反比例函数知识点归纳总结与典型例题

（一）反比例函数的概念：知识要点：

1、一般地，形如 y =

( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 x

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；

（2）解析式有三种常见的表达形式：

（A ）y =

k -1

（k ≠ 0），（B ）xy = k（k ≠ 0）（C ）y=kx（k ≠0） x

x 1111

③y =2 ④. y =-⑤y =-⑥y = ；其中是y 关

x 2x x +123x

例题讲解：有关反比例函数的解析式（1）下列函数，① x (y +2) =1②. y =

于x 的反比例函数的有：_________________。（2）函数y =(a -2) x a

-2

是反比例函数，则a 的值是（）

A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数y =

m -1

(m 是常数) 是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．

（4）反比例函数y =

(k ≠0）的图象经过（—2，5

n ）， x

求1）n 的值； 2）判断点B （4

2，

(二) 反比例函数的图象和性质：知识要点：

1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时, 双曲线分别位于第________象限内；（2）当k

3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y随x 的增大而________；

（2）当k

4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴, 但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 例题讲解：

反比例函数的图象和性质：

（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限．

y =(2m -1) x （2）若反比例函数

6-6

和y = ）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 x x

-2

的图象在第二、四象限，则m 的值是（）

A 、－1或1; B、小于

的任意实数; C、－1; Ｄ、不能确定 2

（3）下列函数中，当x

1314

D ．y =．

2x x

-2

的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1

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则y 1-y 2的值是（）

A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．不能确定（5）若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）和（x 3，y 3）分别在反比例函数y =-则下列判断中正确的是（）

A ．y 1

的图象上，且 x 1

k +1

的图象上有两点(x 1，y 1) 和(x 2，y 2) ，若x 时，y 2，则k 的x

取值范围是．

（7）老师给出一个函数, 甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:

甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大. 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . （三）反比例函数与面积结合题型。知识要点：

1、反比例函数与矩形面积：若P (x ，y ) 为反比例函数y =求矩形PMON 的面积.

分析：S 矩形PMON =PM ⋅PN =y ⋅x =xy

(k≠0) 图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，x

∵y =, ∴ xy=k, ∴ S =k .

2、反比例函数与矩形面积：若Q (x ，y ) 为反比例函数y =

(k≠0) 图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于x

B ) ，连结QO ，则所得三角形的面积为：S △QOA =的位置无关.

（1）如图3，在反比例函数y =-

k 2

（或S △QOB =

k 2

）. 说明：以上结论与点在反比例函数图像上

（x ＜0）的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分x

别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为．

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图6

图5

图7

（2）反比例函数y

的图象如图4所示，点M 是该函数图象上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N. 如果S △MON =2，x

的图象相交于A 、C 两点，过点A 作AB ⊥x 轴于点x

这个反比例函数的解析式为______________

(3)如图5，正比例函数y =kx (k >0) 与反比例函数y =B ，连结BC ．则ΔABC的面积等于（）

A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变．（4）如图6，A 、B 是函数y =为S ，则（）

A ．S =2 B ．S =4 C ．24

（5）如图7，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y =-和y =的图象交于

x x

的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记x

点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为（） (四) 一次函数与反比例函数

(1)一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是（）

A B C D

(2)一次函数y =kx +k (k ≠0) 和反比例函数y =

(k ≠0) 在同一直角坐标系中的图象大致是( ) x

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k 2x

（3）一次函数y 1=k1x+b和反比例函数y 2= （k 1∙k 2≠0）的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（） A 、﹣2＜x ＜0或x ＞1 B 、﹣2＜x ＜1 C 、x ＜﹣2或x ＞1 D 、x ＜﹣2或0＜x ＜

（4）正比例函数y =

（第（7）题）

x 2

和反比例函数y =的图象有个交点． 2x

k 2

(k2≠0) 的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. x

（5）正比例函数y=k1x(k1≠0) 和反比例函数y=（6）设函数y =

211与y =x ﹣1的图象的交点坐标为（a ，B ），则-的值为x a b

(7)如图，Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线y =与直线y =-x +m •在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于B ，且S

，则反比例函数的解析式． △ABO ＝2

(8)若反比例函数y =

与一次函数y ＝3x ＋b 都经过点(1，4) ，则kb ＝________． x

（9）如图，已知A （4，a ），B （－2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数 y ＝－

的图象的交点． x

（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；（2）求△A0B 的面积．

(10)如图, 在平面直角坐标系中，直线y =x +

k k

与双曲线y =在第一象限交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x

x 2

轴，垂足为B ，且S ΛAOB ＝1．求：（1）求两个函数解析式；（2）求△ABC 的面积．

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（11）平面直角坐标系中，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B 且与反比例函数图象分别交于C 、D 两点，过点C 作CM ⊥x 轴于M ，AO=6，BO=3，CM=5．求直线AB 的解析式和反比例函数解析式．第 5 页共 5 页

反比例函数知识点归纳总结与典型例题

（一）反比例函数的概念：知识要点：

1、一般地，形如 y =

( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 x

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；

（2）解析式有三种常见的表达形式：

（A ）y =

k -1

（k ≠ 0），（B ）xy = k（k ≠ 0）（C ）y=kx（k ≠0） x

x 1111

③y =2 ④. y =-⑤y =-⑥y = ；其中是y 关

x 2x x +123x

例题讲解：有关反比例函数的解析式（1）下列函数，① x (y +2) =1②. y =

于x 的反比例函数的有：_________________。（2）函数y =(a -2) x a

-2

是反比例函数，则a 的值是（）

A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数y =

m -1

(m 是常数) 是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．

（4）反比例函数y =

(k ≠0）的图象经过（—2，5

n ）， x

求1）n 的值； 2）判断点B （4

2，

(二) 反比例函数的图象和性质：知识要点：

1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时, 双曲线分别位于第________象限内；（2）当k

3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y随x 的增大而________；

（2）当k

反比例函数的图象和性质：

（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限．

y =(2m -1) x （2）若反比例函数

6-6

和y = ）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 x x

-2

的图象在第二、四象限，则m 的值是（）

A 、－1或1; B、小于

的任意实数; C、－1; Ｄ、不能确定 2

（3）下列函数中，当x

1314

D ．y =．

2x x

-2

的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1

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则y 1-y 2的值是（）

A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．不能确定（5）若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）和（x 3，y 3）分别在反比例函数y =-则下列判断中正确的是（）

A ．y 1

的图象上，且 x 1

k +1

的图象上有两点(x 1，y 1) 和(x 2，y 2) ，若x 时，y 2，则k 的x

取值范围是．

（7）老师给出一个函数, 甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:

1、反比例函数与矩形面积：若P (x ，y ) 为反比例函数y =求矩形PMON 的面积.

分析：S 矩形PMON =PM ⋅PN =y ⋅x =xy

(k≠0) 图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，x

∵y =, ∴ xy=k, ∴ S =k .

2、反比例函数与矩形面积：若Q (x ，y ) 为反比例函数y =

(k≠0) 图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于x

B ) ，连结QO ，则所得三角形的面积为：S △QOA =的位置无关.

（1）如图3，在反比例函数y =-

k 2

（或S △QOB =

k 2

）. 说明：以上结论与点在反比例函数图像上

（x ＜0）的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分x

别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为．

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图6

图5

图7

（2）反比例函数y

的图象如图4所示，点M 是该函数图象上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N. 如果S △MON =2，x

的图象相交于A 、C 两点，过点A 作AB ⊥x 轴于点x

这个反比例函数的解析式为______________

(3)如图5，正比例函数y =kx (k >0) 与反比例函数y =B ，连结BC ．则ΔABC的面积等于（）

A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变．（4）如图6，A 、B 是函数y =为S ，则（）

A ．S =2 B ．S =4 C ．24

（5）如图7，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y =-和y =的图象交于

x x

的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记x

点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为（） (四) 一次函数与反比例函数

(1)一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是（）

A B C D

(2)一次函数y =kx +k (k ≠0) 和反比例函数y =

(k ≠0) 在同一直角坐标系中的图象大致是( ) x

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k 2x

（4）正比例函数y =

（第（7）题）

x 2

和反比例函数y =的图象有个交点． 2x

k 2

(k2≠0) 的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. x

（5）正比例函数y=k1x(k1≠0) 和反比例函数y=（6）设函数y =

211与y =x ﹣1的图象的交点坐标为（a ，B ），则-的值为x a b

(7)如图，Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线y =与直线y =-x +m •在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于B ，且S

，则反比例函数的解析式． △ABO ＝2

(8)若反比例函数y =

与一次函数y ＝3x ＋b 都经过点(1，4) ，则kb ＝________． x

（9）如图，已知A （4，a ），B （－2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数 y ＝－

的图象的交点． x

（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；（2）求△A0B 的面积．

(10)如图, 在平面直角坐标系中，直线y =x +

k k

与双曲线y =在第一象限交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x

x 2

轴，垂足为B ，且S ΛAOB ＝1．求：（1）求两个函数解析式；（2）求△ABC 的面积．

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反比例函数知识点归纳总结与典型例题

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