・1・
地矿测绘 2004,20(3) :1～3
Surveying and Mapping of G eology and M ineral Res ources
C N 53-1124/T D ISS N 1007-9394
测量中地球曲率改正的严密计算方法
姜晨光1, 姜祖彬2, 刘 华2, 王晓明3
Ξ
(1. 江南大学, 江苏无锡 214063; 2. 莱阳市古柳国土资源站, 山东莱阳 265202; 3. 莱阳市环境监理站, 山东莱阳 265063)
摘要:从球面几何学的原理出发, 探讨了测量中地球曲率严密改正的方法, 推导出了光电测距三角高程测量、普通三角高程测量
的严密计算公式, 给出了光电测距三角高程测量、普通三角测量、水准测量的地球曲率改正严密计算公式, 给出了相应的观测斜距、观测平距、视线水准面上大地线长、大地水准面(或参考椭球面) 上大地线长间的严格数学关系。
关键词:地球曲率; 严密改正; 光电测距三角高程测量; 普通三角高程测量; 水准测量; 斜距; 平距; 大地线中图分类号:P 22412; P 22413 文献标识码:A 文章编号:1007-9394(2004) 03-0001-03
Accurate Method to C alculate Curvature Correction of the E in Survey
J I NAG Chen 2guang 1, J I ANG Zu 2bin 2, Hua (1. Southern Yangtze Univer sity , Wuxi Jiangsu 214063, China ; 2. Guliu , , China ; 3. Environ 2ment Supervision Center o f Laiyang , Laiyang Shandong 265200, )
Abstract :According paper approaches the methods of the earth curvature in surveying. It trig leveling and the ordinary trig onometric leveling. Als o , it gives accurate the curvature correction of the E DM trig onometric leveling , the ordinary trig onomet 2ric leveling and The strict mathematic relations am ong slope distance , horizontal distance , geodetic line length on the instrument level surface and geodetic line length on the geodetic level surface (or on the surface of reference ellips oid ) has been given.
K ey w ords :earth curvature ; accurate correction ; E DM trig onometric leveling ; ordinary trig onometric leveling ; slope dis 2tance ; horizontal distance ; geodetic line 0 引言
当代测绘技术及测绘手段越来越先进, 许多传统测量方法及测绘手段的使用已经越来越少, 制约测绘科学发展上千年的距离测量问题今天已经不复存在, 距离测量的精度越来越高、距离测量的手段越来越多、距离测量的方法越来越精巧、距离测量
() 的过程也越来越简单。其它要素比如角度、高差等的测量也
跟距离测量一样越来越简单、越来越精密。精密的外业测量结果只有与精密的内业处理方法相结合, 才能发挥其真正的效能, 才能取得优异的成果。目前, 对外业观测结果进行处理人们大多仍然沿用几十年以前的公式, 这些公式许多是经过简化了的、带有一定的近似性, 公式的计算精度不是很令人满意, 地球曲率改正就是其中一个较为突出的问题。因此, 很有必要对在用的一些传统公式进行重新审视, 这将有助于推动测绘科学的发展与进步。
本文仅就涉及地球曲率改正的一些测量问题进行进一步的探讨。
为了便于描述问题, 本文分析过程中将忽略仪器高和靶标高(认为仪器高与靶标高均为零) , 即高差以观测线(测距光线或视准线) 起、终点为准。同时, 为了便于说明问题, 本文分析问题的过程中将不考虑大气折射问题, 有关大气折射对测量的影响问题将在另文中作专门探讨。
α为不含大气折和观测斜距D , 观测目的是获得AC 点间高差。
射角的竖直角, 若实际观测竖直角为α′, 大气折射角为α″, 则α=α′-α″。
图1中R 为地球平均曲率半径, R ′为测站仪器视线出射点法截弧曲率半径, H 为测站仪器视线出射点高程(本文以下简称视高) , 则R ′=R +H 。
图1中, 以C 为圆心、CF 为半径做一圆弧交CB 延长线于G, 连接AG , 则AG 线必通过F , 因为三角形△FCG 与三角形△AOF 为相似的等腰三角形。
AC 点间的高差h 为CF , 故h =(CF ) =(CG ) 。在直角三角形%ABC 中, (CB ) =D °=D sin α。由于CG =(CB ) +(BG ) =D °+(BG ) , 故h =D °+(BG ) , 故BG 即为地球曲率改正数, 令(BG ) =V h , 则有
(1) h =D °+V h =D sin α+V h
在直角三角形%ABC 中, (AB ) =D cos α在直角三角形%ABG 中
ε=D cos αε(2) V h =(BG ) =(AB ) tg tg
从图1可见, 弦切角ε与圆心角θ的关系为
ε=θ/2
(3)
1 光电测距三角高程测量地球曲率改正的严密计算
光电测距三角高程原理参见图1, 已知观测量为竖直角α
Ξ收稿日期:2004-06-30
由于E B 、FG 均很小, 故可近似认为(AE ) =
AF =(AB ) θ均很小, 故可认为tg ε=ε=θ于ε、/2, 在扇形AOF 中θ=AF/
・2・地矿测绘 第20卷
ε=ε=θα) , 将R ′=(AB ) /R ′=D cos α/R ′, 故tg /2=D cos /(2R ′
ε代入式(2) 可得传统的地球曲率改正公式, 即tg
α) 2/(2R ′) (4
) V h =(D cos
γ=
在三角形△AEF 中β=180°(9) -γ-ε
将式(8) 代入式(9) , 得β=180°-90°+2ε-ε=90°+ε
由于ε很小, 见表1, 故可认为三角形△AEF 为∠F =90°的直角三角形, 故有(EF ) =(AE ) sin ε同时, 由于E B 、FG 均很小, 故近似认为(AE ) =
AF =(AB ) 且(CB ) =(CE ) 。则(EF ) =(AB ) sin ε=D cos αε(10) sin
ε=ε, 则式(10) 可进一步简化为由于ε角很小, 故可认为sin
(EF ) =(AB ) sin ε=εα(11) D cos 由于ε=θ/2, 故式(11) 又可简化为(EF ) =D cos α(θ(12) /2) AOF 中
θ=AF/R ′α(13) ≈(AB ) /R ′=D cos /R ′
将式(13) 代入式(12) 即得传统的地球曲率改正公式, 即
α) (14) V h ′=(EF ) =D cos /(2R ′
于是, α) 2/(2R ′) ==D +D cos
R ′) (16) D +(D [式(7) ]高差h 与传统公式高差h ′的计算差异见表2, 传统公式的计算误差Δh =h ′-h 。表2 D =10km 、R ′=6373km 时, h 与h ′随α的变化T able 2 h and h ′vary in αwhen D =10km and R ′=6373km
α) /(°
[***********]
Vh/m
h/m
h ′/m
图1 测量中地球曲率改正严密计算原理示意
Fig. 1 Accurate calculation principle sketch of the curvature 当然, 同(, 。从理论上讲, 本
θ角的大小参见表1。。
在三角形△AOC , 根据余弦定理, 有
(OC ) 2=(OA ) 2+(AC ) 2-2(OA ) (AC ) cos (90°) +α即
(5) [(OF ) +(FC ) ]2=(OA ) 2+(AC ) 2+2(OA ) (AC ) sin α
将式(1) 代入式(5) , 得
222
[(OF ) +(D sin α+V h ) ]=(OA ) +(AC ) +2(OA ) (AC ) sin α即
2
[R ′+(D sin α+V h ) ]2=R ′+D 2+2R ′D sin α, 整理得
2
) 1/2R ′+(D sin α+V h ) =(R ′+D 2+2R ′D sin α
故, 可得光电测距三角高程测量地球曲率改正的精密公式, 即
22
) 1/2-R ′(6) V h =(R ′+D +2R ′D sin α-D sin α
将式(6) 代入式(1) 可得光电测距三角高程测量高差计算的严密计算公式, 即
2
) 1/2-R ′(7) h =D sin α+[(R ′+D 2+2R ′D sin α-D sin α]表1 不同水平距离D ′、不同法截弧曲率半径R ′下的θ值
αvalue under varied horizontal distance D ′and varied T able 1
normal section radius of curvature R D ′
Δh/mm
[1**********]
[***********][***********][***********]9
[***********][***********][***********][***********]2464321475
[***********][***********][***********][***********]2964321480
3 普通三角高程测量地球曲率改正的严密计算
(或大地线长AF ) 已见图1, 普通三角高程测量AE 平距D ′知, 观测量是竖直角α。
在引言中已交代过α为不含大气折射角的竖直角, 若实际观测竖直角为α′, 大气折射角为α″, 则α=α′-α″。
见图1, 在直角三角形%ABC 中, (BC ) =(AB ) tg α=(D ′α+ΔD ) tg
三角形%AOE 和三角形%E BC 为相似的直角三角形, 故(E B ) /(AE ) =(BC ) /(OA ) , 即ΔαD/D ′=(D ′+ΔD ) tg /R ′, 经整理, 得Δ(D ′α=D ′+ΔDR ′D ) tg
2
Δα+D ′ΔD tg αDR ′=D ′tg
2
Δα) =D ′-D ′tg tg αD (R ′
2
) (17) 故有ΔD =D ′tg α/(R ′-D ′tg α
ΔD 的变化见表3。在直角三角形%AOE 中θ=arctg (D ′) (18) /R ′
/km 510203040
R M AX =6378137m R =6371000m
) (/′) /(′ ″ ″R min =6356752m
) /(′ ″
2 411705 2313910 4617916 1011821 33157
2 411885 2317610 4715116 1112721 35102
2 421245 2414810 4819616 1314421 37193
2 光电测距三角高程传统地球曲率改正公式的由来
传统光电测距三角高程测量地球曲率改正认为图1中的
EF 即为地球曲率改正V h [为了区别式(6) , 将其改为V ′h ], 其传统推导过程如下:
在直角三角形%BCE 中,
第3期姜晨光, 姜祖彬, 刘 华, 王晓明:测量中地球曲率改正的严密计算方法
θ=R ′) S =R ′arctg (D ′/R ′
・3・
(26)
弦切角ε=θ/2
AC 间高差h 即为CF , CF 等于CG, 故
(19) h =(CF ) =(CG ) =(CB ) +(BG )
在直角三角形%ABG 中, (BG ) =(AB ) tg ε=(D ′ε+ΔD ) tg 故式(19) 可变为
α+(D ′εh =(D ′+ΔD ) tg +ΔD ) tg
α+ΔD tg α+(D ′ε(20) =D ′tg +ΔD ) tg
从式(20) 中可见, 普通三角高程测量地球曲率严密改正数V h ″为
α+(D ′εV h ″=ΔD tg +ΔD ) tg α+(D ′(21) 即V h ″=ΔD tg +ΔD ) tg (θ/2)
故, 普通三角高程测量的严密计算公式为
(22) h =D ′tg α+V h ″表3 D ′=10km 、R ′=6371km 时, ΔD[式(17) ]随倾角α的变化
ΔD varies in obliquity angle αwhen D ′T able 3 =10km and R ′=6373km
α) /(°
01251015
将式(26) 用级数展开, 得
335577
) +D ′) -D ′) +S =R ′[D ′/R ′-D ′/(3R ′/(5R ′/(7R ′
……]
325476
) +D ′) -D ′(7R ′) +……(27) =D ′-D ′/(3R ′/(5R ′若令
32
) V 1=D ′/(3R ′
54
(5R ′) V 2=D ′
(28) (29) (30)
) V 3=D ′(7R ′
76
则, 式(27) 可变为
(31) S =D ′-V 1+V 2-V 3
由于V 2、V 3均很微小(见表5) , 故式(31) 可进一步简化为
32
) S =D ′-V 1=D ′-D ′/(3R ′
(32)
ΔD/m
[***********]76841208
α) /(°
2025303540
ΔD/m
[***********]003131188
2
(23) h =D ′tg α+D ′/(2[式(22) ], 将式(23) 改写为
2
) (24) h ′=D ′tg α+D ′/(2R ′
普通三角高程测量严密公式[式(22) ]与传统(近似) 计算公式[式(24) ]的计算差异见表4。表4中Δh 为传统(近似) 计算公式[式(24) ]的计算误差, Δh =h ′(25) -h 表4 D ′=10km 、R ′=6373km 时, h 与h ′随倾角α的变化T able 4 h and h ′vary in obliquity angle αwhen D ′=10km and R ′=
6373km
α) θ) ε) Δ/(°/(′ ″/(′ ″D/m
[***********]
[***********][***********][***********][***********][***********][***********]
0 [***********][***********]1068
h/m
h ′/m
将视高为H 的水平距离D ′转换为大地水准面(或参考椭球
面) 上大地线长(即弧MN ) S ′的传统计算公式为
(1-H/R ) (33) S ′=D ′
式(33) 中, R 为地球平均半径, R =6。
H D (或参考椭球面) S ′首先将D ′转换为H 26) 或(], 再将H 水准面上弧长S (或参考椭球面) 上大地线长S ′。从图1不, θ=S/(R +H ) , S ′=R θ=R S /(R +H ) , 若S 计算用式(32) , 则
32
) ]/(R +H ) (34) S ′=R[D ′-D ′/(3R ′
表5 R ′=6373km 时, S 与D ′的差异
T able 5 The variance between S and D ’when R ’=6373km
D ′/km
S/m
V 1/mm
V 2/mm
V 3/mm
[***********][1**********]0
[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********]
[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][1**********]
1121×10-103188×10-92195×10-81124×10-73179×10-79143×10-72104×10-63197×10-67116×10-61121×10-53188×10-42195×10-3
[***********][**************]12
2113×-182173×10-164166×10-153149×10-141166×10-135197×10-131176×10-124147×10-121102×10-112113×10-112173×10-94166×10-83149×10-71166×10-65197×10-61176×10-54147×10-51102×10-4010002
Δh/m
0 -01005-01020-01121-01490-11130-21084-31420-51242-71710-111073
[***********][***********][***********][***********]3184091915
[***********][***********][***********][***********]2183981842
[***********][***********]
普通三角高程测量已知水平距离(图1中AE ) 与已知法截
弧长(图1中弧AF , 其长度用S 表示) 的关系为:
(下转第25页)
第3期程放样的要求。
彭志良, 杨爱萍, 陈传胜:浅议高精度平面位置的放样・25・
3) 放样时, 棱镜及对中杆是处于运动状态的, 故当大致的点
3 结论
通过实施较高精度较长距离的放样实践, 笔者认为:
1) 应用全站仪实施放样过程中, 海平面改正及比例因子(格
位确定之后, 应使用固定架(三角架) 精确确定点位, 并严格检验对中杆附合气泡, 使对中杆严格铅垂。
4) 当放样过程中存在倾斜角时, 应保证棱镜反射面与观测
视线尽可能正交, 以减弱棱镜旋转角不正确引起放样点精度的损失。
本文承蒙南方冶金学院曾宪 教授指正, 谨此致谢!
网因子) 的设置严禁随意性, 必须以放样点(区域) 的实际情况为基准进行严格的设置, 尤其对于较高精度和较长距离的放样更应注意这一点。
2) 放样实施前, 应对仪器的2C 值进行严格的检核, 因为坐
[参 考 文 献]
[1] 南方测绘仪器公司1南方全站仪NTS 2350系列操作手册[Z]1广
标放样的实质为极坐标放样, 且实施中, 通常只是采用一个盘位进行。因此, 仪器的2C 对放样的精度影响甚大, 应引起高度重视。
州:南方测绘仪器公司,20021
[2] 尼康公司1尼康全站仪DT M 2500系列操作手册[Z]1上海:中翰仪
器公司,20021
(上接第3页)
4 地球曲率对水准测量读数的影响
见图1, 水准仪到标尺的距离AE 已知, EF (长度用η(D ′/]
[1, 1:,19911], 同济大学大地测量教研室1控制
(上册) [M]1北京:测绘出版社,19861
[3] 中国矿业学院测量教研室1激光测距仪[M]1北京:煤炭工业出版
在三角形△() γ=90°-2εβ=90°+ε
在三角形△AFE 中, 由正弦定理, 可得
(AE ) /sin β=(EF ) /sin ε) =ηε即D ′/sin (90°+ε/sin
社,19801
[4] 姜晨光1标尺倾斜对经纬仪三维视距测量的影响[J]1山东测绘,
1992, (2) :34～401
[5] 姜晨光1精密三角高程测量严密计算的理论研究与初步实验[J]1
四川测绘,1996, (3) :125～1281
[6] 姜晨光1全站仪平距与高差严密处理方法的研究[J]1城市勘测,
1997, (3) :25～291
ε=ηεD ′/cos /sin η=D ′ε=D ′故 tg tg (θ/2)
(35)
[7] 姜晨光, 王世周, 蔡伟, 等1电子全站仪的最新发展与研制趋向[J]
式(35) 即为地球曲率对水准测量读数影响的精密计算公式。
若将式(35) 进行近似处理(见本文第二部分) , 则得地球曲率对水准测量读数影响的近似计算公式。
η=D ′) /(2R ′
2
1测绘标准化,2003, (3) :31～351
作者简介:姜晨光(1964～) , 男, 湖南岳阳人, 教授,1984年
(36)
毕业于中南大学, 曾获第四届山东省青年科技奖(1996年) 、首届烟台市青年科技奖(1995年) 、山东省建筑业科技进步二等奖(首位,1999年) ,2003年被国家科技部遴选为中国科技期刊评审专家, 主持完成省级科研课题3项, 参编国家教材2部, 在国内外学术刊物上发表论文百余篇。目前主要从事测绘工程、土木工程、工程勘测领域的研究与教学工作。
5 结束语
综上所述, 地球曲率对测量成果的影响是不容忽视的, 选用准确度高的地球曲率改正公式对现代测量意义很大, 建议大家在涉及地球曲率改正问题时采用本文给出的精密公式。
限于笔者水平, 文中谬误与欠妥之处敬请大家在应用过程中多多予以指正。
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地矿测绘 2004,20(3) :1～3
Surveying and Mapping of G eology and M ineral Res ources
C N 53-1124/T D ISS N 1007-9394
测量中地球曲率改正的严密计算方法
姜晨光1, 姜祖彬2, 刘 华2, 王晓明3
Ξ
(1. 江南大学, 江苏无锡 214063; 2. 莱阳市古柳国土资源站, 山东莱阳 265202; 3. 莱阳市环境监理站, 山东莱阳 265063)
摘要:从球面几何学的原理出发, 探讨了测量中地球曲率严密改正的方法, 推导出了光电测距三角高程测量、普通三角高程测量
的严密计算公式, 给出了光电测距三角高程测量、普通三角测量、水准测量的地球曲率改正严密计算公式, 给出了相应的观测斜距、观测平距、视线水准面上大地线长、大地水准面(或参考椭球面) 上大地线长间的严格数学关系。
关键词:地球曲率; 严密改正; 光电测距三角高程测量; 普通三角高程测量; 水准测量; 斜距; 平距; 大地线中图分类号:P 22412; P 22413 文献标识码:A 文章编号:1007-9394(2004) 03-0001-03
Accurate Method to C alculate Curvature Correction of the E in Survey
J I NAG Chen 2guang 1, J I ANG Zu 2bin 2, Hua (1. Southern Yangtze Univer sity , Wuxi Jiangsu 214063, China ; 2. Guliu , , China ; 3. Environ 2ment Supervision Center o f Laiyang , Laiyang Shandong 265200, )
Abstract :According paper approaches the methods of the earth curvature in surveying. It trig leveling and the ordinary trig onometric leveling. Als o , it gives accurate the curvature correction of the E DM trig onometric leveling , the ordinary trig onomet 2ric leveling and The strict mathematic relations am ong slope distance , horizontal distance , geodetic line length on the instrument level surface and geodetic line length on the geodetic level surface (or on the surface of reference ellips oid ) has been given.
K ey w ords :earth curvature ; accurate correction ; E DM trig onometric leveling ; ordinary trig onometric leveling ; slope dis 2tance ; horizontal distance ; geodetic line 0 引言
当代测绘技术及测绘手段越来越先进, 许多传统测量方法及测绘手段的使用已经越来越少, 制约测绘科学发展上千年的距离测量问题今天已经不复存在, 距离测量的精度越来越高、距离测量的手段越来越多、距离测量的方法越来越精巧、距离测量
() 的过程也越来越简单。其它要素比如角度、高差等的测量也
跟距离测量一样越来越简单、越来越精密。精密的外业测量结果只有与精密的内业处理方法相结合, 才能发挥其真正的效能, 才能取得优异的成果。目前, 对外业观测结果进行处理人们大多仍然沿用几十年以前的公式, 这些公式许多是经过简化了的、带有一定的近似性, 公式的计算精度不是很令人满意, 地球曲率改正就是其中一个较为突出的问题。因此, 很有必要对在用的一些传统公式进行重新审视, 这将有助于推动测绘科学的发展与进步。
本文仅就涉及地球曲率改正的一些测量问题进行进一步的探讨。
为了便于描述问题, 本文分析过程中将忽略仪器高和靶标高(认为仪器高与靶标高均为零) , 即高差以观测线(测距光线或视准线) 起、终点为准。同时, 为了便于说明问题, 本文分析问题的过程中将不考虑大气折射问题, 有关大气折射对测量的影响问题将在另文中作专门探讨。
α为不含大气折和观测斜距D , 观测目的是获得AC 点间高差。
射角的竖直角, 若实际观测竖直角为α′, 大气折射角为α″, 则α=α′-α″。
图1中R 为地球平均曲率半径, R ′为测站仪器视线出射点法截弧曲率半径, H 为测站仪器视线出射点高程(本文以下简称视高) , 则R ′=R +H 。
图1中, 以C 为圆心、CF 为半径做一圆弧交CB 延长线于G, 连接AG , 则AG 线必通过F , 因为三角形△FCG 与三角形△AOF 为相似的等腰三角形。
AC 点间的高差h 为CF , 故h =(CF ) =(CG ) 。在直角三角形%ABC 中, (CB ) =D °=D sin α。由于CG =(CB ) +(BG ) =D °+(BG ) , 故h =D °+(BG ) , 故BG 即为地球曲率改正数, 令(BG ) =V h , 则有
(1) h =D °+V h =D sin α+V h
在直角三角形%ABC 中, (AB ) =D cos α在直角三角形%ABG 中
ε=D cos αε(2) V h =(BG ) =(AB ) tg tg
从图1可见, 弦切角ε与圆心角θ的关系为
ε=θ/2
(3)
1 光电测距三角高程测量地球曲率改正的严密计算
光电测距三角高程原理参见图1, 已知观测量为竖直角α
Ξ收稿日期:2004-06-30
由于E B 、FG 均很小, 故可近似认为(AE ) =
AF =(AB ) θ均很小, 故可认为tg ε=ε=θ于ε、/2, 在扇形AOF 中θ=AF/
・2・地矿测绘 第20卷
ε=ε=θα) , 将R ′=(AB ) /R ′=D cos α/R ′, 故tg /2=D cos /(2R ′
ε代入式(2) 可得传统的地球曲率改正公式, 即tg
α) 2/(2R ′) (4
) V h =(D cos
γ=
在三角形△AEF 中β=180°(9) -γ-ε
将式(8) 代入式(9) , 得β=180°-90°+2ε-ε=90°+ε
由于ε很小, 见表1, 故可认为三角形△AEF 为∠F =90°的直角三角形, 故有(EF ) =(AE ) sin ε同时, 由于E B 、FG 均很小, 故近似认为(AE ) =
AF =(AB ) 且(CB ) =(CE ) 。则(EF ) =(AB ) sin ε=D cos αε(10) sin
ε=ε, 则式(10) 可进一步简化为由于ε角很小, 故可认为sin
(EF ) =(AB ) sin ε=εα(11) D cos 由于ε=θ/2, 故式(11) 又可简化为(EF ) =D cos α(θ(12) /2) AOF 中
θ=AF/R ′α(13) ≈(AB ) /R ′=D cos /R ′
将式(13) 代入式(12) 即得传统的地球曲率改正公式, 即
α) (14) V h ′=(EF ) =D cos /(2R ′
于是, α) 2/(2R ′) ==D +D cos
R ′) (16) D +(D [式(7) ]高差h 与传统公式高差h ′的计算差异见表2, 传统公式的计算误差Δh =h ′-h 。表2 D =10km 、R ′=6373km 时, h 与h ′随α的变化T able 2 h and h ′vary in αwhen D =10km and R ′=6373km
α) /(°
[***********]
Vh/m
h/m
h ′/m
图1 测量中地球曲率改正严密计算原理示意
Fig. 1 Accurate calculation principle sketch of the curvature 当然, 同(, 。从理论上讲, 本
θ角的大小参见表1。。
在三角形△AOC , 根据余弦定理, 有
(OC ) 2=(OA ) 2+(AC ) 2-2(OA ) (AC ) cos (90°) +α即
(5) [(OF ) +(FC ) ]2=(OA ) 2+(AC ) 2+2(OA ) (AC ) sin α
将式(1) 代入式(5) , 得
222
[(OF ) +(D sin α+V h ) ]=(OA ) +(AC ) +2(OA ) (AC ) sin α即
2
[R ′+(D sin α+V h ) ]2=R ′+D 2+2R ′D sin α, 整理得
2
) 1/2R ′+(D sin α+V h ) =(R ′+D 2+2R ′D sin α
故, 可得光电测距三角高程测量地球曲率改正的精密公式, 即
22
) 1/2-R ′(6) V h =(R ′+D +2R ′D sin α-D sin α
将式(6) 代入式(1) 可得光电测距三角高程测量高差计算的严密计算公式, 即
2
) 1/2-R ′(7) h =D sin α+[(R ′+D 2+2R ′D sin α-D sin α]表1 不同水平距离D ′、不同法截弧曲率半径R ′下的θ值
αvalue under varied horizontal distance D ′and varied T able 1
normal section radius of curvature R D ′
Δh/mm
[1**********]
[***********][***********][***********]9
[***********][***********][***********][***********]2464321475
[***********][***********][***********][***********]2964321480
3 普通三角高程测量地球曲率改正的严密计算
(或大地线长AF ) 已见图1, 普通三角高程测量AE 平距D ′知, 观测量是竖直角α。
在引言中已交代过α为不含大气折射角的竖直角, 若实际观测竖直角为α′, 大气折射角为α″, 则α=α′-α″。
见图1, 在直角三角形%ABC 中, (BC ) =(AB ) tg α=(D ′α+ΔD ) tg
三角形%AOE 和三角形%E BC 为相似的直角三角形, 故(E B ) /(AE ) =(BC ) /(OA ) , 即ΔαD/D ′=(D ′+ΔD ) tg /R ′, 经整理, 得Δ(D ′α=D ′+ΔDR ′D ) tg
2
Δα+D ′ΔD tg αDR ′=D ′tg
2
Δα) =D ′-D ′tg tg αD (R ′
2
) (17) 故有ΔD =D ′tg α/(R ′-D ′tg α
ΔD 的变化见表3。在直角三角形%AOE 中θ=arctg (D ′) (18) /R ′
/km 510203040
R M AX =6378137m R =6371000m
) (/′) /(′ ″ ″R min =6356752m
) /(′ ″
2 411705 2313910 4617916 1011821 33157
2 411885 2317610 4715116 1112721 35102
2 421245 2414810 4819616 1314421 37193
2 光电测距三角高程传统地球曲率改正公式的由来
传统光电测距三角高程测量地球曲率改正认为图1中的
EF 即为地球曲率改正V h [为了区别式(6) , 将其改为V ′h ], 其传统推导过程如下:
在直角三角形%BCE 中,
第3期姜晨光, 姜祖彬, 刘 华, 王晓明:测量中地球曲率改正的严密计算方法
θ=R ′) S =R ′arctg (D ′/R ′
・3・
(26)
弦切角ε=θ/2
AC 间高差h 即为CF , CF 等于CG, 故
(19) h =(CF ) =(CG ) =(CB ) +(BG )
在直角三角形%ABG 中, (BG ) =(AB ) tg ε=(D ′ε+ΔD ) tg 故式(19) 可变为
α+(D ′εh =(D ′+ΔD ) tg +ΔD ) tg
α+ΔD tg α+(D ′ε(20) =D ′tg +ΔD ) tg
从式(20) 中可见, 普通三角高程测量地球曲率严密改正数V h ″为
α+(D ′εV h ″=ΔD tg +ΔD ) tg α+(D ′(21) 即V h ″=ΔD tg +ΔD ) tg (θ/2)
故, 普通三角高程测量的严密计算公式为
(22) h =D ′tg α+V h ″表3 D ′=10km 、R ′=6371km 时, ΔD[式(17) ]随倾角α的变化
ΔD varies in obliquity angle αwhen D ′T able 3 =10km and R ′=6373km
α) /(°
01251015
将式(26) 用级数展开, 得
335577
) +D ′) -D ′) +S =R ′[D ′/R ′-D ′/(3R ′/(5R ′/(7R ′
……]
325476
) +D ′) -D ′(7R ′) +……(27) =D ′-D ′/(3R ′/(5R ′若令
32
) V 1=D ′/(3R ′
54
(5R ′) V 2=D ′
(28) (29) (30)
) V 3=D ′(7R ′
76
则, 式(27) 可变为
(31) S =D ′-V 1+V 2-V 3
由于V 2、V 3均很微小(见表5) , 故式(31) 可进一步简化为
32
) S =D ′-V 1=D ′-D ′/(3R ′
(32)
ΔD/m
[***********]76841208
α) /(°
2025303540
ΔD/m
[***********]003131188
2
(23) h =D ′tg α+D ′/(2[式(22) ], 将式(23) 改写为
2
) (24) h ′=D ′tg α+D ′/(2R ′
普通三角高程测量严密公式[式(22) ]与传统(近似) 计算公式[式(24) ]的计算差异见表4。表4中Δh 为传统(近似) 计算公式[式(24) ]的计算误差, Δh =h ′(25) -h 表4 D ′=10km 、R ′=6373km 时, h 与h ′随倾角α的变化T able 4 h and h ′vary in obliquity angle αwhen D ′=10km and R ′=
6373km
α) θ) ε) Δ/(°/(′ ″/(′ ″D/m
[***********]
[***********][***********][***********][***********][***********][***********]
0 [***********][***********]1068
h/m
h ′/m
将视高为H 的水平距离D ′转换为大地水准面(或参考椭球
面) 上大地线长(即弧MN ) S ′的传统计算公式为
(1-H/R ) (33) S ′=D ′
式(33) 中, R 为地球平均半径, R =6。
H D (或参考椭球面) S ′首先将D ′转换为H 26) 或(], 再将H 水准面上弧长S (或参考椭球面) 上大地线长S ′。从图1不, θ=S/(R +H ) , S ′=R θ=R S /(R +H ) , 若S 计算用式(32) , 则
32
) ]/(R +H ) (34) S ′=R[D ′-D ′/(3R ′
表5 R ′=6373km 时, S 与D ′的差异
T able 5 The variance between S and D ’when R ’=6373km
D ′/km
S/m
V 1/mm
V 2/mm
V 3/mm
[***********][1**********]0
[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********]
[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][1**********]
1121×10-103188×10-92195×10-81124×10-73179×10-79143×10-72104×10-63197×10-67116×10-61121×10-53188×10-42195×10-3
[***********][**************]12
2113×-182173×10-164166×10-153149×10-141166×10-135197×10-131176×10-124147×10-121102×10-112113×10-112173×10-94166×10-83149×10-71166×10-65197×10-61176×10-54147×10-51102×10-4010002
Δh/m
0 -01005-01020-01121-01490-11130-21084-31420-51242-71710-111073
[***********][***********][***********][***********]3184091915
[***********][***********][***********][***********]2183981842
[***********][***********]
普通三角高程测量已知水平距离(图1中AE ) 与已知法截
弧长(图1中弧AF , 其长度用S 表示) 的关系为:
(下转第25页)
第3期程放样的要求。
彭志良, 杨爱萍, 陈传胜:浅议高精度平面位置的放样・25・
3) 放样时, 棱镜及对中杆是处于运动状态的, 故当大致的点
3 结论
通过实施较高精度较长距离的放样实践, 笔者认为:
1) 应用全站仪实施放样过程中, 海平面改正及比例因子(格
位确定之后, 应使用固定架(三角架) 精确确定点位, 并严格检验对中杆附合气泡, 使对中杆严格铅垂。
4) 当放样过程中存在倾斜角时, 应保证棱镜反射面与观测
视线尽可能正交, 以减弱棱镜旋转角不正确引起放样点精度的损失。
本文承蒙南方冶金学院曾宪 教授指正, 谨此致谢!
网因子) 的设置严禁随意性, 必须以放样点(区域) 的实际情况为基准进行严格的设置, 尤其对于较高精度和较长距离的放样更应注意这一点。
2) 放样实施前, 应对仪器的2C 值进行严格的检核, 因为坐
[参 考 文 献]
[1] 南方测绘仪器公司1南方全站仪NTS 2350系列操作手册[Z]1广
标放样的实质为极坐标放样, 且实施中, 通常只是采用一个盘位进行。因此, 仪器的2C 对放样的精度影响甚大, 应引起高度重视。
州:南方测绘仪器公司,20021
[2] 尼康公司1尼康全站仪DT M 2500系列操作手册[Z]1上海:中翰仪
器公司,20021
(上接第3页)
4 地球曲率对水准测量读数的影响
见图1, 水准仪到标尺的距离AE 已知, EF (长度用η(D ′/]
[1, 1:,19911], 同济大学大地测量教研室1控制
(上册) [M]1北京:测绘出版社,19861
[3] 中国矿业学院测量教研室1激光测距仪[M]1北京:煤炭工业出版
在三角形△() γ=90°-2εβ=90°+ε
在三角形△AFE 中, 由正弦定理, 可得
(AE ) /sin β=(EF ) /sin ε) =ηε即D ′/sin (90°+ε/sin
社,19801
[4] 姜晨光1标尺倾斜对经纬仪三维视距测量的影响[J]1山东测绘,
1992, (2) :34～401
[5] 姜晨光1精密三角高程测量严密计算的理论研究与初步实验[J]1
四川测绘,1996, (3) :125～1281
[6] 姜晨光1全站仪平距与高差严密处理方法的研究[J]1城市勘测,
1997, (3) :25～291
ε=ηεD ′/cos /sin η=D ′ε=D ′故 tg tg (θ/2)
(35)
[7] 姜晨光, 王世周, 蔡伟, 等1电子全站仪的最新发展与研制趋向[J]
式(35) 即为地球曲率对水准测量读数影响的精密计算公式。
若将式(35) 进行近似处理(见本文第二部分) , 则得地球曲率对水准测量读数影响的近似计算公式。
η=D ′) /(2R ′
2
1测绘标准化,2003, (3) :31～351
作者简介:姜晨光(1964～) , 男, 湖南岳阳人, 教授,1984年
(36)
毕业于中南大学, 曾获第四届山东省青年科技奖(1996年) 、首届烟台市青年科技奖(1995年) 、山东省建筑业科技进步二等奖(首位,1999年) ,2003年被国家科技部遴选为中国科技期刊评审专家, 主持完成省级科研课题3项, 参编国家教材2部, 在国内外学术刊物上发表论文百余篇。目前主要从事测绘工程、土木工程、工程勘测领域的研究与教学工作。
5 结束语
综上所述, 地球曲率对测量成果的影响是不容忽视的, 选用准确度高的地球曲率改正公式对现代测量意义很大, 建议大家在涉及地球曲率改正问题时采用本文给出的精密公式。
限于笔者水平, 文中谬误与欠妥之处敬请大家在应用过程中多多予以指正。