高二圆锥曲线练习题

2011---2012学年度第一学期高二年级第二次调研考试

数学试卷

说明：

1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上, 卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上. 3． Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题共60分)

一、选择题. （共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 平面内有两个定点F 1(－5，0) 和F 2(5，0) ，动点P 满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P 的轨迹方程是（）

x 2x 2y 2y 2 （A ）－＝1 (x ≤－4) （B ）－＝1(x ≤－3)

916169x 2x 2y 2y 2

（C ）－＝1 (x >≥4) （D ）－＝1 (x ≥3)

916169

2. 圆x ＋y ＝2的经过点P (2,2－2) 的切线方程是（）

（A ）x ＋y ＝2 （B ）x ＋y ＝2 （C ）x ＝2或x ＋y ＝2 （D ）x=2或x ＋y ＝2 3. 已知圆(x－2) +(y+1)=16的一条直径通过直线x －2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为：

（）

（A ）2x+y－5=0 （B ）x －2y=0 （C ）2x+y－3=0 （D ）x －2y+4=0 4. 已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（）

x 2x 2x 2x 2y 2y 2y 2y 2

（A ）＋＝1 （B ）＋＝1 （C ）＋＝1 （D ）＋＝1

3952552539

5. 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）（A ）

123 （B ）（C ）（D ） 2223

6. 椭圆mx +y =1的离心率是

，则它的长半轴的长是（） 2

（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）

或1 2

x 2y 2

7. P(x, y) 是椭圆＋=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD

169

的中点，则M 的轨迹方程是（）

x 2x 2x 24y 2x 2y 2y 2y 2

（A ）＋=1 （B ）＋=1 （C ）＋=1 （D ）＋=1

[1**********]6

x 2y 2

8. 设双曲线2-2=1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l 过(a , 0)、(0, b ) 两点，已知原点

a b c , 则双曲线的离心率是（） 4

（A ）2 （B ）（C ）2 （D ）

到直线l 的距离是

9. 曲线y ＝1＋4-x 2与直线y ＝k(x－2) ＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是（）（A ）(

553513

, ＋∞) （B ） (, ] （C ）(0，) （D ）(, ) 121241234

x 2y 2

10. 给出方程2-2=c (a , b , c ∈R ) 和三个结论：①方程的曲线是双曲线；②方程的

a b

曲线是椭圆或圆；③方程无轨迹．下面的说法一定正确的是（）（A ）只有①正确（B ）只有②正确（C ）③不正确（D ）①②③都有正确的可能

y 2

+11. 直线y ＝x ＋3与曲线-=1的交点的个数是（） 44

（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个

x x

x 2y 2y 22

=1有公共的焦点，C 2的12. 已知椭圆C 1:2+2=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2:x -

a b 4

一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A , B 两点. 若C 1恰好将线段AB 三等分，则 ( ) （A ）a =

131222

（B ）a =13 （C ）b = (D ) b =2 22

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）

13. 双曲线x 2

36－y 249

＝1的渐近线方程是 ______。

14. 已知方程x 2

y 23+k +2-k

=1表示双曲线，则k 的取值范围是。

15. 与两条平行直线x ＋3y －5=0, x＋3y －3=0相切，且圆心在直线2x ＋y ＋3=0上的圆的标准方程是。

16. 已知椭圆x 2

+y 2=1的两焦点为F 1, F 2, 上顶点为B ，那么△F 1B F2的外接圆方程为。

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

x 2y 2

17、（本小题满分10分）在椭圆40

＋10=1内有一点M(4, －1), 使过点M 的弦AB 的

中点正好为点M ，求弦AB 所在的直线的方程。

18、（本小题满分10分）椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为

19、（本小题满分12分）已知经过点A （0，1）和点B （4，a ），且与x 轴相切的圆只有一个，求此时a 的值及相应的圆的方程。

，求此椭圆的方程。 3

x 2y 23

20、（本小题满分12分）设椭圆C: 2+2=1(a >b >0)过点（0，4），离心率为，

5a b

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

21、（本小题满分12分）

已知点M(－2,0),N(2,0),动点P 满足条件|PM|－|PN|=22. 记动点P 的轨迹为W. (Ⅰ) 求W 的方程;

的直线被C 所截线段的中点坐标. 5

(Ⅱ) 若A,B 是W 上的不同两点, O 是坐标原点, 求OA ∙OB 的最小值.

22、（本小题满分14分）如图，已知椭圆

x 2y 2，以该椭+=1(a ＞b ＞

0) a 2b 2圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1, F

2为顶点的三角形的周长为1) 。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明k 1·k 2=1；

参考答案

1D ；2C ；3C ；4B ；5B ；6B ；7C;8A;9B;10C;11A;12;C

y x

±＝0 14. k 2 [1**********]

15.(x ＋) ＋(y －) =； 16.x＋y =1

5510

13 .

17. 答案：x －y －5=0

x 2y 2

提示：设直线的斜率为k ，则y ＋1=k(x－4), 与椭圆＋=1联立，

1040

32k 2+8k

消去y 得(1＋4k ) x －(32k ＋8k ) －40＝0，∴ x 1＋x 2==8, 解得k=1, 2

1+4k

∴AB 的方程是x －y －5=0

18.4x ＋5y =24；提示：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, ∴4c =(a＋c)(a－c), 解得a =5c, ∴b =4c, 将4 x＋5y =m与2x －y －4=0联立，代入消去y 得24x －80x ＋80－m=0, 由弦长公式l =+k 2|x1－x 2|得

43m -40

=5×, 解得318

m=24,∴椭圆的方程是4x ＋5y =24

5225

) =, 241722892

a=0时，圆的方程是(x－4) ＋(y－) =

19.a=1时，圆的方程是(x－2) ＋(y－

提示：设圆心坐标是(m, n) ，半径为|n|, 则圆的方程为(x―m) ＋(y―n) =n, 将A 、B 坐标代入，消去n 得 (1－a)m －8m ＋(a－a ＋16)=0, 当a=1时, m 有唯一解，m=2, n=方程为(x－2) ＋(y－

222

, 圆的2

522522) =，当a ≠1时, △=0解得a(a－2a ＋17)=a[(a－1) ＋16]=0,[1**********]

解得a=0,m=4, n=, 此时圆的方程为(x－4) ＋(y－) =

422

16c 3a 2-b 29

=20. 解：（Ⅰ）将（0，4）代入C 的方程得2=1 ∴b=4又e == 得

a 5b a 225

169x 2y 2

+=1 即1-2=， ∴a =5 ∴C 的方程为

a 252516

（ Ⅱ）过点(3,0)且斜率为

的直线方程为y =(x -3)， 55

设直线与Ｃ的交点为Ａ(x 1, y 1)，Ｂ(x 2, y 2)，将直线方程y =

(x -3)代入Ｃ的方程， 5

x +x 3x 2(x -3)得+=1，即x 2-3x -8=0， ∴ AB的中点坐标x =12=， 222525

y =

y 1+y 226⎛36⎫

=(x 1+x 2-6)=-，即中点为 , -⎪。 255⎝25⎭

21. （Ⅰ）由|PM|－

|PN|= P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支，实半轴

长a =

c=2

，故虚半轴长b x 2y 2

1, x ≥ 所以 W 的方程为

（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1) , (x 2, y 2)

当 AB ⊥x 轴时, x 1=x 2, 从而y 1=-y 2, 从而OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 12-y 12=2.

当AB 与x 轴不垂直时, 设直线AB 的方程为y =kx +m , 与W 的方程联立, 消去y 得

(1-k 2) x 2-2kmx -m 2-2=0.

2km m 2+2

, x 1x 2=2, 故x 1+x 2=

1-k 2k -1

所以 OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2

=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m ) =(1+k ) x 1x 2+km (x 1+x 2) +m

(1+k 2)(m 2+2) 2k 2m 22

++m = 22

k -11-k 42k 2+2

=2+2 =2.

k -1k -1

又因为x x >0, 所以k -1>0, 从而OA ⋅OB >2.

综上, 当A B ⊥x 轴时, OA ⋅OB 取得最小值2.

x 2y 2x 2y 2

+=1 双曲线方程：-=1 22. 椭圆方程： 8444

2011---2012学年度第一学期高二年级第二次调研考试

数学试卷

说明：

1．考试时间120分钟，满分150分。

卷Ⅰ(选择题共60分)

x 2x 2y 2y 2 （A ）－＝1 (x ≤－4) （B ）－＝1(x ≤－3)

916169x 2x 2y 2y 2

（C ）－＝1 (x >≥4) （D ）－＝1 (x ≥3)

916169

2. 圆x ＋y ＝2的经过点P (2,2－2) 的切线方程是（）

（）

（A ）2x+y－5=0 （B ）x －2y=0 （C ）2x+y－3=0 （D ）x －2y+4=0 4. 已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（）

x 2x 2x 2x 2y 2y 2y 2y 2

（A ）＋＝1 （B ）＋＝1 （C ）＋＝1 （D ）＋＝1

3952552539

5. 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）（A ）

123 （B ）（C ）（D ） 2223

6. 椭圆mx +y =1的离心率是

，则它的长半轴的长是（） 2

（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）

或1 2

x 2y 2

7. P(x, y) 是椭圆＋=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD

169

的中点，则M 的轨迹方程是（）

x 2x 2x 24y 2x 2y 2y 2y 2

（A ）＋=1 （B ）＋=1 （C ）＋=1 （D ）＋=1

[1**********]6

x 2y 2

8. 设双曲线2-2=1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l 过(a , 0)、(0, b ) 两点，已知原点

a b c , 则双曲线的离心率是（） 4

（A ）2 （B ）（C ）2 （D ）

到直线l 的距离是

9. 曲线y ＝1＋4-x 2与直线y ＝k(x－2) ＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是（）（A ）(

553513

, ＋∞) （B ） (, ] （C ）(0，) （D ）(, ) 121241234

x 2y 2

10. 给出方程2-2=c (a , b , c ∈R ) 和三个结论：①方程的曲线是双曲线；②方程的

a b

曲线是椭圆或圆；③方程无轨迹．下面的说法一定正确的是（）（A ）只有①正确（B ）只有②正确（C ）③不正确（D ）①②③都有正确的可能

y 2

+11. 直线y ＝x ＋3与曲线-=1的交点的个数是（） 44

（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个

x x

x 2y 2y 22

=1有公共的焦点，C 2的12. 已知椭圆C 1:2+2=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2:x -

a b 4

一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A , B 两点. 若C 1恰好将线段AB 三等分，则 ( ) （A ）a =

131222

（B ）a =13 （C ）b = (D ) b =2 22

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）

13. 双曲线x 2

36－y 249

＝1的渐近线方程是 ______。

14. 已知方程x 2

y 23+k +2-k

=1表示双曲线，则k 的取值范围是。

15. 与两条平行直线x ＋3y －5=0, x＋3y －3=0相切，且圆心在直线2x ＋y ＋3=0上的圆的标准方程是。

16. 已知椭圆x 2

+y 2=1的两焦点为F 1, F 2, 上顶点为B ，那么△F 1B F2的外接圆方程为。

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

x 2y 2

17、（本小题满分10分）在椭圆40

＋10=1内有一点M(4, －1), 使过点M 的弦AB 的

中点正好为点M ，求弦AB 所在的直线的方程。

19、（本小题满分12分）已知经过点A （0，1）和点B （4，a ），且与x 轴相切的圆只有一个，求此时a 的值及相应的圆的方程。

，求此椭圆的方程。 3

x 2y 23

20、（本小题满分12分）设椭圆C: 2+2=1(a >b >0)过点（0，4），离心率为，

5a b

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

21、（本小题满分12分）

已知点M(－2,0),N(2,0),动点P 满足条件|PM|－|PN|=22. 记动点P 的轨迹为W. (Ⅰ) 求W 的方程;

的直线被C 所截线段的中点坐标. 5

(Ⅱ) 若A,B 是W 上的不同两点, O 是坐标原点, 求OA ∙OB 的最小值.

22、（本小题满分14分）如图，已知椭圆

x 2y 2，以该椭+=1(a ＞b ＞

0) a 2b 2圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1, F

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明k 1·k 2=1；

参考答案

1D ；2C ；3C ；4B ；5B ；6B ；7C;8A;9B;10C;11A;12;C

y x

±＝0 14. k 2 [1**********]

15.(x ＋) ＋(y －) =； 16.x＋y =1

5510

13 .

17. 答案：x －y －5=0

x 2y 2

提示：设直线的斜率为k ，则y ＋1=k(x－4), 与椭圆＋=1联立，

1040

32k 2+8k

消去y 得(1＋4k ) x －(32k ＋8k ) －40＝0，∴ x 1＋x 2==8, 解得k=1, 2

1+4k

∴AB 的方程是x －y －5=0

43m -40

=5×, 解得318

m=24,∴椭圆的方程是4x ＋5y =24

5225

) =, 241722892

a=0时，圆的方程是(x－4) ＋(y－) =

19.a=1时，圆的方程是(x－2) ＋(y－

222

, 圆的2

522522) =，当a ≠1时, △=0解得a(a－2a ＋17)=a[(a－1) ＋16]=0,[1**********]

解得a=0,m=4, n=, 此时圆的方程为(x－4) ＋(y－) =

422

16c 3a 2-b 29

=20. 解：（Ⅰ）将（0，4）代入C 的方程得2=1 ∴b=4又e == 得

a 5b a 225

169x 2y 2

+=1 即1-2=， ∴a =5 ∴C 的方程为

a 252516

（ Ⅱ）过点(3,0)且斜率为

的直线方程为y =(x -3)， 55

设直线与Ｃ的交点为Ａ(x 1, y 1)，Ｂ(x 2, y 2)，将直线方程y =

(x -3)代入Ｃ的方程， 5

x +x 3x 2(x -3)得+=1，即x 2-3x -8=0， ∴ AB的中点坐标x =12=， 222525

y =

y 1+y 226⎛36⎫

=(x 1+x 2-6)=-，即中点为 , -⎪。 255⎝25⎭

21. （Ⅰ）由|PM|－

|PN|= P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支，实半轴

长a =

c=2

，故虚半轴长b x 2y 2

1, x ≥ 所以 W 的方程为

（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1) , (x 2, y 2)

当 AB ⊥x 轴时, x 1=x 2, 从而y 1=-y 2, 从而OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 12-y 12=2.

当AB 与x 轴不垂直时, 设直线AB 的方程为y =kx +m , 与W 的方程联立, 消去y 得

(1-k 2) x 2-2kmx -m 2-2=0.

2km m 2+2

, x 1x 2=2, 故x 1+x 2=

1-k 2k -1

所以 OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2

=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m ) =(1+k ) x 1x 2+km (x 1+x 2) +m

(1+k 2)(m 2+2) 2k 2m 22

++m = 22

k -11-k 42k 2+2

=2+2 =2.

k -1k -1

又因为x x >0, 所以k -1>0, 从而OA ⋅OB >2.

综上, 当A B ⊥x 轴时, OA ⋅OB 取得最小值2.

x 2y 2x 2y 2

+=1 双曲线方程：-=1 22. 椭圆方程： 8444

高二圆锥曲线练习题

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