笔算开平方求一个数的算术平方根

绥阳县青溪中学曾庆海

开平方在我国古代的数学家著作《九章算术》大体在公元前200年—公元50年已成定本，后流传下来的是由三国时期刘徽作注的本子（公元263年），他在“注”里提到在平方数的情况下求近似值的两个算法：

（1）“不加借算”：用现代符号表述就是≈a +r

2a a +r 2；

（2）“加借算”：用现代符号表述就是

a +r 2a +r 2≈a +r 2a +1；并指出在这两个近似值之间。

我们可以自己用这两个近似公式计算；

（1）

（2）

8484==9+32≈9+3≈9.167； 2⨯9849+32≈9+32⨯9+1≈9.158；用电子计算器算得=9.165。

从而可知，以上两个值虽说简便，但不够准确。为了使我们所求的平方根更准确，我们采用笔算开平方法来求一个数的算术

平方根。

先来一起研究一下，怎样求1849的平方根。这里1849是四位数，因为402=1600，502=2500，而1849在它们之间，所以它的算术平方根的整数部分就是两位数，其中的十位数是4。因此，设个位的数为a, 有（40+a）=1849。也就是402+2⨯40a+a2=1849 2

化简，得(2⨯40a+a)a=249；也就是说，a 是这样的一个正整数，它与2⨯40 +a的和乘以它本身，等于249，且1≤a ≤9，由此，我们解出a=3时，（2⨯40+3）⨯3=249。所以2849=432。

我们可以用以下竖式来进行计算：

4 3

831600249

249

上述平方根的求法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的平方根，它的计算步骤如下：

1．从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数从小数点起向右每隔两位一节，用“，”号将各节分开，位数不够补零。 2．

3．第一步先求最左边那节的最接近平方根，写在上面。从最左边第一节数里减去刚刚求得的最高位上的数的平方，把差值写在下面，然后在它们的差的右边写上第二节的数作为第一个余数。

4．把刚刚所得的商的最高位上的数乘20去试除第一个余数了，所得的整数作试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商）。

5．用最高位的数乘以20加上试商再乘以试商。如果说所得的积小于或等于余数，这个试商就是平方根的第二位数：如果所得税的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止。

6．用同样地的方法，继续求平方根的其他各位上的数。

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。练习：求84（精确到0.001）。