一次函数知识点总结与典型例题
函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为是x 的函数。
【注：判断y 是否为x 的函数，只要看x 取值确定的时候，y 是否有唯一确定的值与之对应】 例1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（ D ） A. y =2x +1 B. y =x 2+1 C. y =x +1 D. y 2=x 2
x
例2、下列各图中表示y 是x 的函数图像的是 （ D ）
B
D A
①当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零； ②关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零；
③当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零； ④当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。 例1、 函数y =例2、函数y =
1的自变量x -3
x 的取值范围是 x 的取值范围是
x -3的自变量
例3、函数y =（x +2) -2的自变量x 的取值范围是 例1、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，回答下列问题： （1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？ （2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？ (3）返回时平均速度是多少？
解; （1) 小强到离家最远的地方需要12小时：此时离家30km.
（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是15÷10.5=10km /h
7
(3）返回时平均速度是30
÷（15-13）=15km/h
1
1、 正比例函数定义：
一般地，形如y=kx(k是常数，k ≠0) 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 【注：正比例函数一般形式 y=kx ① k≠0 ② x的指数为1】 2、 一次函数定义：
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k ≠0) ，那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0时，y=kx＋b 即y=kx，
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
【注：一次函数一般形式 y=kx+b ① k≠0 ②x 指数为1 ③ b取任意实数】 例1函数y =(k +1) x k +k -1是一次函数，则k 值为例2函数是y =(m 2-m ) x m +1正比例函数，则m 值为 m=-2 。
k---决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质： k ＞0 直线经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； k ＜0 直线经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。 b---决定了直线与y 轴交点的位置: b ＞0直线与y 轴的正半轴相交；
b ＜0直线与y 轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。
例1、已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ D ） A.m ＞0,n ＜2 B. m＞0,n ＞2 C. m＜0,n ＜2 D. m＜0,n ＞2
例2、如果ab >0, bc
）
一次函数y=kx+b与x 轴的交点------令y=0，则kx+b=0， 解出x 即为直线与x 轴的交点的横坐标。
一次函数y=kx+b与y 轴的交点------令x=0，则
y=b,即直线与y 轴交点坐标为（0，b ） 两个一次函数y=k1x+b1 与y=k2x+b2的交点-----联立1x+b1 组成关于x 、y 的二元一次方程组，
方程组的解即为交点坐标 2x+b2 例1、 一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是（2，0），
与y 轴交点坐标是(0,4)
图象与坐标轴所围成的三角形面积是 4
例2、两直线y=2x-1与y=x+1的交点坐标为（ D ） A ．（—2，3） B ．（2，—3） C ．（—2，—3） D ．（2，3）
2
2
待定系数法确定一次函数解析式------
先设出一次函数解析式为y=kx+b只需两个点的坐标代入解二元一次方程组解出k 、b 即可。 例1、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点P （-2, 2），
一次函数与x 轴、y 轴交与A 、B 两点，且B （0，6） （1）求两个函数的解析式 （2）求△AOP 的面积
解;(1)设正比例函数、一次函数的解析式分别为y=kx,y=k1x+b
把p(-2,2)代入y=kx，得 -2k=2 ∴k=-1
∴正比例函数解析式为：y=-x 把
p(-2,2) B(0,6)
代入
y= y=k1x+b，得1+b=2 1=2
∴一次函数解析式为：y=2x+6
(2)令y=0,则2x+6 =0 ∴x=-3 ∴A(-3，0) ∴OA=3 ∴△AOP 的面积=1⨯OA ⨯OB =1⨯3⨯6=9
2
2
例2、 求与直线y=-2x+3平行，且经过（2，-2）的直线的解析式。 解:设直线的解析式为y=kx+b ∵直线与y=-2x+3平行 ∴k=-2
把（2，-2）代入y=-2x+b,得-2×2+b=-2 ∴b=2 ∴设直线的解析式为y=-2x+2
一次函数y=kx+b图像与x 轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程kx+b=0的解
两个一次函数y=k1x+b1 与y=k2x+b2的交点坐标即为二元一次方程组1x+b1 的解。
y=k2x+b2 例1、一次函数y=kx＋b 的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（ C ） A ．x=2 B．y=2 C．x=-1 D．y=-1 例2、若函数y =x +b 和y =ax +3的图象交于点P ，
y =x +b 的解为____________ 则关于x 、y 的方程组⎧⎨
⎩y =ax +3
一次函数值大于（小于）0-------由直线与x 轴交点的横坐标数形结合分析。
两个一次函数的大小------由两条直线的交点向x 轴作垂线将平面分成两部分数形结合分析。 例1、如图，直线y=kx+b(k＜0）与x 轴交于点（3,0）， 关于x 的不等式kx+b＜0的解集是（ ） A ．x 3 C ．x >0 D ．x
例2、如图，直线y=2x和y=ax+4相交于A(m，3), 则不等式2x D．x >3
3
2
32
3
一次函数的平移---------口诀“上加下减，左加右减”
【注：上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在x 上加减】
一次函数的翻折-----沿x 轴翻折将y 换成“-y ”, 沿y 轴翻折将x 换成“-x ” 例
3
y =-x +1
41、直线向下平移
2个单位，再向左平移1个单位得到直线y =-3x -7
4
4
例2、直线y= -3x+7关于x 轴对称的直线解析式为y=3x-7 ;
关于y 轴对称的直线解析式为y=3x+7
例1、【新疆2014年中考试题】如图1所示，在A ，B 两地之间有汽车站C 站， 客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．
图2是客车、货车离C 站飞路程y 1，y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象． （1）填空：A ，B 两地相距 千米；
（2）求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式； （3）客、货两车何时相遇？ 解：（1）填空：A ，B 两地相距420千米；
（2）由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时，
货车到达A 地一共需要2+360÷30=14小时， 设
y 2
=kx+b，代入点（2，0）、（14，360）得
，解得，所以y 2=30x﹣60；
（3）设y 1=mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得解得
，
所以y 1=﹣60x+360 由
y 1=y2得30x ﹣60=﹣60x+360、解得x=
答：客、货两车经过小时相遇．
4
例2、 某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠． 乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售． ⑴ 写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y （元）和重量x （克）之间的函数关系式； ⑵ 李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？ 解：（1）y 甲
乙= 530x (x≤即：y 乙= 530x (x≤ 530×3+530×0.8×（x-3） (x＞3) 424x+318 (x＞3)
(2)当y 甲= y乙时，477 x=424x+318 ∴x=6 即：买该种铂金饰品重量为6克时甲乙两商店一样。 当y 甲＜y 乙时，477 x＜424x+318 ∴x ＜6
即：买该种铂金饰品重量在4≤x ＜6时到甲商店购买最合算 当y 甲＞y 乙时，477 x＞424x+318 ∴x ＞6
即：买该种铂金饰品重量在6＜x ≤10时到乙商店购买最合算
例3、【新疆2012年中考试题】库尔勒某乡A ，B 两村盛产香梨，A 村有香梨200吨，B 村有香梨 300吨，现将这些香梨运到C ，D 两个冷藏仓库。已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可
储存260吨，从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨40元和45元；从B 村运往C ，D 两处的费 用分别为每吨25元和32元。设从A 村运往C 仓库的香梨为x 吨，A ，B 两村运香梨往两仓库的 运输费用分别为y A 元，y B 元。
（1）请填写下表，并求出y A ，y B 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 为何值时，A 村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。 ﹣x ）+32（60+x）=7x+7920； （2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200）， ∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，
则当x=200吨时，yA 最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）； （3）设两村的运费之和为W （0≤x≤200）， 则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920， ∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数，
则当x=0时，W 有最小值，W 最小值为16920元．
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一次函数知识点总结与典型例题
函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为是x 的函数。
【注：判断y 是否为x 的函数，只要看x 取值确定的时候，y 是否有唯一确定的值与之对应】 例1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（ D ） A. y =2x +1 B. y =x 2+1 C. y =x +1 D. y 2=x 2
x
例2、下列各图中表示y 是x 的函数图像的是 （ D ）
B
D A
①当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零； ②关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零；
③当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零； ④当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。 例1、 函数y =例2、函数y =
1的自变量x -3
x 的取值范围是 x 的取值范围是
x -3的自变量
例3、函数y =（x +2) -2的自变量x 的取值范围是 例1、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，回答下列问题： （1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？ （2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？ (3）返回时平均速度是多少？
解; （1) 小强到离家最远的地方需要12小时：此时离家30km.
（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是15÷10.5=10km /h
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(3）返回时平均速度是30
÷（15-13）=15km/h
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1、 正比例函数定义：
一般地，形如y=kx(k是常数，k ≠0) 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 【注：正比例函数一般形式 y=kx ① k≠0 ② x的指数为1】 2、 一次函数定义：
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k ≠0) ，那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0时，y=kx＋b 即y=kx，
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
【注：一次函数一般形式 y=kx+b ① k≠0 ②x 指数为1 ③ b取任意实数】 例1函数y =(k +1) x k +k -1是一次函数，则k 值为例2函数是y =(m 2-m ) x m +1正比例函数，则m 值为 m=-2 。
k---决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质： k ＞0 直线经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； k ＜0 直线经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。 b---决定了直线与y 轴交点的位置: b ＞0直线与y 轴的正半轴相交；
b ＜0直线与y 轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。
例1、已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ D ） A.m ＞0,n ＜2 B. m＞0,n ＞2 C. m＜0,n ＜2 D. m＜0,n ＞2
例2、如果ab >0, bc
）
一次函数y=kx+b与x 轴的交点------令y=0，则kx+b=0， 解出x 即为直线与x 轴的交点的横坐标。
一次函数y=kx+b与y 轴的交点------令x=0，则
y=b,即直线与y 轴交点坐标为（0，b ） 两个一次函数y=k1x+b1 与y=k2x+b2的交点-----联立1x+b1 组成关于x 、y 的二元一次方程组，
方程组的解即为交点坐标 2x+b2 例1、 一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是（2，0），
与y 轴交点坐标是(0,4)
图象与坐标轴所围成的三角形面积是 4
例2、两直线y=2x-1与y=x+1的交点坐标为（ D ） A ．（—2，3） B ．（2，—3） C ．（—2，—3） D ．（2，3）
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待定系数法确定一次函数解析式------
先设出一次函数解析式为y=kx+b只需两个点的坐标代入解二元一次方程组解出k 、b 即可。 例1、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点P （-2, 2），
一次函数与x 轴、y 轴交与A 、B 两点，且B （0，6） （1）求两个函数的解析式 （2）求△AOP 的面积
解;(1)设正比例函数、一次函数的解析式分别为y=kx,y=k1x+b
把p(-2,2)代入y=kx，得 -2k=2 ∴k=-1
∴正比例函数解析式为：y=-x 把
p(-2,2) B(0,6)
代入
y= y=k1x+b，得1+b=2 1=2
∴一次函数解析式为：y=2x+6
(2)令y=0,则2x+6 =0 ∴x=-3 ∴A(-3，0) ∴OA=3 ∴△AOP 的面积=1⨯OA ⨯OB =1⨯3⨯6=9
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例2、 求与直线y=-2x+3平行，且经过（2，-2）的直线的解析式。 解:设直线的解析式为y=kx+b ∵直线与y=-2x+3平行 ∴k=-2
把（2，-2）代入y=-2x+b,得-2×2+b=-2 ∴b=2 ∴设直线的解析式为y=-2x+2
一次函数y=kx+b图像与x 轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程kx+b=0的解
两个一次函数y=k1x+b1 与y=k2x+b2的交点坐标即为二元一次方程组1x+b1 的解。
y=k2x+b2 例1、一次函数y=kx＋b 的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（ C ） A ．x=2 B．y=2 C．x=-1 D．y=-1 例2、若函数y =x +b 和y =ax +3的图象交于点P ，
y =x +b 的解为____________ 则关于x 、y 的方程组⎧⎨
⎩y =ax +3
一次函数值大于（小于）0-------由直线与x 轴交点的横坐标数形结合分析。
两个一次函数的大小------由两条直线的交点向x 轴作垂线将平面分成两部分数形结合分析。 例1、如图，直线y=kx+b(k＜0）与x 轴交于点（3,0）， 关于x 的不等式kx+b＜0的解集是（ ） A ．x 3 C ．x >0 D ．x
例2、如图，直线y=2x和y=ax+4相交于A(m，3), 则不等式2x D．x >3
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3
一次函数的平移---------口诀“上加下减，左加右减”
【注：上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在x 上加减】
一次函数的翻折-----沿x 轴翻折将y 换成“-y ”, 沿y 轴翻折将x 换成“-x ” 例
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y =-x +1
41、直线向下平移
2个单位，再向左平移1个单位得到直线y =-3x -7
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例2、直线y= -3x+7关于x 轴对称的直线解析式为y=3x-7 ;
关于y 轴对称的直线解析式为y=3x+7
例1、【新疆2014年中考试题】如图1所示，在A ，B 两地之间有汽车站C 站， 客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．
图2是客车、货车离C 站飞路程y 1，y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象． （1）填空：A ，B 两地相距 千米；
（2）求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式； （3）客、货两车何时相遇？ 解：（1）填空：A ，B 两地相距420千米；
（2）由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时，
货车到达A 地一共需要2+360÷30=14小时， 设
y 2
=kx+b，代入点（2，0）、（14，360）得
，解得，所以y 2=30x﹣60；
（3）设y 1=mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得解得
，
所以y 1=﹣60x+360 由
y 1=y2得30x ﹣60=﹣60x+360、解得x=
答：客、货两车经过小时相遇．
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例2、 某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠． 乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售． ⑴ 写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y （元）和重量x （克）之间的函数关系式； ⑵ 李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？ 解：（1）y 甲
乙= 530x (x≤即：y 乙= 530x (x≤ 530×3+530×0.8×（x-3） (x＞3) 424x+318 (x＞3)
(2)当y 甲= y乙时，477 x=424x+318 ∴x=6 即：买该种铂金饰品重量为6克时甲乙两商店一样。 当y 甲＜y 乙时，477 x＜424x+318 ∴x ＜6
即：买该种铂金饰品重量在4≤x ＜6时到甲商店购买最合算 当y 甲＞y 乙时，477 x＞424x+318 ∴x ＞6
即：买该种铂金饰品重量在6＜x ≤10时到乙商店购买最合算
例3、【新疆2012年中考试题】库尔勒某乡A ，B 两村盛产香梨，A 村有香梨200吨，B 村有香梨 300吨，现将这些香梨运到C ，D 两个冷藏仓库。已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可
储存260吨，从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨40元和45元；从B 村运往C ，D 两处的费 用分别为每吨25元和32元。设从A 村运往C 仓库的香梨为x 吨，A ，B 两村运香梨往两仓库的 运输费用分别为y A 元，y B 元。
（1）请填写下表，并求出y A ，y B 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 为何值时，A 村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。 ﹣x ）+32（60+x）=7x+7920； （2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200）， ∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，
则当x=200吨时，yA 最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）； （3）设两村的运费之和为W （0≤x≤200）， 则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920， ∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数，
则当x=0时，W 有最小值，W 最小值为16920元．
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