[三角函数]高考真题文科总结及答案

2015《三角函数》高考真题总结

1．(2015·四川卷5) 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )

ππ

A ．y ＝sin (2x ＋2 B ．y ＝cos (2x 2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x

2．(2015·陕西卷9) 设f (x ) ＝x －sin x ，则f (x )( )

A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )

A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x 4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D．y ＝cos x

5．(2015·广东卷3) 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x

C ．y ＝2＋2D ．y ＝x 2＋sin x 6．(2015·广东卷5) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .

若a ＝2，c ＝3，cos A ＝2b

A ．3 B ．2 C ．2 D. 3

7．（2015·福建卷6）若sin α＝－13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )

121255A. 5B ．－5C. 12 D ．－12

8．（2015·重庆卷6）若tan α＝3tan(α＋β) ＝2 tan β＝( )

1155A. 767 D. 6

9. （2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －3) 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )

ππ

A ．向左平移12个单位 B ．向右平移12个单位

ππ

C 3个单位 D ．向右平移3个单位

10. 函数f (x ) ＝cos(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为( )(2015·新课标8)

13⎫⎛

A. k π－4k π＋4⎪，k ∈Z

⎝⎭

13⎫⎛

B. 2k π－4，2k π＋4⎪，k ∈Z ⎝⎭

13⎫⎛

C. k －4，k ＋4，k ∈Z ⎝⎭

13⎫⎛ D. 2k －42k ＋4，k ∈Z ⎝⎭

111.(2015·江苏卷8) 已知tan α＝－2，tan(α＋β) ＝7tan β的值为________．

2π12. （2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝3，则∠B ＝________.

13. （2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.

14.(2015·福建卷14) 若△ABC 中，AC 3，A ＝45°，C ＝75°，则

＝___________．

15. （2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．

16. （2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，1

c ，且a ＝2，cos C ＝－4，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________. 17.(2015·浙江卷11) 函数f (x ) ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．

π⎫⎛18.(2015·湖北卷13) 函数f (x ) ＝2sin x sin x ＋2－x 2的零点个数为

⎝

⎭

__________

19. （2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx与y ＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.

20．(2015·陕西卷17) △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 向量m ＝(a, 3b ) 与n ＝(cos A ，sin B ) 平行．

(1)求A ；

(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．

21.(2015·浙江卷16) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，π

b ，c . 已知tan(4A ) ＝2.

sin 2A

(1)求的值；

sin 2A ＋cos 2A

(2)若B ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积．

22.(2015·江苏卷15) 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.

(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．

23.(2015·广东卷16) 已知tan α＝2.

π⎫⎛ (1)求tan α＋4的值； ⎝⎭

sin 2α

(2)求的值．

sin α＋sin αcos α－cos 2α－1

24.(2015·湖南卷17) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .

(1)证明：sin B ＝cos A ；

(2)若sin C －sin A cos B ＝4B 为钝角，求A ，B ，C .

25.(2015·新课标I 卷17) 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .

(1)若a ＝b ，求cos B ； (2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．

26.(2015·天津卷16) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，

b ，c . 已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A 4.

(1)求a 和sin C 的值；

π⎫⎛

(2)求cos 2A 6的值．

⎝⎭

27．(2015·新课标Ⅱ卷17) △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .

sin B (1)求sin C ； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 28. （2015·山东卷17）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，

c . 已知cos B 3，sin(A ＋B ) ＝9，ac ＝3，

求sin A 和c 的值．

29.(2015·四川卷19) 已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R ) 的两个实根．

(1) 求C 的大小；

(2) 若AB ＝3，AC 6，求p 的值．

30. （2015·安徽卷16）已知函数f (x ) ＝(sin x ＋cos x ) 2＋cos 2x .

(1)求f (x ) 的最小正周期；

(2)求f (x ) 在区间[0，2]上的最大值和最小值．

31．（2015·北京卷15）已知函数f (x ) ＝sin x －23sin 22(1)求f (x ) 的最小正周期；

2π

(2)求f (x ) 在区间[0，3上的最小值．

32.(2015·重庆卷18) 已知函数f (x ) ＝2x 3cos 2x .

(1)求f (x ) 的最小正周期和最小值；

(2)将函数f (x ) 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不

⎡π⎤

变，得到函数g (x ) 的图象，当x ∈⎢2，π⎥时，求g (x ) 的值域．

⎣⎦

33．(2015·湖北卷18) 某同学用“五点法”画函数f (x ) ＝A sin(ωx＋

π⎫⎛

φ) ω>0，|φ2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，⎝⎭如下表：

(1)，并直接．．．．．．．．．．．写出函数f (x ) 的解析式；

(2)将y ＝f (x ) 图象上所有点向左平行移动6个单位长度，得到y ＝g (x ) 的图象，求y ＝g (x ) 的图象离原点O 最近的对称中心．

x x x

34.(2015·福建卷21) 已知函数f (x ) ＝3sin 2cos 210cos 22(1)求函数f (x ) 的最小正周期；

(2)将函数f (x ) 的图象向右平移6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x ) 的图象，且函数g (x ) 的最大值为2.

①求函数g (x ) 的解析式；

②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.

2015《三角函数》高考真题答案

1. 【答案】B 2. 【答案】B 3. 【答案】B 4. 【答案】D 5. 【答案】D 6. 【解析】由余弦定理得：7. 【答案】D 【解析】由sin α=-则tan α=

，及

，可得

512，且α

为第四象限角，则cos α==，1313

sin α5

=- cos α12

tan(α+β) -tan α1

8. 【答案】A 【解析】tan β=tan[(α+β) -α]===

1+tan(α+β) tan α1+⨯7

9. 【答案】B 【解析】因为y =sin(4x -

) =sin 4(x -

所以，只需要将函数y =sin 4x ) ，

的图象向右平移10. 【答案】D

π12

个单位，故选B .

tan(α+β) -tan α7==3. 11. 【答案】3【解析】tan β=tan(α+β-α) =

1+tan(α+β) tan α1-7

12. 【解析】由正弦定理，得

a b π

，

所以sin B =所以∠B =. ==

sin A sin B 413. 【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：

6AC AB AC ⇒=⇒AC =2=

sin 60 sin 45 sin[180 -(75 +45 )]sin 45

14.

【解析】由题意得B =1800-A -C =600．由正弦定理得

AC BC

，则=

sin B sin A

BC =

AC sin A

，

sin B

所以BC =

=．

15. 【答案】－1

【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－2

2sin αcos α-cos 2α2tan α-1-4-1

2sin αcos α－cos α＝===-1 222

sin α+cos αtan α+14+1

16. 【答案】4

【解析】由3sin A =2sin B 及正弦定理知：3a =2b , 又因为a =2, 所以b =2，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2-2ab cos C =4+9-2⨯2⨯3⨯(-) =16，所以c =4;

17.

【答案】π1

11-cos 2x 113sin 2x ++1=sin 2x -cos 2x +

22222

【解析】f (x )=sin 2x +sin x cos x +1=

π332π

. x -) +，所以T ==

π；f (x ) min =4222

18. 【答案】2 19. 【答案】ω=

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

1π15π（k 1π+，2），（k 2π+，-2），k 1，k 2∈Z +, 距离最短的两个交点一定在同

ω4ω4

215ππ2π2

一个周期内，∴=2-）+（-2-2），∴ω=.

ω442

20. 试题解析：(I)因为m //n ，所以a sin B -cos A =0

(由正弦定理，得sin A sin B B cos A =0，

又sin B ≠

0，从而tan A =由于0

，

(II)解法一：由余弦定理，得

a 2=b 2+c 2-

2bc cos A ，而a =b =2，A =

得7=4+c 2-2c ，即c 2-2c -3=0 因为c >0，所以c =3，故∆

ABC 面积为

，

bc sin A =

sin B

从而sin B =

又由a >b 知A >

B ，所以cos B =故sin C =sin(A +B ) =sin(B +

)

=sin B cos

+cos B sin

所以∆

ABC 面积为

1. ab sin C =

221. 【答案】(1)

；(2)9 5

1，

sin 2A 2sin A cos A 2tan A 2

所以. ===22

sin 2A +cos A 2sin A cos A +cos A 2tan A +15

试题解析：(1)由tan(

+A) =2，得tan A =

(2)由tan A =

可得，sin A =A =

，由正弦定理知：b =a =3, B =

又sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =

，

所以S ∆ABC =

11ab sin C =⨯3⨯=9. 22 22. 【答案】（1

（2

23. 【答案】（1）；（2）．

=tan α+1=2+1=-3 =⎪

4⎭1-tan αtan 1-tan α1-2

sin 2α

（2）

sin 2α+sin αcos α-cos 2α-1

（1）tan α+

⎛⎝

π⎫

tan α+tan

2sin αcos α

sin α+sin αcos α-2cos α-1-1

2sin αcos α

sin α+sin αcos α-2cos α2tan α

tan 2α+tan α-22⨯2

2+2-2=1

24. 【答案】（I ）略；(II)A =30, B =120, C =30.

25. 【答案】（I ）

（II ）1 4

试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得b 2=2ac . 又a =b ，可得b =2c , a =2c ,

a 2+c 2-b 21由余弦定理可得cos B ==.

2ac 4

（II ）由(1)知b 2=2ac .

因为B =90°，由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=

2ac ，得c =a =所以D ABC 的面积为1.

26. 【答案】（I ）a

=8,sin C =

（II

. 11

由bc sin A =, 得bc =24, 又, 得sin A =

a c

得=

sin A sin C

试题解析（:I ）△ABC 中, 由cos A =-

由b -c =2, 解得b =6, c =4. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 可得a =8.由

sin C =

(2)

π⎫ππ⎛

cos 2A +⎪=cos 2A cos -sin 2A sin =2cos 2A -1)-sin A cos A 6⎭

66⎝

27. 【解析】（I ）由正弦定理得

AD BD AD DC

=, =,

sin ∠B sin ∠BAD sin ∠C sin ∠CAD sin ∠B DC 1

==. .

sin ∠C BD 2

因为AD 平分∠BAC , BD =2DC , 所以

（II ）因为∠C =180-(∠BAC +∠B ), ∠BAC =60, 所以sin ∠C =sin (

∠BAC +∠B )=

∠B +sin ∠B . 由（I ）知2sin ∠B =

sin ∠C , 2

所以tan ∠B =

∠B =30. 28.

sin B =. ， . +=

【解析】在∆

ABC 中，由cos B =

因为A +B +C =

π，所以sin C =sin(A +B ) =

因为sin C

为锐角，cos C =

因此sin A =sin(B +C ) =

sin B cos C +cos B sin C =

c sin A a c

，又ac =，所以c =1. 由=

, 可得a =

sin C sin A sin C

29. 【解析】(Ⅰ) 由已知，方程x 2

px －p ＋1＝0的判别式 △＝

p ) 2－4(－p ＋1) ＝3p 2＋4p －4≥0

所以p ≤－2或p ≥

2 3

由韦达定理，有tanA ＋tanB

，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p ) ＝p ≠0 从而tan (A ＋B )

＝

tan A +tan B ==

1-tan A tan B 所以tanC ＝－tan (A ＋B )

所以C ＝60° (Ⅱ) 由正弦定理，得

AC sin C ==sinB

＝

AB 解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°

tan 45+tan 30=2+ 则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)

＝=001-tan 45tan 300

所以p

(tanA ＋tanB )

＋1) ＝－1

30. 【答案】（Ⅰ）π ；

（Ⅱ）最大值为1+0 【解析】（Ⅰ）

f (x ) =sin 2x +cos 2x +2sin x cos x +cos 2x =1+sin 2x +cos 2x =2sin(2x +

所以函数f (x ) 的最小正周期为T ＝

) +1

2π

＝π. 2

2sin(2x +

（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，f (x ) =

) +1

π5π∈[, ]

2444

π5π

由正弦函数y =sin x 在[, ]上的图象知，

当x ∈[0,

] 时，2x +

当2x +

28π5ππ当2x +=，即x =时，f (x ) 取最小值0.

444

综上，f (x ) 在[0,

，即x =

时，f (x ) 取最大值2+1；

]上的最大值为2+1，最小值为0.

31. 解析（Ⅰ）∵f (x ) =sin x +3cos x －=2sin (x +∴f (x ) 的最小正周期为2π.

) －3 3

2πππ

，∴≤x +≤π. 333

π2π当x +=π，即x =时，f (x ) 取得最小值.

2π

∴f (x ) 在区间[0,]上的最小值为f () =.

（Ⅱ）∵0≤x ≤

32. 【答案】（Ⅰ）f (x ) 的最小正周期为p

，最小值为-

（Ⅱ）. 试题解析：

(1) f (x ) =

sin 2x -212x =sin 2x -+

cos 2x )

21p , =sin 2x -2x -=sin(2x -) -23因此f (x ) 的最小正周期为p

，最小值为-

. (2)

由条件可知：g(x ) =sin(x -当x Î[

p . ) -3p p p 2p

, p ]时，有x -? [, ]， 2363

p 1

从而sin(x -) 的值域为[,1]，

那么sin(x -

p 的值域为) -

故g(x ) 在区间[

. , p

]上的值域是2

33. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A =5，

ω+ϕ=

，

5π3π

，解得ω+ϕ=

ω=2,

ϕ=-. 数据补全如下表：

且函数表达式为f (x ) =5sin(2x -) .

ππππ

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x ) =5sin(2x -) ，因此 g (x ) =5sin[2(x +) -]=5sin(2x +) . 因

6666

为y =sin x 的对称中心为(k π, 0) ，k ∈Z . 令2x +

πk ππ

解得x =k ∈Z . 即y =g (x ) =k π，-，

6212

k πππ

图象的对称中心为，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为(-, 0) . -，0）

21212

34. 【解析】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）g (x )=10sin x -8；

（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即sin x 0>

． 5

由

4π4

5354

． 5

由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0, π-α0)时，均有sin x >因为y =sin x 的周期为2π，

所以当x ∈(2k π+α0,2k π+π-α0)（k ∈Z）时，均有sin x >

4． 5

因为对任意的整数k ，(2k π+π-α0)-(2k π+α0)=π-2α0>

>1，

4．亦5

所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π+α0,2k π+π-α0) ，使得sin x 0>即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．

2015《三角函数》高考真题总结

1．(2015·四川卷5) 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )

ππ

A ．y ＝sin (2x ＋2 B ．y ＝cos (2x 2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x

2．(2015·陕西卷9) 设f (x ) ＝x －sin x ，则f (x )( )

A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )

A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x 4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D．y ＝cos x

5．(2015·广东卷3) 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x

C ．y ＝2＋2D ．y ＝x 2＋sin x 6．(2015·广东卷5) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .

若a ＝2，c ＝3，cos A ＝2b

A ．3 B ．2 C ．2 D. 3

7．（2015·福建卷6）若sin α＝－13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )

121255A. 5B ．－5C. 12 D ．－12

8．（2015·重庆卷6）若tan α＝3tan(α＋β) ＝2 tan β＝( )

1155A. 767 D. 6

9. （2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －3) 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )

ππ

A ．向左平移12个单位 B ．向右平移12个单位

ππ

C 3个单位 D ．向右平移3个单位

10. 函数f (x ) ＝cos(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为( )(2015·新课标8)

13⎫⎛

A. k π－4k π＋4⎪，k ∈Z

⎝⎭

13⎫⎛

B. 2k π－4，2k π＋4⎪，k ∈Z ⎝⎭

13⎫⎛

C. k －4，k ＋4，k ∈Z ⎝⎭

13⎫⎛ D. 2k －42k ＋4，k ∈Z ⎝⎭

111.(2015·江苏卷8) 已知tan α＝－2，tan(α＋β) ＝7tan β的值为________．

2π12. （2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝3，则∠B ＝________.

13. （2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.

14.(2015·福建卷14) 若△ABC 中，AC 3，A ＝45°，C ＝75°，则

＝___________．

15. （2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．

16. （2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，1

c ，且a ＝2，cos C ＝－4，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________. 17.(2015·浙江卷11) 函数f (x ) ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．

π⎫⎛18.(2015·湖北卷13) 函数f (x ) ＝2sin x sin x ＋2－x 2的零点个数为

⎝

⎭

__________

19. （2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx与y ＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.

20．(2015·陕西卷17) △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 向量m ＝(a, 3b ) 与n ＝(cos A ，sin B ) 平行．

(1)求A ；

(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．

21.(2015·浙江卷16) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，π

b ，c . 已知tan(4A ) ＝2.

sin 2A

(1)求的值；

sin 2A ＋cos 2A

(2)若B ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积．

22.(2015·江苏卷15) 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.

(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．

23.(2015·广东卷16) 已知tan α＝2.

π⎫⎛ (1)求tan α＋4的值； ⎝⎭

sin 2α

(2)求的值．

sin α＋sin αcos α－cos 2α－1

24.(2015·湖南卷17) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .

(1)证明：sin B ＝cos A ；

(2)若sin C －sin A cos B ＝4B 为钝角，求A ，B ，C .

25.(2015·新课标I 卷17) 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .

(1)若a ＝b ，求cos B ； (2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．

26.(2015·天津卷16) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，

b ，c . 已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A 4.

(1)求a 和sin C 的值；

π⎫⎛

(2)求cos 2A 6的值．

⎝⎭

27．(2015·新课标Ⅱ卷17) △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .

sin B (1)求sin C ； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 28. （2015·山东卷17）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，

c . 已知cos B 3，sin(A ＋B ) ＝9，ac ＝3，

求sin A 和c 的值．

29.(2015·四川卷19) 已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R ) 的两个实根．

(1) 求C 的大小；

(2) 若AB ＝3，AC 6，求p 的值．

30. （2015·安徽卷16）已知函数f (x ) ＝(sin x ＋cos x ) 2＋cos 2x .

(1)求f (x ) 的最小正周期；

(2)求f (x ) 在区间[0，2]上的最大值和最小值．

31．（2015·北京卷15）已知函数f (x ) ＝sin x －23sin 22(1)求f (x ) 的最小正周期；

2π

(2)求f (x ) 在区间[0，3上的最小值．

32.(2015·重庆卷18) 已知函数f (x ) ＝2x 3cos 2x .

(1)求f (x ) 的最小正周期和最小值；

(2)将函数f (x ) 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不

⎡π⎤

变，得到函数g (x ) 的图象，当x ∈⎢2，π⎥时，求g (x ) 的值域．

⎣⎦

33．(2015·湖北卷18) 某同学用“五点法”画函数f (x ) ＝A sin(ωx＋

π⎫⎛

φ) ω>0，|φ2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，⎝⎭如下表：

(1)，并直接．．．．．．．．．．．写出函数f (x ) 的解析式；

(2)将y ＝f (x ) 图象上所有点向左平行移动6个单位长度，得到y ＝g (x ) 的图象，求y ＝g (x ) 的图象离原点O 最近的对称中心．

x x x

34.(2015·福建卷21) 已知函数f (x ) ＝3sin 2cos 210cos 22(1)求函数f (x ) 的最小正周期；

(2)将函数f (x ) 的图象向右平移6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x ) 的图象，且函数g (x ) 的最大值为2.

①求函数g (x ) 的解析式；

②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.

2015《三角函数》高考真题答案

1. 【答案】B 2. 【答案】B 3. 【答案】B 4. 【答案】D 5. 【答案】D 6. 【解析】由余弦定理得：7. 【答案】D 【解析】由sin α=-则tan α=

，及

，可得

512，且α

为第四象限角，则cos α==，1313

sin α5

=- cos α12

tan(α+β) -tan α1

8. 【答案】A 【解析】tan β=tan[(α+β) -α]===

1+tan(α+β) tan α1+⨯7

9. 【答案】B 【解析】因为y =sin(4x -

) =sin 4(x -

所以，只需要将函数y =sin 4x ) ，

的图象向右平移10. 【答案】D

π12

个单位，故选B .

tan(α+β) -tan α7==3. 11. 【答案】3【解析】tan β=tan(α+β-α) =

1+tan(α+β) tan α1-7

12. 【解析】由正弦定理，得

a b π

，

所以sin B =所以∠B =. ==

sin A sin B 413. 【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：

6AC AB AC ⇒=⇒AC =2=

sin 60 sin 45 sin[180 -(75 +45 )]sin 45

14.

【解析】由题意得B =1800-A -C =600．由正弦定理得

AC BC

，则=

sin B sin A

BC =

AC sin A

，

sin B

所以BC =

=．

15. 【答案】－1

【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－2

2sin αcos α-cos 2α2tan α-1-4-1

2sin αcos α－cos α＝===-1 222

sin α+cos αtan α+14+1

16. 【答案】4

【解析】由3sin A =2sin B 及正弦定理知：3a =2b , 又因为a =2, 所以b =2，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2-2ab cos C =4+9-2⨯2⨯3⨯(-) =16，所以c =4;

17.

【答案】π1

11-cos 2x 113sin 2x ++1=sin 2x -cos 2x +

22222

【解析】f (x )=sin 2x +sin x cos x +1=

π332π

. x -) +，所以T ==

π；f (x ) min =4222

18. 【答案】2 19. 【答案】ω=

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

1π15π（k 1π+，2），（k 2π+，-2），k 1，k 2∈Z +, 距离最短的两个交点一定在同

ω4ω4

215ππ2π2

一个周期内，∴=2-）+（-2-2），∴ω=.

ω442

20. 试题解析：(I)因为m //n ，所以a sin B -cos A =0

(由正弦定理，得sin A sin B B cos A =0，

又sin B ≠

0，从而tan A =由于0

，

(II)解法一：由余弦定理，得

a 2=b 2+c 2-

2bc cos A ，而a =b =2，A =

得7=4+c 2-2c ，即c 2-2c -3=0 因为c >0，所以c =3，故∆

ABC 面积为

，

bc sin A =

sin B

从而sin B =

又由a >b 知A >

B ，所以cos B =故sin C =sin(A +B ) =sin(B +

)

=sin B cos

+cos B sin

所以∆

ABC 面积为

1. ab sin C =

221. 【答案】(1)

；(2)9 5

1，

sin 2A 2sin A cos A 2tan A 2

所以. ===22

sin 2A +cos A 2sin A cos A +cos A 2tan A +15

试题解析：(1)由tan(

+A) =2，得tan A =

(2)由tan A =

可得，sin A =A =

，由正弦定理知：b =a =3, B =

又sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =

，

所以S ∆ABC =

11ab sin C =⨯3⨯=9. 22 22. 【答案】（1

（2

23. 【答案】（1）；（2）．

=tan α+1=2+1=-3 =⎪

4⎭1-tan αtan 1-tan α1-2

sin 2α

（2）

sin 2α+sin αcos α-cos 2α-1

（1）tan α+

⎛⎝

π⎫

tan α+tan

2sin αcos α

sin α+sin αcos α-2cos α-1-1

2sin αcos α

sin α+sin αcos α-2cos α2tan α

tan 2α+tan α-22⨯2

2+2-2=1

24. 【答案】（I ）略；(II)A =30, B =120, C =30.

25. 【答案】（I ）

（II ）1 4

试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得b 2=2ac . 又a =b ，可得b =2c , a =2c ,

a 2+c 2-b 21由余弦定理可得cos B ==.

2ac 4

（II ）由(1)知b 2=2ac .

因为B =90°，由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=

2ac ，得c =a =所以D ABC 的面积为1.

26. 【答案】（I ）a

=8,sin C =

（II

. 11

由bc sin A =, 得bc =24, 又, 得sin A =

a c

得=

sin A sin C

试题解析（:I ）△ABC 中, 由cos A =-

由b -c =2, 解得b =6, c =4. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 可得a =8.由

sin C =

(2)

π⎫ππ⎛

cos 2A +⎪=cos 2A cos -sin 2A sin =2cos 2A -1)-sin A cos A 6⎭

66⎝

27. 【解析】（I ）由正弦定理得

AD BD AD DC

=, =,

sin ∠B sin ∠BAD sin ∠C sin ∠CAD sin ∠B DC 1

==. .

sin ∠C BD 2

因为AD 平分∠BAC , BD =2DC , 所以

（II ）因为∠C =180-(∠BAC +∠B ), ∠BAC =60, 所以sin ∠C =sin (

∠BAC +∠B )=

∠B +sin ∠B . 由（I ）知2sin ∠B =

sin ∠C , 2

所以tan ∠B =

∠B =30. 28.

sin B =. ， . +=

【解析】在∆

ABC 中，由cos B =

因为A +B +C =

π，所以sin C =sin(A +B ) =

因为sin C

为锐角，cos C =

因此sin A =sin(B +C ) =

sin B cos C +cos B sin C =

c sin A a c

，又ac =，所以c =1. 由=

, 可得a =

sin C sin A sin C

29. 【解析】(Ⅰ) 由已知，方程x 2

px －p ＋1＝0的判别式 △＝

p ) 2－4(－p ＋1) ＝3p 2＋4p －4≥0

所以p ≤－2或p ≥

2 3

由韦达定理，有tanA ＋tanB

，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p ) ＝p ≠0 从而tan (A ＋B )

＝

tan A +tan B ==

1-tan A tan B 所以tanC ＝－tan (A ＋B )

所以C ＝60° (Ⅱ) 由正弦定理，得

AC sin C ==sinB

＝

AB 解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°

tan 45+tan 30=2+ 则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)

＝=001-tan 45tan 300

所以p

(tanA ＋tanB )

＋1) ＝－1

30. 【答案】（Ⅰ）π ；

（Ⅱ）最大值为1+0 【解析】（Ⅰ）

f (x ) =sin 2x +cos 2x +2sin x cos x +cos 2x =1+sin 2x +cos 2x =2sin(2x +

所以函数f (x ) 的最小正周期为T ＝

) +1

2π

＝π. 2

2sin(2x +

（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，f (x ) =

) +1

π5π∈[, ]

2444

π5π

由正弦函数y =sin x 在[, ]上的图象知，

当x ∈[0,

] 时，2x +

当2x +

28π5ππ当2x +=，即x =时，f (x ) 取最小值0.

444

综上，f (x ) 在[0,

，即x =

时，f (x ) 取最大值2+1；

]上的最大值为2+1，最小值为0.

31. 解析（Ⅰ）∵f (x ) =sin x +3cos x －=2sin (x +∴f (x ) 的最小正周期为2π.

) －3 3

2πππ

，∴≤x +≤π. 333

π2π当x +=π，即x =时，f (x ) 取得最小值.

2π

∴f (x ) 在区间[0,]上的最小值为f () =.

（Ⅱ）∵0≤x ≤

32. 【答案】（Ⅰ）f (x ) 的最小正周期为p

，最小值为-

（Ⅱ）. 试题解析：

(1) f (x ) =

sin 2x -212x =sin 2x -+

cos 2x )

21p , =sin 2x -2x -=sin(2x -) -23因此f (x ) 的最小正周期为p

，最小值为-

. (2)

由条件可知：g(x ) =sin(x -当x Î[

p . ) -3p p p 2p

, p ]时，有x -? [, ]， 2363

p 1

从而sin(x -) 的值域为[,1]，

那么sin(x -

p 的值域为) -

故g(x ) 在区间[

. , p

]上的值域是2

33. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A =5，

ω+ϕ=

，

5π3π

，解得ω+ϕ=

ω=2,

ϕ=-. 数据补全如下表：

且函数表达式为f (x ) =5sin(2x -) .

ππππ

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x ) =5sin(2x -) ，因此 g (x ) =5sin[2(x +) -]=5sin(2x +) . 因

6666

为y =sin x 的对称中心为(k π, 0) ，k ∈Z . 令2x +

πk ππ

解得x =k ∈Z . 即y =g (x ) =k π，-，

6212

k πππ

图象的对称中心为，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为(-, 0) . -，0）

21212

34. 【解析】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）g (x )=10sin x -8；

（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即sin x 0>

． 5

由

4π4

5354

． 5

由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0, π-α0)时，均有sin x >因为y =sin x 的周期为2π，

所以当x ∈(2k π+α0,2k π+π-α0)（k ∈Z）时，均有sin x >

4． 5

因为对任意的整数k ，(2k π+π-α0)-(2k π+α0)=π-2α0>

>1，

4．亦5

所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π+α0,2k π+π-α0) ，使得sin x 0>即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．

[三角函数]高考真题文科总结及答案

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