二维模型的推导
（1）二维模型的物料衡算式推导
如图2-1所示，在稳态条件下，任选一半径为r ，径向厚度为dr ，长dl 的微元环体，对微元环体中第i 个组分作物料衡算见表2-1。
图2-1 衡算微元环体 表2-1 第i 组分物料衡算
组分i 物料
项目表达式（mol/s）
轴向流入量
[u ⋅2πr ⋅dr ⋅C i ]l
∂C i ⎤⎡
2πr ⋅dl ⋅-D ⋅()er ⎢⎥∂r ⎦i ⎣
径向流入量
轴向流出量
[u ⋅2πr ⋅dr ⋅C i ]l+dl
∂C i ⎤⎡
2πr +dr ⋅dl ⋅-D ()(er )⎥ ⎢∂r ⎦r+dr⎣
径向流出量
反应生成带入量
⎛, ⎫2π⋅r ⋅dr ⋅dl ⋅ ∑νij γj ⎪
⎝j ⎭
式中：γj ，——反应进度，mol/（m 3·s ）；
νij ——第j 个微元体内i 组分在计量式中的计量系数； D er ——有效扩散系数，m 2/s； C i ——i 组分的摩尔浓度mol/m3；
r ——炉管径向任一点到管中心轴线的距离，m 。 稳态时的物料衡算式：带入量+反应生成量=带出量
[2πr ⋅u ⋅dr ⋅C i ]l+dl-[2πr ⋅u ⋅dr ⋅C i ]l =⎡⎢2πr ⋅dl ⋅(-D er )⋅
⎣∂C i ⎤∂r ⎥⎦r
⎛∂C i ⎤⎡' ⎫-⎢2π(r +dr )⋅dl ⋅(-D er )⋅+2πr ⋅dr ⋅dl ⋅ ∑v ij γj ⎪⎥∂r ⎣⎦r+dr⎝j ⎭
（2-1）
微分中值定律：
如果函数 f(x) 满足：1) 在闭区间[a,b]上连续； 2) 在开区间(a,b)内可导。 那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a
由微分中值定理得：
(C i )l+dl=(C i )l +⎛
∂C i ⎫
⎪⋅dl ⎝∂l ⎭r
（2-2）
2
⎛∂C i ⎫⎛∂C i ⎫⎛∂C i ⎫ ⎪= ⎪+ 2⎪⋅dr ⎝∂r ⎭r+dr⎝∂r ⎭r ⎝∂r ⎭r
（2-3）
将上两式代入物料衡算式中得：
⎛⎛1∂C i ∂2C i ⎫∂C i ' ⎫u ⋅2πr ⋅dr ⋅=2πr ⋅dr ⋅D er +2⎪+2πrdr ⋅ ∑νij γj ⎪（2-4）
∂l r ∂r ∂r ⎭⎝⎝j ⎭所以
⎡⎛1∂C i ∂2C i ∂N i 1
=⋅V ⎢D er ⋅ +∂l u ∂r 2⎝r ∂r ⎣
⎤⎫'
+νγ⎪∑ij j ⎥ j ⎭⎦
（2-5）
二维模型的推导
（1）二维模型的物料衡算式推导
如图2-1所示，在稳态条件下，任选一半径为r ，径向厚度为dr ，长dl 的微元环体，对微元环体中第i 个组分作物料衡算见表2-1。
图2-1 衡算微元环体 表2-1 第i 组分物料衡算
组分i 物料
项目表达式（mol/s）
轴向流入量
[u ⋅2πr ⋅dr ⋅C i ]l
∂C i ⎤⎡
2πr ⋅dl ⋅-D ⋅()er ⎢⎥∂r ⎦i ⎣
径向流入量
轴向流出量
[u ⋅2πr ⋅dr ⋅C i ]l+dl
∂C i ⎤⎡
2πr +dr ⋅dl ⋅-D ()(er )⎥ ⎢∂r ⎦r+dr⎣
径向流出量
反应生成带入量
⎛, ⎫2π⋅r ⋅dr ⋅dl ⋅ ∑νij γj ⎪
⎝j ⎭
式中：γj ，——反应进度，mol/（m 3·s ）；
νij ——第j 个微元体内i 组分在计量式中的计量系数； D er ——有效扩散系数，m 2/s； C i ——i 组分的摩尔浓度mol/m3；
r ——炉管径向任一点到管中心轴线的距离，m 。 稳态时的物料衡算式：带入量+反应生成量=带出量
[2πr ⋅u ⋅dr ⋅C i ]l+dl-[2πr ⋅u ⋅dr ⋅C i ]l =⎡⎢2πr ⋅dl ⋅(-D er )⋅
⎣∂C i ⎤∂r ⎥⎦r
⎛∂C i ⎤⎡' ⎫-⎢2π(r +dr )⋅dl ⋅(-D er )⋅+2πr ⋅dr ⋅dl ⋅ ∑v ij γj ⎪⎥∂r ⎣⎦r+dr⎝j ⎭
（2-1）
微分中值定律：
如果函数 f(x) 满足：1) 在闭区间[a,b]上连续； 2) 在开区间(a,b)内可导。 那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a
由微分中值定理得：
(C i )l+dl=(C i )l +⎛
∂C i ⎫
⎪⋅dl ⎝∂l ⎭r
（2-2）
2
⎛∂C i ⎫⎛∂C i ⎫⎛∂C i ⎫ ⎪= ⎪+ 2⎪⋅dr ⎝∂r ⎭r+dr⎝∂r ⎭r ⎝∂r ⎭r
（2-3）
将上两式代入物料衡算式中得：
⎛⎛1∂C i ∂2C i ⎫∂C i ' ⎫u ⋅2πr ⋅dr ⋅=2πr ⋅dr ⋅D er +2⎪+2πrdr ⋅ ∑νij γj ⎪（2-4）
∂l r ∂r ∂r ⎭⎝⎝j ⎭所以
⎡⎛1∂C i ∂2C i ∂N i 1
=⋅V ⎢D er ⋅ +∂l u ∂r 2⎝r ∂r ⎣
⎤⎫'
+νγ⎪∑ij j ⎥ j ⎭⎦
（2-5）