华东理工大学2008–2009学年第二学期
《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 卷 2009.7.2 一、（共
12
分）设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度函数为
⎧ke -x -2y , x >0, y >0
f (x , y ) =⎨，
其他⎩0,
（1） 求常数k （3分）； （2） 求P {X >Y }（3分）；
（3） 证明：X 与Y 相互独立（6分）。
解：（1）
⎰⎰
∞∞
-∞-∞
f (x , y ) dxdy =1，……………………………………….2’
⎰⎰
∞∞
ke -x -2y dxdy =1，k =2；………………………………………1’
（2）P {X >Y }=
⎰
∞
dx ⎰2e -x -2y dxdy ……………………………….2’
x
=1-
12
=………………………………………………1’ 33
∞⎧⎪⎰2e -x -2y dy ,
（3）f X (x ) =⎨0
⎪0, ⎩∞⎧⎪⎰2e -x -2y dx ,
f Y (y ) =⎨0
⎪0, ⎩
x >0y >0
⎧e -x , x >0
，……………………………..2’ =⎨
0, x ≤0x ≤0⎩
y >0y ≤0
…………………………………2’
⎧e -2y , =⎨y ≤0⎩0,
因为f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) ，所以X 与Y 相互独立。………………………………….2’ 二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从 （300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？ 解：设公司组织货源a 吨，此时的收益额为Y （单位：千元），则Y =g (X ) ，且
1. 5a , ⎧
Y =⎨
⎩1. 5X -0. 5(a -X ),
X ≥a
⎧1. 5a , =⎨
X
X ≥a X
………………2’
⎧1⎪, x ∈(300, 500)
……………………..1’ X 的概率密度函数为 f (x ) =⎨200
⎪其他⎩0,
∞a 50011
dx +⎰1. 5a ⋅dx EY =⎰g (x ) f (x ) dx =⎰(2x -0. 5a ) ⋅
300a -∞200200
1=(-a 2+900a -3002) ……………………………………………………3’ 200dEY 1令=(-2a +900) =0，…………………………………………………2’
da 200
， a =450（唯一驻点）
d 2EY 1
=-
100da
所以，当a =450吨时，可以使平均收益EY 最大，即公司应该组织货源450吨。
... ……….2’ . 三、（11分）已知相互独立的随机变量X ，Y 的概率密度分别为：
⎧e -y , y >0⎧2x , 0≤x ≤1
f (x ) =⎨，g (y ) =⎨，
其他⎩0, ⎩0, 其他
求Z =X +Y 的概率密度ϕ(z ) 。
⎧2xe -y , 00
解一：（X ，Y ）的联合概率密度为f (x , y ) =f (x ) g (y ) =⎨…..2’
其他⎩0,
由卷积公式，ϕ(z ) =
⎰
1
∞
-∞
f (x ) g (z -x ) dx =⎰2xg (z -x ) dx ……………… ..2’
z
1
当z ≤0时，ϕ(z ) =0；…………………………………………………….. …..2’ 当01时，ϕ(z ) =
⎰
2xe -(z -x ) dx =2(e -z +z -1) ；……………………2’
-(z -x )
⎰2xe
dx =2e -z ，……………………………………2’
0, z ≤0⎧
⎪-z
即 ϕ(z ) =⎨2(e +z -1), 0
-z ⎪2e , z >1⎩
解二：F (z ) =P {X +Y ≤z }=
当z ≤0时，F (z ) =
x +y ≤z
⎰⎰f (x , y ) dxdy ………………………………..2’
z -x
z
x +y ≤z
⎰⎰0dxdy =0，ϕ(z ) =0；………………………….2’
z 0
z
当0
⎰
=⎰2xdx -e ⎰2xe dx =z
-z
z
x
0-z
dx ⎰2xe dy =⎰2x (1-e -(z -x ) ) dx …………….2’
2
-y
-2z +1-2e -z ，……..1’
ϕ(z ) =F '(z ) =2(e +z -1) ；……………………………….1’
当z >1时，
F (z ) =⎰dx ⎰
1z -x
2xe dy =⎰2x (1-e
-y
1
-(z -x )
) dx =⎰2xdx -2e
1
-z
⎰
1
xe x dx =1-2e -z
…………………………………………………………………………………………2’ ϕ(z ) =F '(z ) =2e -z ，……………………………………………………………...1’
0, z ≤0⎧
⎪-z
即 ϕ(z ) =⎨2(e +z -1), 0
⎪2e -z , z >1⎩
⎧2x
⎪0
五、（12分）设总体ξ的概率密度为 ϕ(x ) =⎨θ2
⎪其他⎩0
其中，θ>0 是未知参数，(X 1, X 2, , X n ) 是来自ξ的一组样本，
ˆ，并考察θˆ是否为θ的无偏估计。（1）求θ的矩法估计θ（本小题5分）
M
M
ˆ，并考察θˆ是否为θ的无偏估计。（2）求θ的极大似然估计θ（本小题7分） L L
解：（1）E ξ=
⎰
θ0
x ⋅
2x
θ2
dx =
23θ2
x
3θ0
=
2θ
=X ，…………………………2’ 3
ˆ=因此θM
3
X . …………………………1’ 2
ˆ是θ 的无偏估计。……………2’ ˆ=3E X =3⋅2θ=θ，所以此矩估计θE θM M
223
（2）似然函数L (θ) =
∏ϕ(x ) =
i
i =1n i =1
n
2
n
∏x
i =1
2n
n
i
θ
，0
…………………………2’
ln L (θ) =n ln 2+∑ln x i -2n ln θ，
d ln L 2n
=-
…………………………1’
ˆ=max{X }=X …………………………1’ θ越小，L 越大，故θL i (n )
x ≤0⎧0,
2⎪⎪x
ξ的的分布函数为F 1(x ) =⎨2, 0
⎪θ
x >θ⎪⎩1,
ˆ=max{X }的分布函数为F (z ) =[F (z )]n θL i 1
⎧2nz 2n -1
, 0
⎪其他⎩0,
………………………1
ˆ=E θL ⎰zf (z ) dz =⎰z ⋅
-∞
∞θ
2nz 2n -1
θ2n
dz =
2n
θ≠θ，故θˆL 不是θ的无偏估计。 2n +1
…………………………2’ 六、填空题（共24分，每小题3分，共8小题）
1．设某地旅游者日消费额服从正态分布N (μ, σ) ，且标准差σ=12，今对该地旅游者的
日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计的误差绝对值小于3（元），则至少需要调查 62 人。（U
1-
2
α
2
=U 0.975=1.96）
2．在一次试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复做两次。已知事件A 至多发
1
。则p = 1/3 。 2
7
3．设事件A , B 相互独立，且P (A ) =P (B ) ，P (A B ) =，P (A ) =P (B ) ，
16
生一次的条件下，事件A 至少发生一次的概率为则P (A ) = 0．25
4．某种体育彩票的奖金额ξ由摇奖决定，平均奖金额为20万，标准差为10万。若一年中要开出256个奖，为有95%的把握保证能够发放奖金，（用中心极限定理估计可知，）需要准备奖金总额 5383．2 万。（Φ(1. 645) =0. 95）
π⎧
⎪sin x , 0
5．设随机变量ξ的密度函数是p (x ) =⎨2。对ξ独立地随机观察6
⎪其它⎩0,
次，η表示ξ的观察值大于
π
的次数，则E η= 3 。 3
⎧5e -5x , x >0
6．设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨, 用切比雪夫不等式估计
x ≤00, ⎩P {X -EX ≥2}≤7．将一枚硬币重复投掷n 次, 设ξ，η分别表示正面向上和反面向上的次数, 则ξ与η的相关系数为
8.
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，则他是乘地铁回家的概率为 9/13 。
八、选择题（共21分，每小题3分，共7小题）
，X 6为来自总体X ~N (0，1．已知X 1，X 2，4) 的一组样本。设
Y =(X 1+X 2+X 3) 2+(X 4+X 5+X 6) 2，且CY ~χ2分布，则C= （ A ）
A ．
1111 B ． C ． D ． 12632
2．已知随机变量X 与Y 独立同分布，记U =X +2Y ，V =X -2Y ，则cov(U , V ) =
（ D ）
A ．-
33
B ． C ．3DX D ．-3DX 55
3．现把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛，则最强的两个队分在不同组内的
概率为 （ D ）
A ．
11015
B ． C ． D ． 1019219
4．设随机变量ξ密度函数为p (x ) ，则η=3ξ-1的密度函数p η(y ) 为 （ A ）
A 、
1y +1y +11y -1p () B 、3p () C 、p (3(y +1)) D 、3p () 33333
5．设总体ξ~N (μ, 1) ，(X 1, X 2, X 3) 是ξ的样本，则下列μ的无偏估计中最有效的估计为 （ D ）
ˆ1= (A ) μ
111122
ˆ2=X 1+X 2+X 3 X 1+X 2+X 3 (B ) μ
[1**********]1ˆ3=X 1+X 2+X 3ˆ4=X 1+X 2+X 3(C ) μ(D ) μ
236 333
6．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是 （ C ）
A ．若AB =∅，则A ，B 一定不独立； B．若AB ≠∅，则A ，B 一定独立； C ．若AB ≠∅，则A ，B 有可能独立； D．若AB =∅，则A ，B 一定独立 7．设随机变量ξ的概率密度为f (x ) ，且f (-x ) =f (x ), 则对任意实数a ，ξ的分布函数
F (x ) 满足 （ B ）.
a
a
A. F (-a ) =1-
⎰f (x ) dx ， B. F (-a ) =0. 5-⎰f (x ) dx ,
C. F (-a ) =F (a ) ， D. F (-a ) =2F (a ) -1.
华东理工大学2008–2009学年第二学期
《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 卷 2009.7.2 一、（共
12
分）设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度函数为
⎧ke -x -2y , x >0, y >0
f (x , y ) =⎨，
其他⎩0,
（1） 求常数k （3分）； （2） 求P {X >Y }（3分）；
（3） 证明：X 与Y 相互独立（6分）。
解：（1）
⎰⎰
∞∞
-∞-∞
f (x , y ) dxdy =1，……………………………………….2’
⎰⎰
∞∞
ke -x -2y dxdy =1，k =2；………………………………………1’
（2）P {X >Y }=
⎰
∞
dx ⎰2e -x -2y dxdy ……………………………….2’
x
=1-
12
=………………………………………………1’ 33
∞⎧⎪⎰2e -x -2y dy ,
（3）f X (x ) =⎨0
⎪0, ⎩∞⎧⎪⎰2e -x -2y dx ,
f Y (y ) =⎨0
⎪0, ⎩
x >0y >0
⎧e -x , x >0
，……………………………..2’ =⎨
0, x ≤0x ≤0⎩
y >0y ≤0
…………………………………2’
⎧e -2y , =⎨y ≤0⎩0,
因为f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) ，所以X 与Y 相互独立。………………………………….2’ 二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从 （300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？ 解：设公司组织货源a 吨，此时的收益额为Y （单位：千元），则Y =g (X ) ，且
1. 5a , ⎧
Y =⎨
⎩1. 5X -0. 5(a -X ),
X ≥a
⎧1. 5a , =⎨
X
X ≥a X
………………2’
⎧1⎪, x ∈(300, 500)
……………………..1’ X 的概率密度函数为 f (x ) =⎨200
⎪其他⎩0,
∞a 50011
dx +⎰1. 5a ⋅dx EY =⎰g (x ) f (x ) dx =⎰(2x -0. 5a ) ⋅
300a -∞200200
1=(-a 2+900a -3002) ……………………………………………………3’ 200dEY 1令=(-2a +900) =0，…………………………………………………2’
da 200
， a =450（唯一驻点）
d 2EY 1
=-
100da
所以，当a =450吨时，可以使平均收益EY 最大，即公司应该组织货源450吨。
... ……….2’ . 三、（11分）已知相互独立的随机变量X ，Y 的概率密度分别为：
⎧e -y , y >0⎧2x , 0≤x ≤1
f (x ) =⎨，g (y ) =⎨，
其他⎩0, ⎩0, 其他
求Z =X +Y 的概率密度ϕ(z ) 。
⎧2xe -y , 00
解一：（X ，Y ）的联合概率密度为f (x , y ) =f (x ) g (y ) =⎨…..2’
其他⎩0,
由卷积公式，ϕ(z ) =
⎰
1
∞
-∞
f (x ) g (z -x ) dx =⎰2xg (z -x ) dx ……………… ..2’
z
1
当z ≤0时，ϕ(z ) =0；…………………………………………………….. …..2’ 当01时，ϕ(z ) =
⎰
2xe -(z -x ) dx =2(e -z +z -1) ；……………………2’
-(z -x )
⎰2xe
dx =2e -z ，……………………………………2’
0, z ≤0⎧
⎪-z
即 ϕ(z ) =⎨2(e +z -1), 0
-z ⎪2e , z >1⎩
解二：F (z ) =P {X +Y ≤z }=
当z ≤0时，F (z ) =
x +y ≤z
⎰⎰f (x , y ) dxdy ………………………………..2’
z -x
z
x +y ≤z
⎰⎰0dxdy =0，ϕ(z ) =0；………………………….2’
z 0
z
当0
⎰
=⎰2xdx -e ⎰2xe dx =z
-z
z
x
0-z
dx ⎰2xe dy =⎰2x (1-e -(z -x ) ) dx …………….2’
2
-y
-2z +1-2e -z ，……..1’
ϕ(z ) =F '(z ) =2(e +z -1) ；……………………………….1’
当z >1时，
F (z ) =⎰dx ⎰
1z -x
2xe dy =⎰2x (1-e
-y
1
-(z -x )
) dx =⎰2xdx -2e
1
-z
⎰
1
xe x dx =1-2e -z
…………………………………………………………………………………………2’ ϕ(z ) =F '(z ) =2e -z ，……………………………………………………………...1’
0, z ≤0⎧
⎪-z
即 ϕ(z ) =⎨2(e +z -1), 0
⎪2e -z , z >1⎩
⎧2x
⎪0
五、（12分）设总体ξ的概率密度为 ϕ(x ) =⎨θ2
⎪其他⎩0
其中，θ>0 是未知参数，(X 1, X 2, , X n ) 是来自ξ的一组样本，
ˆ，并考察θˆ是否为θ的无偏估计。（1）求θ的矩法估计θ（本小题5分）
M
M
ˆ，并考察θˆ是否为θ的无偏估计。（2）求θ的极大似然估计θ（本小题7分） L L
解：（1）E ξ=
⎰
θ0
x ⋅
2x
θ2
dx =
23θ2
x
3θ0
=
2θ
=X ，…………………………2’ 3
ˆ=因此θM
3
X . …………………………1’ 2
ˆ是θ 的无偏估计。……………2’ ˆ=3E X =3⋅2θ=θ，所以此矩估计θE θM M
223
（2）似然函数L (θ) =
∏ϕ(x ) =
i
i =1n i =1
n
2
n
∏x
i =1
2n
n
i
θ
，0
…………………………2’
ln L (θ) =n ln 2+∑ln x i -2n ln θ，
d ln L 2n
=-
…………………………1’
ˆ=max{X }=X …………………………1’ θ越小，L 越大，故θL i (n )
x ≤0⎧0,
2⎪⎪x
ξ的的分布函数为F 1(x ) =⎨2, 0
⎪θ
x >θ⎪⎩1,
ˆ=max{X }的分布函数为F (z ) =[F (z )]n θL i 1
⎧2nz 2n -1
, 0
⎪其他⎩0,
………………………1
ˆ=E θL ⎰zf (z ) dz =⎰z ⋅
-∞
∞θ
2nz 2n -1
θ2n
dz =
2n
θ≠θ，故θˆL 不是θ的无偏估计。 2n +1
…………………………2’ 六、填空题（共24分，每小题3分，共8小题）
1．设某地旅游者日消费额服从正态分布N (μ, σ) ，且标准差σ=12，今对该地旅游者的
日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计的误差绝对值小于3（元），则至少需要调查 62 人。（U
1-
2
α
2
=U 0.975=1.96）
2．在一次试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复做两次。已知事件A 至多发
1
。则p = 1/3 。 2
7
3．设事件A , B 相互独立，且P (A ) =P (B ) ，P (A B ) =，P (A ) =P (B ) ，
16
生一次的条件下，事件A 至少发生一次的概率为则P (A ) = 0．25
4．某种体育彩票的奖金额ξ由摇奖决定，平均奖金额为20万，标准差为10万。若一年中要开出256个奖，为有95%的把握保证能够发放奖金，（用中心极限定理估计可知，）需要准备奖金总额 5383．2 万。（Φ(1. 645) =0. 95）
π⎧
⎪sin x , 0
5．设随机变量ξ的密度函数是p (x ) =⎨2。对ξ独立地随机观察6
⎪其它⎩0,
次，η表示ξ的观察值大于
π
的次数，则E η= 3 。 3
⎧5e -5x , x >0
6．设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨, 用切比雪夫不等式估计
x ≤00, ⎩P {X -EX ≥2}≤7．将一枚硬币重复投掷n 次, 设ξ，η分别表示正面向上和反面向上的次数, 则ξ与η的相关系数为
8.
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，则他是乘地铁回家的概率为 9/13 。
八、选择题（共21分，每小题3分，共7小题）
，X 6为来自总体X ~N (0，1．已知X 1，X 2，4) 的一组样本。设
Y =(X 1+X 2+X 3) 2+(X 4+X 5+X 6) 2，且CY ~χ2分布，则C= （ A ）
A ．
1111 B ． C ． D ． 12632
2．已知随机变量X 与Y 独立同分布，记U =X +2Y ，V =X -2Y ，则cov(U , V ) =
（ D ）
A ．-
33
B ． C ．3DX D ．-3DX 55
3．现把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛，则最强的两个队分在不同组内的
概率为 （ D ）
A ．
11015
B ． C ． D ． 1019219
4．设随机变量ξ密度函数为p (x ) ，则η=3ξ-1的密度函数p η(y ) 为 （ A ）
A 、
1y +1y +11y -1p () B 、3p () C 、p (3(y +1)) D 、3p () 33333
5．设总体ξ~N (μ, 1) ，(X 1, X 2, X 3) 是ξ的样本，则下列μ的无偏估计中最有效的估计为 （ D ）
ˆ1= (A ) μ
111122
ˆ2=X 1+X 2+X 3 X 1+X 2+X 3 (B ) μ
[1**********]1ˆ3=X 1+X 2+X 3ˆ4=X 1+X 2+X 3(C ) μ(D ) μ
236 333
6．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是 （ C ）
A ．若AB =∅，则A ，B 一定不独立； B．若AB ≠∅，则A ，B 一定独立； C ．若AB ≠∅，则A ，B 有可能独立； D．若AB =∅，则A ，B 一定独立 7．设随机变量ξ的概率密度为f (x ) ，且f (-x ) =f (x ), 则对任意实数a ，ξ的分布函数
F (x ) 满足 （ B ）.
a
a
A. F (-a ) =1-
⎰f (x ) dx ， B. F (-a ) =0. 5-⎰f (x ) dx ,
C. F (-a ) =F (a ) ， D. F (-a ) =2F (a ) -1.