第5章 窄带随机过程

第五章 窄带随机过程

5.1 窄带随机过程的概念

1． 通信工程中的信号频率

在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。对

于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。 2． 窄带随机过程

（1） 带通随机过程的定义

若随机过程X(t)的谱密度满足：

S()0

SX()

其它0

则称X(t)为带通过程。

带通过程的谱密度的图解如下图。

（2） 窄通随机过程的定义

若X(t)为带通过程，且0，即中心频率过大于谱宽，则称X(t)为窄通随机过程。

3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法

（1）窄带随机过程的莱斯表示

定理：任何一个实窄带随机过程X(t)都可表示为下式：

X(t)a(t)cos(0t)b(t)sin(0t)

证明：略。

注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。 （2） a(t)、b(t)的性质 ①a(t)、b(t)都是实随机过程。 ②E(a(t))E(b(t))0. 。

③a(t)与b(t)各自广义平稳，联合平稳，且：Ra()Rb()。

22222

④E(a(t))E(b(t))E(X(t))，由此可得方差ab。

⑤Rab(0)0，这说明a(t)与b(t)在同一时刻正交。 ⑥Sa()Sb()。

4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法

定理：实窄带随机过程X(t)都可表示为下式：

X(t)A(t)cos(0t(t))

证明：由莱斯表示法有：

A(t)

a(t)b(t)， (t)arctg

2

2

b(t)a(t)

A(t)与(t)都是慢变化的随机过程。慢变化是指A(t)与(t)随时间变化比cos(0t)

随时间的变化要缓慢得多。

其中：称0这载波频率。

称A(t)为X(t)的包络。 称(t)为X(t)的相位（初相）。

这一表达式称为准正弦振荡表示法。

5.2 窄带高斯过程包络与相位的概率密度

在工程应用中，假定系统的输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。

实际上，有许多工程实际的系统输出是窄带高斯随机过程。

对于窄带随机过程，包络A(t)与相位(t)的检测是首要工作。 1． 包络与相位的一维概率密度

（1） 先求a(t)与b(t)的联合概率密度fab(at,bt)

当t确定后，a(t)与b(t)都是高斯随机变量，且相互正交，所以有

12

2

fab(at,bt)

at2bt2exp 2

2

（2） 求A(t)与(t)的联合概率密度

定理： fA(At,t)Jfab(at,bt)，J为雅可比行列式。

由 A(t)

a(t)b(t)， (t)arctg

2

2

b(t)a(t)

可得

JA(t)

所以有

At

fA(At,t)2

0

2

2

Atexp2

2

At0,0t2

其它

（3） 求fA(At)、f(t)

对fA(At,t)求边缘概率密度，可得fA(At)与f(t)

2

fA(At)＝

fA(At,t)dt



At



2

At2exp，（At0） 2

2

12

f(t)＝

fA(At,t)dAt，（0t2）

5.3 正弦型信号与窄带高斯噪声之和

1． 模型

设

X(t)s(t)N(t)

其中s(t)为具有随机相位的正弦型信号

s(t)acos(0t)

a与0为已知常数，为(0,2)区间均匀分布的随机变量，N(t)为平稳窄带实高斯随

机噪声过程，均值为0，方差为2，功率谱密度对称于0。

可以证明，X(t)是一窄带随机过程： 设

N(t)a(t)cos(0t)b(t)sin(0t)

s(t)acos(0t)acoscos(0t)asinsin(0t)

可得

X(t)a(t)cos(0t)b(t)sin(0t) a(t)acosa(t)其中

b(t)bsinb(t)

或

X(t)A(t)cos(0t(t))

其中 A(t)22

a(t)b(t)， (t)arctg

b(t)a(t)

2． 在确定下，求条件概率密度fA(At)、f(t) （1）求a(t)与b(t)的联合概率密度fab(at,bt)

fab(at,bt)

12

2

(atacos)2(batasin)2exp 2

2

（2）求A(t)与(t)的条件联合概率密度 fA(At,t)Jfab(at,bt)

At

20

At2a22aAtcos(t)exp2

2

其它

At0,0t2

2

（4） 求fA(At)、f(t)

利用fA(At,t)求边缘分布密度，可得：

fA(At)＝

2

fA(At,t)dt

At



2

At2a2aAt

exp) I0(22

2

其中I0()是第一类零阶修正贝塞尔函数。 由于fA(At)与无关，于是有

fA(At)fA(At)

f(t)＝fA(At,t)dAt

0

a2a2cos2(t)a2acos(t)acos(t)

exp()exp 222221

()是概率积分函数。

作业：P174，6.1，6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，6.10。

第五章 窄带随机过程

5.1 窄带随机过程的概念

1． 通信工程中的信号频率

在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。对

于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。 2． 窄带随机过程

（1） 带通随机过程的定义

若随机过程X(t)的谱密度满足：

S()0

SX()

其它0

则称X(t)为带通过程。

带通过程的谱密度的图解如下图。

（2） 窄通随机过程的定义

若X(t)为带通过程，且0，即中心频率过大于谱宽，则称X(t)为窄通随机过程。

3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法

（1）窄带随机过程的莱斯表示

定理：任何一个实窄带随机过程X(t)都可表示为下式：

X(t)a(t)cos(0t)b(t)sin(0t)

证明：略。

注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。 （2） a(t)、b(t)的性质 ①a(t)、b(t)都是实随机过程。 ②E(a(t))E(b(t))0. 。

③a(t)与b(t)各自广义平稳，联合平稳，且：Ra()Rb()。

22222

④E(a(t))E(b(t))E(X(t))，由此可得方差ab。

⑤Rab(0)0，这说明a(t)与b(t)在同一时刻正交。 ⑥Sa()Sb()。

4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法

定理：实窄带随机过程X(t)都可表示为下式：

X(t)A(t)cos(0t(t))

证明：由莱斯表示法有：

A(t)

a(t)b(t)， (t)arctg

2

2

b(t)a(t)

A(t)与(t)都是慢变化的随机过程。慢变化是指A(t)与(t)随时间变化比cos(0t)

随时间的变化要缓慢得多。

其中：称0这载波频率。

称A(t)为X(t)的包络。 称(t)为X(t)的相位（初相）。

这一表达式称为准正弦振荡表示法。

5.2 窄带高斯过程包络与相位的概率密度

在工程应用中，假定系统的输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。

实际上，有许多工程实际的系统输出是窄带高斯随机过程。

对于窄带随机过程，包络A(t)与相位(t)的检测是首要工作。 1． 包络与相位的一维概率密度

（1） 先求a(t)与b(t)的联合概率密度fab(at,bt)

当t确定后，a(t)与b(t)都是高斯随机变量，且相互正交，所以有

12

2

fab(at,bt)

at2bt2exp 2

2

（2） 求A(t)与(t)的联合概率密度

定理： fA(At,t)Jfab(at,bt)，J为雅可比行列式。

由 A(t)

a(t)b(t)， (t)arctg

2

2

b(t)a(t)

可得

JA(t)

所以有

At

fA(At,t)2

0

2

2

Atexp2

2

At0,0t2

其它

（3） 求fA(At)、f(t)

对fA(At,t)求边缘概率密度，可得fA(At)与f(t)

2

fA(At)＝

fA(At,t)dt



At



2

At2exp，（At0） 2

2

12

f(t)＝

fA(At,t)dAt，（0t2）

5.3 正弦型信号与窄带高斯噪声之和

1． 模型

设

X(t)s(t)N(t)

其中s(t)为具有随机相位的正弦型信号

s(t)acos(0t)

a与0为已知常数，为(0,2)区间均匀分布的随机变量，N(t)为平稳窄带实高斯随

机噪声过程，均值为0，方差为2，功率谱密度对称于0。

可以证明，X(t)是一窄带随机过程： 设

N(t)a(t)cos(0t)b(t)sin(0t)

s(t)acos(0t)acoscos(0t)asinsin(0t)

可得

X(t)a(t)cos(0t)b(t)sin(0t) a(t)acosa(t)其中

b(t)bsinb(t)

或

X(t)A(t)cos(0t(t))

其中 A(t)22

a(t)b(t)， (t)arctg

b(t)a(t)

2． 在确定下，求条件概率密度fA(At)、f(t) （1）求a(t)与b(t)的联合概率密度fab(at,bt)

fab(at,bt)

12

2

(atacos)2(batasin)2exp 2

2

（2）求A(t)与(t)的条件联合概率密度 fA(At,t)Jfab(at,bt)

At

20

At2a22aAtcos(t)exp2

2

其它

At0,0t2

2

（4） 求fA(At)、f(t)

利用fA(At,t)求边缘分布密度，可得：

fA(At)＝

2

fA(At,t)dt

At



2

At2a2aAt

exp) I0(22

2

其中I0()是第一类零阶修正贝塞尔函数。 由于fA(At)与无关，于是有

fA(At)fA(At)

f(t)＝fA(At,t)dAt

0

a2a2cos2(t)a2acos(t)acos(t)

exp()exp 222221

()是概率积分函数。

作业：P174，6.1，6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，6.10。