相似1
一：知识点
二：例题讲解
，1、(2009年牡丹江市) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°直线EF ∥BD ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若S △AEG =
1CF
S 四边形EBCG ，=
则3AD
2、(2009年宁德市) 如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为 ____．
3、（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
4、（2009年舟山）如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0) ．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是 1A ．-a
2
5、（2009年山西省）如图，△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
11B ．-(a +1) C ．-(a -1)
22
1
D ．-(a +3)
2
6、如图4，已知△PMN 是等边三角形，∠APB=1200，你能得出：AM ⋅PB =PN ⋅AP 吗？
M 图4 N
7、如图, ⊿ABC 是等边三角形, 点D,E 分别在BC,AC 上, 且BD=CE,AD与BE 相交于点F. (1)试说明⊿ABD ≌⊿BCE.
(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗? 说说你的理由. (3)BD2=AD·DF 吗? 请说明理由.
8、如图，在矩形ABCD 中，已知AB ：BC=5:6, 点E 在BC 上，EC=F G ⊥AE 于点G , 试说明FG 2=AG ∙GE
9、如图，已知
B
13BC 上，点F 在CD 上，FC=CD, 65
AB BC AC
, 求证：（1）∠BAD=∠CAE,(2) ∠ABD=∠
ACE ==
AD DE AE
10、如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，连接AE 并与BC 的延长线交于F ，与BD 交于O ，求证：OC 2=OE ∙OF
11，如图，ABCD 是平行四边形，点E 在边BC
延长线上，连AE 交CD 于点F ，如果∠EAC ＝∠D ．试证明：AC ·BE ＝AE ·CD ．
12、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD
2
（2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点. 设DP ＝xcm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为ycm .
①求y 关于x 的函数关系式；
②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值.
，BC =10，△ABC 的面积为25，点D 为AB 边上13、（2009恩施市）如图，在△ABC 中，∠A =90°
的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设DE =x ，以DE 为折线将△ADE 翻折（使△ADE 落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的△A 'DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．
（1）用x 表示△ADE 的面积； （2）求出0
（3）求出5
B
E
C
B
C
四：练习巩固
1，如图，△AOB ∽△COD ，∠A=∠C ，下列各式正确的有（ ）个 ①
AB CD AB CD AO BO OB AO
====；②；③；④ BO CO AO DO CO DO CO DO
C
D
（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4 2、（2007湘潭市）如图，用两根等长的钢条AC 和BD 交叉构成一个卡钳， 可以用来测量工作内槽的宽度．设
OA OB
==m ，且量得 OC OD
D ．
CD =b ，则内槽的宽AB 等于（ ）
m b
A ．mb B ． C ．
b m
b
` m +1
3、（2007宁夏）如图2，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中 的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
4、两个相似多边形的相似比是
1
，则这两个多边形的对应对角线的比是________. 8
5、在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使B 点与C 点重合，如图14－7，则折痕DE 的长是多少？
6、如图 l －4－8，在□ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C ．
⑴ 求证：△ABF ∽△EAD ；
⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE 的长；
⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF 的长.
7、已知，如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于F ，交AC
2
的延长线于E ，求证：（1）△ADE ∽△FDB ； （2）CD =DE·DF 。 8、、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，直线EF 经过点C ，分别交AB 、AD 的延长线于E 、F 两点，连接ED 、FB 相交于点H ．(1) 如果菱形的边长是3，DF=2，求BE 的长；(2) 除△AEF 外，△BEC 与图中哪一个三角形相似，找出来并证明；(3) 请说明BD ²=DH﹒DE 的理由．
9、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=CD=3,P为BC 上一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥CD 交BD 于F ，设PE,PF 长分别为m 和n ，且x=m+n，那么当P 点在BC 上移动时，x 的值是否会发生变化？若变化，求出x 的取值范围，若不变化，求出x 的值，说明理由。
相似1
一：知识点
二：例题讲解
，1、(2009年牡丹江市) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°直线EF ∥BD ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若S △AEG =
1CF
S 四边形EBCG ，=
则3AD
2、(2009年宁德市) 如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为 ____．
3、（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
4、（2009年舟山）如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0) ．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是 1A ．-a
2
5、（2009年山西省）如图，△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
11B ．-(a +1) C ．-(a -1)
22
1
D ．-(a +3)
2
6、如图4，已知△PMN 是等边三角形，∠APB=1200，你能得出：AM ⋅PB =PN ⋅AP 吗？
M 图4 N
7、如图, ⊿ABC 是等边三角形, 点D,E 分别在BC,AC 上, 且BD=CE,AD与BE 相交于点F. (1)试说明⊿ABD ≌⊿BCE.
(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗? 说说你的理由. (3)BD2=AD·DF 吗? 请说明理由.
8、如图，在矩形ABCD 中，已知AB ：BC=5:6, 点E 在BC 上，EC=F G ⊥AE 于点G , 试说明FG 2=AG ∙GE
9、如图，已知
B
13BC 上，点F 在CD 上，FC=CD, 65
AB BC AC
, 求证：（1）∠BAD=∠CAE,(2) ∠ABD=∠
ACE ==
AD DE AE
10、如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，连接AE 并与BC 的延长线交于F ，与BD 交于O ，求证：OC 2=OE ∙OF
11，如图，ABCD 是平行四边形，点E 在边BC
延长线上，连AE 交CD 于点F ，如果∠EAC ＝∠D ．试证明：AC ·BE ＝AE ·CD ．
12、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD
2
（2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点. 设DP ＝xcm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为ycm .
①求y 关于x 的函数关系式；
②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值.
，BC =10，△ABC 的面积为25，点D 为AB 边上13、（2009恩施市）如图，在△ABC 中，∠A =90°
的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设DE =x ，以DE 为折线将△ADE 翻折（使△ADE 落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的△A 'DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．
（1）用x 表示△ADE 的面积； （2）求出0
（3）求出5
B
E
C
B
C
四：练习巩固
1，如图，△AOB ∽△COD ，∠A=∠C ，下列各式正确的有（ ）个 ①
AB CD AB CD AO BO OB AO
====；②；③；④ BO CO AO DO CO DO CO DO
C
D
（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4 2、（2007湘潭市）如图，用两根等长的钢条AC 和BD 交叉构成一个卡钳， 可以用来测量工作内槽的宽度．设
OA OB
==m ，且量得 OC OD
D ．
CD =b ，则内槽的宽AB 等于（ ）
m b
A ．mb B ． C ．
b m
b
` m +1
3、（2007宁夏）如图2，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中 的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
4、两个相似多边形的相似比是
1
，则这两个多边形的对应对角线的比是________. 8
5、在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使B 点与C 点重合，如图14－7，则折痕DE 的长是多少？
6、如图 l －4－8，在□ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C ．
⑴ 求证：△ABF ∽△EAD ；
⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE 的长；
⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF 的长.
7、已知，如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于F ，交AC
2
的延长线于E ，求证：（1）△ADE ∽△FDB ； （2）CD =DE·DF 。 8、、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，直线EF 经过点C ，分别交AB 、AD 的延长线于E 、F 两点，连接ED 、FB 相交于点H ．(1) 如果菱形的边长是3，DF=2，求BE 的长；(2) 除△AEF 外，△BEC 与图中哪一个三角形相似，找出来并证明；(3) 请说明BD ²=DH﹒DE 的理由．
9、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=CD=3,P为BC 上一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥CD 交BD 于F ，设PE,PF 长分别为m 和n ，且x=m+n，那么当P 点在BC 上移动时，x 的值是否会发生变化？若变化，求出x 的取值范围，若不变化，求出x 的值，说明理由。