高二数学圆锥曲线基础练习题（一）
一、选择题：
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为
（ ）
A．(0,1) B．(1,0) C． (0,2) D．(2,0)
2．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m= （ ）
A．-
1
B．-4 4
C．4 D．
1 4
（ ）
x2y2
-=1的一个焦点到渐近线距离为 3．双曲线
916
A．6
B．5
C．4
D．3
x22
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则
3
△ABC的周长是
（ ）
A．3 B．6 C．3 D．12
（ ）
x2y2
+=1，长轴在y轴上. 若焦距为4，则m等于 10-mm-2
A．4 B．5 C．7 D．8
5．已知椭圆
x2y2
=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0. 设 6．已知P是双曲线2-
a9
F1、F2分别为双曲线的左、右焦点. 若PF2=3，则PF1= （ ） A． 5
2
B．4 C．3 D．2
7．将抛物线y=(x-2)+1按向量a平移，使顶点与原点重合，则向量a的坐标是（ ）
A．(-2,-1) B．(2,1) C．(2,-1) D．(-2,1)
8．已知双曲线的两个焦点为F1(-5,0)，F2(,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2， |PF1|⋅|PF2|=2，
则该双曲线的方程是
（ ）
x2y2
-=1 A．23x2y2x2
-y2=1 -=1 C．B．
432y2
=1 D．x-4
2
9(x,2y)9．设A(x1,y1),B(4,)C5
2
x2y2
+=1上三个不同的点，则“AF,BF,CF成等差数是右焦点为F的椭圆
259
列”是“x1+x2=8”的 （ ）
A．充要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
x2y2
-=1的左右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且PF2=F1F2，则∆PF1F2的面10．已知双曲线C:
11．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，
点P的坐标为
A．（
（ ） D．（1，-2）
11
，-1） B．（，1） C．（1，2） 44
x2y2
12．设P是双曲线2-2=1(a>0,b>0)上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以线段PF2为直径
ab
的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是 A．内切 B．外切 C．内切或外切
二、填空题：
13．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A(0,-1)的距离与P到直线x=-1的距离和的最小值是；
（ ） D．不相切
x2
+y2=1在第一象限内的点，A（2，0）14．已知P是椭圆，B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大4
值_________；
15．已知抛物线y=ax-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积
为 ；
16．若直线mx+ny-3=0与圆x+y=3没有公共点，则m,n满足的关系式为_______；以(m,n)为点P的坐标，
2
2
2
x2y2
+=1的公共点有____个。 过点P的一条直线与椭圆73
三、解答题：
17．已知椭圆的一个顶点为A(0,-1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+22=0的距离为3. （I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线l：y=x+m，是否存在实数m，使直线l椭圆有两个不同的交点M、N，且AM=AN，若存
在，求出 m的值；若不存在，请说明理由.
x2y23
18．如图，椭圆2+＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.
2ab
（I）求椭圆方程；
（II）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
求证：|AT|＝|AF1||AF2|.
2
12
19．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程； （Ⅱ）当∠ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值．
20．已知△OFQ
的面积为OF⋅FQ=m.
（I
≤m≤∠OFQ正切值的取值范围； （II）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），
2
|OF|=c,m=-1)c，当 |OQ| 取得最小值时，
求此双曲线的方程。
21．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测
点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
22．已知抛物线C：y=2x，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使⋅=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
2
参考答案
一、选择题 1．B.
21x2．A.双曲线mx+y=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m
44
22
3．C.
4．C. 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得∆ABC的周长为
4a=22222
4,即 m=8．5．D．由题意，得 2c=4，c=2．a=m-2,b=10-m，代入a=b+c，有m-2=10-m+
6．A. 由课本知识，得知双曲线的渐近线方程为3x-ay=0，或者3x+ay=0．与已知的渐近线方程3x-y=0对
应，立得正数a=1．显然，由双曲线定义有PF1-PF2=2a，所以PF1=5． 7．A. 将抛物线方程配方，得(x-2)=y-1．画图，知道a=(-2,-1)． 8．C
．显然双曲线的特征量c=PF1+PF21⊥PF2得，PF
2
2
2
2
2
2
2
2
=4c2．对于关系PF1-PF2=2a，两边
x2
-y2=1． 平方，得4c-4=4a，即a=c-1=4，于是b=1．从而双曲线的方程是4
x2y2
-=1中,a=3,b=4,c=5, 10．C.∵双曲线C:
916
∴F1(-5,0),F2(5,0) ∵PF2=F1F2,
∴PF1=2a+PF2=6+10=16. 作PF1边上的高AF2，则AF1=8.
∴AF2==6
∴∆PF1F2的面积为
11
PF1⋅PF2=⨯16⨯6=48. 22
11．A.将点Ｐ到抛物线焦点距离转化为点Ｐ到准线距离，容易求得当PQ∥x轴时，P到点Q （2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小，令y=-1，得x=为（
1
，故点Ｐ 4
1
，-1），选Ａ. 4
12．C. 利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，两圆相内切、外切. 二、填空题
13．2 ．由于y2=4x的准线是x=-1，所以点p到x=-1的距离等于P到焦点F的距离，故点P到点A(0,-1)
的距离与P到x=-1的距离之和的最小值是=2. 14．2
15．2. 由抛物线y=ax2-1的焦点坐标为(0,
111
-1)为坐标原点得，a=，则y=x2-1 与坐标轴的交点为4a44
1
(0,-1),(-2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为⨯4⨯1=2.
2
3223,解得0
16．0
m2n2m2n2
∴
x22
17．（I）依题意，设椭圆的方程为2+y=1,设右焦点为（c,0）,则
a
c+22
2
=3 -----------4分
∴c=2 a2=b2+c2=3----------------------6分
⎧y=x+m,⎪22
（II）设M（x1,y1）,N(x2,y2), 由 ⎨x2 得4x+6mx+3m-3=0. 2
⎪+y=1,⎩3
当判别式△>0 时，
3m3(m2-1)
∴x1+x2=-,x1⋅x2=
24∴y1+y2=
m
---------------9分 2
2
2
AM=AN ∴x1+(y1+1)2=x2+(y2+1)2 ∴-
3mm
=-(+2), 22
故 m=2，但此时判别式∆=0,
∴满足条件的m不存在. ------------------12分 18．解：（Ⅰ）过 A、B的直线方程为
x
+y=1. 2
⎧x2+y2
=1⎪⎪a2+b2
由题意得⎨有惟一解.
⎪y=-1x+1⎪⎩2
即 (b+
2
122
a)x-a2x+a2b2=0有惟一解, 4
2
2
2
2
所以 ∆=ab(a+4b-4)=0( ------------------3分 ab≠ 0 ),故a+4b-4=0.
2
2
a2-b23= ， 所以a2=4b2 因为
c=即2
a42
从而, 得 a=2,b=
2
2
1
, 2
x2
+2y2=1. ------------------6分
故所求的椭圆方程为2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=
, 所以
F1(F2. ⎧x2+y2
=1⎪⎪a2+b2
由 ⎨ 解得 x1=x2=1,, ------------------9分
⎪y=-1x+1⎪⎩2
1
2
5
19．解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD． 于是可设直线AC的方程为y=-x+n．
⎧x2+3y2=4，22
由⎨得4x-6nx+3n-4=0．------------------2分 ⎩y=-x+n
因为A，C在椭圆上，
所以∆=-12n+64>
0，解得-
2
．
33
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
3n3n2-4
x1+x2=，x1x2=，y1=-x1+n，y2=-x2+n．
24
所以 y1+y2=
n
． ------------------4分 2
所以AC的中点坐标为
⎛3nn⎫
⎪． ⎝44⎭
⎛3nn⎫
⎪在直线y=x+1上， 44⎭⎝
由四边形ABCD为菱形可知，点 所以
n3n
=+1，解得n=-2． 44
所以直线AC的方程为y=-x-2，即x+y+2=0． -----------------7分 （Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60，所以AB=BC=CA．
所以菱形ABCD
的面积S=
2
． ------------------9分 2
2
-3n2+16
由（Ⅰ）可得AC=(x1-x2)+(y1-y2)=，
2
2
⎛⎫2
(-3n+16) 所以S= -3
所以当n=0时，菱形ABCD
的面积取得最大值------------------12分 20．解：（I）设∠OFQ=θ, 则
⎧|OF|⋅|FQ|cos(π-θ)=m
⎪
≤m≤,
∴-4≤tanθ≤-1. ------------------5分
x2y2
a>0,b>0),Q(x1,y1), 则FQ=(x1-c,y1)
（II）设所求的双曲线方程为2-2=1(ab
∴S∆OFQ
∴y1= 1 =|OF|⋅|y1|=
2 又∵OF⋅FQ=m，
∴OF⋅FQ=(c,0)⋅(x1-c,y1)=(x1-c)⋅c=-1 )c2. -----------------9分
∴x1=, ∴|OQ|== 4 当且仅当c=4时，|OQ|最小，此时Q
的坐标是
或
⎧66⎧a2=4⎪2-2=1⎪ ， ∴⎨ab ⇒⎨2⎪⎩b=12⎪a2+b2=16⎩
x2y2
-=1. ------------------12分 所求方程为412
21．解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、
北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020). -----------3分
设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,
故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=－x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故
|PB|－|PA|=340×4=1360. ------------------6分
x2y2
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线2-2=1上, ab
依题意得a=680,c=1020,
∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,
xy -----------9分 6805×340用y=－x代入上式,得x=±6805,
∵|PB|>|PA|, 22∴x5,y=6805,
即5),
故10.
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心68010 m处. ------------------12分
22． 解：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x22)，
把y=kx+2代入 y=2x2得2x-kx-2=0， ---------------2分 由韦达定理得x1+x2=2k，x1x2=-1， 2
x+xk∴xN=xM=12=， 24
⎛kk2
∴N点的坐标为 ⎝48⎫⎪．
⎭
k2k⎫⎛设抛物线在点N处的切线l的方程为y-=m x-⎪， 84⎭⎝
mkk2
-=0，------------------5分 将y=2x代入上式得2x-mx+4822
直线l与抛物线C相切，
⎛mkk2⎫∴∆=m-8 -⎪=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，∴m=k． 8⎭⎝42
即l∥AB． ------------------7分
（Ⅱ）假设存在实数k，使NA NB=0，则NA⊥NB.
又 M是AB的中点，
1|AB|． ------------------9分 2
111由（Ⅰ）知yM=(y1+y2)=(kx1+2+kx2+2)=[k(x1+x2)+4] 222∴|MN|=
⎫k21⎛k2
= +4⎪=+2． 2⎝2⎭4
MN⊥x轴，
k2k2k2+16∴|MN|=|yM-yN|=+2-=． ------------------12分 488
又|AB|=+k2⋅|x1-x2|=+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2
k12=+k2⋅()2-4⨯(-1)=k+1⋅k2+16.22
k2+1612∴=k+1⋅k2+16,解得k=±2.84
即存在k=±2，使⋅=0. ------------------14分
高二数学圆锥曲线基础练习题（一）
一、选择题：
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为
（ ）
A．(0,1) B．(1,0) C． (0,2) D．(2,0)
2．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m= （ ）
A．-
1
B．-4 4
C．4 D．
1 4
（ ）
x2y2
-=1的一个焦点到渐近线距离为 3．双曲线
916
A．6
B．5
C．4
D．3
x22
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则
3
△ABC的周长是
（ ）
A．3 B．6 C．3 D．12
（ ）
x2y2
+=1，长轴在y轴上. 若焦距为4，则m等于 10-mm-2
A．4 B．5 C．7 D．8
5．已知椭圆
x2y2
=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0. 设 6．已知P是双曲线2-
a9
F1、F2分别为双曲线的左、右焦点. 若PF2=3，则PF1= （ ） A． 5
2
B．4 C．3 D．2
7．将抛物线y=(x-2)+1按向量a平移，使顶点与原点重合，则向量a的坐标是（ ）
A．(-2,-1) B．(2,1) C．(2,-1) D．(-2,1)
8．已知双曲线的两个焦点为F1(-5,0)，F2(,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2， |PF1|⋅|PF2|=2，
则该双曲线的方程是
（ ）
x2y2
-=1 A．23x2y2x2
-y2=1 -=1 C．B．
432y2
=1 D．x-4
2
9(x,2y)9．设A(x1,y1),B(4,)C5
2
x2y2
+=1上三个不同的点，则“AF,BF,CF成等差数是右焦点为F的椭圆
259
列”是“x1+x2=8”的 （ ）
A．充要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
x2y2
-=1的左右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且PF2=F1F2，则∆PF1F2的面10．已知双曲线C:
11．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，
点P的坐标为
A．（
（ ） D．（1，-2）
11
，-1） B．（，1） C．（1，2） 44
x2y2
12．设P是双曲线2-2=1(a>0,b>0)上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以线段PF2为直径
ab
的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是 A．内切 B．外切 C．内切或外切
二、填空题：
13．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A(0,-1)的距离与P到直线x=-1的距离和的最小值是；
（ ） D．不相切
x2
+y2=1在第一象限内的点，A（2，0）14．已知P是椭圆，B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大4
值_________；
15．已知抛物线y=ax-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积
为 ；
16．若直线mx+ny-3=0与圆x+y=3没有公共点，则m,n满足的关系式为_______；以(m,n)为点P的坐标，
2
2
2
x2y2
+=1的公共点有____个。 过点P的一条直线与椭圆73
三、解答题：
17．已知椭圆的一个顶点为A(0,-1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+22=0的距离为3. （I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线l：y=x+m，是否存在实数m，使直线l椭圆有两个不同的交点M、N，且AM=AN，若存
在，求出 m的值；若不存在，请说明理由.
x2y23
18．如图，椭圆2+＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.
2ab
（I）求椭圆方程；
（II）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
求证：|AT|＝|AF1||AF2|.
2
12
19．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程； （Ⅱ）当∠ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值．
20．已知△OFQ
的面积为OF⋅FQ=m.
（I
≤m≤∠OFQ正切值的取值范围； （II）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），
2
|OF|=c,m=-1)c，当 |OQ| 取得最小值时，
求此双曲线的方程。
21．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测
点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
22．已知抛物线C：y=2x，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使⋅=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
2
参考答案
一、选择题 1．B.
21x2．A.双曲线mx+y=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m
44
22
3．C.
4．C. 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得∆ABC的周长为
4a=22222
4,即 m=8．5．D．由题意，得 2c=4，c=2．a=m-2,b=10-m，代入a=b+c，有m-2=10-m+
6．A. 由课本知识，得知双曲线的渐近线方程为3x-ay=0，或者3x+ay=0．与已知的渐近线方程3x-y=0对
应，立得正数a=1．显然，由双曲线定义有PF1-PF2=2a，所以PF1=5． 7．A. 将抛物线方程配方，得(x-2)=y-1．画图，知道a=(-2,-1)． 8．C
．显然双曲线的特征量c=PF1+PF21⊥PF2得，PF
2
2
2
2
2
2
2
2
=4c2．对于关系PF1-PF2=2a，两边
x2
-y2=1． 平方，得4c-4=4a，即a=c-1=4，于是b=1．从而双曲线的方程是4
x2y2
-=1中,a=3,b=4,c=5, 10．C.∵双曲线C:
916
∴F1(-5,0),F2(5,0) ∵PF2=F1F2,
∴PF1=2a+PF2=6+10=16. 作PF1边上的高AF2，则AF1=8.
∴AF2==6
∴∆PF1F2的面积为
11
PF1⋅PF2=⨯16⨯6=48. 22
11．A.将点Ｐ到抛物线焦点距离转化为点Ｐ到准线距离，容易求得当PQ∥x轴时，P到点Q （2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小，令y=-1，得x=为（
1
，故点Ｐ 4
1
，-1），选Ａ. 4
12．C. 利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，两圆相内切、外切. 二、填空题
13．2 ．由于y2=4x的准线是x=-1，所以点p到x=-1的距离等于P到焦点F的距离，故点P到点A(0,-1)
的距离与P到x=-1的距离之和的最小值是=2. 14．2
15．2. 由抛物线y=ax2-1的焦点坐标为(0,
111
-1)为坐标原点得，a=，则y=x2-1 与坐标轴的交点为4a44
1
(0,-1),(-2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为⨯4⨯1=2.
2
3223,解得0
16．0
m2n2m2n2
∴
x22
17．（I）依题意，设椭圆的方程为2+y=1,设右焦点为（c,0）,则
a
c+22
2
=3 -----------4分
∴c=2 a2=b2+c2=3----------------------6分
⎧y=x+m,⎪22
（II）设M（x1,y1）,N(x2,y2), 由 ⎨x2 得4x+6mx+3m-3=0. 2
⎪+y=1,⎩3
当判别式△>0 时，
3m3(m2-1)
∴x1+x2=-,x1⋅x2=
24∴y1+y2=
m
---------------9分 2
2
2
AM=AN ∴x1+(y1+1)2=x2+(y2+1)2 ∴-
3mm
=-(+2), 22
故 m=2，但此时判别式∆=0,
∴满足条件的m不存在. ------------------12分 18．解：（Ⅰ）过 A、B的直线方程为
x
+y=1. 2
⎧x2+y2
=1⎪⎪a2+b2
由题意得⎨有惟一解.
⎪y=-1x+1⎪⎩2
即 (b+
2
122
a)x-a2x+a2b2=0有惟一解, 4
2
2
2
2
所以 ∆=ab(a+4b-4)=0( ------------------3分 ab≠ 0 ),故a+4b-4=0.
2
2
a2-b23= ， 所以a2=4b2 因为
c=即2
a42
从而, 得 a=2,b=
2
2
1
, 2
x2
+2y2=1. ------------------6分
故所求的椭圆方程为2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=
, 所以
F1(F2. ⎧x2+y2
=1⎪⎪a2+b2
由 ⎨ 解得 x1=x2=1,, ------------------9分
⎪y=-1x+1⎪⎩2
1
2
5
19．解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD． 于是可设直线AC的方程为y=-x+n．
⎧x2+3y2=4，22
由⎨得4x-6nx+3n-4=0．------------------2分 ⎩y=-x+n
因为A，C在椭圆上，
所以∆=-12n+64>
0，解得-
2
．
33
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
3n3n2-4
x1+x2=，x1x2=，y1=-x1+n，y2=-x2+n．
24
所以 y1+y2=
n
． ------------------4分 2
所以AC的中点坐标为
⎛3nn⎫
⎪． ⎝44⎭
⎛3nn⎫
⎪在直线y=x+1上， 44⎭⎝
由四边形ABCD为菱形可知，点 所以
n3n
=+1，解得n=-2． 44
所以直线AC的方程为y=-x-2，即x+y+2=0． -----------------7分 （Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60，所以AB=BC=CA．
所以菱形ABCD
的面积S=
2
． ------------------9分 2
2
-3n2+16
由（Ⅰ）可得AC=(x1-x2)+(y1-y2)=，
2
2
⎛⎫2
(-3n+16) 所以S= -3
所以当n=0时，菱形ABCD
的面积取得最大值------------------12分 20．解：（I）设∠OFQ=θ, 则
⎧|OF|⋅|FQ|cos(π-θ)=m
⎪
≤m≤,
∴-4≤tanθ≤-1. ------------------5分
x2y2
a>0,b>0),Q(x1,y1), 则FQ=(x1-c,y1)
（II）设所求的双曲线方程为2-2=1(ab
∴S∆OFQ
∴y1= 1 =|OF|⋅|y1|=
2 又∵OF⋅FQ=m，
∴OF⋅FQ=(c,0)⋅(x1-c,y1)=(x1-c)⋅c=-1 )c2. -----------------9分
∴x1=, ∴|OQ|== 4 当且仅当c=4时，|OQ|最小，此时Q
的坐标是
或
⎧66⎧a2=4⎪2-2=1⎪ ， ∴⎨ab ⇒⎨2⎪⎩b=12⎪a2+b2=16⎩
x2y2
-=1. ------------------12分 所求方程为412
21．解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、
北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020). -----------3分
设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,
故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=－x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故
|PB|－|PA|=340×4=1360. ------------------6分
x2y2
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线2-2=1上, ab
依题意得a=680,c=1020,
∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,
xy -----------9分 6805×340用y=－x代入上式,得x=±6805,
∵|PB|>|PA|, 22∴x5,y=6805,
即5),
故10.
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心68010 m处. ------------------12分
22． 解：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x22)，
把y=kx+2代入 y=2x2得2x-kx-2=0， ---------------2分 由韦达定理得x1+x2=2k，x1x2=-1， 2
x+xk∴xN=xM=12=， 24
⎛kk2
∴N点的坐标为 ⎝48⎫⎪．
⎭
k2k⎫⎛设抛物线在点N处的切线l的方程为y-=m x-⎪， 84⎭⎝
mkk2
-=0，------------------5分 将y=2x代入上式得2x-mx+4822
直线l与抛物线C相切，
⎛mkk2⎫∴∆=m-8 -⎪=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，∴m=k． 8⎭⎝42
即l∥AB． ------------------7分
（Ⅱ）假设存在实数k，使NA NB=0，则NA⊥NB.
又 M是AB的中点，
1|AB|． ------------------9分 2
111由（Ⅰ）知yM=(y1+y2)=(kx1+2+kx2+2)=[k(x1+x2)+4] 222∴|MN|=
⎫k21⎛k2
= +4⎪=+2． 2⎝2⎭4
MN⊥x轴，
k2k2k2+16∴|MN|=|yM-yN|=+2-=． ------------------12分 488
又|AB|=+k2⋅|x1-x2|=+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2
k12=+k2⋅()2-4⨯(-1)=k+1⋅k2+16.22
k2+1612∴=k+1⋅k2+16,解得k=±2.84
即存在k=±2，使⋅=0. ------------------14分