5.3 圆 周 运 动
一、 描述圆周运动的物理量及其关系
s
1. 线速度； v = 单位矢量，方向t θ
2. 角速度：ω==矢量，方向不要求
t 2π
3. 周 期：T = 单位
ω1
4. 频 率：f = 单位T
5. 转 速：n 单位 ω=2πf =2πn
v 2
6. 向心加速度：a n =r
7. 向心力：F n =（1）效果力：可由一个力承担，也可以是多个力的合力
（2）向心力（向心加速度）只改变速度的方向，不改变速度的大小，故不作功 1. 关于匀速圆周运动的说法，正确的是 ( )
A ．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B ．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度 C ．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小、方向保持不变，所以是匀变速曲线运动
D ．匀速圆周运动的物体加速度大小虽然不变，但加速度的方向始终指向圆心，加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，而是匀变速运动
2．如图装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
3小球在水平面内做匀速圆周运动，物块随圆筒绕轴匀速转动，求角速度大小。
m
m
4. 如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是
A. vA >vB B. ωA >ωB
C. aA >aB D. 压力N A >NB
5. 长度不同的两根细绳悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内做圆锥摆运动，如图所示，则有关两个圆锥摆的物理量相同的是( )
A ．周期
C ．向心力
B ．线速度的大小 D ．绳的拉力
6如图所示，在电机距轴O 为r 的处固定一质量为m 的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕O 轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为（ ）
A.2mω2 r B.mω2 r
C.mg+2mω2 r D.2mg+2mω2r
三、 匀速圆周运动与一般圆周运动的区别
1. 匀速圆周运动：
（1）速率不变，速度方向时刻改变 （2） 提供向心力， （3）加速度a =a n 2. 一般圆周运动：
（1）速率改变，速度方向时刻改变
（2） 提供向心力，另一部分改变 （3）加速度a =
a n +a τ
22
7．一个小球在竖直放置的光滑圆环的内槽做圆周运动，则关于小球加速度方向正确的是 （ ） A ．一定指向圆心 B．一定不指向圆心
C ．只在最高点和最低点处指向圆心D ．不能确定是否指向圆心
8. 如图所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 沿半径指向圆心，a 与c 垂直，下列说法正确的是( )
A ．当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向为a 方向 B ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为b 方向 C ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为c 方向 D ．当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为d 方向
9. 用一绝缘轻绳悬挂一个带电小球质量为m ，所带电荷量为q （正电荷），在最低点给小球一个初速度v 0, 保证小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，试问 （1）小球所作的圆周运动是不是匀速圆周？
（2）若能在此空间内加一匀强电场，小球能否在竖直平面内做匀速圆周运动，若能，试求所加电场的方向和大小？
三、竖直面的圆周运动的临界问题
（1）“绳——球”系统（“杆——球”系统） ①最高点
方程 ②最低点
方程 （2）“轨 道”系统：
①单轨: 分析时可类比与“绳—球”系统 ②双轨：分析时可类比与“杆—球”系统
10. 用一长为l 的轻绳系一个小球在竖直面内做圆周运动，请填空：
（1
）若V A =
gl 则此位置绳上的拉力T A
=
（2）若在B 点绳上的拉力T B =6mg ，则V B =
11. 小球A 质量为m . 固定在长为L 的轻细直杆一端, 并随杆一起绕杆的另一端O 点在竖直平面内做圆周运动. 请填空
（1）若小球经过最高位置时, 杆对球的作用力为支持力, 大小等于球的重力的. 则
4
球的速度大小
3
（2）当小球经过最低点时速度为gL ，杆对球的作用力的大小 ，球的向心加速度大小 如下图所示，质量为m 的小球自由下落高度为R 后沿竖直平面内的轨道ABC 运动。AB 是半径为R 的1/4粗糙圆弧，BC 是直径为R 的光滑半圆弧，小球运动到C 时对轨道的压力恰为零。B 是轨道最低点。求： （1）小球在AB 弧上运动时，摩擦力对小球做的功 （2）小球经B 点前、后瞬间对轨道的压力之比
12 . 如图甲所示，一轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为N ，小球在最高点的速度大小为v ，N －下列说法正确的是（ ）
图像如乙图所示。
A ．当地的重力加速度大小为
B ．小球的质量为C ．D ．若
时，杆对小球弹力方向向上 ，则杆对小球弹力大小为
13. 如图所示光滑管形圆轨道半径为R （管径远小于R ）固定，小球a 、b 大小相同，质量相同，均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是（ ） A ．速度v 至少为 B ．当v =
，才能使两球在管内做圆周运动
时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力
C ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mg D ．只要v ≥
，小球a 对轨道最低点压力比小球b 对轨道最高点压力都大6mg
14. 如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r=0.4m，最低点处有一小球（半径比r
2
小很多），现给小球以水平向右的初速度v ，则要使小球不脱离圆轨道运动，v 应当满足 （g=10m/s）（ ）
A ．v≥0 B．v≥4m/s C ．
D．
15. 如图所示，是游乐场翻滚过山车示意图，斜面轨道AC 、弯曲、水平轨道CDE 和半径R=7.5m 的竖直圆形轨道平滑连接。质量m=100kg 的小车，从距水平面H=20m 高处的A 点静止释放，通过最低点C 后沿圆形轨道运动一周后进入弯曲、水平轨道CDE 。重力加速度g=10m/s2，不计摩擦力和阻力。求： （1）若小车从A 点静止释放到达圆形轨道最低点C 时的速度大小； （2）小车在圆形轨道最高点B 时轨道对小车的作用力；
（3）为使小车通过圆形轨道的B 点，相对于C 点的水平面小车下落高度的范围。
16. 由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB 段是半径为R 的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m 的小球，从距离水平地面高为H 的管口D 处静止释放，最后能够从A 端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是（ ）
A. 小球落到地面相对于A 点的水平位移值为B. 小球落到地面相对于A 点的水平位移值为C. 小球能从细管A 端水平抛出的条件是H>2R D. 小球能从细管A 端水平抛出的最小高度H min
=
四、圆周运动的实例分析
（一）车辆转弯 1. 水平路面
提供向心力，动力学方程 2. 倾斜路面
v 2
（1）汽车转弯 动力学方程 mg tan θ=m
r
①当v >gr tan θ 提供向心力 ②当v =
gr tan θ 提供向心力
③当v
动力学方程
①当v >gr tan θ 轨受到向 的挤压力
②当v =gr tan θ 提供向心力 ③当v
提供向心力，动力学方程 （2）凹形桥
提供向心力，运动方程
17. 质量为m 的飞机以恒定速率v 在空中水平盘旋（如图所示），其做匀速圆周运动的半径为R ，重力加速度为g ，则此时空气对飞机的作用力大小为（ ）
18. 公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（ ） A ．路面外侧高内侧低
B ．车速只要低于v c ，车辆便会向内侧滑动
C ．车速虽然高于v c ，但只要不超出某一高度限度，车辆便不会向外侧滑动 D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c 的值变小
19.( 2012全国高考广东卷）如图所示是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧
轨道与光滑斜面相切，滑道底部B 处安装一个压力传感器，其示数N 表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h 处由静止下滑，通过B 时，下列表述正确的有（ ） A.N 小于滑块重力 B.N 大于滑块重力 C.N 越大表明h 越大 D.N 越大表明h 越小
20. “飞车走壁” 杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车，简化后的模型如图所示，表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动。若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H ，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是（ ）
A. 摩托车做圆周运动的H 越高，向心力越大 B. 摩托车做圆周运动的H 越高，线速度越大 C. 摩托车做圆周运动的H 越高，向心力做功越多. D. 摩托车对侧壁的压力随高度H 变大而减小
五、向心和离心运动
1. 当提供的向心力 需要的向心力（大于/小于） 物体将做向心运动 2. 当提供的向心力 需要的向心力（大于/小于） 物体将做向心运动
21. 如图，A 、B 、C 三个物块放在水平的圆盘上，它们的质量关系是m A =2m B =2m c 它们与转轴的距离的关系是2r A =2r B =r C , 三个物块与圆盘表面的动摩擦因数都为μ，且它们与圆盘间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当圆盘转动时，A 、B 、C 都没有滑动，则下列说法中正确的是（ ） A.C 的向心加速度最大 B.B 的摩擦力最小
C. 当圆盘转速增大时，B 比A 先滑动 D. 当圆盘转速增大时，C 比B 先滑动
22.
两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是(
) A ．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B ．甲所受的静摩擦力减小
C ．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中 D ．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中
六、圆周运动中的临界问题
23. 一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥顶上，如图所示. 设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2变化的图象是图中的（ ）
24. 如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5 m, 离水平地面的高度H =0.8m,物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2 求： （1）物块做平抛运动的初速度大小V 0； （2）物块与转台间的动摩擦因数
25. （2013重庆卷） 如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g 。
（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω=（1±k ）ω0，且0＜k
。
七、圆周运动的多解问题
26. 如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R ，顶部有入口A ，在A 的正下方h 处有出口B ，一质量为m 的小球从入口A 沿切线方向水平射入圆筒内，要使小球从B 处飞出，小球进入入口A 的速度v 0应满足什么条件？在运动过程中小球对筒的压力有多大？
27. 一位同学玩飞镖游戏，已知飞镖距圆盘为L ，且对准圆盘上边缘的A 点水平抛出，初速度为v 0 ，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直盘面且过盘心O 点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A 点，空气阻力忽略不计，重力加速度为g ，求：
（1）飞镖打中A 点所需的时间； （2）圆盘的半径r ；
（3）圆盘转动角速度的可能值。
5.3 圆 周 运 动
一、 描述圆周运动的物理量及其关系
s
1. 线速度； v = 单位矢量，方向t θ
2. 角速度：ω==矢量，方向不要求
t 2π
3. 周 期：T = 单位
ω1
4. 频 率：f = 单位T
5. 转 速：n 单位 ω=2πf =2πn
v 2
6. 向心加速度：a n =r
7. 向心力：F n =（1）效果力：可由一个力承担，也可以是多个力的合力
（2）向心力（向心加速度）只改变速度的方向，不改变速度的大小，故不作功 1. 关于匀速圆周运动的说法，正确的是 ( )
A ．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B ．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度 C ．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小、方向保持不变，所以是匀变速曲线运动
D ．匀速圆周运动的物体加速度大小虽然不变，但加速度的方向始终指向圆心，加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，而是匀变速运动
2．如图装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
3小球在水平面内做匀速圆周运动，物块随圆筒绕轴匀速转动，求角速度大小。
m
m
4. 如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是
A. vA >vB B. ωA >ωB
C. aA >aB D. 压力N A >NB
5. 长度不同的两根细绳悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内做圆锥摆运动，如图所示，则有关两个圆锥摆的物理量相同的是( )
A ．周期
C ．向心力
B ．线速度的大小 D ．绳的拉力
6如图所示，在电机距轴O 为r 的处固定一质量为m 的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕O 轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为（ ）
A.2mω2 r B.mω2 r
C.mg+2mω2 r D.2mg+2mω2r
三、 匀速圆周运动与一般圆周运动的区别
1. 匀速圆周运动：
（1）速率不变，速度方向时刻改变 （2） 提供向心力， （3）加速度a =a n 2. 一般圆周运动：
（1）速率改变，速度方向时刻改变
（2） 提供向心力，另一部分改变 （3）加速度a =
a n +a τ
22
7．一个小球在竖直放置的光滑圆环的内槽做圆周运动，则关于小球加速度方向正确的是 （ ） A ．一定指向圆心 B．一定不指向圆心
C ．只在最高点和最低点处指向圆心D ．不能确定是否指向圆心
8. 如图所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 沿半径指向圆心，a 与c 垂直，下列说法正确的是( )
A ．当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向为a 方向 B ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为b 方向 C ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为c 方向 D ．当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为d 方向
9. 用一绝缘轻绳悬挂一个带电小球质量为m ，所带电荷量为q （正电荷），在最低点给小球一个初速度v 0, 保证小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，试问 （1）小球所作的圆周运动是不是匀速圆周？
（2）若能在此空间内加一匀强电场，小球能否在竖直平面内做匀速圆周运动，若能，试求所加电场的方向和大小？
三、竖直面的圆周运动的临界问题
（1）“绳——球”系统（“杆——球”系统） ①最高点
方程 ②最低点
方程 （2）“轨 道”系统：
①单轨: 分析时可类比与“绳—球”系统 ②双轨：分析时可类比与“杆—球”系统
10. 用一长为l 的轻绳系一个小球在竖直面内做圆周运动，请填空：
（1
）若V A =
gl 则此位置绳上的拉力T A
=
（2）若在B 点绳上的拉力T B =6mg ，则V B =
11. 小球A 质量为m . 固定在长为L 的轻细直杆一端, 并随杆一起绕杆的另一端O 点在竖直平面内做圆周运动. 请填空
（1）若小球经过最高位置时, 杆对球的作用力为支持力, 大小等于球的重力的. 则
4
球的速度大小
3
（2）当小球经过最低点时速度为gL ，杆对球的作用力的大小 ，球的向心加速度大小 如下图所示，质量为m 的小球自由下落高度为R 后沿竖直平面内的轨道ABC 运动。AB 是半径为R 的1/4粗糙圆弧，BC 是直径为R 的光滑半圆弧，小球运动到C 时对轨道的压力恰为零。B 是轨道最低点。求： （1）小球在AB 弧上运动时，摩擦力对小球做的功 （2）小球经B 点前、后瞬间对轨道的压力之比
12 . 如图甲所示，一轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为N ，小球在最高点的速度大小为v ，N －下列说法正确的是（ ）
图像如乙图所示。
A ．当地的重力加速度大小为
B ．小球的质量为C ．D ．若
时，杆对小球弹力方向向上 ，则杆对小球弹力大小为
13. 如图所示光滑管形圆轨道半径为R （管径远小于R ）固定，小球a 、b 大小相同，质量相同，均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是（ ） A ．速度v 至少为 B ．当v =
，才能使两球在管内做圆周运动
时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力
C ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mg D ．只要v ≥
，小球a 对轨道最低点压力比小球b 对轨道最高点压力都大6mg
14. 如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r=0.4m，最低点处有一小球（半径比r
2
小很多），现给小球以水平向右的初速度v ，则要使小球不脱离圆轨道运动，v 应当满足 （g=10m/s）（ ）
A ．v≥0 B．v≥4m/s C ．
D．
15. 如图所示，是游乐场翻滚过山车示意图，斜面轨道AC 、弯曲、水平轨道CDE 和半径R=7.5m 的竖直圆形轨道平滑连接。质量m=100kg 的小车，从距水平面H=20m 高处的A 点静止释放，通过最低点C 后沿圆形轨道运动一周后进入弯曲、水平轨道CDE 。重力加速度g=10m/s2，不计摩擦力和阻力。求： （1）若小车从A 点静止释放到达圆形轨道最低点C 时的速度大小； （2）小车在圆形轨道最高点B 时轨道对小车的作用力；
（3）为使小车通过圆形轨道的B 点，相对于C 点的水平面小车下落高度的范围。
16. 由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB 段是半径为R 的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m 的小球，从距离水平地面高为H 的管口D 处静止释放，最后能够从A 端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是（ ）
A. 小球落到地面相对于A 点的水平位移值为B. 小球落到地面相对于A 点的水平位移值为C. 小球能从细管A 端水平抛出的条件是H>2R D. 小球能从细管A 端水平抛出的最小高度H min
=
四、圆周运动的实例分析
（一）车辆转弯 1. 水平路面
提供向心力，动力学方程 2. 倾斜路面
v 2
（1）汽车转弯 动力学方程 mg tan θ=m
r
①当v >gr tan θ 提供向心力 ②当v =
gr tan θ 提供向心力
③当v
动力学方程
①当v >gr tan θ 轨受到向 的挤压力
②当v =gr tan θ 提供向心力 ③当v
提供向心力，动力学方程 （2）凹形桥
提供向心力，运动方程
17. 质量为m 的飞机以恒定速率v 在空中水平盘旋（如图所示），其做匀速圆周运动的半径为R ，重力加速度为g ，则此时空气对飞机的作用力大小为（ ）
18. 公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，（ ） A ．路面外侧高内侧低
B ．车速只要低于v c ，车辆便会向内侧滑动
C ．车速虽然高于v c ，但只要不超出某一高度限度，车辆便不会向外侧滑动 D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c 的值变小
19.( 2012全国高考广东卷）如图所示是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧
轨道与光滑斜面相切，滑道底部B 处安装一个压力传感器，其示数N 表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h 处由静止下滑，通过B 时，下列表述正确的有（ ） A.N 小于滑块重力 B.N 大于滑块重力 C.N 越大表明h 越大 D.N 越大表明h 越小
20. “飞车走壁” 杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车，简化后的模型如图所示，表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动。若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H ，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是（ ）
A. 摩托车做圆周运动的H 越高，向心力越大 B. 摩托车做圆周运动的H 越高，线速度越大 C. 摩托车做圆周运动的H 越高，向心力做功越多. D. 摩托车对侧壁的压力随高度H 变大而减小
五、向心和离心运动
1. 当提供的向心力 需要的向心力（大于/小于） 物体将做向心运动 2. 当提供的向心力 需要的向心力（大于/小于） 物体将做向心运动
21. 如图，A 、B 、C 三个物块放在水平的圆盘上，它们的质量关系是m A =2m B =2m c 它们与转轴的距离的关系是2r A =2r B =r C , 三个物块与圆盘表面的动摩擦因数都为μ，且它们与圆盘间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当圆盘转动时，A 、B 、C 都没有滑动，则下列说法中正确的是（ ） A.C 的向心加速度最大 B.B 的摩擦力最小
C. 当圆盘转速增大时，B 比A 先滑动 D. 当圆盘转速增大时，C 比B 先滑动
22.
两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是(
) A ．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B ．甲所受的静摩擦力减小
C ．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中 D ．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中
六、圆周运动中的临界问题
23. 一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥顶上，如图所示. 设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2变化的图象是图中的（ ）
24. 如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5 m, 离水平地面的高度H =0.8m,物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2 求： （1）物块做平抛运动的初速度大小V 0； （2）物块与转台间的动摩擦因数
25. （2013重庆卷） 如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g 。
（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω=（1±k ）ω0，且0＜k
。
七、圆周运动的多解问题
26. 如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R ，顶部有入口A ，在A 的正下方h 处有出口B ，一质量为m 的小球从入口A 沿切线方向水平射入圆筒内，要使小球从B 处飞出，小球进入入口A 的速度v 0应满足什么条件？在运动过程中小球对筒的压力有多大？
27. 一位同学玩飞镖游戏，已知飞镖距圆盘为L ，且对准圆盘上边缘的A 点水平抛出，初速度为v 0 ，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直盘面且过盘心O 点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A 点，空气阻力忽略不计，重力加速度为g ，求：
（1）飞镖打中A 点所需的时间； （2）圆盘的半径r ；
（3）圆盘转动角速度的可能值。