全国2014年4月高等教育自学考试
课程代码：04184
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
1．设行列式a 11a 12
a 21a 22=3，删行列式a 112a 12+5a 11a 212a 22+5a 21=
A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15
2．设A ，B 为4阶非零矩阵，且AB=0，若r(A )=3，则r(B)=
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．设向量组α1=(1，0，0) T ，α2=(0，1，0) T ，则下列向量中可由α1，α2线性表出的是
A ．(0，-1，2) T B ．(-1，2，0) T C ．(-1，0，2) T D ．(1，2，-1) T
4．设A 为3阶矩阵，且r(A )=2，若α1，α2为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。k 为任意常数，则方程组Ax=0的通解为
α+α2α-α2A ．k α1 B ．k α2 C ．k 1 D ．k 1 22
5．二次型f(x1,x 2,x 3)=x12+2x22+x32-2x 1x 2+4x1x 3-2x 2x 3的矩阵是
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
234
6．3阶行列式52第2行元素的代数余子式之和A 21+A22+A23=________．
11
7．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|A *|=________．
⎛102⎫⎛30-1⎫T 8．设矩阵A= ，B =⎪ ⎪，则AB =________． ⎝010⎭⎝010⎭
19．设A 为2阶矩阵，且|A |=，则|(-3A)-l |=________． 3
10．若向量组α1 =(1，-2，2) T ， α2=(2，0，1) T ，α3=(3，k ，3) T 线性相关，则数k=________．
11．与向量(3，-4) 正交的一个单位向量为________．
⎧2x 1+x 2+3x 3=012．齐次线性方程组⎨的基础解系所含解向量个数为________． 2x +x -3x =023⎩1
13．设3阶矩阵A 的秩为2，α1，α2为非齐次线性方程组A x=b的两个不同解，则方程组Ax=b的通解为________．
14．设A 为n 阶矩阵，且满足|E +2A |=0，则A 必有一个特征值为________．
15．二次型f(x1,x 2,x 3)=x12+2x1x 2+x22+x32的正惯性指数为________．
三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)
324
4132
2413
324116．计算行列式D=的值.
a 21a 22a 23⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛ ⎪ ⎪17．设矩阵A = a 21a 22a 23⎪，B = a 11-3a 31a 12-3a 32a 13-3a 33⎪，求可逆矩阵P ，使
a ⎪ ⎪a 31a 32a 33⎝31a 32a 33⎭⎝⎭
得PA=B.
⎛112⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪18．设矩阵A = 223⎪，B = 211⎪，矩阵X 满足XA=B，求X .
433⎪ -122⎪⎝⎭⎝⎭
19．求向量组α1=(1，-1，2，1) T , α2=(1，0，1，2) T , α3=(0，2，0，1) T , α4=(-1，0，-3，-1) T , α5=(4，-1，5，7) T 的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．
20．求线性方程组 的通解．(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)
⎛200⎫ ⎪21．已知矩阵A = 021⎪的一个特征值为1，求数a ，并求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ， 01a ⎪⎝⎭
使得Q -1AQ =Λ．
22．用配方法化二次型f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22-2x 32+4x1x 2+2x2x 3为标准形，并写出所作的可逆线性变换．
四、证明题(本题7分)
23．设α1，α2，α3为齐次线性方程组A x=0的一个基础解系，证明2α1+α2+α3， α1+2α2+α3，α1+α2+2α3也是该方程组的基础解系．
全国2014年4月高等教育自学考试
课程代码：04184
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
1．设行列式a 11a 12
a 21a 22=3，删行列式a 112a 12+5a 11a 212a 22+5a 21=
A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15
2．设A ，B 为4阶非零矩阵，且AB=0，若r(A )=3，则r(B)=
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．设向量组α1=(1，0，0) T ，α2=(0，1，0) T ，则下列向量中可由α1，α2线性表出的是
A ．(0，-1，2) T B ．(-1，2，0) T C ．(-1，0，2) T D ．(1，2，-1) T
4．设A 为3阶矩阵，且r(A )=2，若α1，α2为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。k 为任意常数，则方程组Ax=0的通解为
α+α2α-α2A ．k α1 B ．k α2 C ．k 1 D ．k 1 22
5．二次型f(x1,x 2,x 3)=x12+2x22+x32-2x 1x 2+4x1x 3-2x 2x 3的矩阵是
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
234
6．3阶行列式52第2行元素的代数余子式之和A 21+A22+A23=________．
11
7．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|A *|=________．
⎛102⎫⎛30-1⎫T 8．设矩阵A= ，B =⎪ ⎪，则AB =________． ⎝010⎭⎝010⎭
19．设A 为2阶矩阵，且|A |=，则|(-3A)-l |=________． 3
10．若向量组α1 =(1，-2，2) T ， α2=(2，0，1) T ，α3=(3，k ，3) T 线性相关，则数k=________．
11．与向量(3，-4) 正交的一个单位向量为________．
⎧2x 1+x 2+3x 3=012．齐次线性方程组⎨的基础解系所含解向量个数为________． 2x +x -3x =023⎩1
13．设3阶矩阵A 的秩为2，α1，α2为非齐次线性方程组A x=b的两个不同解，则方程组Ax=b的通解为________．
14．设A 为n 阶矩阵，且满足|E +2A |=0，则A 必有一个特征值为________．
15．二次型f(x1,x 2,x 3)=x12+2x1x 2+x22+x32的正惯性指数为________．
三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)
324
4132
2413
324116．计算行列式D=的值.
a 21a 22a 23⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛ ⎪ ⎪17．设矩阵A = a 21a 22a 23⎪，B = a 11-3a 31a 12-3a 32a 13-3a 33⎪，求可逆矩阵P ，使
a ⎪ ⎪a 31a 32a 33⎝31a 32a 33⎭⎝⎭
得PA=B.
⎛112⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪18．设矩阵A = 223⎪，B = 211⎪，矩阵X 满足XA=B，求X .
433⎪ -122⎪⎝⎭⎝⎭
19．求向量组α1=(1，-1，2，1) T , α2=(1，0，1，2) T , α3=(0，2，0，1) T , α4=(-1，0，-3，-1) T , α5=(4，-1，5，7) T 的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．
20．求线性方程组 的通解．(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)
⎛200⎫ ⎪21．已知矩阵A = 021⎪的一个特征值为1，求数a ，并求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ， 01a ⎪⎝⎭
使得Q -1AQ =Λ．
22．用配方法化二次型f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22-2x 32+4x1x 2+2x2x 3为标准形，并写出所作的可逆线性变换．
四、证明题(本题7分)
23．设α1，α2，α3为齐次线性方程组A x=0的一个基础解系，证明2α1+α2+α3， α1+2α2+α3，α1+α2+2α3也是该方程组的基础解系．