几何证明选讲
● 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等。
如图（1）直线a ∥b ∥c 若AB=BC，则A 1B 1=B1C 1
图（1） 图（2） 图（3）
（1）推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
如图（2）∆ABC 中，AD=DB, DE ∥BC ,
则AE=EC
（2）推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
如图（3），梯形ABCD 中AE=EB, EF ∥BC ,则DF=FC
● 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成
比例。
如图（4）：
图（4）
（1） 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得
对应线段成比例。
如图（5）：
图（5）
或
（2） 推论2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线
段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
练习：
1、如图所示，已知在△ABC 中，∠C =90°，正方形DEFC 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC =1，BC =2，则AF ∶FC = .
2、如图所示，△ABC 中， DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE:AC=3:5,DE=6，则BF=_______.
3、如图，在直角梯形ABCD 中，D C ∥AB,C B ⊥AB ，AD=AB=a, CD=a/2，点E 、F 分别为线段AB ，AD 的中点，求EF 的长度。
● 相似三角形的判定：
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 （2）相似比：相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。 （3）判断相似的简单方法：
✧ 两角对应相等，两三角形相似；
✧ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ✧ 三边对应成比例，两三角形相似。
（4）对于直角三角形
✧ 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； ✧ 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
✧ 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边
对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
练习：
1、如图，BD 、CD 是△ABC 的高，求证：△AD E ∽△ABC
2、如右图，梯形ABCD 中，A B ∥CD, 且AB=2CD,E、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M
（1）求证△EDM ∽△FBM （2）若DB=9，求BM.
● 相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（4）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相
似比的平方；
1、如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=1:2, △AEF 的面积等于6cm2， （1）求△CDF 的面积
（2）求平行四边形ABCD 的面积
2、如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，F 是BA 延长线上的点，FD 与AC 交于点E . 求证：AE ·FB =EC ·FA .
直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射
影的比例中项；
即：
推论：两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项
即：
或
1、如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，求圆O 的半径。
2、如图所示，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC =2，PA =8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = .
3、如图，在△ABC 中，AB=AC=8，D 是AC 边上的一点，
43求AD
的长度。
圆的相关定理
（1）圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
（3）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧相等。
（4）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦
是直径。
● 圆内接四边形的性质与判定定理 （1）性质1：圆的内接四边形的对角互补。
（2）性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
（3）判定定理：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。 （4）推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的
四个顶点共圆。
● 圆的切线的性质及判定定理。 （1）性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
（2）推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 （3）推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线。
● 弦切角的性质
（1）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
（2）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 （3）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等。
（4）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项。
（5）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角。
练习：
1、如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠
2、如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上的一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C, 若DC=DA,求证：AB=2BC.
3、如图所示圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =2AB =BC =3.求BD 以及AC 的长.
4、如图所示，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知∠BPA =30°，PA =2
3
7
，
，PC =1，则圆O 的半径等于 .
5、 从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB 及一条割线PCD ，A ，B 为切点. 求证：
AC BC
=AD .
BD
6、如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆与点E 。 （1）证明：△AB E ∽△ADC
（2）若△ABC 的面积S=1/2AD ×AE, 求∠BAC 的大小
几何证明选讲
● 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等。
如图（1）直线a ∥b ∥c 若AB=BC，则A 1B 1=B1C 1
图（1） 图（2） 图（3）
（1）推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
如图（2）∆ABC 中，AD=DB, DE ∥BC ,
则AE=EC
（2）推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
如图（3），梯形ABCD 中AE=EB, EF ∥BC ,则DF=FC
● 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成
比例。
如图（4）：
图（4）
（1） 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得
对应线段成比例。
如图（5）：
图（5）
或
（2） 推论2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线
段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
练习：
1、如图所示，已知在△ABC 中，∠C =90°，正方形DEFC 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC =1，BC =2，则AF ∶FC = .
2、如图所示，△ABC 中， DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE:AC=3:5,DE=6，则BF=_______.
3、如图，在直角梯形ABCD 中，D C ∥AB,C B ⊥AB ，AD=AB=a, CD=a/2，点E 、F 分别为线段AB ，AD 的中点，求EF 的长度。
● 相似三角形的判定：
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 （2）相似比：相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。 （3）判断相似的简单方法：
✧ 两角对应相等，两三角形相似；
✧ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ✧ 三边对应成比例，两三角形相似。
（4）对于直角三角形
✧ 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； ✧ 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
✧ 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边
对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
练习：
1、如图，BD 、CD 是△ABC 的高，求证：△AD E ∽△ABC
2、如右图，梯形ABCD 中，A B ∥CD, 且AB=2CD,E、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M
（1）求证△EDM ∽△FBM （2）若DB=9，求BM.
● 相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（4）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相
似比的平方；
1、如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=1:2, △AEF 的面积等于6cm2， （1）求△CDF 的面积
（2）求平行四边形ABCD 的面积
2、如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，F 是BA 延长线上的点，FD 与AC 交于点E . 求证：AE ·FB =EC ·FA .
直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射
影的比例中项；
即：
推论：两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项
即：
或
1、如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，求圆O 的半径。
2、如图所示，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC =2，PA =8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = .
3、如图，在△ABC 中，AB=AC=8，D 是AC 边上的一点，
43求AD
的长度。
圆的相关定理
（1）圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
（3）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧相等。
（4）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦
是直径。
● 圆内接四边形的性质与判定定理 （1）性质1：圆的内接四边形的对角互补。
（2）性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
（3）判定定理：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。 （4）推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的
四个顶点共圆。
● 圆的切线的性质及判定定理。 （1）性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
（2）推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 （3）推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线。
● 弦切角的性质
（1）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
（2）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 （3）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等。
（4）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项。
（5）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角。
练习：
1、如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠
2、如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上的一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C, 若DC=DA,求证：AB=2BC.
3、如图所示圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =2AB =BC =3.求BD 以及AC 的长.
4、如图所示，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知∠BPA =30°，PA =2
3
7
，
，PC =1，则圆O 的半径等于 .
5、 从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB 及一条割线PCD ，A ，B 为切点. 求证：
AC BC
=AD .
BD
6、如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆与点E 。 （1）证明：△AB E ∽△ADC
（2）若△ABC 的面积S=1/2AD ×AE, 求∠BAC 的大小