第二章 曲线正矢计算公式的理论局限
由图中可知：AD ＝f ，即曲线正矢；BD ＝L/2，即弦长的一半。 正矢计算公式为：f ＝（L/2）2/（2R －f ）＝L2/4（2R －f ）。 在（2R －f ）中，由于f 与2R 相比甚小，可忽略不计， 则公式可近似写成为：f ＝L 2/8R
弦长L 现场一般取为20m ,当L ＝20m 时，有f ＝50000/R 而精确的的正矢数值应当为：f ＝R （1－cos(α/2)） 假定有一曲线，半径R ＝500米，用近似公式求得的正矢为： f ＝50000/R＝50000/500＝100mm 精确的正矢值为：
f ＝R （1－cos(α/2)）＝500×（1－cos(10/500)）=99.99666mm
二者相差不到0.1mm ，所以利用简便公式不影响计算结果，该公式完全可以在日常生产中使用。
但以简便公式为基础推导出的公式是否也适用便值得商榷了，以一个近似的
公式推导出的公式可能会使误差扩大，以致于影响到计算结果的正确，下面就我们常用的两个推导公式进行试算，以观察其结果的差异。
2.1 第一个推导公式是计算道岔导曲线支距的公式
以50kg/m型9号道岔为例： 自导曲线起点至终点全长15.793米，K ＝2115mm ，尖轨长6.25米，导曲线半径R ＝180717.5mm 。
如图二示，由尖轨跟端（导曲线起点）处作两条辅助线，一线与基本轨平行，一线为尖轨的延长线。显然，各点支距都被截为三段，ｙ０、A 、Ｂ。用化简法将各点的ｙ０、A 、Ｂ计算相加，即是其各点的支距。
计算公式为：Y ｉ＝ｙ0+ Aｉ+ Bｉ
A ｉ＝ｕ×2000÷ｌ尖×ｉ
B ｉ＝（2×支距点横距）2/(8R)=(2×2000×ｉ) 2/(8R)=20002/(2R外) ×ｉ2
导曲线起点ｙ０＝ｕ
导曲线终点ｙ终＝S －Ksin α≈S －K/ N
S ———轨距 N ———道岔号数
K ———导曲线终点到辙叉心轨理论尖端的直线段长度
导曲线支距计算对照表 表一
ｙ终＝S －Ksin α＝1435－2115×sin6°20′25″＝1201.434 ｙ终≈S －K/ N＝1435－2115÷9＝1435－235＝1200 ｙ终的近似计算结果与实际值之间相差1.434mm
从以上支距计算对照表(表一) 可以看出，随着曲线长度的增加，利用近似计算法所得结果的误差也随着增大，当我们利用近似法计算所有2米点间的支距，而在辙叉前的导曲线终点却用另一个公式计算，这样便导致导曲线终点与其相邻点之间的圆顺程度相差3mm 。《铁路线路修理规则》中对导曲线支距标准是：作业验收标准2mm ，经常保养标准3mm ，临时补修标准4mm 。不分行车速度与线路级别，统一使用以上标准。如果采用近似算法，即便把现场平面状态处理得和计算结果一致，而实际的线型也超出了正常情况下列车运行所应满足的经常保养容许偏差管理值，所以这种近似的算法在这种情况下是不适用的。
2.2 第二个推导公式是计算道岔附带曲线支距的公式
附带曲线的整正一般常用的整正方法有长弦矢距法和直股支距法两种。 长弦矢距法是在保证曲线首尾位置正确的情况下整正曲线的一种办法，而它本身并不能保证首尾位置正确，并且它采用的公式也是曲线正矢计算公式，即：
ｆ＝L 2/8R，然后按不同的弦长计算对应测量点的矢距。
而直股支距法的优点在于，它可以从岔后直曲两股钢轨及道岔的位置来综合考虑，即能保证道岔与其后线路的相对位置正确，又可保证曲线的圆顺。但它在计算直股支距时所用的公式也是从曲线正矢的计算公式演化而来的，具体计算公
式如下：
Y ｉ＝E －（ｉ×5000）2/（2R 外）＝E －ｉ2×50002/（2R 外） Y ｉ———中间某点的支距；
ｉ———某支距点的点号；
E ———线间距
ｌ———岔后夹直线长
如图三所示，为一9号道岔，线间距E ＝5米，岔后附带曲线半径为200米。 切线长T ＝R ×tan(α/2)=200×tan3°10′12.5″＝11.077m
夹直线长l ＝E/sinα－道岔后长－T ＝45.2763－15.009－11.077＝19.1504m 曲线全长L ＝R ×α（弧度）＝22.21114m
曲线在直股上的投影长度为0点到n 点间距离＝T ＋T ×cos α＝22.1658m
注：表中支距点间距离均按5米，包括按直股投影距离计算和按曲线距离计算
表中计算结果显示，近似计算与实际位置之间存在将近4mm 的偏差，其间的偏差将随着曲线长度的增加而增加，这个偏差通过直股支距法整正附带曲线后，再利用绳正法测量时表现为正矢过大，有难以消除的“鹅头”存在。
另外，直股支距法也存在现场操作上的不便，在现场作业时，按要求自曲线尾部开始以5米间距确定支距测量点位置，自每点向曲线方向测量距离，可是垂直于直股的方向在现场难以确定，当直股一端测量点固定后，曲线方向的测量点因两线不是平行的，确定起来比较困难，并且越到曲线始点将越难确定。如果在曲线上确定测量点，然后自曲线上的点向直股方向测量支距，将很容易找到对应的支距点，因为一点到另一线的距离，垂直方向最短。
一般要求对附带曲线方向管理，使用5米点10米弦测量正矢，而在《铁路线路修理规则》中，没有对10米弦测量正矢的误差标准，只是规定了曲线正矢容许偏差管理值，并明确这个管理值的测量办法——“曲线正矢用20m 弦在钢轨踏面下16mm 处测量”，并强调与直线连接处不得有反弯或“鹅头”。因此，在处理曲线与其相邻的直线关系时，能借助于支距法的尽量使用支距法，在量取测点间距离时，最好在曲线上截取测量距离，然后通过曲线上的截取点向直线上量取支距，那样操作既方便又直观，还可以避免计算上的误差。
第二章 曲线正矢计算公式的理论局限
由图中可知：AD ＝f ，即曲线正矢；BD ＝L/2，即弦长的一半。 正矢计算公式为：f ＝（L/2）2/（2R －f ）＝L2/4（2R －f ）。 在（2R －f ）中，由于f 与2R 相比甚小，可忽略不计， 则公式可近似写成为：f ＝L 2/8R
弦长L 现场一般取为20m ,当L ＝20m 时，有f ＝50000/R 而精确的的正矢数值应当为：f ＝R （1－cos(α/2)） 假定有一曲线，半径R ＝500米，用近似公式求得的正矢为： f ＝50000/R＝50000/500＝100mm 精确的正矢值为：
f ＝R （1－cos(α/2)）＝500×（1－cos(10/500)）=99.99666mm
二者相差不到0.1mm ，所以利用简便公式不影响计算结果，该公式完全可以在日常生产中使用。
但以简便公式为基础推导出的公式是否也适用便值得商榷了，以一个近似的
公式推导出的公式可能会使误差扩大，以致于影响到计算结果的正确，下面就我们常用的两个推导公式进行试算，以观察其结果的差异。
2.1 第一个推导公式是计算道岔导曲线支距的公式
以50kg/m型9号道岔为例： 自导曲线起点至终点全长15.793米，K ＝2115mm ，尖轨长6.25米，导曲线半径R ＝180717.5mm 。
如图二示，由尖轨跟端（导曲线起点）处作两条辅助线，一线与基本轨平行，一线为尖轨的延长线。显然，各点支距都被截为三段，ｙ０、A 、Ｂ。用化简法将各点的ｙ０、A 、Ｂ计算相加，即是其各点的支距。
计算公式为：Y ｉ＝ｙ0+ Aｉ+ Bｉ
A ｉ＝ｕ×2000÷ｌ尖×ｉ
B ｉ＝（2×支距点横距）2/(8R)=(2×2000×ｉ) 2/(8R)=20002/(2R外) ×ｉ2
导曲线起点ｙ０＝ｕ
导曲线终点ｙ终＝S －Ksin α≈S －K/ N
S ———轨距 N ———道岔号数
K ———导曲线终点到辙叉心轨理论尖端的直线段长度
导曲线支距计算对照表 表一
ｙ终＝S －Ksin α＝1435－2115×sin6°20′25″＝1201.434 ｙ终≈S －K/ N＝1435－2115÷9＝1435－235＝1200 ｙ终的近似计算结果与实际值之间相差1.434mm
从以上支距计算对照表(表一) 可以看出，随着曲线长度的增加，利用近似计算法所得结果的误差也随着增大，当我们利用近似法计算所有2米点间的支距，而在辙叉前的导曲线终点却用另一个公式计算，这样便导致导曲线终点与其相邻点之间的圆顺程度相差3mm 。《铁路线路修理规则》中对导曲线支距标准是：作业验收标准2mm ，经常保养标准3mm ，临时补修标准4mm 。不分行车速度与线路级别，统一使用以上标准。如果采用近似算法，即便把现场平面状态处理得和计算结果一致，而实际的线型也超出了正常情况下列车运行所应满足的经常保养容许偏差管理值，所以这种近似的算法在这种情况下是不适用的。
2.2 第二个推导公式是计算道岔附带曲线支距的公式
附带曲线的整正一般常用的整正方法有长弦矢距法和直股支距法两种。 长弦矢距法是在保证曲线首尾位置正确的情况下整正曲线的一种办法，而它本身并不能保证首尾位置正确，并且它采用的公式也是曲线正矢计算公式，即：
ｆ＝L 2/8R，然后按不同的弦长计算对应测量点的矢距。
而直股支距法的优点在于，它可以从岔后直曲两股钢轨及道岔的位置来综合考虑，即能保证道岔与其后线路的相对位置正确，又可保证曲线的圆顺。但它在计算直股支距时所用的公式也是从曲线正矢的计算公式演化而来的，具体计算公
式如下：
Y ｉ＝E －（ｉ×5000）2/（2R 外）＝E －ｉ2×50002/（2R 外） Y ｉ———中间某点的支距；
ｉ———某支距点的点号；
E ———线间距
ｌ———岔后夹直线长
如图三所示，为一9号道岔，线间距E ＝5米，岔后附带曲线半径为200米。 切线长T ＝R ×tan(α/2)=200×tan3°10′12.5″＝11.077m
夹直线长l ＝E/sinα－道岔后长－T ＝45.2763－15.009－11.077＝19.1504m 曲线全长L ＝R ×α（弧度）＝22.21114m
曲线在直股上的投影长度为0点到n 点间距离＝T ＋T ×cos α＝22.1658m
注：表中支距点间距离均按5米，包括按直股投影距离计算和按曲线距离计算
表中计算结果显示，近似计算与实际位置之间存在将近4mm 的偏差，其间的偏差将随着曲线长度的增加而增加，这个偏差通过直股支距法整正附带曲线后，再利用绳正法测量时表现为正矢过大，有难以消除的“鹅头”存在。
另外，直股支距法也存在现场操作上的不便，在现场作业时，按要求自曲线尾部开始以5米间距确定支距测量点位置，自每点向曲线方向测量距离，可是垂直于直股的方向在现场难以确定，当直股一端测量点固定后，曲线方向的测量点因两线不是平行的，确定起来比较困难，并且越到曲线始点将越难确定。如果在曲线上确定测量点，然后自曲线上的点向直股方向测量支距，将很容易找到对应的支距点，因为一点到另一线的距离，垂直方向最短。
一般要求对附带曲线方向管理，使用5米点10米弦测量正矢，而在《铁路线路修理规则》中，没有对10米弦测量正矢的误差标准，只是规定了曲线正矢容许偏差管理值，并明确这个管理值的测量办法——“曲线正矢用20m 弦在钢轨踏面下16mm 处测量”，并强调与直线连接处不得有反弯或“鹅头”。因此，在处理曲线与其相邻的直线关系时，能借助于支距法的尽量使用支距法，在量取测点间距离时，最好在曲线上截取测量距离，然后通过曲线上的截取点向直线上量取支距，那样操作既方便又直观，还可以避免计算上的误差。