§10－3 空心变压器
原边（初级）加电源 ，原边的电能是利用磁变压器：具有无电气连接的二回路耦合电路⎧⎨⎩副边（次级）接负载
耦合传递到副边的。
一、空心变压器（无铁心，线性，k
设Z 11=R 1+j ωL 1 原边线圈阻抗
Z 22=R 2+j ωL 2+Z L 副边回路阻抗
Z M =j ωM 互感阻抗。求I 1、I 2
对空心变压器的原副边分别列KVL ⎧⎪⎨Z 11I 1+Z M I
2=U S
⎪⎩Z M I 1+Z 22I
2=0
解得：
I =U S U S
1(ωM ) 2=回路阻抗Z 11+Z 22I
2
1) 原边等效电路：只需把副边的阻抗折算到原边即反映阻抗Z 2f
2) 副边戴维宁等效电路： U OC =Y 11Z M U S 方向与同名端位置有关
其中Y 11U S 是在副边开路下的原边电流
2
Z M )
eq =(ω
Z +R 2+j ωL 2 大小与同名端位置无关（电源置零条件下）
11
若要求负载获最大功率，应使Z L =Z eq
3) 副边受控源等效电路：当先求出原电路的I 1后，可得副边的互感电压。
⎧(ωM ) 2(ωM ) 2
==Z 2f 副边反映到原边的阻抗⎪Z 副边回路的总阻抗二、反映阻抗⎪22 ⎨2(ωM ) 2⎪(ωM ) ==Z 1f 原边反映到副边的阻抗⎪原边回路的总阻抗Z ⎩11
1）从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生感应电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。
2）反映阻抗说明了磁耦合对原副边的影响。其性质与原有阻抗相反，说明感应电流产生的磁场削弱原磁场的变化，符合楞次定律。
3）当副边开路时，副边对原边没有影响，原边对副边有影响；
当电源是直流或M ＝0时，原边对副边没有影响，副边对原边也没有影响；
三、空心变压器电路的谐振
1）部分谐振：初级或次级谐振；
2）复谐振：在部分谐振基础上，使谐振回路的反映电阻与另级回路的电阻相等，可使次级获最大功率。
3）全谐振：初、次级回路各自均发生谐振，这时两边的反映阻抗只包含电阻，耦合后初、次级仍谐振。具有双调谐回路的耦合电路常工作在全谐振状态。
例：已知ω=1000rad /s ，调节C 1、C 2使原副边均谐振（全谐振），求C 1、C 2之值。
(10) 2
=X C 1 解：原边：Im[j 500+2+2+j 200−jX C 2
(10) 2
]=X C 2 副边：Im[j 200+
2+2+j 500−jX C 1
→ 100(200−X C 2)
4+(200−X C 2)
100(500−X C 1)
4+(500−X C 1) 22=500−X C 1 =200−X C 2
1=2μF ωX C 1
1=5μF ωX C 2 得：X C 1=500Ω，C 1= X C 2=200Ω，C 2=
四、计算方法
1）列方程法（回路电流方程）
2）去耦法：
例10-5方法 ，再利用CCVS 求I 1先求I ○12
；若计算最大功率问题，只能用此法。 ，直接用戴维宁定理求I 2若不需要求I ○21
§10－4 理想变压器
欲传递尽量多的能量，应使副边受控源等效电路中的MI 1↑
① I 2
1↑→R 1I 1↑，损耗大； ×
② M ↑=ψ21N 2φ21⎧⎪N 2↑
i =
1i ⎨→∞) √φ=
1⎪⎩φ∫BdS ，B ∝μ
21↑∝μ↑(μFe
一、理想变压器条件
1． 无损耗 R 1=R 2=0 保证功率全部传递
2． 全耦合 k =1 （无漏磁，可以加铁心实现）
3． L 1、L 2、M →∞，但L
L =N N =
n 定值
22二、符号及VCR
⎧u 1=nu 2
⎪⎨ 参数为匝比n =N 1
⎪⎩i 1=−1
n i 2N 2
1． 由于传递功率不变，升压必定降流；
2． i 2与实际方向相反（二端口的约定方向）；
3． 注意n 标在原边，若n 标在副边，则
n =N 2
N ，u
1
1=u 2，i 1=−ni 2；
1n
4． 同名端标记不同，方向相反，即
u 1
1=−nu 2，i
1=n i 2
。
三、受控源去耦模型
U 1=nU 2 U 2=1
n 1 U 1=n U 2
I 1=−1
n I 2 I 1=−1 n I 2 I 2=−n I 1
注意：此受控源模型不仅适用于正弦稳态下的相量法，它可用于任何电源。 当某些软件的元件库中缺少理想变压器时，可用此模型。例如Pspice 软件。
四、变换阻抗（阻抗去耦）
Z U 1
I =n U 22U
in ==n (−2
1− I ) =n 2Z L
2
n I 2
即 Z in =n 2Z L
例：已知U S =4
∠0 V ，R 2=4Ω，n 1与n 2各为多少时，R 2获最大功率，并求P m 。解：1）谐振是第一条件，应先使n 2的
Z 2
in =
n 2(−j 5) =−j 20Ω
即发生并联谐振，∴n 2=
2，
而n 1副边等效为R 2=4Ω
2）n 1原边可等效为 当n 21×4=100Ω时，
n 5， P 421
1的R in 会获最大功率，∴n 1=m =4×100=25 ∵理想变压器为无源、无耗，∴R in 的功率即为R 2的功率。
收音机上的负载—喇叭的匹配问题和此题类似。 五、与空心变压器的比较
u di 1di ⎫
1=L 1u dt +M 2
⎪1=nu
dt ⎪2⎫
微分 ⎪
u di ⎬1⎬代数
2di 1i =−i 2
2=L 2⎪dt +M dt 1
⎭n ⎭
参数： L 1、L 2、M n =N 1
N
2
(ωM ) 2
Z f 2=Z Z in =n 2Z L
22
六、理想变压器的作用
1． 变压 u 1=nu 2
2． 变流 i 1=−1
n i 2
3． 变阻抗 Z in =n 2Z L
实际变压器有漏磁，有损耗
本章重点
1． 互感概念，同名端，互感电压的大小和方向2． 电路计算
（1） 列方程法
（2） 去耦法
① CCVS （互感电压）去耦，正弦稳态（适用于任意方式连接，物理意义清楚）② 阻抗去耦
直接电气联接
→
→
无电气联接（变压器）
空心变压器 Z (ωM ) 2
f =Z ，理想变压器 Z in =n 2Z L
22
先利用原边去耦电路求出I 1，从而可以求出I 2（U 2）。
§10－3 空心变压器
原边（初级）加电源 ，原边的电能是利用磁变压器：具有无电气连接的二回路耦合电路⎧⎨⎩副边（次级）接负载
耦合传递到副边的。
一、空心变压器（无铁心，线性，k
设Z 11=R 1+j ωL 1 原边线圈阻抗
Z 22=R 2+j ωL 2+Z L 副边回路阻抗
Z M =j ωM 互感阻抗。求I 1、I 2
对空心变压器的原副边分别列KVL ⎧⎪⎨Z 11I 1+Z M I
2=U S
⎪⎩Z M I 1+Z 22I
2=0
解得：
I =U S U S
1(ωM ) 2=回路阻抗Z 11+Z 22I
2
1) 原边等效电路：只需把副边的阻抗折算到原边即反映阻抗Z 2f
2) 副边戴维宁等效电路： U OC =Y 11Z M U S 方向与同名端位置有关
其中Y 11U S 是在副边开路下的原边电流
2
Z M )
eq =(ω
Z +R 2+j ωL 2 大小与同名端位置无关（电源置零条件下）
11
若要求负载获最大功率，应使Z L =Z eq
3) 副边受控源等效电路：当先求出原电路的I 1后，可得副边的互感电压。
⎧(ωM ) 2(ωM ) 2
==Z 2f 副边反映到原边的阻抗⎪Z 副边回路的总阻抗二、反映阻抗⎪22 ⎨2(ωM ) 2⎪(ωM ) ==Z 1f 原边反映到副边的阻抗⎪原边回路的总阻抗Z ⎩11
1）从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生感应电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。
2）反映阻抗说明了磁耦合对原副边的影响。其性质与原有阻抗相反，说明感应电流产生的磁场削弱原磁场的变化，符合楞次定律。
3）当副边开路时，副边对原边没有影响，原边对副边有影响；
当电源是直流或M ＝0时，原边对副边没有影响，副边对原边也没有影响；
三、空心变压器电路的谐振
1）部分谐振：初级或次级谐振；
2）复谐振：在部分谐振基础上，使谐振回路的反映电阻与另级回路的电阻相等，可使次级获最大功率。
3）全谐振：初、次级回路各自均发生谐振，这时两边的反映阻抗只包含电阻，耦合后初、次级仍谐振。具有双调谐回路的耦合电路常工作在全谐振状态。
例：已知ω=1000rad /s ，调节C 1、C 2使原副边均谐振（全谐振），求C 1、C 2之值。
(10) 2
=X C 1 解：原边：Im[j 500+2+2+j 200−jX C 2
(10) 2
]=X C 2 副边：Im[j 200+
2+2+j 500−jX C 1
→ 100(200−X C 2)
4+(200−X C 2)
100(500−X C 1)
4+(500−X C 1) 22=500−X C 1 =200−X C 2
1=2μF ωX C 1
1=5μF ωX C 2 得：X C 1=500Ω，C 1= X C 2=200Ω，C 2=
四、计算方法
1）列方程法（回路电流方程）
2）去耦法：
例10-5方法 ，再利用CCVS 求I 1先求I ○12
；若计算最大功率问题，只能用此法。 ，直接用戴维宁定理求I 2若不需要求I ○21
§10－4 理想变压器
欲传递尽量多的能量，应使副边受控源等效电路中的MI 1↑
① I 2
1↑→R 1I 1↑，损耗大； ×
② M ↑=ψ21N 2φ21⎧⎪N 2↑
i =
1i ⎨→∞) √φ=
1⎪⎩φ∫BdS ，B ∝μ
21↑∝μ↑(μFe
一、理想变压器条件
1． 无损耗 R 1=R 2=0 保证功率全部传递
2． 全耦合 k =1 （无漏磁，可以加铁心实现）
3． L 1、L 2、M →∞，但L
L =N N =
n 定值
22二、符号及VCR
⎧u 1=nu 2
⎪⎨ 参数为匝比n =N 1
⎪⎩i 1=−1
n i 2N 2
1． 由于传递功率不变，升压必定降流；
2． i 2与实际方向相反（二端口的约定方向）；
3． 注意n 标在原边，若n 标在副边，则
n =N 2
N ，u
1
1=u 2，i 1=−ni 2；
1n
4． 同名端标记不同，方向相反，即
u 1
1=−nu 2，i
1=n i 2
。
三、受控源去耦模型
U 1=nU 2 U 2=1
n 1 U 1=n U 2
I 1=−1
n I 2 I 1=−1 n I 2 I 2=−n I 1
注意：此受控源模型不仅适用于正弦稳态下的相量法，它可用于任何电源。 当某些软件的元件库中缺少理想变压器时，可用此模型。例如Pspice 软件。
四、变换阻抗（阻抗去耦）
Z U 1
I =n U 22U
in ==n (−2
1− I ) =n 2Z L
2
n I 2
即 Z in =n 2Z L
例：已知U S =4
∠0 V ，R 2=4Ω，n 1与n 2各为多少时，R 2获最大功率，并求P m 。解：1）谐振是第一条件，应先使n 2的
Z 2
in =
n 2(−j 5) =−j 20Ω
即发生并联谐振，∴n 2=
2，
而n 1副边等效为R 2=4Ω
2）n 1原边可等效为 当n 21×4=100Ω时，
n 5， P 421
1的R in 会获最大功率，∴n 1=m =4×100=25 ∵理想变压器为无源、无耗，∴R in 的功率即为R 2的功率。
收音机上的负载—喇叭的匹配问题和此题类似。 五、与空心变压器的比较
u di 1di ⎫
1=L 1u dt +M 2
⎪1=nu
dt ⎪2⎫
微分 ⎪
u di ⎬1⎬代数
2di 1i =−i 2
2=L 2⎪dt +M dt 1
⎭n ⎭
参数： L 1、L 2、M n =N 1
N
2
(ωM ) 2
Z f 2=Z Z in =n 2Z L
22
六、理想变压器的作用
1． 变压 u 1=nu 2
2． 变流 i 1=−1
n i 2
3． 变阻抗 Z in =n 2Z L
实际变压器有漏磁，有损耗
本章重点
1． 互感概念，同名端，互感电压的大小和方向2． 电路计算
（1） 列方程法
（2） 去耦法
① CCVS （互感电压）去耦，正弦稳态（适用于任意方式连接，物理意义清楚）② 阻抗去耦
直接电气联接
→
→
无电气联接（变压器）
空心变压器 Z (ωM ) 2
f =Z ，理想变压器 Z in =n 2Z L
22
先利用原边去耦电路求出I 1，从而可以求出I 2（U 2）。