第一章 有理数
一． 知识框架
二．正数与负数：(三个重要的定义)
1. 【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2. 【负数】：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。
3. 【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
三、知识概念
1. 有理数：
⏹ 有理数：整数与分数统称为有理数。
⏹ 整数包括三类：正整数、零、负整数。
⏹ 分数包括两类：正分数和负分数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：
⎧⎧⎧正整数⎧正整数正有理数⎪⎪⎨⎪整数0⎨⎩正分数⎪⎪⎪⎪⎪负整数(1) 有理数⎨ 有理数⎨0 ⎩⎪⎪负整数正分数⎧⎪分数⎨⎪负有理数⎧⎨⎪⎪负分数⎩负分数⎩⎩⎩
注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
注意：
①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；
③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
1
2. 数轴的画法：
①画一条水平的直线；
②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；
③确定向右为正方向，用箭头表示出来；
④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，„；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，„。如图1所示。
右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
3．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；
(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b 互为相反数.
4. 绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：
5. 非负数
若数a ≧0(a>=0)，则称a 为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
6. 有理数比大小：
（1）正数的绝对值越大，这个数越大；
（2）正数永远比0大，负数永远比0小；
2 ⎧a (a >0) (a ≥0) ⎪⎧a a =⎨0(a =0) 或a =⎨-a (a
（3）正数大于一切负数；
（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；
（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
7. 互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是1；若ab=1⇔ a、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a、b 互为负倒数. a
8. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数.
9．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；
（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
10．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.
11. 有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因 3
式的个数决定.
12． 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a（bc ）；
（3）乘法的分配律：a （b+c）=ab+ac .
13．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数； 注意：零不能做除数，即无意义.
14．有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-an 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n =(b-a)n .
15．乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
十二、有理数的运算顺序
◆ 先乘方、开方，后乘除，最后加减；
◆ 有括号时，先算括号里面的；
◆ 同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。
进行有理数的混合运算时，应注意：
一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；
4 a 0
二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。
16．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.
17. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
18. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.
相关概念：
有效数字：是指从该数字左边第一个非0的数字到该数字末尾的数字个数（有点绕口）。
举几个例子：3一共有1个有效数字，0.0003有一个有效数字，0.1500有4个有效数字，1.9*10^3有两个有效数字（不要被10^3迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了，10^n看作是一个单位）。
精确度：即数字末尾数字的单位。比如说：9800.8精确到十分位（又叫做小数点后面一位），80万精确到万位。9*10^5精确到10万位（总共就9一个数字，10^n看作是一个单位，就和多少万是一个概念）。
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第一章 有理数
一． 知识框架
二．正数与负数：(三个重要的定义)
1. 【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2. 【负数】：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。
3. 【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
三、知识概念
1. 有理数：
⏹ 有理数：整数与分数统称为有理数。
⏹ 整数包括三类：正整数、零、负整数。
⏹ 分数包括两类：正分数和负分数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：
⎧⎧⎧正整数⎧正整数正有理数⎪⎪⎨⎪整数0⎨⎩正分数⎪⎪⎪⎪⎪负整数(1) 有理数⎨ 有理数⎨0 ⎩⎪⎪负整数正分数⎧⎪分数⎨⎪负有理数⎧⎨⎪⎪负分数⎩负分数⎩⎩⎩
注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
注意：
①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；
③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
1
2. 数轴的画法：
①画一条水平的直线；
②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；
③确定向右为正方向，用箭头表示出来；
④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，„；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，„。如图1所示。
右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
3．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；
(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b 互为相反数.
4. 绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：
5. 非负数
若数a ≧0(a>=0)，则称a 为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
6. 有理数比大小：
（1）正数的绝对值越大，这个数越大；
（2）正数永远比0大，负数永远比0小；
2 ⎧a (a >0) (a ≥0) ⎪⎧a a =⎨0(a =0) 或a =⎨-a (a
（3）正数大于一切负数；
（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；
（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
7. 互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是1；若ab=1⇔ a、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a、b 互为负倒数. a
8. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数.
9．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；
（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
10．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.
11. 有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因 3
式的个数决定.
12． 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a（bc ）；
（3）乘法的分配律：a （b+c）=ab+ac .
13．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数； 注意：零不能做除数，即无意义.
14．有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-an 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n =(b-a)n .
15．乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
十二、有理数的运算顺序
◆ 先乘方、开方，后乘除，最后加减；
◆ 有括号时，先算括号里面的；
◆ 同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。
进行有理数的混合运算时，应注意：
一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；
4 a 0
二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。
16．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.
17. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
18. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.
相关概念：
有效数字：是指从该数字左边第一个非0的数字到该数字末尾的数字个数（有点绕口）。
举几个例子：3一共有1个有效数字，0.0003有一个有效数字，0.1500有4个有效数字，1.9*10^3有两个有效数字（不要被10^3迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了，10^n看作是一个单位）。
精确度：即数字末尾数字的单位。比如说：9800.8精确到十分位（又叫做小数点后面一位），80万精确到万位。9*10^5精确到10万位（总共就9一个数字，10^n看作是一个单位，就和多少万是一个概念）。
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