论文题目：组合资金投资方案模型
摘要
基金会投资目的是为了获取较高的投资收益，其收益可大可小，甚至遭受损失，这种收益的不确定性及其发生的概率即是风险。在本问题上有三种投资方式，可以按不同的比例对多种投资方案进行组合投资，以期降低风险并获得最大收益。针对该问题，我们首先利用EXCEL软件分别求出石化产业以及信息产业的四十个案例所对应的投资回报率，再用MATLAB分别对单个投资方式处理算出相应的均值、方差等，然后运用马柯维茨的均值方差模型以基金的期望收益率(代表收益)及收益率方差(代表风险)作为风险基金的评价指标对三个投资方式进行组合，由于求解双目标规划模型比较复杂以及该基金会在不同时间段对风险以及收益的态度不一样，所以我们引进偏好系数α，将双目标规划转化为单目标规划利用LINGO软件求出满足条件的最大收益R，当α=0.4，R= ；当α= ，R= ；当α= ，R=
关键词：基金投资 马柯维茨均值方差模型 双目标规划模型 单目标模型
目录
一、问题重述 ..................................................................................... 4 二、问题分析 ..................................................................................... 4 三、模型假设 ..................................................................................... 4 四、符号约定 ..................................................................................... 5 五、模型建立与求解 .......................................................................... 5 六、模型结果分析 ............................................................................ 13 七、模型评价与改进 ........................................................................ 13
一、问题重述
某基金会有科学基金5000万美元，现有三种不同的投资方式，为了保证其基金安全增殖，需要设计收益最大且安全的投资方案。投资方式一是购买政府债券，收益为5.6%每年；投资方式二是投资石化产业股票：根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资石化产业股票的案例记录；投资方式三是投资信息产业股票：根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资信息产业股票的案例记录。假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立。现在要为该基金会作出投资决策，使得满足： （1） 获得最大的投资回报期望；
（2） 投资的风险限制在一定的范围，保证该投资方案资金保值概率不低于
95%。
二、问题分析
基金投资者在投资时都要考虑两个基本因素: 一个是收益, 另一个是风险。绝大多数投资者都希望尽量增加投资的收益而减少投资的风险，因为组合投资可以在不降低收益的前提下降低投资的风险, 所以我们考虑本问题的基金投资者采用组合投资的方式。关于组合投资,M arkow 建立了均值方差模型: 即考虑在收益最大的条件下使风险最小, 或在风险一定的情况下使收益最大。
题目要求三个投资方式组合的最大收益投资方案，针对该问题，我们先对投资方式二和方式三进行处理，运用MATLAB处理算出相应的均值、方差等，再用马柯维茨的均值方差模型对三个投资方式进行组合建立多目标规划，再引进偏好系数α，将该多目标规划转化成单目标规划，得出能获得最大收益且风险小的组合比例。
三、模型假设
①以一年的时间作为投资时间段，资金投资进去的一年时间里资金不允许中途退出以及转转投；
②假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立；
③投资过程中市场处于稳定状态；
④投资过程中不考虑承保收益率以及保险赔付；
⑤石化产业以及信息产业的股票的收益率服从正态分布； ⑥偏好系数越大，投资风险越低；
四、符号约定
① Ri表示以第i种投资方式进行投资的回报率，i=1,2,3； ② Xi表示以第i种方式投资的资金比例,i=1,2,3; ③ M表示三种方式的收益率的期望之和； ④ R表示最大的收益；
⑤ α表示风险以及效益的偏好系数；
⑥ δi表示以第i中方式进行投资时的收益的标准差； ⑦ Ri表示以第i种方式投资的收益率期望; ⑧ S表示以组合投资方式所获得的利益；
五、模型建立与求解
4．1数据分析与处理 4.1.1数据分析
从石化股票以及信息产业股票的四十个案例中，我们可以看出资金的投入与回报是受多方面影响的，特别是石化产业股票案例中当投入3100万时，在案例17、20、33中回报分别为1020、1020、2010万美元，为了更明确资金投入与资金回报的关系，我们引入回报率概念：收益率=回报资金/投入资金。应用ＥＸＣＥＬ软件求出不同产业在不同案例的资金收益率，数据见附录一。 4.1.2数据处理
对于投资方式二和方式三：我们首先将四十个数据用MATLAB工具箱提供了两
个对总体分布进行检验的命令。先作出频数直方图，再对其进行分布的正态性检验。
对于投资方式二：
X1=[0.117647059 0.35
0.209302326 -0.133333333]; X2=[-0.075 -0.1 0.125
-0.114427861]; X3=[0.17826087 0.4 0.06
0.196153846]
X4=[-0.040268456 0.329032258 0.329032258 0.648387097]; X5=[-0.096875 0.147058824 0.061538462 0.25];
X6=[0.029268293 0.06744186 0.053333333 0.026086957]; X7=[0.00673913 0.040816327 0.126530612 0.055102041]; X8=[0.056389452 0.07 -0.124 0.121568627]; X9=[0.055769231 -0.05122807 0.120895522 0.102777778]; X10=[0.133333333 0.079487179 0.01
0.079120879];
X=[X1' X2' X3' X4' X5' X6' X7' X8' X9' X10']; hist(X,10) normplot(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X)
频数直方图 正态概率图
运行结果为： muhat =
0.0834 sigmahat =
0.1307 muci =
0.0410 0.1258 sigmaci =
0.1069
0.1685
对于投资方式三：
X1=[0.28 0.295774648 0.692857143
-0.067741935];
X2=[-0.833333333 0.92
0.077777778 0.267857143]; X3=[-0.930232558 1.125 0.392307692 0.120689655]; X4=[0.038235294 0.26119403 0.388888889 0.398347107]; X5=[0.031343284 0.133962264 0.004175365 -0.25];
X6=[0.038269551 0.272727273 0.488188976 1.298342541]; X7=[0.187096774 -0.406189555 -0.586510264 0.051157125]; X8=[0.790629575 0.19391635 0.46692607 0.652713178]; X9=[-0.11659919 0.808240887 -0.942367601 0.028822055]; X10=[-0.085173502 0.302768166 0.386666667 0.281588448];
X=[X1' X2' X3' X4' X5' X6' X7' X8' X9' X10']; [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X)
频数直方图 正态概率图
运行结果为： muhat =
0.1865 sigmahat =
0.4903 muci =
0.0296 0.3433 sigmaci =
0.4016
0.6296
所以，R2= 0.0834,R3= 0.1865;
δ2= 0.1307，δ3= 0.4903； 且R1=0.056；δ1=0；
5.2模型的建立与求解
5.2.1建立目标函数
5.2.1.1建立多目标优化模型
我们以基金的期望收益率(代表收益)及收益率方差(代表风险)作为风险基金的评价指标, 那么, 在上述假设的前提下我们可以建立下面的模型：
我们R = ( R1, R2,R3)T表示收益率向量, X = (X1, X2, X3)T表示投资比例向量, e3 = (1, 1, 1)T表示元素全为1的3 维列向量,V = (v 22 ) 2×2表示收益率向量R′=(R2,R3)的协方差阵，组合基金的收益率m 用3种证券收益率的加权平均数来表示, 投资比例作为权数，即m = rTx 。则方差σσ
2
2
可以用公式表示为:
= XTV X
由以上的假设, 我们可以根据下面的模型选择投资比例向量: m inσ
2
= XTV X
maxm = RTX 其中，
⎡σ12ρσ1⋅σ2⎤V=⎢⎥ 2
ρσσσ122⎣⎦
由于石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立，则 ρ=0
⎡0.017082
所以V=⎢
0⎣
⎤
⎥
0.24039⎦
5.2.1.2建立单目标优化模型
由于投资者在不同的时间段里对于风险以及收益的态度不一样，所以我们引进偏好系
数α，且偏好系数越大表示投资者越厌恶风险，偏好系数越小表示投资者越冒险，具体衡量标准如下：
α=0.8，高度保守； α=0.6，比较保守； α=0.5，中性冒险； α=0.4，比较冒险； α=0.2，高度冒险；
将多目标模型转化成单目标模型如下： Min=-(1-α) RTX+α* XTV X
5.2.2建立约束条件 4.2.2.1资金投入的限制
T
s . teenn x = 1
5.2.2.2风险概率条件的约束
为了保证该投资方案资金保值概率不低于95%，则只需要保证取得的利益的概率大于等于95%，即
P{S>=0}>=95%
也可以表示为投资亏损率的概率P1
同时可以表示为发生风险的概率低于5%，即
X2*R2+X3*R3
5.2.3模型求解
模型表达式如下：
Min=-(1-α) RTX+α* XTV X
s.t e3X=1
X2*R2+X3*R3
X1>=0,X2>=0,X3>=0;
利用LINGO软件分别求出不同的 α所对应的R值 ，具体运行结果如下：
min=-（1-α）0.0834*x2+0.1865*x3+0.056*x1+
α（0.017082*x2 *x2+0.24039*x3*x3）;
x1+x2+x3=1;
0.017082*x2 +0.24039*x3
x1>=0;x2>=0;x3>=0;
运行结果为：
①当α=0.8时
Local optimal solution found at iteration: 76
Objective value: -0.1263498E-01
Variable Value Reduced Cost
X2 0.2005034 0.000000
X3 0.6785845E-01 0.000000
X1 0.7316381 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -0.1263498E-01 -1.000000
2 0.000000 0.1120000E-01 3 0.3026251E-01 0.000000
4 0.7316381 0.000000 T
5 0.2005034 0.000000
6 0.6785845E-01 0.000000
R=
②当α=0.6时
Local optimal solution found at iteration: 25
Objective value: -0.3003686E-01
Variable Value Reduced Cost
X2 0.5244481 0.000000
X3 0.1707283 0.000000
X1 0.3048236 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -0.3003686E-01 -1.000000
2 0.000000 0.2240000E-01 3 0.000000 0.1227312E-01 4 0.3048236 0.000000
5 0.5244481 0.000000
6 0.1707283 0.000000
③当α=0.4时
Local optimal solution found at iteration: 35
Objective value: -0.5210255E-01
Variable Value Reduced Cost
X2 0.8525892 0.000000
X3 0.1474108 0.000000
X1 0.000000 0.1334154E-02
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -0.5210255E-01 -1.000000
2 0.000000 0.3493415E-01 3 0.000000 0.2022421
4 0.000000 0.000000
5 0.8525892 0.000000
6 0.1474108 0.000000
④当α=0.2时
Local optimal solution found at iteration: 15
Objective value: -0.7535030E-01
Variable Value Reduced Cost
X2 0.8525892 0.000000
X3 0.1474108 0.000000
X1 0.000000 0.1042375E-01
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -0.7535030E-01 -1.000000
2 0.000000 0.5522375E-01 3 0.000000 0.3319681
4 0.000000 0.000000
5 0.8525892 0.000000
6 0.1474108 0.000000
六、模型结果分析
七、模型评价与改进
7.1模型评价
以方差或标准差为风险度量标准存在一定的缺陷，表现在以下几个方面：第一，标准差只描述了收益的不确定性，即偏离期望收益的程度，这种偏离可能是正偏离，也可能是负偏离，而实际中投资者更加关心负偏离的情况；第二，标准差没有指名投资组合的可能损失到底多大；第三，标准差并不能全面描述组合的风险。
7.2.模型改进
7.2.1 以下半方差与下半标准差作为投资风险的度量标准
下半方差定义为：
V_(x)=E[(R(x)-μ(x))_^2]
并将这个风险函数间记为LSV。
下半标准差定义为：
σ_(x)=sqrt(E[(R(x)-μ(x))_^2])
并将这一风险函数简记为LSSD。
将LSV和LSSD相应的投资组合模型分别简记为Mean—LSV(M-LsV)和 Mean-LSSD(M-LSSD)， 则多目标规划约束条件可改为：min V_(x)=E[(R(x)-μ(x))_^2]
7.2.2 以绝对离差作为投资风险的度量指标
绝对离差定义为：
σ（x）=E[︱(R(x)-μ(x)︱]
在不允许卖空条件下的均值．绝对离差投资组合模型的约束条件可改为：
Minσ（x）=E[︱(R(x)-μ(x)︱]
7.2.3 MV—标准差模型
由于两种投资方式的收益率均近似服从正态分布，则
七、参考文献
1、李世伟. 不考虑交易费用的组合证券投资优化模型[J]. 中国计量学院学报, 2004,(03)
2、耿修林 数据、模型与决策 北京：科学出版社 2006
3、戴明强、李卫军、杨鹏飞 数学模型及其应用 北京：科学出版社 2007
4、姜启源泉、谢金星、叶俊编 数学模型 北京：高等教育出版社 2003.8
5、吴建国 数学建模案例精编 北京：中国水利水电出版社 2005
6、http://wenku.baidu.com/view/3a8c920f76c66137ee06197a.html
7、胡日东. 组合证券投资优化模型的比较研究[J]. 运筹与管理, 2001,(01)
8、赵静 但琦 数学建模与数学实验 北京：高等教育出版社 2008.1
9、蒋晓光 王龙锋 陶裕春 经济学教程（微观部分） 江西人民出版社 2008.9
10、万上海 均值—方差效用函数在证券组合投资决策中的应用[J];运筹与管理;2003年03期
11、唐小我 组合证券投资决策的计算方法[J]。管理工程学报 1990（3）
12、荣喜民、吴孟铎等：F《保险基金投资的单位风险收益最优化模型研究》，《管理工程学
报》2001年第2期
13、李华 李兴斯 证券投资组合理论的一种新模型及其应用 运筹与管理 2003.12.6
14、茆诗松 程依明 濮晓龙 概率论与数理统计教程 高等教育出版社 2004，7
15、孙一啸 风险测度、证券组合与资产定价模型[J]。预测，1995(3)；62，65
16、
论文题目：组合资金投资方案模型
摘要
基金会投资目的是为了获取较高的投资收益，其收益可大可小，甚至遭受损失，这种收益的不确定性及其发生的概率即是风险。在本问题上有三种投资方式，可以按不同的比例对多种投资方案进行组合投资，以期降低风险并获得最大收益。针对该问题，我们首先利用EXCEL软件分别求出石化产业以及信息产业的四十个案例所对应的投资回报率，再用MATLAB分别对单个投资方式处理算出相应的均值、方差等，然后运用马柯维茨的均值方差模型以基金的期望收益率(代表收益)及收益率方差(代表风险)作为风险基金的评价指标对三个投资方式进行组合，由于求解双目标规划模型比较复杂以及该基金会在不同时间段对风险以及收益的态度不一样，所以我们引进偏好系数α，将双目标规划转化为单目标规划利用LINGO软件求出满足条件的最大收益R，当α=0.4，R= ；当α= ，R= ；当α= ，R=
关键词：基金投资 马柯维茨均值方差模型 双目标规划模型 单目标模型
目录
一、问题重述 ..................................................................................... 4 二、问题分析 ..................................................................................... 4 三、模型假设 ..................................................................................... 4 四、符号约定 ..................................................................................... 5 五、模型建立与求解 .......................................................................... 5 六、模型结果分析 ............................................................................ 13 七、模型评价与改进 ........................................................................ 13
一、问题重述
某基金会有科学基金5000万美元，现有三种不同的投资方式，为了保证其基金安全增殖，需要设计收益最大且安全的投资方案。投资方式一是购买政府债券，收益为5.6%每年；投资方式二是投资石化产业股票：根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资石化产业股票的案例记录；投资方式三是投资信息产业股票：根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资信息产业股票的案例记录。假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立。现在要为该基金会作出投资决策，使得满足： （1） 获得最大的投资回报期望；
（2） 投资的风险限制在一定的范围，保证该投资方案资金保值概率不低于
95%。
二、问题分析
基金投资者在投资时都要考虑两个基本因素: 一个是收益, 另一个是风险。绝大多数投资者都希望尽量增加投资的收益而减少投资的风险，因为组合投资可以在不降低收益的前提下降低投资的风险, 所以我们考虑本问题的基金投资者采用组合投资的方式。关于组合投资,M arkow 建立了均值方差模型: 即考虑在收益最大的条件下使风险最小, 或在风险一定的情况下使收益最大。
题目要求三个投资方式组合的最大收益投资方案，针对该问题，我们先对投资方式二和方式三进行处理，运用MATLAB处理算出相应的均值、方差等，再用马柯维茨的均值方差模型对三个投资方式进行组合建立多目标规划，再引进偏好系数α，将该多目标规划转化成单目标规划，得出能获得最大收益且风险小的组合比例。
三、模型假设
①以一年的时间作为投资时间段，资金投资进去的一年时间里资金不允许中途退出以及转转投；
②假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立；
③投资过程中市场处于稳定状态；
④投资过程中不考虑承保收益率以及保险赔付；
⑤石化产业以及信息产业的股票的收益率服从正态分布； ⑥偏好系数越大，投资风险越低；
四、符号约定
① Ri表示以第i种投资方式进行投资的回报率，i=1,2,3； ② Xi表示以第i种方式投资的资金比例,i=1,2,3; ③ M表示三种方式的收益率的期望之和； ④ R表示最大的收益；
⑤ α表示风险以及效益的偏好系数；
⑥ δi表示以第i中方式进行投资时的收益的标准差； ⑦ Ri表示以第i种方式投资的收益率期望; ⑧ S表示以组合投资方式所获得的利益；
五、模型建立与求解
4．1数据分析与处理 4.1.1数据分析
从石化股票以及信息产业股票的四十个案例中，我们可以看出资金的投入与回报是受多方面影响的，特别是石化产业股票案例中当投入3100万时，在案例17、20、33中回报分别为1020、1020、2010万美元，为了更明确资金投入与资金回报的关系，我们引入回报率概念：收益率=回报资金/投入资金。应用ＥＸＣＥＬ软件求出不同产业在不同案例的资金收益率，数据见附录一。 4.1.2数据处理
对于投资方式二和方式三：我们首先将四十个数据用MATLAB工具箱提供了两
个对总体分布进行检验的命令。先作出频数直方图，再对其进行分布的正态性检验。
对于投资方式二：
X1=[0.117647059 0.35
0.209302326 -0.133333333]; X2=[-0.075 -0.1 0.125
-0.114427861]; X3=[0.17826087 0.4 0.06
0.196153846]
X4=[-0.040268456 0.329032258 0.329032258 0.648387097]; X5=[-0.096875 0.147058824 0.061538462 0.25];
X6=[0.029268293 0.06744186 0.053333333 0.026086957]; X7=[0.00673913 0.040816327 0.126530612 0.055102041]; X8=[0.056389452 0.07 -0.124 0.121568627]; X9=[0.055769231 -0.05122807 0.120895522 0.102777778]; X10=[0.133333333 0.079487179 0.01
0.079120879];
X=[X1' X2' X3' X4' X5' X6' X7' X8' X9' X10']; hist(X,10) normplot(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X)
频数直方图 正态概率图
运行结果为： muhat =
0.0834 sigmahat =
0.1307 muci =
0.0410 0.1258 sigmaci =
0.1069
0.1685
对于投资方式三：
X1=[0.28 0.295774648 0.692857143
-0.067741935];
X2=[-0.833333333 0.92
0.077777778 0.267857143]; X3=[-0.930232558 1.125 0.392307692 0.120689655]; X4=[0.038235294 0.26119403 0.388888889 0.398347107]; X5=[0.031343284 0.133962264 0.004175365 -0.25];
X6=[0.038269551 0.272727273 0.488188976 1.298342541]; X7=[0.187096774 -0.406189555 -0.586510264 0.051157125]; X8=[0.790629575 0.19391635 0.46692607 0.652713178]; X9=[-0.11659919 0.808240887 -0.942367601 0.028822055]; X10=[-0.085173502 0.302768166 0.386666667 0.281588448];
X=[X1' X2' X3' X4' X5' X6' X7' X8' X9' X10']; [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X)
频数直方图 正态概率图
运行结果为： muhat =
0.1865 sigmahat =
0.4903 muci =
0.0296 0.3433 sigmaci =
0.4016
0.6296
所以，R2= 0.0834,R3= 0.1865;
δ2= 0.1307，δ3= 0.4903； 且R1=0.056；δ1=0；
5.2模型的建立与求解
5.2.1建立目标函数
5.2.1.1建立多目标优化模型
我们以基金的期望收益率(代表收益)及收益率方差(代表风险)作为风险基金的评价指标, 那么, 在上述假设的前提下我们可以建立下面的模型：
我们R = ( R1, R2,R3)T表示收益率向量, X = (X1, X2, X3)T表示投资比例向量, e3 = (1, 1, 1)T表示元素全为1的3 维列向量,V = (v 22 ) 2×2表示收益率向量R′=(R2,R3)的协方差阵，组合基金的收益率m 用3种证券收益率的加权平均数来表示, 投资比例作为权数，即m = rTx 。则方差σσ
2
2
可以用公式表示为:
= XTV X
由以上的假设, 我们可以根据下面的模型选择投资比例向量: m inσ
2
= XTV X
maxm = RTX 其中，
⎡σ12ρσ1⋅σ2⎤V=⎢⎥ 2
ρσσσ122⎣⎦
由于石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立，则 ρ=0
⎡0.017082
所以V=⎢
0⎣
⎤
⎥
0.24039⎦
5.2.1.2建立单目标优化模型
由于投资者在不同的时间段里对于风险以及收益的态度不一样，所以我们引进偏好系
数α，且偏好系数越大表示投资者越厌恶风险，偏好系数越小表示投资者越冒险，具体衡量标准如下：
α=0.8，高度保守； α=0.6，比较保守； α=0.5，中性冒险； α=0.4，比较冒险； α=0.2，高度冒险；
将多目标模型转化成单目标模型如下： Min=-(1-α) RTX+α* XTV X
5.2.2建立约束条件 4.2.2.1资金投入的限制
T
s . teenn x = 1
5.2.2.2风险概率条件的约束
为了保证该投资方案资金保值概率不低于95%，则只需要保证取得的利益的概率大于等于95%，即
P{S>=0}>=95%
也可以表示为投资亏损率的概率P1
同时可以表示为发生风险的概率低于5%，即
X2*R2+X3*R3
5.2.3模型求解
模型表达式如下：
Min=-(1-α) RTX+α* XTV X
s.t e3X=1
X2*R2+X3*R3
X1>=0,X2>=0,X3>=0;
利用LINGO软件分别求出不同的 α所对应的R值 ，具体运行结果如下：
min=-（1-α）0.0834*x2+0.1865*x3+0.056*x1+
α（0.017082*x2 *x2+0.24039*x3*x3）;
x1+x2+x3=1;
0.017082*x2 +0.24039*x3
x1>=0;x2>=0;x3>=0;
运行结果为：
①当α=0.8时
Local optimal solution found at iteration: 76
Objective value: -0.1263498E-01
Variable Value Reduced Cost
X2 0.2005034 0.000000
X3 0.6785845E-01 0.000000
X1 0.7316381 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -0.1263498E-01 -1.000000
2 0.000000 0.1120000E-01 3 0.3026251E-01 0.000000
4 0.7316381 0.000000 T
5 0.2005034 0.000000
6 0.6785845E-01 0.000000
R=
②当α=0.6时
Local optimal solution found at iteration: 25
Objective value: -0.3003686E-01
Variable Value Reduced Cost
X2 0.5244481 0.000000
X3 0.1707283 0.000000
X1 0.3048236 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -0.3003686E-01 -1.000000
2 0.000000 0.2240000E-01 3 0.000000 0.1227312E-01 4 0.3048236 0.000000
5 0.5244481 0.000000
6 0.1707283 0.000000
③当α=0.4时
Local optimal solution found at iteration: 35
Objective value: -0.5210255E-01
Variable Value Reduced Cost
X2 0.8525892 0.000000
X3 0.1474108 0.000000
X1 0.000000 0.1334154E-02
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -0.5210255E-01 -1.000000
2 0.000000 0.3493415E-01 3 0.000000 0.2022421
4 0.000000 0.000000
5 0.8525892 0.000000
6 0.1474108 0.000000
④当α=0.2时
Local optimal solution found at iteration: 15
Objective value: -0.7535030E-01
Variable Value Reduced Cost
X2 0.8525892 0.000000
X3 0.1474108 0.000000
X1 0.000000 0.1042375E-01
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -0.7535030E-01 -1.000000
2 0.000000 0.5522375E-01 3 0.000000 0.3319681
4 0.000000 0.000000
5 0.8525892 0.000000
6 0.1474108 0.000000
六、模型结果分析
七、模型评价与改进
7.1模型评价
以方差或标准差为风险度量标准存在一定的缺陷，表现在以下几个方面：第一，标准差只描述了收益的不确定性，即偏离期望收益的程度，这种偏离可能是正偏离，也可能是负偏离，而实际中投资者更加关心负偏离的情况；第二，标准差没有指名投资组合的可能损失到底多大；第三，标准差并不能全面描述组合的风险。
7.2.模型改进
7.2.1 以下半方差与下半标准差作为投资风险的度量标准
下半方差定义为：
V_(x)=E[(R(x)-μ(x))_^2]
并将这个风险函数间记为LSV。
下半标准差定义为：
σ_(x)=sqrt(E[(R(x)-μ(x))_^2])
并将这一风险函数简记为LSSD。
将LSV和LSSD相应的投资组合模型分别简记为Mean—LSV(M-LsV)和 Mean-LSSD(M-LSSD)， 则多目标规划约束条件可改为：min V_(x)=E[(R(x)-μ(x))_^2]
7.2.2 以绝对离差作为投资风险的度量指标
绝对离差定义为：
σ（x）=E[︱(R(x)-μ(x)︱]
在不允许卖空条件下的均值．绝对离差投资组合模型的约束条件可改为：
Minσ（x）=E[︱(R(x)-μ(x)︱]
7.2.3 MV—标准差模型
由于两种投资方式的收益率均近似服从正态分布，则
七、参考文献
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