高中知识点：点到直线的距离公式的七种推导方法
湖南省 黄爱民 赵长春
已知点 P (x 0, y 0) 直线l :Ax +By +C =0(A ≠0, B ≠0) 求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法
证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 l ' ，垂足为Q ，由 l ' ⊥l 可知 l ' 的斜率为
∴l
'
B A
的方程：y -y 0=
2
B A
(x -x 0) 与l 联立方程组
解得交点Q (
2
B x 0-ABy 0-AC
A +B A +B
2
2
22
,
A y 0-ABx 0-BC
A +B
2
2
2
)
-y 0)
2
22
|P Q |=(
2
2
B x 0-A B y 0-A C
-x 0) +(
2
A y 0-A B x 0-B C
A +B
2
22
2
=(=
-A x 0-A B y 0-A C
A +B
2
2
22
2
2
) +(
2
2
-B y 0-A B x 0-B C
A +B (A +
B )
2
2
22
)
2
A (A x 0+B y 0+C )
(A +B )
2
+
B (A x 0+B y 0+C )
=
(A x 0+B y 0+C )
A +B
2
2
2
∴P Q |=
二、 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 Q (x , y ) 用两点的距离公式有，为了利用条件Ax +By +C =0上式变形一下，配凑系数处理得：
(A +B )[(x -x 0) +(y -y 0) ]
=A (x -x 0) +B (y -y 0) +A (y -y 0) +B (x -x 0) =[A (x -x 0) +B (y -y 0)]+[A (y -y 0) +B (x -x 0)]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥[A (x -x 0) +B (y -y 0)]=(A x 0+B y 0+C ) ( A x +B y +C =0) ≥
|A x +B y +C |
当且仅当A (y -y 0) =B （x -x 0）
时取等号所以最小值就是d =
三、不等式法
证：点P 到直线 l 上任意一点Q (x , y ) 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式：(A +B )[(x -x 0) +(y -y 0) ]≥[A (x -x 0) +B(y -y 0)]=(Ax 0+B y 0+
C )
Ax +B y +C =0, ∴
≥
2
2
2
2
2
2
当且仅当A (y -y 0) =B （x -x 0）
时取等号所以最小值就是d =四、转化法
证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M
x
图
3
(x 1, y 1) 显然x 1=x 0所以y 1=-
Ax 0+C b
∴|P M =||y +0
A x 0+C B
=|A 0x +
B
B 0+y
C
|
易得∠MPQ ＝ α（图2）或∠MPQ ＝1800-α（图3） 在
两
种
情
|PQ |=|PM |cos ∠M PQ =|
况
=
下
都
有
tan ∠M PQ =tan α=
22
A B
22
所以
cos ∠M PQ =
Ax 0+By 0+C
B
|
=
五、三角形法
证：P 作PM ∥ y 轴交l 于M ，过点P 作PN ∥ x 轴交l 于N （图4） 由解法三知|PM |=|
Ax 0+By 0+C
B
|；同理得 |P N |=|
A x 0+B y 0+C
A
|
在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高
∴|PQ |=
=
六、参数方程法
证：过点P (x 0, y 0) 作直线 l ' :⎨
⎧x =x 0+t cos θ⎩y =y 0+t sin θ
交直线l 于点Q 。(如图1)
由直线参数方程的几何意义知|t |=|P Q |，将
Ax 0+At cos θ+By 0+Bt sin θ+C =0
Ax 0+By 0+C -A cos θ-B sin θ
l ' 代入
l 得
整理后得 |t |=||...........(1)
当 l ' ⊥l 时，我们讨论 θ与 l 的倾斜角α的关系： 当 α为锐角时 （tan α=-
cos θ=-sin α=-sin θ=cos α=
A B
>0, 不妨令A>0,B
=-A B
=-
=-=
当 α为钝角时 （tan α=-0,B>0）有θ=α-90（图3）
得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
|t |=
|
|Ax 0+By 0+C |2
2
=
七、向量法
+C =0(A ≠0, B ≠0的) 一个法向量证：如图五，设直线l :A x +B y B
n =(1,) ，Q 直线上任意一点，则PQ =(x 1-x 0, y 1-y 0) 。从而点P 到直
A
线的距离为：
B |x 1-x 0+(y 1-y 0) |
|n ⋅P Q |d ===
|n | P 点在直线l 上, ∴A x 1+B y 1+C =0, 从而d =
=
附：
方案一：
设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为
B A
（A ≠0），根据点斜式
写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的
坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d 方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都
相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点R (x 1, y 0) ；作y 轴的平行线，交l 于点S (x 0, y 2) ，
⎧A 1x 1+By 0+C =0-By 0-C -Ax 0-C
, y 2=由⎨得x 1=.
Ax +By +C =0A B 02⎩
所以，｜P Ｒ｜＝｜x 0-x 1｜＝
Ax 0+By
A +C
+C
｜PS ｜＝｜y 0-y 2｜＝
Ax 0+By
B
｜ＲS ｜＝PR
2
+PS
2
=
A +B AB
22
×｜Ax 0+By 0+C ｜由三角形面积公式可知：
d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以d =
Ax 0+By
2
+C
2
A +B
可证明，当A=0时仍适用
高中知识点：点到直线的距离公式的七种推导方法
湖南省 黄爱民 赵长春
已知点 P (x 0, y 0) 直线l :Ax +By +C =0(A ≠0, B ≠0) 求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法
证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 l ' ，垂足为Q ，由 l ' ⊥l 可知 l ' 的斜率为
∴l
'
B A
的方程：y -y 0=
2
B A
(x -x 0) 与l 联立方程组
解得交点Q (
2
B x 0-ABy 0-AC
A +B A +B
2
2
22
,
A y 0-ABx 0-BC
A +B
2
2
2
)
-y 0)
2
22
|P Q |=(
2
2
B x 0-A B y 0-A C
-x 0) +(
2
A y 0-A B x 0-B C
A +B
2
22
2
=(=
-A x 0-A B y 0-A C
A +B
2
2
22
2
2
) +(
2
2
-B y 0-A B x 0-B C
A +B (A +
B )
2
2
22
)
2
A (A x 0+B y 0+C )
(A +B )
2
+
B (A x 0+B y 0+C )
=
(A x 0+B y 0+C )
A +B
2
2
2
∴P Q |=
二、 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 Q (x , y ) 用两点的距离公式有，为了利用条件Ax +By +C =0上式变形一下，配凑系数处理得：
(A +B )[(x -x 0) +(y -y 0) ]
=A (x -x 0) +B (y -y 0) +A (y -y 0) +B (x -x 0) =[A (x -x 0) +B (y -y 0)]+[A (y -y 0) +B (x -x 0)]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥[A (x -x 0) +B (y -y 0)]=(A x 0+B y 0+C ) ( A x +B y +C =0) ≥
|A x +B y +C |
当且仅当A (y -y 0) =B （x -x 0）
时取等号所以最小值就是d =
三、不等式法
证：点P 到直线 l 上任意一点Q (x , y ) 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式：(A +B )[(x -x 0) +(y -y 0) ]≥[A (x -x 0) +B(y -y 0)]=(Ax 0+B y 0+
C )
Ax +B y +C =0, ∴
≥
2
2
2
2
2
2
当且仅当A (y -y 0) =B （x -x 0）
时取等号所以最小值就是d =四、转化法
证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M
x
图
3
(x 1, y 1) 显然x 1=x 0所以y 1=-
Ax 0+C b
∴|P M =||y +0
A x 0+C B
=|A 0x +
B
B 0+y
C
|
易得∠MPQ ＝ α（图2）或∠MPQ ＝1800-α（图3） 在
两
种
情
|PQ |=|PM |cos ∠M PQ =|
况
=
下
都
有
tan ∠M PQ =tan α=
22
A B
22
所以
cos ∠M PQ =
Ax 0+By 0+C
B
|
=
五、三角形法
证：P 作PM ∥ y 轴交l 于M ，过点P 作PN ∥ x 轴交l 于N （图4） 由解法三知|PM |=|
Ax 0+By 0+C
B
|；同理得 |P N |=|
A x 0+B y 0+C
A
|
在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高
∴|PQ |=
=
六、参数方程法
证：过点P (x 0, y 0) 作直线 l ' :⎨
⎧x =x 0+t cos θ⎩y =y 0+t sin θ
交直线l 于点Q 。(如图1)
由直线参数方程的几何意义知|t |=|P Q |，将
Ax 0+At cos θ+By 0+Bt sin θ+C =0
Ax 0+By 0+C -A cos θ-B sin θ
l ' 代入
l 得
整理后得 |t |=||...........(1)
当 l ' ⊥l 时，我们讨论 θ与 l 的倾斜角α的关系： 当 α为锐角时 （tan α=-
cos θ=-sin α=-sin θ=cos α=
A B
>0, 不妨令A>0,B
=-A B
=-
=-=
当 α为钝角时 （tan α=-0,B>0）有θ=α-90（图3）
得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
|t |=
|
|Ax 0+By 0+C |2
2
=
七、向量法
+C =0(A ≠0, B ≠0的) 一个法向量证：如图五，设直线l :A x +B y B
n =(1,) ，Q 直线上任意一点，则PQ =(x 1-x 0, y 1-y 0) 。从而点P 到直
A
线的距离为：
B |x 1-x 0+(y 1-y 0) |
|n ⋅P Q |d ===
|n | P 点在直线l 上, ∴A x 1+B y 1+C =0, 从而d =
=
附：
方案一：
设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为
B A
（A ≠0），根据点斜式
写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的
坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d 方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都
相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点R (x 1, y 0) ；作y 轴的平行线，交l 于点S (x 0, y 2) ，
⎧A 1x 1+By 0+C =0-By 0-C -Ax 0-C
, y 2=由⎨得x 1=.
Ax +By +C =0A B 02⎩
所以，｜P Ｒ｜＝｜x 0-x 1｜＝
Ax 0+By
A +C
+C
｜PS ｜＝｜y 0-y 2｜＝
Ax 0+By
B
｜ＲS ｜＝PR
2
+PS
2
=
A +B AB
22
×｜Ax 0+By 0+C ｜由三角形面积公式可知：
d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以d =
Ax 0+By
2
+C
2
A +B
可证明，当A=0时仍适用