，其区别仅在于扭转常数不同，亦即其抗扭能力不相同。
四、任意形状实体截面的扭转常数
在本节的二、三中，我们利用薄膜比拟法推导了矩形板条截面和圆形截面的扭转角微分方程及其扭转常数，现通过对这两种极端截面的分析，得出任意形状实体截面扭转常数的近似表达式。
矩形截面有以下几何特性：
bt 3b 3t
轴惯性矩：I x =；I y =。
1212
面积： A =bt
b 3t
极惯矩： I ρ=I x +I y ≈
12
( I
x
bt 3
扭转常数：I T =
3
其中I x 、I y 是对于图5-5所示坐标而言，而扭转常数I T 与坐标(x , y )有关，因此，可以取其为截面积和极惯矩I ρ的函数，通过量纲分析，对于任意实体截面，扭转常数可写成如下的表达形式：
A 4
（5-32） I T =βI ρ
式中β为与截面形状有关的无量纲系数，对于矩形板条和圆形截面，可由式（5-32）与式（5-17）、（5-18）比较得到其相应的β值为：
A 4b 4t 4
矩形板条 β===36 （5-33-1）
I TI ρbt 3b 3t
⋅312
A 4πR 22
圆形截面 β===4π≈40 （5-33-2） 44
I TI ρπR πR
⋅22
二者虽为外形迥异的极端截面，而其β值相差甚微（10℅左右），故对介于其间的任意
形状截面，近似地取β为常数是可行的，按St.Venant 的建议，取β=40，则任意形状实体截面扭转常数的表达式可写为：
()
4
A 4
（5-34） I T=
40I ρ
第五节 闭口薄壁杆件的自由扭转 一、单室闭口截面
单室闭口截面的自由扭转分析也采用薄膜比拟法按上节中的描述的步骤进行，其关键在于如何确定比拟薄膜的曲面形状，以满足问题的各种边界条件。观察图5-7所示单室截面在
M z 作用下的自由扭转。
可以理解，闭口截面实际剪应力分布具有下列特点： （1）截面内边界以内剪应力为零。即
p
max
τ
xz
=τyz =0
由式（5-7）可知，这相应于应力函数
ψ(x , y ) =常数。
（2）由于壁厚远小于截面其他两个方向的尺寸，故剪应力沿壁厚可视为均匀分布。
于是，可选用图5-7所示的薄膜模型，其内外腔与截面形状相同，薄膜张紧与外周上，在此即有w =0，
图5-7
在内周界以内利用刚性板压上，并作用以均布垂直压力p ，且使刚性板始终保持水平。那么内周界以内的挠度w =w max =常数，即
∂w ∂w ==0 ∂x ∂y
与应力函数ψ(x , y ) =常数，τxz =τyz =0相对应。
由于壁厚相对很小，故薄膜在截面厚度范围内的斜率可视为无变化。即
∂w
=常数 ∂n
这相应于剪应力沿壁厚均匀分布（与开口截面不相同）。 于是，根据比拟关系式（5-12），可得剪应力为：
τ=τs =
w max
t
若用剪力流来表示，则有：
=τt =w max =常数 （5-35）
由此可见，剪力流与曲线坐标无关。即沿周边各点剪力流相等。 由图5-7容易得到，薄膜曲面与xy 平面所包围的体积为：
V =Aw max =A （5-36）
式中A 为截面中线所包围的面积：
1
ρd s （5-37） 2现根据比拟关系式（5-12），求剪力流。将式（5-36）代入比拟关系式（5-13），则有：
A =
=
M z M z
或τ= （5-38） 2A 2At
上式表明，剪应力τ与壁厚t 成反比。即当t 为最小时，τ取得最大值，用公式表达即为：
τmax =
M z
（5-39）
2At min
下面将应用比拟关系式（5-10），导出扭转角微分方程，即：
2G
其中
∂ϕp
= ∂z T
p
可由薄膜在z 轴方向的总体平衡条件求得。即 T
pA =T
w max
d s t
将式（5-35）及式（5-38）代入上式，便得到：
p M z
=T 2A 2d s
t （5-40）
将比拟关系式（5-10）代入，则得扭转角微分方程的通用形式为：
∂ϕM z ⎫
=
∂z GI T ⎪
⎪2
4A ⎬ （5-41） I T =
d s ⎪t ⎪⎭
I T 称为单室截面的扭转常数。
与开口截面相对比较可知，二者扭转角微分方程虽具有相同的形式（式（5-19）和式（5-41）），但扭转常数的计算公式及扭转剪应力沿壁厚的分布规律却迥然不同。图5-5及图5-7的薄膜曲面斜率变化表明，开口截面剪应力沿壁厚呈反对称分布，中面剪应力为零。由于薄壁截面的壁厚很小，因此，剪应力构成的截面扭矩（抵抗力矩）M z 也是很小的。而闭口截面剪应力沿壁厚均匀分布，中面剪应力不为零（剪应变γ中≠0），截面的扭转力矩（抵
抗力矩）M z 由周边剪力流构成，其力臂较开口截面大十倍以上，因此，其抗扭系数远较开口截面大。也就是说，其剪应力远较开口截面小。
二、多室闭口截面
多室闭口薄壁截面（如图5-8所示）为桥梁结构中常见的型式，其自由扭转分析可在上面单室截面的基础上，按薄膜比拟法进行。
观察图5-8，仍设想以薄膜覆盖全部闭口截面，并在外周界上张紧，内周界以内刚性板压上，并作用以垂直压力p （常数），使其始终保持水平，于是在内边界上满足条件
∂w ∂w ⎫
==0⎪∂x ∂y ⎬ τyz =τxz =0⎪⎭
图5-8
在薄壁厚度t 范围内薄膜为斜直线，即杆件剪应力沿壁厚仍为均匀分布。对于这样的薄膜曲面，其形状可由各室的最大挠度w i max 完全确定。根据单室截面式（5-35），有：
i =w i max
为确定各室的剪力流i ，需建立各室薄膜力的总体平衡方程，仍照式（5-40）列出第i 室的平衡方程为：
pA i =T
i
w i max w
d s -∑⎰T k max s （5-42）
i , k t t k
利用比拟关系式（5-10），并将ϕi '=ϕ'代入式（5-41）即得：
M p
=2G ϕi '=2G ϕ'=2z （5-43） T I T
式（5-43）用剪力流i 表示，则为：
i M ds
=2z A i （5-44） i t I T
其中I T 为全截面的扭转常数。因此，有
i M d s d s
2， n ) （5-45） -∑k ⎰=2z A i (i =1，
i t i , k t I T
式中左边第二项即为计及与i 室相邻的箱室k 的影响。当k >1时，则应取所有相邻壁积分之和。
对于n 室闭口箱，式（5-44）表示n 个方程组成的方程组，联立求解便可得到各室自由扭转的剪力流i ，而式（5-44）右端的全截面扭转常数I T ，尚为未知数，故还不能直接由式（5-44）得到最终结果。
由于方程组（5-45）中各式右端均有因子的剪力流i ]，即有：
2M z 2M z
，故可先假定=1，求解各室相应I T I T
d s d s ⎫
-∑k ]⎰=A i ⎪
i , k t t ⎪
2， n ) （5-46） ⎬ (i =1，M z
⎪i =2⋅i ]
⎪I T ⎭i 求得i ]后，全截面的扭转常数I T 便可由比拟关系式（5-13）并引用式（5-36）、式（5-46）求出。
M z =2V =2∑i A i =2∑2
简化为 M z =4则： I T =4
M z
i ]A i I T
M z I T
i
∑]A
i
i
∑]A （5-47）
i
综上所述，多室箱型截面的自由扭转分析步骤为： 1． 在式（5-45）中令2
M z
=1，解出i ]； I T
2． 由式（5-47）求得全截面的扭转常数I T ； 3． 根据式（5-46）计算各室实际剪力流i ；
4． 求得扭转刚度GI T 后，由式（5-19）写出扭转角微分方程
∂φM z ⎫=⎪
∂Z GI T ⎬ GI T φ'=M z ⎪⎭
第六节 算 例
如图3-8所示工字型截面和单箱双室截面，在扭矩M z =1000kNm 作用下，试分别计
算其自由扭转剪应力及扭转角。材料的弹性模量E =3. 24⨯10MPa ，剪切弹性模量
4
G =1. 39⨯104MPa 。
10
30
90
90
90
单位：MPa
图5-9
解：一、工字型截面 1、扭转常数计算
将整个截面视为三个矩形板条组成（见图5-9中的①、②、③），按式（5-17）分别计算各板条扭转常数及全截面的扭转常数。
1
I T ①=I T ②=⨯2．10⨯0. 103=7. 00⨯10-4(m4)
3I T ③=
1
⨯2. 90⨯0. 303=261. 00⨯10-4(m4) 3
n
全截面的扭转常数
1n 3
I T =∑I Ti =∑b i t i
3i =1i =1
则 I T =(2⨯7. 00+261. 00) ⨯102、自由扭转剪应力计算
由式（5-21）可知，各板条所承受的扭矩为： M zi =
-4
=275. 00⨯10-4(m4)
I Ti
M z I T
则 M z ①=M z ②=
7. 00
⨯1000=25. 40(kNm)
275. 00
M z ③=
261. 00
⨯1000=949. 20(kNm)
275. 00
根据式（5-18）计算自由扭转剪应力
τmaz =
M z
t I T
则
τM z ①max ①=τmax ②=
I t 1
T ①
=
25. 40⨯0. 10
7. 00⨯10
-4
=3. 64⨯103（kN/m2）=3. 64(MPa) τ9. 49. 20⨯0. 30max ③=
261. 00⨯10
-4
=10. 92⨯103（kN/m2
）=10. 92(MPa) 剪应力沿截面的分布如图（5-9）所示。 3、自由扭转变形（ϕ'）计算 由式（5-19）有：
ϕ'=
M z
GI T
则 ϕ'=
1000⨯10001. 39⨯1010⨯275⨯10-4
=2. 61⨯10-3
（rad/m）
二、单箱双室截面 1、自由扭转剪应力计算 根据式（5-45）有：
i dS i t -∑dS
M k ⎰i , k t =2z I A i (i =1, 2) T
令 2M z
I =1 T
则式（3-45）改写为：
dS i ]t -∑]⎰dS k i , k t
=A i (i =1, 2) 式中]表示
2M z
I =1时的自由扭转剪力流，故有： T
i =2
M z
I i ] T
I T =4∑i ]A i 对于图（5-9）所示箱形截面
A 1=A 2=1. 00⨯3. 00=3. 00（m 2） a ） b ）
（ （
d s d s ⎡1. 003. 00⎤==2+=80. 00 1t 2t ⎢⎥⎣0. 100. 10⎦d s 3. 00
⎰1, 2t =0. 10=30. 00
代入式（b ），有如下方程组：
801]-302]=3. 00⎫
⎬
-301]+802=3. 00⎭
解方程组得：1]=2]=0. 06 又由式（5-47）有：
I T =4⨯2⨯0. 06⨯3=1. 44（m 4）
由式（5-46）得到：
1=2=2⨯0. 06⨯
故自由扭转剪应力
1000⨯1000
=0. 0834⨯106（N/m）
1. 44
τ1=τ2=0. 0834⨯106/0. 10=0. 834⨯106（N/m2）=0.834(MPa)
剪应力沿截面的分布如图（5-9）所示。 2、箱型截面自由扭转变形（ϕ'）计算 仍由式（5-19）有：
106
ϕ'==0. 05⨯10-3（rad/m） 10
1. 39⨯10⨯1. 44
三、讨 论
1、在相同扭矩作用下，相同面积的工字型截面的最大剪应力为单箱双室截面剪应力的13倍，且分布规律也不相同；
2、面积相等的工字型截面与单箱双室截面的抗扭刚度（GI T ）之比为1∶52。即在相同的扭矩作用下，开口截面的相对扭转角为闭口双室截面的52倍。
第七节 小 结
1、薄壁杆件在纯扭矩作用下，纵向位移（翘曲）不受约束时，截面上只有剪应力，而无正应力，称为自由扭转或纯扭转。
2、在自由扭转分析时，采用了截面周边投影不变形假定，因此，截面内任一点p (x , y ) 的位移可用扭转角ϕ及平面内坐标的一次函数表达。即
u =-y ϕ⎫
⎬
v =x ϕ⎭
3、根据弹性力学的静力、几何及物理方程，引用应力函数ψ(x , y ) 表达的自由扭转基本方程为：
《桥梁设计理论》 蔡金标 第五讲 薄壁箱梁的自由扭转
∂2ψ∂2ψ∂ψ
+=-2G 22
∂z ∂x ∂y
及 M z =2
⎰⎰ψd x d y
A
τxz =
∂ψ
∂y
∂ψ
∂x
τyz =-
4、自由扭转分析可以形象地、方便地采用薄膜比拟法。即通过覆盖全截面而支承于截面外周界，受垂直均布荷载作用的薄膜来比拟杆件的自由扭转（薄膜周边张力为T ，荷载为
p （常数），挠度为w ），利用薄膜挠度w 与杆件应力函数ψ的微分关系，得出表1的比拟
式。
5、开口和闭口截面自由扭转均采用薄膜比拟法，利用式（5-10）～（5-13）给出的关系进行分析，二者扭转角微分方程具有相同的表达式。
即
∂ϕM z
=
∂z GI T
或 GI T ϕ'=M z
其中扭转常数I T ，对于开口和闭口截面则具有不同的计算方法和公式，分别见式（5-17）、式（5-22）、式（5-28）、式（5-34）、式（5-41）及式（5-47）。
开口和闭口截面的剪应力分布不同，前者沿壁厚呈反对称分布，中面剪应力为零，后者沿壁厚均匀分布，中面剪应力不为零，剪力流沿周边为常数。开口和闭口截面抗扭强度和刚度的数值相差可达数倍乃至数十倍、上百倍。
剪应力计算公式分别见式（5-16）、式（5-18）、式（5-27）、式（5-29）、式（5-38）、式（5-39）、式（5-46）等。
6、在扭转作用下，薄壁截面转角处将产生应力集中。应力集中的计算可参见有关文献。 [参考文献]
[1] 谢贻权等，弹性力学，浙江大学出版社。 [2] 陆 楸，汤国栋，薄壁杆件，人民交通出版社。 [3] 郭在田，薄壁杆件的弯曲与扭转，中国建筑工业出版社。 [4] 李明照，周竞欧，薄壁杆件结构计算，高等教育出版社。 [5] 曹富新，工程薄壁杆件结构计算，中国铁道出版社。 [6] 黄剑源，薄壁结构的扭转分析[上]，中国铁道出版社。
第五讲 薄壁箱梁的自由扭转
第一节 基本假定
在材料力学中，我们曾经讨论过圆截面杆的扭转问题，那时，我们假定杆件变形后截面保持为平面，只是相对地转动了一个角度，而截面的大小和形状都保持不变。这个假定对于圆截面杆来说是比较符合实际情况的，那么对于非圆截面的杆在扭转时，这个“平截面假定”不符合实际情况了，也就是说原来的平截面将产生“翘曲”，即截面可以产生沿轴线方向的位移。
当截面纵向翘曲不受约束，截面上只存在扭转剪应力而无正应力时，这种扭转称为“自由扭转”或“纯扭转”，或“圣维南扭转”。
实际工程结构中由于支承条件（支座或横隔板）、扭转力矩沿杆轴的不均匀分布等原因，杆件纵向位移往往受到约束，这时杆件截面上除存在自由扭转剪应力外，尚有因纵向位移受约束而产生的附加正应力及其相应的附加剪应力，这种扭转称为约束扭转。约束扭转产生的附加正应力及和剪应力称为翘曲正应力和翘曲剪应力。
在薄壁杆件自由扭转线性分析中，除线弹性、小变形（第三讲第二节所述假定2、3）假定有效外，还采用“截面周边投影不变形”假定，即无“畸变”。该假定认为，杆件受扭转变形后，其截面周边在原有平面（x , y ）内投影形状不变。即截面可以产生沿轴线方向（z 方向）的位移w （称为截面的纵向翘曲）。也就是说，在发生纵向翘曲后截面不再为平面（即平截面假定无效）。
第二节 自由扭转的基本方程
为了分析需要，先简述实体等截面直杆的自由扭转方程。
观察图5-1所示实体截面，设ϕ为杆件截面的扭转角，杆件截面上任一点p (x , y ) 仅存在剪应力τxz 、τyz 和剪应变γxz 、γyz 以及相应的面内位移u 、v 及纵向翘曲位移w 。
根据虎克定律，有如下的物理方程：
τxz =G γxz ⎫
⎬ （5-1）
τyz =G γyz ⎭
按弹性理论，在xz 平面内剪应变与位移间的关系——几何方程为：
图5-1
γxz =γyz
∂u ∂w ⎫+
∂z ∂x ⎪⎪
（5-2）
∂v ∂w ⎬⎪=+
∂z ∂y ⎪⎭
根据周边投影不变形假设，当截面绕z
轴转动ϕ角时（图5-2a ），截面内任一点p (x , y ) 移动至p '(x +u , y +v ) ，由图（5-2a ）有：
x +u =ρcos(α+ϕ) ⎫
⎬
y +v =ρsin(α+ϕ) ⎭
展开上式，根据小变形假定有：
cos ϕ≈1⎫
⎬
sin ϕ≈ϕ⎭
及
ρcos α=x ⎫
⎬
ρsin α=y ⎭
u =-y ϕ⎫
⎬ （5-3）
v =x ϕ⎭
y
则
图5-2b
图5-2a
将其代入几何关系式（5-2），
γxz =γyz
∂u ∂w ∂ϕ∂w
+=-y +∂z ∂x ∂z ∂x
∂v ∂w ∂ϕ∂w =+=x +∂z ∂y ∂z ∂y
第一式对y 求导，第二式对x 求导，两者相减得到：
∂γxz ∂γyz ∂ϕ
（5-4-1） -=-2
∂y ∂x ∂z
将物理关系式（5-1）代入上式有：
∂τxz ∂τyz ∂ϕ
-=-2G （5-4-2） ∂y ∂x ∂z
下面讨论问题的静力学方程。根据图5-1，截面内力(M z )与应力有如下关系：
M z =⎰(-τxz y +τyz x ) d A （5-5）
A
考虑受力单元体（图5-2b ）z 轴方向的平衡条件
∑z =0可得
∂τxz ∂τyz -=0 （5-6）
∂x ∂y
至此，理论上由式（5-4）、(5-5）、（5-6）可以求解τxz 、τyz 及ϕ，实际上对于任意形状截面和任意支承条件的杆件，由这些方程直接求解，往往存在数学上的困难，故在下一节中将介绍“薄膜比拟法”。为便于进行“薄膜比拟”，现引入Aires 应力函数ψ，将式（5-4）和式（5-6）联立，可得到关于应力函数ψ和扭转角ϕ的微分方程。
观察式（5-6），定义应力函数ψ=ψ(x , y ) ，使得
τxz =τyz
∂ψ
∂y ∂ψ=-
∂x
⎫⎪⎪
⎬ （5-7） ⎪⎪⎭
于是平衡方程式（5-6）自动满足，将式（5-7）代入式（5-4）、式（5-5）后，便得到以应力函数表达的微分方程
∂2ψ∂2ψ∂ϕ⎫
+=-2G ⎪
∂z ⎪∂x 2∂y 2
⎬ （5-8） ⎪M z =2⎰⎰ψd A
⎪A ⎭
其中第二式推导如下：
将由应力函数表达的剪应力式（5-7）代入式（5-5）有：
⎡∂ψ∂ψ⎤
M z =-⎰⎰⎢y +x ⎥d A （a ）
∂y ∂x ⎦A ⎣∂ψ∂ψd x =d ψ，d y =d ψ。注意到d A =d x d y ，以及∂x ∂y
则式（a ）参照图5-3可表达为：
r y 2(x )h x 2(y )⎤ （b ）⎫⎛⎫M Z =-⎡⎰⎛y d ψd x +xd ψdy ⎪ ⎪⎰⎰⎰⎢⎥l y (x )k x (y )11⎭⎝⎭⎦⎣⎝
l 图5-3
应用分部积分法，式（b ）中第一项
⎰
式（c ）中即有：
r
l
y 2(x )r ⎛ ⎰y (x )y d ψ⎫⎪d x =⎰l ⎛ y ψ⎝1⎭⎝
y 2(x )
y 1(x )
-⎰
y 2(x )
y 1(x )
ψd y ⎫⎪d x （c ）
⎭
根据式（5-7）可知，剪应力为ψ一阶偏导数，而在截面周边上，可取ψ=常数=0，
ψ(y 1)=ψ(y 2)=0
因此，由式（c ）可得：
⎰
r
l
y 2(x )r y 2(x )
⎛ ⎰y (x )y d ψ⎫⎪d x =-⎰l ⎰y (x )ψd x d y =-⎰⎰ψd A （d ）
1⎝1⎭A
同样可得出式（b ）的第二项
x 2(y )
⎛x d ψ⎫⎪d y =-⎰⎰ψd A （e ）
⎰k ⎰⎝x 1(x )⎭A h
将式（d ）、式（e ）代入式（b ）后得到：
M z =2⎰⎰ψd A
A
此外，也可按如下更为简捷的方法证明。 将d A =d x d y 代入式（a ），则有：
⎡∂⎤∂
M z =-⎰⎰⎢(x ψ)+(y ψ)⎥d x d y +2⎰⎰ψd x d y （f ）
∂x ∂y ⎦A ⎣A
根据Green 定理，式（f ）右边第一项积分
⎡∂⎤∂()()x ψ+y ψd x d y =⎰(x ψl +y ψm )d s （g ） ⎢∂x ⎥⎰⎰s 0
∂y ⎦A ⎣
即沿截面A 的面积积分，可转化为沿周边S 0的积分，其中l 、m 分别为边界法线的方向余弦。对于在扭矩M Z 作用下的实体截面，其边界S 0上有ψ=0，故式（g ）应等于零，于是得到：
M z =2
⎰⎰ψd A
A
第三节 薄膜比拟法
由于杆件自由扭转微分方程求解的数学困难，L.Prantl 于1903年首先提出应用薄膜比拟法求解杆件的自由扭转问题，不但直观方便，而且也为实验方法提供了基础。
在自然界中有一些本质上完全不同的物理现象，却可以用同样的数学规律来描述。这样，如果我们借助于某种实验或近似方法，对其中一种物理现象取得有关的量，从而推出另一种物理现象的。这种方法称为比拟法。我们即将介绍的薄膜比拟法，便是利用扭转问题的应力函数，与在均布横向力作用下张紧的薄膜垂度之间在数学上的相似性来求解扭转方法。
其基本思想是：利用杆件自由扭转时应力函数微分方程与均布压力作用下薄膜挠度w 微分方程的数学相似性，对二者进行比拟，通过研究具有直观意义的薄膜挠度，简捷地讨论杆件的自由扭转问题。
如图5-4所示柔软薄膜具有与受扭杆件截面相同（或相似）的形状，薄膜粘附在刚性周边上，对其施加均布垂直压力p ，设薄膜周边张力为T 。容易理解，对于张紧的柔软薄膜，可以认为张力T 为常数，据此可导出薄膜挠度w 微分方程为：
z ∂2w ∂2w p ⎫
+=-⎪∂x 2∂y 2T ⎪ （5-9）
⎬⎪2V =2⎰⎰w d A
⎪A ⎭
图5-4
式（5-9）推导如下：
在图5-4中，薄膜受均布压力p =常数作用，产生的挠曲面为w =w (x , y )，取其中边长为d x 、d y 的微分研究其平衡。
设微元ad 边上的张力T d y 与x 轴的夹角为α1，根据小变形假定有tg α1≈α1，以及
()
α1=
∂w
∂x
而bc 边上的压力s d y 与x 轴的夹角为：
∂w ∂⎛∂w ⎫∂w ∂2w α2=+ ⎪d x =+d x
∂x ∂x ⎝∂x ⎭∂x ∂x 2
那么作用在ad 和bc 边上的张力沿z 轴方向的分量为：
⎛∂w ∂2w ⎫∂w ∂2w -T d y +T d y +2d x ⎪=T 2d x d y ⎪∂x ∂x ⎝∂x ∂x ⎭
同理作用在ab 和cd 边上的张力沿z 轴方向的分量为：
∂2w
T 2d x d y ∂x
竖向荷载为p d x d y ，由Z 方向的平衡条件
∑Z
=0可得：
⎛∂2w ∂2w ⎫T ∂x 2+∂y 2⎪⎪d x d y +p d x d y =0 ⎝⎭
∂2w ∂2w p
则 +=-22
T ∂x ∂y
比较式（5-9）和式（5-8），并注意到二者边界条件相同(ψ=0和w =0)，故可以建立表5-1的比拟关系。
表5-1
在图5-4所示的薄膜挠曲面上，任取一等高线s ，在此等高线上有w =常数，故沿等
高线s 有：
∂w
=0 ∂s
应用比拟条件式(5-11)，将上式的w 换为应力函数ψ，则有：
∂ψ
=0 ∂s
即
∂ψ∂ψd x ∂ψd y
=⋅+⋅=0 ∂s ∂x d s ∂y d s
d x d y
+τxz =0 d s d s
引用比拟关系式（5-12），得到：
-τyz
表明应力分量在等高线法线方向上(n ) 投影的代数和等于零，可见等高线上任一点的切线即为该点剪应力的方向，称此挠曲面的等高线为剪应力线。
将p 点剪应力分量投影到该点等高线的方向，便得到总剪应力为：
τ=τyz cos(n , x ) -τxz cos(n , y )
将式（5-12）代入，则
⎡∂ψ⎤∂ψ∂ψ
τ=-⎢cos(n , x ) +cos(n , y ) ⎥=-
∂x ∂y ∂n ⎣⎦
式中系：
∂ψ
为应力函数ψ在P 点的梯度，即通过P 点的最大斜率，故又有如下的比拟关∂n
∂ψ
（5-14） ∂n
τ=-
上式表明，应力函数的梯度，即为总剪应力。
以下将应用表5-1的比拟关系讨论开口及闭口截面的自由扭转问题。
第四节 开口薄壁杆件的自由扭转 一、矩形板条截面
实际工程中采用的开口截面，大多可视为矩形板条的组合，故首先讨论矩形板条截面的自由扭转。
如图5-5所示矩形板条，其宽度为
b ，厚度为t ，且b >>t 。采用薄膜比
拟时，可以忽略短边支承对薄膜挠曲变形的影响，即可设w 与x 无关。则薄膜的挠曲方程为：
图5-5
∂2w p
=-2
T ∂y
积分得：
w =-
p 2
y +Ay +B 2T
pt 2
利用边界条件，有A =0，B =，代入上式得
8T
pt 24y 2
w =-(1-2)
8T t
当y =0时，w =w max
pt 2
=。 8T
薄膜挠曲面与xy 平面所包围的体积为：
⎛4y 2⎫2
⎪V =⎰⎰w d x d y =w max ⎰⎰ 1-d x d y =w max bt 2⎪ 3t ⎭A A ⎝
运用薄膜比拟关系式（5-13），可以得出：
2
M z =2V =2⨯w max bt
3
则 w max =
3M z
4bt
那么薄膜比拟挠曲面方程最后确定为：
3M z w =
4bt
⎛4y 2⎫ 1-t 2⎪⎪ （5-15） ⎝⎭
再利用薄膜比拟关系式（5-12），便得到剪应力为：
τxz =
3M z 8y M z ∂w =-⋅2=-3⋅2y ∂y 4bt t bt
3
或 τz =-
M z
⋅2y （5-16） I T
bt 3
其中： I T = （5-17）
3
而 τyz =-
∂w
=0 ∂x
式（5-16）中I T 称为扭转常数，也称St. Venent扭转常数，它反映了截面的抗扭能力，具有与截面惯性相同的量纲。
由图5-5可知，当y =
t
时，剪应力有最大值，由式（5-16）得 2
τmax =τxz I
比拟关系式（5-10）中的即有：
y =
t 2
=
M z
⋅t （5-18） I T
p
值可由图5-5中单位宽度薄膜在Z 轴方向的平衡条件给出，s
pt =2s
则
M ∂w
I t =2s τmax =2s z t ∂y y =2I T M p
=2z s I T
将上式代入比拟关系式（5-10），得到扭转角微分方程为：
M p ∂ϕ⎫
=2z =2G s I T ∂z ⎪
⎪⎪∂ϕM z
=故 ⎬ （5-19） ∂z GI T
⎪⎪GI T ϕ'=M z
⎪⎭
于是，可根据杆件的静力平衡条件及几何边界条件，由式（5-19）求解扭转角ϕ。
二、矩形板条组合截面
矩形板条组成的组合截面，对于其中任一板条i ，其扭转角微分方程可由式(5-19)写出
ϕi '=
∂ϕi M zi
（5-20） =
∂z GI Ti
式中M zi 为第i 个矩形板条所承受的扭矩，I Ti 为抗扭常数，按式(5-17)计算。 将组合截面视为整体，设组合截面抗扭常数为I T，则根据式（5-19）又有：
ϕ'=
∂ϕM z
=
∂z GI T
根据周边不变形假定，各板条的扭转角ϕi 与组合截面整体的扭转角ϕ应相等，即有：
ϕ=ϕi ，ϕ'=ϕi '。
故
M M Z
=Zi （5-21） GI TGI Ti
n
显然，截面上的总扭矩（M z ）应为各板条承受的扭矩（M zi ）之和。即
M z =∑M zi
i =1
将式（5-21）代入便有：
n
I z =∑I zi
i =1
再由式（5-17）得到组合截面的扭转常数为：
1n 3
I T=∑b i t i （5-22）
3i =1
于是，求解矩形板条组合开口截面自由扭转问题时，可先按式（5-22）求出截面的扭转常数I T，然后按式（5-21）求各板条承受的扭矩M zi ，再根据公式（5-17）求解剪应力，而扭转角微分方程可按整体截面或任一板条用式（5-19）或（5-20）来表示。
三、圆截面
图5-6所示为圆截面及其比拟薄膜，参照本节矩形板条的讨论步骤，在垂直均布压力作用下，薄膜的挠度方程用坐标表示为：
p
⎛r 2⎫
w =w max 1-R 2⎪⎪
⎝⎭
薄膜圆与xy 平面所包围的体积为
V =
π
2
R 2w max （5-24）
利用比拟关系式（5-13）得：
M z =2V =πR 2w max
M z
则 w =
πR 2
⎛r 2⎫ 1-R 2⎪⎪ （5-26） ⎝⎭
根据比拟关系式（5-12）
τrz =
∂w M z
=⋅r ∂r πR 4
2
故
τrz =
M z
r （5-27） I T
其中： I T=
πR 4
2
（5-28）
I T为圆截面的扭转常数。
显然，最大剪应力发生在r =R 的截面外缘。
τmax =
M z
R （5-29） I T
p
值则由薄膜总体在z 轴T
扭转角微分方程可利用比拟关系式（5-10）得到。而其中的方向的静力平衡条件给出。由∑z =0，有：
p πR 2=T ⋅2πR ⋅
则
∂w ∂r
r =R =T ⋅2πR ⋅
M z
R I T
M p
=2z （5-30） T I T M ∂ϕ
=2z ∂z I T
将比拟关系式（5-10）代入，便得到扭转角微分方程为：
2G
∂ϕM z ⎫=⎪
GI T ⎬ （5-31） 故 ∂z
GI T ϕ'=M z ⎪⎭
由此可见，圆截面与矩形板条截面的扭转角微分方程具有相同的形式，其区别仅在于扭转常数不同，亦即其抗扭能力不相同。
四、任意形状实体截面的扭转常数
在本节的二、三中，我们利用薄膜比拟法推导了矩形板条截面和圆形截面的扭转角微分方程及其扭转常数，现通过对这两种极端截面的分析，得出任意形状实体截面扭转常数的近似表达式。
矩形截面有以下几何特性：
bt 3b 3t
轴惯性矩：I x =；I y =。
1212
面积： A =bt
b 3t
极惯矩： I ρ=I x +I y ≈
12
( I
x
bt 3
扭转常数：I T =
3
其中I x 、I y 是对于图5-5所示坐标而言，而扭转常数I T 与坐标(x , y )有关，因此，可以取其为截面积和极惯矩I ρ的函数，通过量纲分析，对于任意实体截面，扭转常数可写成如下的表达形式：
A 4
（5-32） I T =βI ρ
式中β为与截面形状有关的无量纲系数，对于矩形板条和圆形截面，可由式（5-32）与式（5-17）、（5-18）比较得到其相应的β值为：
A 4b 4t 4
矩形板条 β===36 （5-33-1）
I TI ρbt 3b 3t
⋅312
A 4πR 22
圆形截面 β===4π≈40 （5-33-2） 44
I TI ρπR πR
⋅22
二者虽为外形迥异的极端截面，而其β值相差甚微（10℅左右），故对介于其间的任意
形状截面，近似地取β为常数是可行的，按St.Venant 的建议，取β=40，则任意形状实体截面扭转常数的表达式可写为：
()
4
A 4
（5-34） I T=
40I ρ
第五节 闭口薄壁杆件的自由扭转 一、单室闭口截面
单室闭口截面的自由扭转分析也采用薄膜比拟法按上节中的描述的步骤进行，其关键在于如何确定比拟薄膜的曲面形状，以满足问题的各种边界条件。观察图5-7所示单室截面在
M z 作用下的自由扭转。
可以理解，闭口截面实际剪应力分布具有下列特点： （1）截面内边界以内剪应力为零。即
p
max
τ
xz
=τyz =0
由式（5-7）可知，这相应于应力函数
ψ(x , y ) =常数。
（2）由于壁厚远小于截面其他两个方向的尺寸，故剪应力沿壁厚可视为均匀分布。
于是，可选用图5-7所示的薄膜模型，其内外腔与截面形状相同，薄膜张紧与外周上，在此即有w =0，
图5-7
在内周界以内利用刚性板压上，并作用以均布垂直压力p ，且使刚性板始终保持水平。那么内周界以内的挠度w =w max =常数，即
∂w ∂w ==0 ∂x ∂y
与应力函数ψ(x , y ) =常数，τxz =τyz =0相对应。
由于壁厚相对很小，故薄膜在截面厚度范围内的斜率可视为无变化。即
∂w
=常数 ∂n
这相应于剪应力沿壁厚均匀分布（与开口截面不相同）。 于是，根据比拟关系式（5-12），可得剪应力为：
τ=τs =
w max
t
若用剪力流来表示，则有：
=τt =w max =常数 （5-35）
由此可见，剪力流与曲线坐标无关。即沿周边各点剪力流相等。 由图5-7容易得到，薄膜曲面与xy 平面所包围的体积为：
V =Aw max =A （5-36）
式中A 为截面中线所包围的面积：
1
ρd s （5-37） 2现根据比拟关系式（5-12），求剪力流。将式（5-36）代入比拟关系式（5-13），则有：
A =
=
M z M z
或τ= （5-38） 2A 2At
上式表明，剪应力τ与壁厚t 成反比。即当t 为最小时，τ取得最大值，用公式表达即为：
τmax =
M z
（5-39）
2At min
下面将应用比拟关系式（5-10），导出扭转角微分方程，即：
2G
其中
∂ϕp
= ∂z T
p
可由薄膜在z 轴方向的总体平衡条件求得。即 T
pA =T
w max
d s t
将式（5-35）及式（5-38）代入上式，便得到：
p M z
=T 2A 2d s
t （5-40）
将比拟关系式（5-10）代入，则得扭转角微分方程的通用形式为：
∂ϕM z ⎫
=
∂z GI T ⎪
⎪2
4A ⎬ （5-41） I T =
d s ⎪t ⎪⎭
I T 称为单室截面的扭转常数。
与开口截面相对比较可知，二者扭转角微分方程虽具有相同的形式（式（5-19）和式（5-41）），但扭转常数的计算公式及扭转剪应力沿壁厚的分布规律却迥然不同。图5-5及图5-7的薄膜曲面斜率变化表明，开口截面剪应力沿壁厚呈反对称分布，中面剪应力为零。由于薄壁截面的壁厚很小，因此，剪应力构成的截面扭矩（抵抗力矩）M z 也是很小的。而闭口截面剪应力沿壁厚均匀分布，中面剪应力不为零（剪应变γ中≠0），截面的扭转力矩（抵
抗力矩）M z 由周边剪力流构成，其力臂较开口截面大十倍以上，因此，其抗扭系数远较开口截面大。也就是说，其剪应力远较开口截面小。
二、多室闭口截面
多室闭口薄壁截面（如图5-8所示）为桥梁结构中常见的型式，其自由扭转分析可在上面单室截面的基础上，按薄膜比拟法进行。
观察图5-8，仍设想以薄膜覆盖全部闭口截面，并在外周界上张紧，内周界以内刚性板压上，并作用以垂直压力p （常数），使其始终保持水平，于是在内边界上满足条件
∂w ∂w ⎫
==0⎪∂x ∂y ⎬ τyz =τxz =0⎪⎭
图5-8
在薄壁厚度t 范围内薄膜为斜直线，即杆件剪应力沿壁厚仍为均匀分布。对于这样的薄膜曲面，其形状可由各室的最大挠度w i max 完全确定。根据单室截面式（5-35），有：
i =w i max
为确定各室的剪力流i ，需建立各室薄膜力的总体平衡方程，仍照式（5-40）列出第i 室的平衡方程为：
pA i =T
i
w i max w
d s -∑⎰T k max s （5-42）
i , k t t k
利用比拟关系式（5-10），并将ϕi '=ϕ'代入式（5-41）即得：
M p
=2G ϕi '=2G ϕ'=2z （5-43） T I T
式（5-43）用剪力流i 表示，则为：
i M ds
=2z A i （5-44） i t I T
其中I T 为全截面的扭转常数。因此，有
i M d s d s
2， n ) （5-45） -∑k ⎰=2z A i (i =1，
i t i , k t I T
式中左边第二项即为计及与i 室相邻的箱室k 的影响。当k >1时，则应取所有相邻壁积分之和。
对于n 室闭口箱，式（5-44）表示n 个方程组成的方程组，联立求解便可得到各室自由扭转的剪力流i ，而式（5-44）右端的全截面扭转常数I T ，尚为未知数，故还不能直接由式（5-44）得到最终结果。
由于方程组（5-45）中各式右端均有因子的剪力流i ]，即有：
2M z 2M z
，故可先假定=1，求解各室相应I T I T
d s d s ⎫
-∑k ]⎰=A i ⎪
i , k t t ⎪
2， n ) （5-46） ⎬ (i =1，M z
⎪i =2⋅i ]
⎪I T ⎭i 求得i ]后，全截面的扭转常数I T 便可由比拟关系式（5-13）并引用式（5-36）、式（5-46）求出。
M z =2V =2∑i A i =2∑2
简化为 M z =4则： I T =4
M z
i ]A i I T
M z I T
i
∑]A
i
i
∑]A （5-47）
i
综上所述，多室箱型截面的自由扭转分析步骤为： 1． 在式（5-45）中令2
M z
=1，解出i ]； I T
2． 由式（5-47）求得全截面的扭转常数I T ； 3． 根据式（5-46）计算各室实际剪力流i ；
4． 求得扭转刚度GI T 后，由式（5-19）写出扭转角微分方程
∂φM z ⎫=⎪
∂Z GI T ⎬ GI T φ'=M z ⎪⎭
第六节 算 例
如图3-8所示工字型截面和单箱双室截面，在扭矩M z =1000kNm 作用下，试分别计
算其自由扭转剪应力及扭转角。材料的弹性模量E =3. 24⨯10MPa ，剪切弹性模量
4
G =1. 39⨯104MPa 。
10
30
90
90
90
单位：MPa
图5-9
解：一、工字型截面 1、扭转常数计算
将整个截面视为三个矩形板条组成（见图5-9中的①、②、③），按式（5-17）分别计算各板条扭转常数及全截面的扭转常数。
1
I T ①=I T ②=⨯2．10⨯0. 103=7. 00⨯10-4(m4)
3I T ③=
1
⨯2. 90⨯0. 303=261. 00⨯10-4(m4) 3
n
全截面的扭转常数
1n 3
I T =∑I Ti =∑b i t i
3i =1i =1
则 I T =(2⨯7. 00+261. 00) ⨯102、自由扭转剪应力计算
由式（5-21）可知，各板条所承受的扭矩为： M zi =
-4
=275. 00⨯10-4(m4)
I Ti
M z I T
则 M z ①=M z ②=
7. 00
⨯1000=25. 40(kNm)
275. 00
M z ③=
261. 00
⨯1000=949. 20(kNm)
275. 00
根据式（5-18）计算自由扭转剪应力
τmaz =
M z
t I T
则
τM z ①max ①=τmax ②=
I t 1
T ①
=
25. 40⨯0. 10
7. 00⨯10
-4
=3. 64⨯103（kN/m2）=3. 64(MPa) τ9. 49. 20⨯0. 30max ③=
261. 00⨯10
-4
=10. 92⨯103（kN/m2
）=10. 92(MPa) 剪应力沿截面的分布如图（5-9）所示。 3、自由扭转变形（ϕ'）计算 由式（5-19）有：
ϕ'=
M z
GI T
则 ϕ'=
1000⨯10001. 39⨯1010⨯275⨯10-4
=2. 61⨯10-3
（rad/m）
二、单箱双室截面 1、自由扭转剪应力计算 根据式（5-45）有：
i dS i t -∑dS
M k ⎰i , k t =2z I A i (i =1, 2) T
令 2M z
I =1 T
则式（3-45）改写为：
dS i ]t -∑]⎰dS k i , k t
=A i (i =1, 2) 式中]表示
2M z
I =1时的自由扭转剪力流，故有： T
i =2
M z
I i ] T
I T =4∑i ]A i 对于图（5-9）所示箱形截面
A 1=A 2=1. 00⨯3. 00=3. 00（m 2） a ） b ）
（ （
d s d s ⎡1. 003. 00⎤==2+=80. 00 1t 2t ⎢⎥⎣0. 100. 10⎦d s 3. 00
⎰1, 2t =0. 10=30. 00
代入式（b ），有如下方程组：
801]-302]=3. 00⎫
⎬
-301]+802=3. 00⎭
解方程组得：1]=2]=0. 06 又由式（5-47）有：
I T =4⨯2⨯0. 06⨯3=1. 44（m 4）
由式（5-46）得到：
1=2=2⨯0. 06⨯
故自由扭转剪应力
1000⨯1000
=0. 0834⨯106（N/m）
1. 44
τ1=τ2=0. 0834⨯106/0. 10=0. 834⨯106（N/m2）=0.834(MPa)
剪应力沿截面的分布如图（5-9）所示。 2、箱型截面自由扭转变形（ϕ'）计算 仍由式（5-19）有：
106
ϕ'==0. 05⨯10-3（rad/m） 10
1. 39⨯10⨯1. 44
三、讨 论
1、在相同扭矩作用下，相同面积的工字型截面的最大剪应力为单箱双室截面剪应力的13倍，且分布规律也不相同；
2、面积相等的工字型截面与单箱双室截面的抗扭刚度（GI T ）之比为1∶52。即在相同的扭矩作用下，开口截面的相对扭转角为闭口双室截面的52倍。
第七节 小 结
1、薄壁杆件在纯扭矩作用下，纵向位移（翘曲）不受约束时，截面上只有剪应力，而无正应力，称为自由扭转或纯扭转。
2、在自由扭转分析时，采用了截面周边投影不变形假定，因此，截面内任一点p (x , y ) 的位移可用扭转角ϕ及平面内坐标的一次函数表达。即
u =-y ϕ⎫
⎬
v =x ϕ⎭
3、根据弹性力学的静力、几何及物理方程，引用应力函数ψ(x , y ) 表达的自由扭转基本方程为：
《桥梁设计理论》 蔡金标 第五讲 薄壁箱梁的自由扭转
∂2ψ∂2ψ∂ψ
+=-2G 22
∂z ∂x ∂y
及 M z =2
⎰⎰ψd x d y
A
τxz =
∂ψ
∂y
∂ψ
∂x
τyz =-
4、自由扭转分析可以形象地、方便地采用薄膜比拟法。即通过覆盖全截面而支承于截面外周界，受垂直均布荷载作用的薄膜来比拟杆件的自由扭转（薄膜周边张力为T ，荷载为
p （常数），挠度为w ），利用薄膜挠度w 与杆件应力函数ψ的微分关系，得出表1的比拟
式。
5、开口和闭口截面自由扭转均采用薄膜比拟法，利用式（5-10）～（5-13）给出的关系进行分析，二者扭转角微分方程具有相同的表达式。
即
∂ϕM z
=
∂z GI T
或 GI T ϕ'=M z
其中扭转常数I T ，对于开口和闭口截面则具有不同的计算方法和公式，分别见式（5-17）、式（5-22）、式（5-28）、式（5-34）、式（5-41）及式（5-47）。
开口和闭口截面的剪应力分布不同，前者沿壁厚呈反对称分布，中面剪应力为零，后者沿壁厚均匀分布，中面剪应力不为零，剪力流沿周边为常数。开口和闭口截面抗扭强度和刚度的数值相差可达数倍乃至数十倍、上百倍。
剪应力计算公式分别见式（5-16）、式（5-18）、式（5-27）、式（5-29）、式（5-38）、式（5-39）、式（5-46）等。
6、在扭转作用下，薄壁截面转角处将产生应力集中。应力集中的计算可参见有关文献。 [参考文献]
[1] 谢贻权等，弹性力学，浙江大学出版社。 [2] 陆 楸，汤国栋，薄壁杆件，人民交通出版社。 [3] 郭在田，薄壁杆件的弯曲与扭转，中国建筑工业出版社。 [4] 李明照，周竞欧，薄壁杆件结构计算，高等教育出版社。 [5] 曹富新，工程薄壁杆件结构计算，中国铁道出版社。 [6] 黄剑源，薄壁结构的扭转分析[上]，中国铁道出版社。