“一题多变”（一）
一、“一题多变”的作用：
在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣：
1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。
2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。
3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。不就题论题，能多思多变。
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
二、“一题多变”的常用方法有：
1、变换命题的条件与结论；
2、变换题型；
3、深化条件，保留结论；
4、减弱条件，加强结论；
5、探讨命题的推广；
6、考查命题的特例；
7、生根伸枝，图形变换；
8、接力赛，一变再变等等。
三、一题多变，挖掘习题涵量：
1、变换命题的条件与结论
即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一个问题从多个角
度来研究。这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔
性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
例1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD，E 是AD
中点。求证：∠BEC=90°．
变换1：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD，E 是AD 中点。求证：CE ⊥BE ．
变换2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CE ⊥BE ．, E是AD 中点．求证： BC=AB+CD． 变换3：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD, CE⊥BE ．判断E 是AD 中点吗？为什么？
变换4：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD，CE ⊥BE ．求证：AE=ED．
2、变换题型
即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。
例2：如图，已知△ADE 中，∠DAE=120°，B 、C
分别是DE 上两点，且△ABC 是等边三角形，求证：BC 2
= BD·CE 。
分析：本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结
论出发找到需证明△ABD ∽△ECA ，从而使问题变得容易
解决。
变换一：改为填空题，如图，已知△ADE 中，
∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点，且△ABC 是等边三角形， 则线段BC 、BD 、CE 满足的数量关系是 。
本题表面上虽是对原题的简单形式变换，但实质上有探究的思想，即需要将BC 分别代换为AB 、AC ，从而归结为找△ABD 与△ECA 的关系问题。
变换二：改为选择题，如图，已知△ADE 中，∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点, 且△ABC 是等边三角形，则下列关系式错误的是（ ）
A ．∠ADB= ∠EAC B ．AD 2 = DE·BD
C ．BC 2 = BD·CE D ．AE 2 = DE·BD
本题名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A 、B 、C 选项均正确，选D 。
变换三：改为计算题, 如图，已知△ADE 中，∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点，且△ABC 是边长为4的等边三角形，且BD=2，求CE 的长。
仍然要探究出线段BC 、BD 、CE 满足的数量关系，从而转化为知二求一的问题。
变换四：改为开放题，如图，已知△ADE 中, ∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点, 且△ABC 是等边三角形, 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？
结论的开放，给学生更多的思考空间，锻炼了学生开放型思维的能力。
由上述四种题型的变换，把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维的灵魂，收到了事半功倍的效果。
3、深化条件，保留结论
在平时的习题教学中，如果我们灵活地改变题目的条件，巧妙地把一个题目化成一组要求不同或难度不断变化的题组，不仅可以使学生易于掌握应用之要领，也可使学生能从前一个较简单问题的解答中领悟到解决后一个较复杂问题的途径。从而达到举一反三的目的。例如，根据下列条件，求二次函数的解析式：
①、 已知抛物线经过（1，3），（－1，4），（0，4）三点；
②、 已知抛物线经过顶点（2，4），且过原点；
③、 已知抛物线经过（6，0）点，且x=4时，有最小值8；
④、 把抛物线y=2x²－4x －5向左又向上各平移3个单位；
⑤、 已知y=ax²+bx+c，当x=1和x=2时都有y=5，且y 的最大值是14；
（思考方法、解略）
4、接力赛，一变再变
①、（32-1）×（32+1）。
②、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）ׄ„×（364+1）。
③、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）ׄ„×（364+1）。
④、（32+1）×（34+1）×（38+1）ׄ„×（364+1）。
⑤、（32+1）×（34+1）×（38+1）ׄ„×（364+1）＋。
通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。
“一题多变”（一）
一、“一题多变”的作用：
在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣：
1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。
2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。
3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。不就题论题，能多思多变。
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
二、“一题多变”的常用方法有：
1、变换命题的条件与结论；
2、变换题型；
3、深化条件，保留结论；
4、减弱条件，加强结论；
5、探讨命题的推广；
6、考查命题的特例；
7、生根伸枝，图形变换；
8、接力赛，一变再变等等。
三、一题多变，挖掘习题涵量：
1、变换命题的条件与结论
即通过对习题的条件或结论进行变换，而对同一个问题从多个角
度来研究。这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔
性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
例1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD，E 是AD
中点。求证：∠BEC=90°．
变换1：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD，E 是AD 中点。求证：CE ⊥BE ．
变换2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CE ⊥BE ．, E是AD 中点．求证： BC=AB+CD． 变换3：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD, CE⊥BE ．判断E 是AD 中点吗？为什么？
变换4：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD，CE ⊥BE ．求证：AE=ED．
2、变换题型
即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。
例2：如图，已知△ADE 中，∠DAE=120°，B 、C
分别是DE 上两点，且△ABC 是等边三角形，求证：BC 2
= BD·CE 。
分析：本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结
论出发找到需证明△ABD ∽△ECA ，从而使问题变得容易
解决。
变换一：改为填空题，如图，已知△ADE 中，
∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点，且△ABC 是等边三角形， 则线段BC 、BD 、CE 满足的数量关系是 。
本题表面上虽是对原题的简单形式变换，但实质上有探究的思想，即需要将BC 分别代换为AB 、AC ，从而归结为找△ABD 与△ECA 的关系问题。
变换二：改为选择题，如图，已知△ADE 中，∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点, 且△ABC 是等边三角形，则下列关系式错误的是（ ）
A ．∠ADB= ∠EAC B ．AD 2 = DE·BD
C ．BC 2 = BD·CE D ．AE 2 = DE·BD
本题名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A 、B 、C 选项均正确，选D 。
变换三：改为计算题, 如图，已知△ADE 中，∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点，且△ABC 是边长为4的等边三角形，且BD=2，求CE 的长。
仍然要探究出线段BC 、BD 、CE 满足的数量关系，从而转化为知二求一的问题。
变换四：改为开放题，如图，已知△ADE 中, ∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点, 且△ABC 是等边三角形, 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？
结论的开放，给学生更多的思考空间，锻炼了学生开放型思维的能力。
由上述四种题型的变换，把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维的灵魂，收到了事半功倍的效果。
3、深化条件，保留结论
在平时的习题教学中，如果我们灵活地改变题目的条件，巧妙地把一个题目化成一组要求不同或难度不断变化的题组，不仅可以使学生易于掌握应用之要领，也可使学生能从前一个较简单问题的解答中领悟到解决后一个较复杂问题的途径。从而达到举一反三的目的。例如，根据下列条件，求二次函数的解析式：
①、 已知抛物线经过（1，3），（－1，4），（0，4）三点；
②、 已知抛物线经过顶点（2，4），且过原点；
③、 已知抛物线经过（6，0）点，且x=4时，有最小值8；
④、 把抛物线y=2x²－4x －5向左又向上各平移3个单位；
⑤、 已知y=ax²+bx+c，当x=1和x=2时都有y=5，且y 的最大值是14；
（思考方法、解略）
4、接力赛，一变再变
①、（32-1）×（32+1）。
②、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）ׄ„×（364+1）。
③、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）ׄ„×（364+1）。
④、（32+1）×（34+1）×（38+1）ׄ„×（364+1）。
⑤、（32+1）×（34+1）×（38+1）ׄ„×（364+1）＋。
通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。