第１４卷
Ｖ０１．１４
第２期
Ｎｏ．２
重庆电力高等专科学校学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＣｏｌｌｅｇｅ
２００９年６月
Ｊｕｎ．２００９
输电线舞动的有限元分析及边界条件
陈仁全１．一，张占龙１，丁明亮２，王勇１，２
（１．重庆大学电气工程学院，重庆４０００３０；２．重庆电力高等专科学校，重庆４０００５３）
【摘要】以有限个梁单元模拟输电导线状态，采用最小位能原理推导出有限元方程，最后利用强制边界条件
给出单元位移和应力方程，并运用仿真系统进行模态和谐响应分析。其结果可为以后线路优化设计提供依据。
【关键词】舞动；有限单元法；风荷载；仿真【中图分类号］ＴＭ７２６．３
【文献标识码】Ａ
【文章编号１１００８—８０３２（２００９）０２．００１９—０４
１输电线模型的有限元格式
２节点的梁单元是有限元方法中较早提出，并
移＝［日（石）］｛ｂ｝
用节点位移来表示。
（２）
式中，参数｛口｝和｛ｂ｝是位移模式的待定常数，可以
０ｉ为与ｚ轴向的转角，则轴向节点位移、节点挠度为：
且至今仍广泛应用的单元，梁单元进行梁柱结构模拟仿真的应用极为广泛，很容易把一个二维域离散
成有限个梁单元，随着单元的增多，这种拟合趋于精确。
｛“｝＝［ｕｉ
Ⅱｆ］ｒ
（３）（４）
…＝［％０ｉ％仍］７
表示为：
１．１单元位移模式及形函数的构造
典型的２节点平面梁单元，编码为ｉ√的位移
分量如图１所示。
ｙ
将节点坐标带入式（１）和（２），节点坐标可以｛Ⅱ｝＝［Ａｉ］｛ａ｝
（５）
（６）｛口｝＝［Ａ：］｛ｂ｝
于是得到用节点位移表示的位移模式并改成矩阵形式：
∽＝黔【蕊弘ｍ卜Ｍ㈥ｅ（７）
式中，结点位移列阵形式：
图１
平面梁单元
｛６｝‘＝｛耋）＝［ｕｚ
形函数矩阵：式中：
％
佛
叶巧
哆］７（８）
在有限元方法中，单元的位移模式或称为位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运
算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段
光滑的函数曲线，多项式的选取采用由低次到高次。
ＩＮ，＝【繁１爱。是台怎Ｊ『５１４】ｃ９，
Ｎｎ＝１一考Ｎ吐＝考，考＝。ｃ／ｌ
、
用节点位移表示梁单元的位移模式，轴向位移的位移模式取的线性函数，而挠度则ｙ用三次多项
式表示，即：
也．＝１—３ｆ＋缮％＝培（卜孝）２｝（１０）
Ｎｖ３＝ｓｒ２（３—２孝）Ｊ７＼ｒ一＝一蟮２（１一ｆ）Ｊ
由于一维杆单元位移模式，取线性代数函数；
（１）
梁单元的位移模式，取三次代数多项式，正好负荷
“＝［ｈ（ｘ）］｛口｝
收稿日期：２００８．１１．２６
作者简介：陈仁全（１９７１一），讲师，研究方向：输电线路的运行、检修和设计。
万方数据
重庆电力高等专科学校学报第１４卷
杆单元中常应变能真实反应梁单元的弯曲变形情况，因此求得的有限元解答是精确解，用上述位移模式通过虚位移原理推导出梁单元的单刚矩阵和由矩阵位移法推导的自由单刚矩阵完全相同。但一般情况，有限元设置的模式并非实际位移，故协调单元的位移解小于实际值。
１．２
应变矩阵和应力矩阵
确定了单元位移后，可以利用几何方程和物理
方程求得单元的应变和应力。用（７）式带人位移，得到的单元应变为：
８＝ｌ占，ｌ＝Ｌｕ＝￡＾铲＝三［Ｎｉ以］萨
卜］
ｋＪ
＝［Ｂ。Ｂ●萨＝Ｂ８。
（１１）
Ｂ称为应变矩阵，Ｌ是平面问题的微分算子。
应变矩阵８的分块子矩阵是：
旦０
ＯＮ．１
０
Ｏｘ
缸
最＝矾＝
０旦
巩
㈢是）
０
巩。
毋
ａ
ａｄＭｌ
ＯＮ．１撕觑
砂
Ｏｘ
（１２）
当单元的结点坐标确定后，Ｂ矩阵中的参数也就确定下来。单元的结点坐标萨确定以后，然后由召转换求得的单元应变，在载荷的作用下单元中各点具有同样的值。在应变梯度较大的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化情况而导致较大的误差。
单元应力可以根据物理方程求得
盯＝Ｉ仃，Ｉ＝如＝ＤＢ８。＝硒。
卜１
（１３）
ｌ盯二ｊ
其中
Ｓ＝ＤＢ＝Ｄ［曰ｉ曰，］＝［Ｓｉ＿ｓ一
（１４）
Ｓ称为应力矩阵，将平面应力或平面应变的弹性矩阵（１２）带入上式（１４），可以得到计算平面应力或平面应变问题的单元应力矩阵。
ｓｔ＝ＤＢｉ＝志
Ｃ
１一ｖｏ‘
１
６
万
方数据（１５）
公式１５中将下标ｉ改为Ｊ也同样成立，其中玩和秽。为材料常数。
对于平面应力问题
Ｅ。＝Ｅ％＝ｔ，
１．３
利用最小位能原理建立有限元方程
最小位能原理的泛函数总位能ｎ。在平面问
题中的矩阵表达式形式为
１３
ｐ＝＼ｉ１￡ＴＤ８ｔｄｘ曲一＼ｕｒｆｉｄｘｄｙ一＼ｏ斜ｄＳ
ｊ
（１６）
其中，ｔ是二维体厚度／是作用在二维体内的体积力；Ｔ是作用在二维边界上的面积力。
对于离散模型，系统位能是模型中各个单元位
能之和，利用（１６）式带入（７）及（１２）式，即得到离散模型的总位能
Ⅱ，＝∑ｎ＝∑（ｎ汀Ｊ扣７础ｄｘｄｙ）一
。
Ｐ
。
ｎ一
∑（口盯ＪⅣ≯也匆）一∑（ｏ盯Ｎ７ＴｔｄＳ）
（１７）
Ｋ＝＼ＢｒＤＢｔＪｘｇｙ
令
《２
ｐ均呐
（１８）
只＝Ｎ７ＴｔｄＳＰ＝彤＋只
载荷列阵。引入单元结点自由度和结构结点自由度的转换矩阵Ｇ，从而将单元结点位移列阵６。用结构扩＝Ｇａ
（１９）
能可表示为
ｎ。＝口７了１∑（Ｇ７Ｋ。Ｇ）ａ一口７∑Ｇｒｐ。（２０）
Ｋ＝ｙ
Ｇ７∥Ｇ１
。
｝
（２１）
Ｐ＝ｙＧ７ＰＪ
和分别称之为结构整体刚度矩阵和结构结点载荷ｒ和Ｐ分别称之为单元刚度矩阵和单元等效结点结点位移列阵ａ表示，即
将（１８）和（１９）式代人（１７）式，则离散形式的总位并令
列阵。这样一来，（２０）式就可以表示为
第２期陈仁全等：输电线舞动的有限元分析及边界条件
２１
Ⅱ。＝了ｌ口Ｔ‰一ａｒｐ
（２２）
由于离散形式的总位能兀的未知变量是结构的
结点位移口，根据变分原理，泛函Ｈ。取驻值的条件
是它的一次变分为零，６丌＝０，即
骂：ｏ
（２３）
ｄ口
这样就得到有限元的求解方程
Ｋａ＝Ｐ
（２４）
其中Ｋ和Ｐ由（２１）式给出。可以看出，结构整体刚度矩阵Ｋ和结构点载荷列阵尸都是基于单元刚度矩阵ｒ和单元等效结点载荷列阵Ｐ集合而成。２
引入位移边界条件
最小位能变分原理是具有附加条件的变分原
理，它要求场函数Ⅱ满足几何方程和唯一条件。现在离散模型的近似场函数在单元内部满足几何方程，因此由离散模型近似的连续体内几何方程也是满足的。但是在选择场函数的试探函数时却没有提出在边界上满足位移边界条件的要求，因此必须将这个条件引入有限元方程，使之得到满足。
在有限单元法中通常几何边界条件的形式是在若干个节点上给定场函数的值，即
口，＝五ｆ（＿『＝ｃ１，ｃ２，…，ｃｚ）（２５）
磊ｉ可以是零值或非零值。
对于求解位移场的问题时，至少要提出足以约束系统刚体位移的几何边界条件，以消除结构刚度矩阵的奇异性。针对本文的梁单元采用直接代人法引入强制边界条件。
在方程（２４）中将已知节点位移的自由度消去，得到一组修正方程，用以求解其它待定的节点位移。其原理是按节点位移已知和待定重新组合方程
７（乏挑：】＝［乏】
汹，
其中，口。为待定结点位移，口。为已知结点位移，口６Ｔ＝［口。ｌ，口吐，…，ｎｄ］；而且点，衄，＾乙，磊乞，Ｋ¨，Ｐ。，Ｐ６等为与其相应的刚度矩阵和载荷列阵。由刚度矩阵
的对称性可知Ｋｋ＝磁
由上式可得出
万
方数据ｇａａａ。＋Ｋ０６ａ６＝Ｐ。
（２７）
由于输电线路边界条件为已知，最后的求解方程可
写为
Ｋ’口‘＝Ｐ。（２８）若总体结点位移为ｎ个，其中已知结点位移ｍ个，则得到的一组求解ｎ—ｍ个待定点位移的修正方程组，Ｋ４为／／，一ｍ阶方阵。修正方程组的意义是
在原来ｎ个方程中，只保留与待定结点位移相应的ｎ—ｍ个方程，并将方程中左端的已知位移和相应
刚度系数的乘积移至方程右端作为载荷修正项。
最小位能原理是有附加条件的变分原理，上面的推导过程只考虑到了节点和单元内部的情况，而在边界上并没有满足。因此，采用直接代入法引入强制边界条件，其原理是按节点位移已知和待定重新组合方程。
通过上面的推导运算，已经可以得到节点的位移和应力，利用前面得出的形函数（又称为插值函数）可以计算出单元内部的位移和应力。
３仿真研究
采用以上所建立的模型，对一段具体输电线路进行计算。该线路的结构参数如下：导线型号ＬＧＪ９５～４００，架设档距￡＝２００ｍ单位长度的质量为ｉｎ＝１３４８ｋｇ／ｋｍ，外径为Ｄ＝２５．２ｍｍ，计算截面为Ｓ＝３７７．２ｍｍ２，弹性模量为ＥＸ＝７．８４８×１０１０Ｐａ，泊松比ＰＲＥＸ＝０．３，激励风速为２，＝３０ｍ／ｓ，地磁场磁感应输送功率为ＩＯＭＷ，电压Ｕ为１００ｋＶ。
得到的风速谱如图２、图３所示。
４０３０２０１０
帅ｉ～ｉ
图２导线弧垂１／４处的风速
图３导线弧垂１／２处的风速
２２
重庆电力高等专科学校学报
第１４卷
通过输电线路舞动模态分析前５阶固有频率结果显示，如图４所示。
４结论分析
从以上模态分析结果可以看出来：导线的位移能和上面推导出的位移吻合，虽然输电导线前５阶模态频率很低（０．４６８８６—２．９６９５），但是频率却不是很密集，出现了明显的跳跃性。这是因为输电导线结构大，加之自身的阻尼作用，响应中的高阶部分衰减也很快，导致低阶频率在固有频率中占主导地位。
导线的位移在加上各输电线舞动的模拟风载荷之后，舞动不仅发生在垂直方向上，水平方向上也产生振动，在垂直方向上的最大位移约为１０．７ｍ，水平方方向上的最大位移约为６．５ｍ。虽然
图４前５阶固有频率计算结果显示
将上述模拟的输电线舞动的风载荷作用于输电线上做动力学分析，提取了输电线舞动最大的位移图如图５、图６所示。
位移
它们在两个方向上的最大值区别不是很明显，但是它们舞动位移的取值范围却有相当大的差异，垂直方向比水平方向上的位移两倍还多，这就是导线为什么水平布线的原因。
参考文献：
Ｏ
２０
６０
１００
１４０
２００
［１］王勖成．有限单元法［Ｍ］．北京：清华大学出版社，
２００３．
图５舞动最大点垂直方向的位移
位移
［２］李亚智，赵美英，万小朋．有限元法基础与程序设计
［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４．
［３］郭应龙．输电线路舞动［Ｍ］．北京：中国电力出版社，
２００３．
［４］田洪地，田洪雨．架空输电线舞动力学新模型［Ｊ］．黑龙
江：黑龙江电力技术．１９９３，（１０）．
［５］林凤羽．我国输电线路杆塔设计风荷载与ＩＥＣ标准比
较［Ｊ］．中国电力，１９９７，（１）．
０
２０
６０
１００
１４０
１８０
［６］于俊清，郭应龙，应小晖．输电导线舞动的计算机仿真
［Ｊ］．武汉大学学报，２００２，（１）．
图６舞动最大点垂直方向的位移
ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓｉｎＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎＬｉｎｅＧａｌｌｏｐｉｎｇａｎｄＩｔｓＢｏｕｎｄａｒｙＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓ
ＣＨＥＮＲｅｎ—ｑｕａｎｌ’２，ＺＨＡＮＧＺｈａｎ・ｌｏｎ９１，ＤＩＮＧＭｉｎｇ—ｌｉａｎ９２，ＷＡＮＧＹｏｎ９１’２
（１．Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４０００３０，Ｃｈｉｎａ；
２．ＣｈｏｎｇｑｉｎｇＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＣｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４０００５３，Ｃｈｉｎａ）
ａｌｅ
Ａｂｓｔｍｅｔ：Ｗｉｔｈｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｍｉｎｉｍｕｍｐｏｔｅｎｔｉａｌｅｎｅｒｇｙ，ａｆｉｎｉｔｅｎｕｍｂｅｒｏｆｂｅａｍｅｌｅｍｅｎｔｓ
ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｌｉｎｅｓｔｏｄｅｒｉｖｅｍｅｎｔａｎｄｓｔｒｅｓｓｅｑｕａｔｉｏｎ
ａ
ｕｓｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅ
ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｂｙｕｓｉｎｇ
ａ
ｏｎ
ｃｏｅｒｃｉｖｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｅｌｅｍｅｎｔｄｉｓｐｌａｃｅ－
ａｒｅ
ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｉｓｅｓｓａｙｍａｉｎｌｙｄｅａｌｓｗｉｔｈｍｏｄａｌａｎａｌｙｓｉｓ
ａｎｄｈａｒｍｏｎｉｃｒｅｓｐｏｎｓｅｓａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒｏｐｔｉｍａｌｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｌｉｎｅｄｅｓｉｇｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇａｌｌｏｐｉｎｇ；ＦＥＭ；ｗｉｎｄ
ｌｏａｄ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
万方数据
第１４卷
Ｖ０１．１４
第２期
Ｎｏ．２
重庆电力高等专科学校学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＣｏｌｌｅｇｅ
２００９年６月
Ｊｕｎ．２００９
输电线舞动的有限元分析及边界条件
陈仁全１．一，张占龙１，丁明亮２，王勇１，２
（１．重庆大学电气工程学院，重庆４０００３０；２．重庆电力高等专科学校，重庆４０００５３）
【摘要】以有限个梁单元模拟输电导线状态，采用最小位能原理推导出有限元方程，最后利用强制边界条件
给出单元位移和应力方程，并运用仿真系统进行模态和谐响应分析。其结果可为以后线路优化设计提供依据。
【关键词】舞动；有限单元法；风荷载；仿真【中图分类号］ＴＭ７２６．３
【文献标识码】Ａ
【文章编号１１００８—８０３２（２００９）０２．００１９—０４
１输电线模型的有限元格式
２节点的梁单元是有限元方法中较早提出，并
移＝［日（石）］｛ｂ｝
用节点位移来表示。
（２）
式中，参数｛口｝和｛ｂ｝是位移模式的待定常数，可以
０ｉ为与ｚ轴向的转角，则轴向节点位移、节点挠度为：
且至今仍广泛应用的单元，梁单元进行梁柱结构模拟仿真的应用极为广泛，很容易把一个二维域离散
成有限个梁单元，随着单元的增多，这种拟合趋于精确。
｛“｝＝［ｕｉ
Ⅱｆ］ｒ
（３）（４）
…＝［％０ｉ％仍］７
表示为：
１．１单元位移模式及形函数的构造
典型的２节点平面梁单元，编码为ｉ√的位移
分量如图１所示。
ｙ
将节点坐标带入式（１）和（２），节点坐标可以｛Ⅱ｝＝［Ａｉ］｛ａ｝
（５）
（６）｛口｝＝［Ａ：］｛ｂ｝
于是得到用节点位移表示的位移模式并改成矩阵形式：
∽＝黔【蕊弘ｍ卜Ｍ㈥ｅ（７）
式中，结点位移列阵形式：
图１
平面梁单元
｛６｝‘＝｛耋）＝［ｕｚ
形函数矩阵：式中：
％
佛
叶巧
哆］７（８）
在有限元方法中，单元的位移模式或称为位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运
算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段
光滑的函数曲线，多项式的选取采用由低次到高次。
ＩＮ，＝【繁１爱。是台怎Ｊ『５１４】ｃ９，
Ｎｎ＝１一考Ｎ吐＝考，考＝。ｃ／ｌ
、
用节点位移表示梁单元的位移模式，轴向位移的位移模式取的线性函数，而挠度则ｙ用三次多项
式表示，即：
也．＝１—３ｆ＋缮％＝培（卜孝）２｝（１０）
Ｎｖ３＝ｓｒ２（３—２孝）Ｊ７＼ｒ一＝一蟮２（１一ｆ）Ｊ
由于一维杆单元位移模式，取线性代数函数；
（１）
梁单元的位移模式，取三次代数多项式，正好负荷
“＝［ｈ（ｘ）］｛口｝
收稿日期：２００８．１１．２６
作者简介：陈仁全（１９７１一），讲师，研究方向：输电线路的运行、检修和设计。
万方数据
重庆电力高等专科学校学报第１４卷
杆单元中常应变能真实反应梁单元的弯曲变形情况，因此求得的有限元解答是精确解，用上述位移模式通过虚位移原理推导出梁单元的单刚矩阵和由矩阵位移法推导的自由单刚矩阵完全相同。但一般情况，有限元设置的模式并非实际位移，故协调单元的位移解小于实际值。
１．２
应变矩阵和应力矩阵
确定了单元位移后，可以利用几何方程和物理
方程求得单元的应变和应力。用（７）式带人位移，得到的单元应变为：
８＝ｌ占，ｌ＝Ｌｕ＝￡＾铲＝三［Ｎｉ以］萨
卜］
ｋＪ
＝［Ｂ。Ｂ●萨＝Ｂ８。
（１１）
Ｂ称为应变矩阵，Ｌ是平面问题的微分算子。
应变矩阵８的分块子矩阵是：
旦０
ＯＮ．１
０
Ｏｘ
缸
最＝矾＝
０旦
巩
㈢是）
０
巩。
毋
ａ
ａｄＭｌ
ＯＮ．１撕觑
砂
Ｏｘ
（１２）
当单元的结点坐标确定后，Ｂ矩阵中的参数也就确定下来。单元的结点坐标萨确定以后，然后由召转换求得的单元应变，在载荷的作用下单元中各点具有同样的值。在应变梯度较大的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化情况而导致较大的误差。
单元应力可以根据物理方程求得
盯＝Ｉ仃，Ｉ＝如＝ＤＢ８。＝硒。
卜１
（１３）
ｌ盯二ｊ
其中
Ｓ＝ＤＢ＝Ｄ［曰ｉ曰，］＝［Ｓｉ＿ｓ一
（１４）
Ｓ称为应力矩阵，将平面应力或平面应变的弹性矩阵（１２）带入上式（１４），可以得到计算平面应力或平面应变问题的单元应力矩阵。
ｓｔ＝ＤＢｉ＝志
Ｃ
１一ｖｏ‘
１
６
万
方数据（１５）
公式１５中将下标ｉ改为Ｊ也同样成立，其中玩和秽。为材料常数。
对于平面应力问题
Ｅ。＝Ｅ％＝ｔ，
１．３
利用最小位能原理建立有限元方程
最小位能原理的泛函数总位能ｎ。在平面问
题中的矩阵表达式形式为
１３
ｐ＝＼ｉ１￡ＴＤ８ｔｄｘ曲一＼ｕｒｆｉｄｘｄｙ一＼ｏ斜ｄＳ
ｊ
（１６）
其中，ｔ是二维体厚度／是作用在二维体内的体积力；Ｔ是作用在二维边界上的面积力。
对于离散模型，系统位能是模型中各个单元位
能之和，利用（１６）式带入（７）及（１２）式，即得到离散模型的总位能
Ⅱ，＝∑ｎ＝∑（ｎ汀Ｊ扣７础ｄｘｄｙ）一
。
Ｐ
。
ｎ一
∑（口盯ＪⅣ≯也匆）一∑（ｏ盯Ｎ７ＴｔｄＳ）
（１７）
Ｋ＝＼ＢｒＤＢｔＪｘｇｙ
令
《２
ｐ均呐
（１８）
只＝Ｎ７ＴｔｄＳＰ＝彤＋只
载荷列阵。引入单元结点自由度和结构结点自由度的转换矩阵Ｇ，从而将单元结点位移列阵６。用结构扩＝Ｇａ
（１９）
能可表示为
ｎ。＝口７了１∑（Ｇ７Ｋ。Ｇ）ａ一口７∑Ｇｒｐ。（２０）
Ｋ＝ｙ
Ｇ７∥Ｇ１
。
｝
（２１）
Ｐ＝ｙＧ７ＰＪ
和分别称之为结构整体刚度矩阵和结构结点载荷ｒ和Ｐ分别称之为单元刚度矩阵和单元等效结点结点位移列阵ａ表示，即
将（１８）和（１９）式代人（１７）式，则离散形式的总位并令
列阵。这样一来，（２０）式就可以表示为
第２期陈仁全等：输电线舞动的有限元分析及边界条件
２１
Ⅱ。＝了ｌ口Ｔ‰一ａｒｐ
（２２）
由于离散形式的总位能兀的未知变量是结构的
结点位移口，根据变分原理，泛函Ｈ。取驻值的条件
是它的一次变分为零，６丌＝０，即
骂：ｏ
（２３）
ｄ口
这样就得到有限元的求解方程
Ｋａ＝Ｐ
（２４）
其中Ｋ和Ｐ由（２１）式给出。可以看出，结构整体刚度矩阵Ｋ和结构点载荷列阵尸都是基于单元刚度矩阵ｒ和单元等效结点载荷列阵Ｐ集合而成。２
引入位移边界条件
最小位能变分原理是具有附加条件的变分原
理，它要求场函数Ⅱ满足几何方程和唯一条件。现在离散模型的近似场函数在单元内部满足几何方程，因此由离散模型近似的连续体内几何方程也是满足的。但是在选择场函数的试探函数时却没有提出在边界上满足位移边界条件的要求，因此必须将这个条件引入有限元方程，使之得到满足。
在有限单元法中通常几何边界条件的形式是在若干个节点上给定场函数的值，即
口，＝五ｆ（＿『＝ｃ１，ｃ２，…，ｃｚ）（２５）
磊ｉ可以是零值或非零值。
对于求解位移场的问题时，至少要提出足以约束系统刚体位移的几何边界条件，以消除结构刚度矩阵的奇异性。针对本文的梁单元采用直接代人法引入强制边界条件。
在方程（２４）中将已知节点位移的自由度消去，得到一组修正方程，用以求解其它待定的节点位移。其原理是按节点位移已知和待定重新组合方程
７（乏挑：】＝［乏】
汹，
其中，口。为待定结点位移，口。为已知结点位移，口６Ｔ＝［口。ｌ，口吐，…，ｎｄ］；而且点，衄，＾乙，磊乞，Ｋ¨，Ｐ。，Ｐ６等为与其相应的刚度矩阵和载荷列阵。由刚度矩阵
的对称性可知Ｋｋ＝磁
由上式可得出
万
方数据ｇａａａ。＋Ｋ０６ａ６＝Ｐ。
（２７）
由于输电线路边界条件为已知，最后的求解方程可
写为
Ｋ’口‘＝Ｐ。（２８）若总体结点位移为ｎ个，其中已知结点位移ｍ个，则得到的一组求解ｎ—ｍ个待定点位移的修正方程组，Ｋ４为／／，一ｍ阶方阵。修正方程组的意义是
在原来ｎ个方程中，只保留与待定结点位移相应的ｎ—ｍ个方程，并将方程中左端的已知位移和相应
刚度系数的乘积移至方程右端作为载荷修正项。
最小位能原理是有附加条件的变分原理，上面的推导过程只考虑到了节点和单元内部的情况，而在边界上并没有满足。因此，采用直接代入法引入强制边界条件，其原理是按节点位移已知和待定重新组合方程。
通过上面的推导运算，已经可以得到节点的位移和应力，利用前面得出的形函数（又称为插值函数）可以计算出单元内部的位移和应力。
３仿真研究
采用以上所建立的模型，对一段具体输电线路进行计算。该线路的结构参数如下：导线型号ＬＧＪ９５～４００，架设档距￡＝２００ｍ单位长度的质量为ｉｎ＝１３４８ｋｇ／ｋｍ，外径为Ｄ＝２５．２ｍｍ，计算截面为Ｓ＝３７７．２ｍｍ２，弹性模量为ＥＸ＝７．８４８×１０１０Ｐａ，泊松比ＰＲＥＸ＝０．３，激励风速为２，＝３０ｍ／ｓ，地磁场磁感应输送功率为ＩＯＭＷ，电压Ｕ为１００ｋＶ。
得到的风速谱如图２、图３所示。
４０３０２０１０
帅ｉ～ｉ
图２导线弧垂１／４处的风速
图３导线弧垂１／２处的风速
２２
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第１４卷
通过输电线路舞动模态分析前５阶固有频率结果显示，如图４所示。
４结论分析
从以上模态分析结果可以看出来：导线的位移能和上面推导出的位移吻合，虽然输电导线前５阶模态频率很低（０．４６８８６—２．９６９５），但是频率却不是很密集，出现了明显的跳跃性。这是因为输电导线结构大，加之自身的阻尼作用，响应中的高阶部分衰减也很快，导致低阶频率在固有频率中占主导地位。
导线的位移在加上各输电线舞动的模拟风载荷之后，舞动不仅发生在垂直方向上，水平方向上也产生振动，在垂直方向上的最大位移约为１０．７ｍ，水平方方向上的最大位移约为６．５ｍ。虽然
图４前５阶固有频率计算结果显示
将上述模拟的输电线舞动的风载荷作用于输电线上做动力学分析，提取了输电线舞动最大的位移图如图５、图６所示。
位移
它们在两个方向上的最大值区别不是很明显，但是它们舞动位移的取值范围却有相当大的差异，垂直方向比水平方向上的位移两倍还多，这就是导线为什么水平布线的原因。
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图５舞动最大点垂直方向的位移
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图６舞动最大点垂直方向的位移
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ｌｏａｄ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
万方数据