§12.3 .含参变量的积分
教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求
(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．
(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．
一、含参变量的有限积分
∀u ∈[α, β],一元函数f (x , u ) 在[a , b ]设二元函数f (x , u ) 在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 有定义，
可积，即积分
⎰
b
a
f (x , u ) dx
b
b
a
a
存在. ∀u ∈[α, β]都对应唯一一个确定的积分（值）⎰f (x , u ) dx . 于是，积分⎰f (x , u ) dx 是定义在区间[α, β]的函数，表为
ϕ(u ) =⎰f (x , u ) dx ,
a
b
u ∈[α, β]
b
称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.
定理1. 若函数f (x , u ) 在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 连续，则函数ϕ(u ) =⎰f (x , u ) dx 在区间
a
[α, β]也连续.
★说明：若函数f (x , u ) 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 . 若函数f (x , u ) 与
b ∂f
在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 连续，则函数ϕ(u ) =⎰f (x , u ) dx 在
a ∂u
区间[α, β]可导，且∀u ∈[α, β]，有
b ∂f (x , u ) d
ϕ(u ) =dx ， ⎰a du ∂u
b ∂f (x , u ) d b
dx . 或 ⎰f (x , u ) dx =⎰a a du ∂u
简称积分号下可微分.
★说明：若函数f (x , u ) 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.
定理3 . 若函数f (x , u ) 在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 连续，则函数ϕ(u ) =⎰f (x , u ) dx 在区间
a b
[α, β]可积，且
1
⎰α{⎰
β
b
a
f (x , u ) dx du =⎰
}
b
a
{⎰
β
α
f (x , u ) du dx .
}
简称积分号下可积分.
★说明：若函数f (x , u ) 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.
一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即
a =a (u ), b =b (u ) . 但∀u ∈[α, β]，对应唯一一个积分（值）⎰
b (u ) a (u )
它仍是区间[α, β]的函数，f (x , u ) dx ，
设 ψ(u ) =⎰
b (u )
a (u )
f (x , u ) dx , u ∈[α, β].
下面给出函数ψ(u ) 在区间[α, β]的可微性.
定理4. 若函数f (x , u ) 与
[α, β]可导，∀u ∈[α, β]，有
a ≤a (u ) ≤b , a ≤b (u ) ≤b ，
∂f
在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 连续，而函数a (u ) 与b (u ) 在区间∂u
则函数ψ(u ) =⎰
b (u )
a (u )
f (x , u ) dx , u ∈[α, β]在区间u ∈[α, β]可导，且
b (u ) ∂f (x , u ) d
(u ) =⎰+f [b (u ), u ]b ' (u ) -f [a (u ), u ]a ' (u )
a (u ) du ∂u
二、例（I ）
例1. 求函数F (y ) =⎰ln(x 2+y 2) dx 的导数(y >0)
1
解：∀y >0，暂时固定，∃ε>0，使ε≤y ≤
1
ε
，显然，被积函数
ln(x 2+y 2) 与
∂2y ln(x 2+y 2) =2 2∂y x +y
1
在矩形域R (0≤x ≤1, ε≤y ≤) 都连续，根据定理2，有
ε
1∂2y 22
F (y ) =⎰ln(x +y ) dx =⎰2
0∂y 0x +y 2'
1
⎛x ⎫d ⎪11y ⎭x 1⎝=2⎰=2arctan =2atrc tan . 20y y ⎛x ⎫0 y ⎪+1⎝⎭
因为∀y >0, ∃ε>0, 使ε≤y ≤
1
ε
，所以∀y >0，有
F ' (y ) =2atrc tan
1. y
例2 .求I (r ) =⎰ln(1+r cos x ) dx ,
π
r
2
解：∀r :r 0，使r ≤k
f (x , r ) =ln(1+r cos x ) 与
∂f cos x = ∂r 1+r cos x
在矩形区域R (0≤x ≤π, -k ≤r ≤k ) 连续，根据定理2 ，有
π∂cos x
I (r ) =⎰ln(1+r cos x ) dx =⎰
0∂r 01+r cos x 1π1+r cos x -11π1
=⎰(1-) dx =⎰
r 01+r cos x r 01+r cos x π1πdx =-⎰.(r ≠0)
0r r 1+r cos x '
π
x
设t =tan （万能换元），有
2
22dx 2==⎰1+r cos x ⎰1-t 2⎰(1+r ) +(1-r ) t 2
1+r
1+t 2
2dt x ⎫
==⎪+C ⎪1-r ⎰+t 22⎭
1-r
从而，
⎰
π
dx x ⎫. ==⎪⎪1+r cos x 2⎭0
π
于是，
I '(r ) =
π
r
r ≠0) （3）
⎛π又有
lim I ' (r ) =lim -
r →0r →0r ⎝⎫
=0. 将I '(r ) 在r =0做连续开拓. 令I '(0)=0. 函数I '(r ) 在区间[-k , k ]连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有
1+I (r ) =⎰
(dr =π(lnr +ln +C
r r
π=πln(1+C .
1
已知I '(0)=0. ，有 C =-πln 2=πln .
2
11+于是 ，
I (r ) =πln(1++πln =πln .
22
例3 .证明：若函数f (x ) 在区间[a , b ]连续，则函数
3
y (x ) =
x 1n -1(x -t ) f (t ) dt , ⎰a (n -1)!
x ∈[a , b ]
是微分方程y (n ) (x ) =f (x ) 的解，并满足条件y (a ) =0, y ' (a ) =0 , y (n -1) (a ) =0.
证明： 逐次应用定理4，求函数y (x ) 的n 阶导数，有
y ' (x ) =
x 11n -2n -2'
(n -1)(x -t ) f (t ) dt +(x -t ) f (x ).(x ) ⎰a (n -1)! (n -1)!
x 1
=(x -t ) n -2f (t ) dt ， ⎰(n -2)! a x 1n -3
(x -t ) f (t ) dt , ⎰a (n -3)!
y '' (x ) =
y (n -1) (x ) =⎰f (t ) dt ,
a
x
y (n ) (x ) =f (x ) ，
即函数y (x ) 是微分方程y (n ) (x ) =f (x ) 的解，显然，当x =a 时，
y (a ) =0, y ' (a ) =0, y (n ) (a ) =0.
例4. 证明：若函数f (x ) 存在二阶导数，函数F (x ) 存在连续导数，则函数
11x +at
u (x , t ) =[f (x -at ) +f (x +at )]+F (z ) dz
22a ⎰z -at
2
∂2u 2∂u 是弦振动方程2=a 的解. ∂t ∂x 2
证明：根据定理4，有
∂u 1' 1
=[f (x -at )(-a ) +f ' (x +at ) a ]+[F (x +at ) a -F (x -at )(-a )] ∂t 22a
a 1
=[f ' (x +at ) -f ' (x -at )]+[F '(x +at ) +F (x -at )] 22
∂2u a 2" a ' ' =[f (x +at ) +f (x +at )]+[F (x +at ) -F ' (x -at )] 2∂t 22∂u 1' 1
=[f (x +at ) +f ' (x -at )]+[F (x +at ) -F (x -at )] ∂x 22a
∂2u 1" 1"
=[f (x +at ) +f (x -at )]+[F ' (x +at ) -F ' (x -at )] 2∂x 22a
4
∂2u 1⎧1⎫
于是，2=a 2⎨[f " (x +at ) +f " (x -at )]+[F ' (x +at ) -F ' (x -at )]⎬
∂x 2a ⎩2⎭
∂2u =a
∂x 2
2
2
∂2u 2∂u 即u (x , t ) 是弦振动方程2=a 的解 2∂t ∂x
例5 .求积分⎰
1
x b -x a
dx , ln x
0
解法一 应用积分号下积分法.
x b -x a
解： 函数y (x ) =的原函数不是初等函数，函数y (x ) 在0与1没定义，却有极限
ln x x b -x a
=0. lim
x →0+ln x
x b -x a bx b -1-ax a -1b a
lim =lim =lim(bx -ax ) =b -a . --x →1-x →11x →1ln x
x
将函数y (x ) 在0与1作连续开拓，即
x =0, ⎧0,
⎪b
⎪x -x a
y (x ) =⎨, 0
ln x ⎪
x =1. ⎪⎩b -a ,
从而，函数y (x ) 在区间[0,1]连续. 已知
b x b -x a x y
y (x ) ===⎰x y dy
a ln x ln x a
b
而函数f (x , y ) =x y 在闭矩形域R (0≤x ≤1, a ≤y ≤b ) 连续，根据定理3，有
⎰
1
1x b -x a
=⎰0ln x
{⎰x dy }dx =⎰{⎰x dx }dy
b
y
b
1
y
a
a
=⎰
b
a
b dy x y +11+b
dy =⎰=ln .
a y +1y +101+a
解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 Φ(y ) =⎰
1
x y -x a
, ln x
a ≤y ≤b
5
根据定理2，有
1⎛x y -x a ⎫x y +11y
Φ(y ) =⎰ . dx =⎰x dx ==⎪00y +10y +1⎝ln x ⎭y
1
'
1
两端求不定积分，有
Φ(y ) =⎰令 y =a ，有
Φ(a ) =0=ln(a +1) +C ，即 C =-ln(a +1). 于是， Φ(y ) =ln(y +1) -ln(a +1) =ln
令 y =b ，有 Φ(b ) =⎰
1
dy
=ln(y +1) +C . y +1
y +1
. a +1
x b -x a b +1
dx =ln . ln x a +1
+∞
三、含参变量的无穷积分
设二元函数f (x , u ) 在区域D (a ≤x
+∞a
a
f (x , u ) dx
f (x , u ) dx . 于是，⎰
+∞
a
f (x , u ) dx 是区间[α, β]
ϕ(u ) =⎰
+∞
a
f (x , u ) dx ,
+∞
u ∈[α, β]，
称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，u 是参变量.
定义 设∀u ∈I ，无穷积分⎰
a
f (x , u ) dx 收敛，若∀ε>0, ∃A 0(通用）>0, ∀A >A 0, ∀u ∈I , 有
⎰
+∞
a
f (x , u ) dx -⎰f (x , u ) dx =
a
A
⎰
+∞
A
f (x , u ) dx
则称无穷积分⎰
+∞
a
f (x , u ) dx 在区间I 一致收敛。
+∞
例6 .证明：无穷积分⎰0
+∞
ue dx 在区间[a,b](a>0)一致收敛.
-xu
证明：设A >0, 求无穷积分（将u 看做常数） ⎰ue -xu dx
A
设xu =t , dx =
1
dt , 有 u ue
-xu
⎰
+∞
A
dx =⎰
+∞
Aa
+∞1
ue dt =⎰e -t dt =e -Aa
Aa u -t
已知a ≤u ≤b , 有
6
⎰
于是，∀ε>0, ∃A 0=
+∞A
ue -xu dx =e -Au ≤e -Aa
∀ε>0, 使不等式e -Aa
1111ln 。取A 0=ln . a εa ε
11
ln , ∀A >A 0, ∀u ∈[a , b ],有 a ε
ue -xu dx ≤e -Aa
⎰
即无穷积分⎰
+∞0
+∞A
f (x , u ) dx 在区间[a , b ]一致收敛.
+∞0
定理5 （柯西一致收敛准则）无穷积分⎰
f (x , u ) dx 在区间I 一致收敛
⎰
分⎰
+∞
+∞
f (x , u ) dx ⇔∀ε>0, ∃A 0>0, ∀A 1>A 0, 与A 2>A 0, ∀u ∈I ，有
+∞a
⎰
A 2A 1
f (x , u ) dx
定理6 . 若∃B >0, ∀x >B , ∀u ∈I , 有 f (x , u ) ≤F (x ) ，且无穷积分⎰F (x ) dx 收敛，则无穷积
f (x , u ) dx 在区间一致收敛。
例7. 证明：无穷积分⎰e -ux dx 在区间[a , +∞) 一致收敛(a >0)
0+∞
2
证明： ∀u ∈[a , +∞), 有 e -ux ≤e -ax 已知无穷积分⎰e
0+∞
-ax 2
22
dx 收敛，根据定理6，则无穷积分⎰e -ux dx 在区间[a , +∞) 一致收敛.
+∞1
+∞
2
例8. 证明： 无穷积分⎰证明：∀y ∈R ，有
∞+
cos xy
在R 一致收敛 x 2+y 2
cos xy 1
. ≤
x 2+y 2x 2
已知无穷积分⎰
1
+∞cos xy 1
，则无穷积分⎰dx 在R 一致收敛。
1x 2x 2+y 2
定理7 . 若函数f (x , u ) 在区域D (a
F (x , u ) =⎰f (t , u ) dt
a x
≤x 0)，连续且
在D 有界，即∃C >0, ∀(x , u ) ∈D ，有
F (x , u ) =
⎰
x
a
f (t , u ) dt ≤C
则当λ>0时，无穷积分
+∞
a
⎰
f (x , u )
λ
x
7
在区间I 一致收敛.
sin x
dx 在区间[0,+∞) 一致收敛。
0x
sin x
=1，所以0不是被积函数的瑕点，因此将被积函数证明： 因为∀y ∈[0,+∞), 有lim e -yx
x →0x
+∞sin x
dx 在区间[0,+∞) 一致收敛 在0作连续开拓。首先证明无穷积分⎰e -yx
1x
由§7.2例6 ，有
例9 . 证明：无穷积分⎰e -yx
+∞
F (x , y ) =⎰
x
1
-e -yt (y sin t +cos t ) -yt
e sin tdt =
1+y 2
1
x
-e -yt (y sin x +cos x ) -e -y (y sin1+cos1)
=+22
1+y 1+y
∀(x , y ) ∈D (1≤x
e -yx (y +1) e -y (y +1) 2(y +1) -y
F (x . y ) ≤+≤e →0(y →∞) 222
1+y 1+y 1+y
于是，函数F (x , y ) 在区域D 有界，根据定理7，无穷积分⎰e
1+∞
-yx
-yx
+∞e sin x sin x dx =⎰(λ=1>0)
1x x
在区间[0,+∞) 一致收敛，再根据柯西一致收敛准则，无穷积分
⎰
+∞
e -yx
sin x
dx x
在区间[0,+∞) 一致收敛.
定理8. 若函数f (x , u ) 在区域D (u ≤x
+∞
a
f (x , u ) dx 在区间[α, β]一致收敛。则函数ϕ(u ) 在区间[α, β]连续。
定理9 .若函数f (x , u ) 在区域D (u ≤x
+∞
a
f (x , u ) dx 在区间[α, β]一致收敛，则函数ϕ(u ) 在区间[α, β]可积，且
⎰α
即
β
ϕ(u ) du =⎰
+∞
a
{⎰
β
α
f (x , u ) du dx ，
β
}
⎰α{⎰
β
+∞
a
f (x , u ) dx du =⎰
}
+∞
a
{⎰
α
f (x , u ) du dx .
}
简称积分号下可积分.
定理10. 若函数f (x , u ) 与f u ' (x , u ) 在区域D (u ≤x
+∞a
f (x , u ) dx 在区间[α, β]收敛，而无穷积分⎰
+∞
a
f u ' (x , u ) dx 在区间[α, β]一致收敛，则函数
ϕ(u ) 在区间[α, β]可导，且
8
ϕ(u ) =⎰
即
'
+∞
a
f ' u (x , u ) dx
+∞∂d +∞
f (x , u ) dx =f (x , u ) dx . ⎰⎰a a du ∂u
简称积分号下可微分. 四、例（II ）
例10 .证明：⎰
+∞
e -ax -e -bx b
dx =ln ,(0
b
证明： 将被积函数表积分，即
e -ax -e -bx e -bx -e -ax e -yx =-=-- x x x a
b ⎛e -yx ⎫-yx
=⎰ -dy =e dy . ⎪⎰a a
⎝x ⎭y
b
'
已知∀y ∈[a , b ],有 e -yx ≤e -ax .
而无穷积分⎰e -ax dx 收敛。根据定理6，无穷积分⎰e -ax dx 在区间[a , b ]一致收敛，根据定理9，
+∞
+∞
交换积分次序，有⎰
+∞
+∞e -ax -e -bx
dx =⎰0x
{⎰
b
a
e -yx dy dx =⎰
}
b
a
{⎰
+∞
e -yx dx dy
}
=⎰
b
a
dy b
=ln b -ln a =ln y a
例11. 求无穷积分I =⎰
+∞
sin x x
+∞0
解：§12.1例11证明了无穷积分⎰因为被积函数
sin x
收敛（条件收敛） x
sin x
不存在初等函数的原函数，所以不能直接求这个无穷积分，为此在被积函数中x
引入一个收敛因子e -yx (y ≥0) ，讨论无穷积分 I (y ) =⎰e -yx
0+∞
sin x
(7) x
显然，I =I (0)。无穷积分（７）的被积函数及其关于ｙ的偏导数，即
e -yx
sin x ∂⎛sin x ⎫-yx
与 e -yx ⎪=e sin x x ∂y ⎝x ⎭
在区域D (0≤x
⎰
+∞
e -yx
sin x
dx x
9
在区间[0,+∞) 一致收敛（见例９），下面证明。∀ε>0，无穷积分
⎰
+∞
+∞∂⎛-yx sin x ⎫-yx
e dx =-e sin xdx ⎪⎰0∂y ⎝x ⎭
在区间[ε, +∞) 一致收敛，事实上∀y ∈[ε, +∞), 有
e -yx sin x ≤e -yx ≤e -εx
已知无穷积分⎰e
+∞
-εx
dx 收敛，由定理６，无穷积分⎰e -εx sin xdx 在区间[ε, +∞) 一致收敛，根据定
+∞
理10，∀y ∈[ε, +∞), ，有
I (y ) =⎰
=e
'
+∞
+∞∂⎛-yx sin x ⎫-yx e dx =-e sin xdx ⎪⎰0∂y ⎝x ⎭
+∞
-yx
(y sin x +cos x ) 1
= 2
1+y 21+y 0
从而I (y ) =-⎰
1
=-arctan y +c (8) 2
1+y
下面确定常数C ，∀y >0, 等式8都成立，有
I (y ) =
⎰
+∞
e -yx
+∞sin x sin x ≤⎰e -yx
0x x
+∞
≤⎰
y →+∞
+∞
e -yx -yx
e dx =-
y
=
1
→0(y →+∞) y
即lim I (y ) =0，对等式（8）等号两端取极限(y →+∞) ，有
y →+∞
lim I (y ) =-lim arctan y +c
y →+∞
即0=-
π
2
+c 或C =
π
2
，于是
I (y ) =-arctan y +
π
2.
下面证明函数I (y ) 在y =0右连续，事实上，已知无穷积分（7）在区间[0,+∞) 一致收敛，根据定理8，函数I (y ) 在I (y ) 在y =0右连续，对等式（9）等号两端取 极限(y →0+) , 有
lim +I (y ) =lim +(-arctan y ) +
y →0
y →0
π
2
，
10
即 I (0)=. 2
+∞sin x π= 于是 I =I (0)=⎰0x 2
+∞sin yx dx 例12. 求无穷积分⎰0x
+∞sin yx =0 解：显然，y=0时，⎰0x
1dt , 由例11，有 y π当y ≠0，设yx =t , dx =
y >0, ⎰+∞+∞sin t sin yx π=⎰= 00x t 2
+∞sin yx -∞sin t +∞sin u πy
于是，
⎧π⎪2, y >0
+∞sin yx ⎪=⎨0, y =0 ⎰0x ⎪π⎪-⎩2
⎛sin x ⎫例13 .求无穷积分⎰ ⎪dx -∞x ⎝⎭+∞2
⎛sin x ⎫解： 被积函数 ⎪是偶函数，有 ⎝x ⎭
+∞⎛sin x ⎫+∞1-cos 2x ⎛sin x ⎫dx =2dx = ⎪ ⎪2⎰-∞ ⎰⎰00x ⎝x ⎭⎝x ⎭+∞222
由分布公式与例12，有
+∞1-cos2x +∞⎛sin x ⎫⎛1⎫dx ==(1-cos2x ) d ⎪ -⎪ 2⎰-∞ ⎰⎰00x ⎝x ⎭⎝x ⎭+∞2
+∞2sin 2x 1-cos 2x =-+⎰ 0x x 0+∞
=⎰+∞
0sin 2x π=2. =π x 2
五、Γ函数和B 函数
（一） Γ函数
函数Γ(α) =⎰+∞
0x α-1e -x dx 称为Γ函数
Γ函数的两个性质：
1、Γ函数在区间(0,+∞) 连续
2、递推公式 ∀α>0, 有
Γ(α+1) =⎰
=-x αe -x
（二）B函数
1+∞0+∞0x e dx =⎰+∞0α--x +∞0x αde -x +α⎰x α-1e -x dx =αΓ(α) 函数B(p , q ) =⎰x p -1(1-x ) q -1dx 称为B函数 0
B(p , q ) 的性质
1. 对称性B(p , q ) =B(q , p )
B(p , q ) =⎰x 0
1
01p -1(1-x ) q -1dx =-⎰(1-t ) p -1t q -1dt 10 =⎰(1-t ) p -1t q -1dt =B(q , p )
2. 递推公式
∀p >0, q >1, 有B(p , q ) =q -1B(p , q -1) p +q -1
1p -1B(p , q ) =⎰x 0(1-x ) q -1dx =⎰(1-x ) 01q -1⎛x p ⎫d ⎪ ⎝p ⎭
x p q -11p -1q -2=(1-x ) q -1+x (1-x ) dx ⎰0p p 01
=q -11p -1p -1q -2[x -x (1-x )](1-x ) dx ⎰0p
q -11q -11p -1q -2p -1=x (1-x ) dx -⎰x (1-x ) dx 0p ⎰0
=q -1q -1B(p , q -1) -B(p , q ) p p
即B(p , q ) =q -1B(p , q -1) p +q -1
π
3、∀p >0, q >1, B(p , q ) =2⎰2cos 2p -1ϕsin 2q -1ϕd ϕ 0
事实上，设x =cos 2ϕ, dx =-2sin ϕcos ϕd ϕ，有
B(p , q ) =⎰x 01p -1(1-x ) q -1dx =⎰π(cos2ϕ) p -1(sin2ϕ) q -1(-2sin ϕcos ϕ) d ϕ
20
π
=2⎰2cos 2p -1ϕsin 2q -1ϕd ϕ （11） 0
由公式（11），在下面有几个简单公式：∀p >0, q >1，有
π
⎰2
01Γ(p ) Γ(q ) （12） cos 2p -1ϕsin 2q -1ϕd ϕ=B(p , q ) =22Γ(p +q )
n +11与p =，∀n >-1, 有 在公式（12）中，令q =22
πΓ(n +1) Γ(1) ⎰2
0sin n ϕd ϕ= 2Γ(2+1)
在公式（13）中，令n =0，有
πΓ(1) Γ(1) 2
⎰2
0d ϕ=2Γ(1)=1⎡1⎤
2⎢⎣Γ(2) ⎥⎦
或 ⎡21⎢⎣Γ(1⎤
2) ⎥⎦
=π，即Γ(2) =六、例（III ）
例14. 求概率积分⎰+∞e -x 2
0dx 与⎰+∞e -x 2-∞dx .
解：
设x 2=t , dx =有
1
⎰+∞x 2
0e -dx =12⎰+∞
0t -2e -t dt =12Γ(1
2) =
于是⎰+∞e -x 2dx =2⎰+∞
-∞0e -x 2dx =例15. 求⎰+∞x p -1
0(1+x ) p +q , p >0, q >0
解： 设1
1+x =t , dx =-1
t 2dt ，有
+∞x p -10⎛1-t ⎫p -1
⎰0(1+x ) p +q dx =-⎰1 ⎝t ⎪⎭. t p +q . 1
t 2dt
=⎰1t q -1(1-t ) p -1
0=B(p , q )
2
例16.
证明：欧拉等式⎰1π
0⎰1=4
证明： 分别求等号左端的两个积分
13） （
1-3
设t =x , dx =t 4dt ，有
44
⎰
⎰
于是，⎰1101-11-3111=⎰
t 4(1-t ) 2dt =B(, ) 442401201-11-11314=⎰t (1-t ) 2dt =B(, )
4424010⎰2111131=B(, ) B(, ) 442442
⎛1⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛1⎫Γ ⎪Γ ⎪Γ ⎪Γ ⎪1⎝4⎭⎝2⎭⎝4⎭⎝2⎭=. 16⎛3⎫⎛5⎫Γ ⎪Γ ⎪⎝4⎭⎝4⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛1⎫Γ ⎪Γ ⎪Γ ⎪Γ ⎪1⎝4⎭⎝2⎭⎝4⎭⎝2⎭=. 1⎛1⎫16⎛3⎫Γ ⎪Γ ⎪44⎝⎭⎝4⎭1⎡⎛1⎫⎤π=⎢Γ ⎪⎥= 4⎣⎝2⎭⎦42
例17. 证明：若α>0, β>0, b >a 有
⎰
证明： 设u =b a (x -a ) a -1(b -x ) β-1dx =Γ(α)Γ(β)α+β-1(b -a ). Γα+βx -a , x -a =(b -a )u , b -x =(b -a )(1-u ), dx =(b -a )du ，有 b -a
⎰b
a (x -a ) a -1(b -x ) β-1dx
1a -1=⎰⎡(b -a )u ⎤⎦0⎣
=(b -a )α+β-1[(b -a )(1-u ) ](b -a )du β-1β-1⎰1
0u α-1(1-u )du
=(b -a )α+β-1B(α, β)
=(b -a )α+β-1Γ(α)Γ(β) Γα+β例18. 证明：勒让德公式：∀a >0, 有
1⎫⎛Γ(
α)Γ α+⎪=(2a ). 2⎭⎝
证明： B(a , a ) =⎰x 01a -1(1-x ) a -1dx =⎰[x (1-x )]α-1dx 01
=⎰⎡⎣x (1-x )⎤⎦12
0α-1dx +1⎡⎣x (1-x )⎤⎦dx
21a -1
对等号右端第二个积分做变换，设x =1-t , dx =-dt ，有
1
1
2⎡⎣x (1-x )⎤⎦dx =-1⎡⎣t (1-t )⎤⎦2
1
2
0a -10α-1dt α-1=⎰⎡⎣x (1-x )⎤⎦dx
1
2
02⎡1⎛1⎫⎤⎢- -x ⎪⎥⎭⎥⎢⎣4⎝2⎦B(a , a )=2⎰⎡⎣x (1-x )⎤⎦
1=有 设-x =2120α-1α-1dx =2⎰dx
B(a , a )=
由 公式（10）, 有 22a -1⎰011-t 12(1-t )a -1dt =⎛1⎫B , a ⎪ 2a -12⎝2⎭1
⎛1⎫Γ ⎪Γ(a )Γ(a )Γ(a )12=2a -1⎝⎭
1⎫Γ2a 2⎛Γ a +⎪2⎭⎝
⎛1⎫已知Γ ⎪= ⎝2⎭
1⎫⎛Γ(
a )Γ a +⎪=(2a )， 2⎭⎝
特别是，令a =
1，有
4⎛1⎫⎛1⎫⎛3⎫Γ ⎪Γ ⎪= ⎪= ⎝4⎭⎝4⎭⎝2⎭
§12.3 .含参变量的积分
教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求
(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．
(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．
一、含参变量的有限积分
∀u ∈[α, β],一元函数f (x , u ) 在[a , b ]设二元函数f (x , u ) 在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 有定义，
可积，即积分
⎰
b
a
f (x , u ) dx
b
b
a
a
存在. ∀u ∈[α, β]都对应唯一一个确定的积分（值）⎰f (x , u ) dx . 于是，积分⎰f (x , u ) dx 是定义在区间[α, β]的函数，表为
ϕ(u ) =⎰f (x , u ) dx ,
a
b
u ∈[α, β]
b
称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.
定理1. 若函数f (x , u ) 在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 连续，则函数ϕ(u ) =⎰f (x , u ) dx 在区间
a
[α, β]也连续.
★说明：若函数f (x , u ) 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 . 若函数f (x , u ) 与
b ∂f
在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 连续，则函数ϕ(u ) =⎰f (x , u ) dx 在
a ∂u
区间[α, β]可导，且∀u ∈[α, β]，有
b ∂f (x , u ) d
ϕ(u ) =dx ， ⎰a du ∂u
b ∂f (x , u ) d b
dx . 或 ⎰f (x , u ) dx =⎰a a du ∂u
简称积分号下可微分.
★说明：若函数f (x , u ) 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.
定理3 . 若函数f (x , u ) 在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 连续，则函数ϕ(u ) =⎰f (x , u ) dx 在区间
a b
[α, β]可积，且
1
⎰α{⎰
β
b
a
f (x , u ) dx du =⎰
}
b
a
{⎰
β
α
f (x , u ) du dx .
}
简称积分号下可积分.
★说明：若函数f (x , u ) 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.
一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即
a =a (u ), b =b (u ) . 但∀u ∈[α, β]，对应唯一一个积分（值）⎰
b (u ) a (u )
它仍是区间[α, β]的函数，f (x , u ) dx ，
设 ψ(u ) =⎰
b (u )
a (u )
f (x , u ) dx , u ∈[α, β].
下面给出函数ψ(u ) 在区间[α, β]的可微性.
定理4. 若函数f (x , u ) 与
[α, β]可导，∀u ∈[α, β]，有
a ≤a (u ) ≤b , a ≤b (u ) ≤b ，
∂f
在矩形域R (a ≤x ≤b , α≤u ≤β) 连续，而函数a (u ) 与b (u ) 在区间∂u
则函数ψ(u ) =⎰
b (u )
a (u )
f (x , u ) dx , u ∈[α, β]在区间u ∈[α, β]可导，且
b (u ) ∂f (x , u ) d
(u ) =⎰+f [b (u ), u ]b ' (u ) -f [a (u ), u ]a ' (u )
a (u ) du ∂u
二、例（I ）
例1. 求函数F (y ) =⎰ln(x 2+y 2) dx 的导数(y >0)
1
解：∀y >0，暂时固定，∃ε>0，使ε≤y ≤
1
ε
，显然，被积函数
ln(x 2+y 2) 与
∂2y ln(x 2+y 2) =2 2∂y x +y
1
在矩形域R (0≤x ≤1, ε≤y ≤) 都连续，根据定理2，有
ε
1∂2y 22
F (y ) =⎰ln(x +y ) dx =⎰2
0∂y 0x +y 2'
1
⎛x ⎫d ⎪11y ⎭x 1⎝=2⎰=2arctan =2atrc tan . 20y y ⎛x ⎫0 y ⎪+1⎝⎭
因为∀y >0, ∃ε>0, 使ε≤y ≤
1
ε
，所以∀y >0，有
F ' (y ) =2atrc tan
1. y
例2 .求I (r ) =⎰ln(1+r cos x ) dx ,
π
r
2
解：∀r :r 0，使r ≤k
f (x , r ) =ln(1+r cos x ) 与
∂f cos x = ∂r 1+r cos x
在矩形区域R (0≤x ≤π, -k ≤r ≤k ) 连续，根据定理2 ，有
π∂cos x
I (r ) =⎰ln(1+r cos x ) dx =⎰
0∂r 01+r cos x 1π1+r cos x -11π1
=⎰(1-) dx =⎰
r 01+r cos x r 01+r cos x π1πdx =-⎰.(r ≠0)
0r r 1+r cos x '
π
x
设t =tan （万能换元），有
2
22dx 2==⎰1+r cos x ⎰1-t 2⎰(1+r ) +(1-r ) t 2
1+r
1+t 2
2dt x ⎫
==⎪+C ⎪1-r ⎰+t 22⎭
1-r
从而，
⎰
π
dx x ⎫. ==⎪⎪1+r cos x 2⎭0
π
于是，
I '(r ) =
π
r
r ≠0) （3）
⎛π又有
lim I ' (r ) =lim -
r →0r →0r ⎝⎫
=0. 将I '(r ) 在r =0做连续开拓. 令I '(0)=0. 函数I '(r ) 在区间[-k , k ]连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有
1+I (r ) =⎰
(dr =π(lnr +ln +C
r r
π=πln(1+C .
1
已知I '(0)=0. ，有 C =-πln 2=πln .
2
11+于是 ，
I (r ) =πln(1++πln =πln .
22
例3 .证明：若函数f (x ) 在区间[a , b ]连续，则函数
3
y (x ) =
x 1n -1(x -t ) f (t ) dt , ⎰a (n -1)!
x ∈[a , b ]
是微分方程y (n ) (x ) =f (x ) 的解，并满足条件y (a ) =0, y ' (a ) =0 , y (n -1) (a ) =0.
证明： 逐次应用定理4，求函数y (x ) 的n 阶导数，有
y ' (x ) =
x 11n -2n -2'
(n -1)(x -t ) f (t ) dt +(x -t ) f (x ).(x ) ⎰a (n -1)! (n -1)!
x 1
=(x -t ) n -2f (t ) dt ， ⎰(n -2)! a x 1n -3
(x -t ) f (t ) dt , ⎰a (n -3)!
y '' (x ) =
y (n -1) (x ) =⎰f (t ) dt ,
a
x
y (n ) (x ) =f (x ) ，
即函数y (x ) 是微分方程y (n ) (x ) =f (x ) 的解，显然，当x =a 时，
y (a ) =0, y ' (a ) =0, y (n ) (a ) =0.
例4. 证明：若函数f (x ) 存在二阶导数，函数F (x ) 存在连续导数，则函数
11x +at
u (x , t ) =[f (x -at ) +f (x +at )]+F (z ) dz
22a ⎰z -at
2
∂2u 2∂u 是弦振动方程2=a 的解. ∂t ∂x 2
证明：根据定理4，有
∂u 1' 1
=[f (x -at )(-a ) +f ' (x +at ) a ]+[F (x +at ) a -F (x -at )(-a )] ∂t 22a
a 1
=[f ' (x +at ) -f ' (x -at )]+[F '(x +at ) +F (x -at )] 22
∂2u a 2" a ' ' =[f (x +at ) +f (x +at )]+[F (x +at ) -F ' (x -at )] 2∂t 22∂u 1' 1
=[f (x +at ) +f ' (x -at )]+[F (x +at ) -F (x -at )] ∂x 22a
∂2u 1" 1"
=[f (x +at ) +f (x -at )]+[F ' (x +at ) -F ' (x -at )] 2∂x 22a
4
∂2u 1⎧1⎫
于是，2=a 2⎨[f " (x +at ) +f " (x -at )]+[F ' (x +at ) -F ' (x -at )]⎬
∂x 2a ⎩2⎭
∂2u =a
∂x 2
2
2
∂2u 2∂u 即u (x , t ) 是弦振动方程2=a 的解 2∂t ∂x
例5 .求积分⎰
1
x b -x a
dx , ln x
0
解法一 应用积分号下积分法.
x b -x a
解： 函数y (x ) =的原函数不是初等函数，函数y (x ) 在0与1没定义，却有极限
ln x x b -x a
=0. lim
x →0+ln x
x b -x a bx b -1-ax a -1b a
lim =lim =lim(bx -ax ) =b -a . --x →1-x →11x →1ln x
x
将函数y (x ) 在0与1作连续开拓，即
x =0, ⎧0,
⎪b
⎪x -x a
y (x ) =⎨, 0
ln x ⎪
x =1. ⎪⎩b -a ,
从而，函数y (x ) 在区间[0,1]连续. 已知
b x b -x a x y
y (x ) ===⎰x y dy
a ln x ln x a
b
而函数f (x , y ) =x y 在闭矩形域R (0≤x ≤1, a ≤y ≤b ) 连续，根据定理3，有
⎰
1
1x b -x a
=⎰0ln x
{⎰x dy }dx =⎰{⎰x dx }dy
b
y
b
1
y
a
a
=⎰
b
a
b dy x y +11+b
dy =⎰=ln .
a y +1y +101+a
解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 Φ(y ) =⎰
1
x y -x a
, ln x
a ≤y ≤b
5
根据定理2，有
1⎛x y -x a ⎫x y +11y
Φ(y ) =⎰ . dx =⎰x dx ==⎪00y +10y +1⎝ln x ⎭y
1
'
1
两端求不定积分，有
Φ(y ) =⎰令 y =a ，有
Φ(a ) =0=ln(a +1) +C ，即 C =-ln(a +1). 于是， Φ(y ) =ln(y +1) -ln(a +1) =ln
令 y =b ，有 Φ(b ) =⎰
1
dy
=ln(y +1) +C . y +1
y +1
. a +1
x b -x a b +1
dx =ln . ln x a +1
+∞
三、含参变量的无穷积分
设二元函数f (x , u ) 在区域D (a ≤x
+∞a
a
f (x , u ) dx
f (x , u ) dx . 于是，⎰
+∞
a
f (x , u ) dx 是区间[α, β]
ϕ(u ) =⎰
+∞
a
f (x , u ) dx ,
+∞
u ∈[α, β]，
称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，u 是参变量.
定义 设∀u ∈I ，无穷积分⎰
a
f (x , u ) dx 收敛，若∀ε>0, ∃A 0(通用）>0, ∀A >A 0, ∀u ∈I , 有
⎰
+∞
a
f (x , u ) dx -⎰f (x , u ) dx =
a
A
⎰
+∞
A
f (x , u ) dx
则称无穷积分⎰
+∞
a
f (x , u ) dx 在区间I 一致收敛。
+∞
例6 .证明：无穷积分⎰0
+∞
ue dx 在区间[a,b](a>0)一致收敛.
-xu
证明：设A >0, 求无穷积分（将u 看做常数） ⎰ue -xu dx
A
设xu =t , dx =
1
dt , 有 u ue
-xu
⎰
+∞
A
dx =⎰
+∞
Aa
+∞1
ue dt =⎰e -t dt =e -Aa
Aa u -t
已知a ≤u ≤b , 有
6
⎰
于是，∀ε>0, ∃A 0=
+∞A
ue -xu dx =e -Au ≤e -Aa
∀ε>0, 使不等式e -Aa
1111ln 。取A 0=ln . a εa ε
11
ln , ∀A >A 0, ∀u ∈[a , b ],有 a ε
ue -xu dx ≤e -Aa
⎰
即无穷积分⎰
+∞0
+∞A
f (x , u ) dx 在区间[a , b ]一致收敛.
+∞0
定理5 （柯西一致收敛准则）无穷积分⎰
f (x , u ) dx 在区间I 一致收敛
⎰
分⎰
+∞
+∞
f (x , u ) dx ⇔∀ε>0, ∃A 0>0, ∀A 1>A 0, 与A 2>A 0, ∀u ∈I ，有
+∞a
⎰
A 2A 1
f (x , u ) dx
定理6 . 若∃B >0, ∀x >B , ∀u ∈I , 有 f (x , u ) ≤F (x ) ，且无穷积分⎰F (x ) dx 收敛，则无穷积
f (x , u ) dx 在区间一致收敛。
例7. 证明：无穷积分⎰e -ux dx 在区间[a , +∞) 一致收敛(a >0)
0+∞
2
证明： ∀u ∈[a , +∞), 有 e -ux ≤e -ax 已知无穷积分⎰e
0+∞
-ax 2
22
dx 收敛，根据定理6，则无穷积分⎰e -ux dx 在区间[a , +∞) 一致收敛.
+∞1
+∞
2
例8. 证明： 无穷积分⎰证明：∀y ∈R ，有
∞+
cos xy
在R 一致收敛 x 2+y 2
cos xy 1
. ≤
x 2+y 2x 2
已知无穷积分⎰
1
+∞cos xy 1
，则无穷积分⎰dx 在R 一致收敛。
1x 2x 2+y 2
定理7 . 若函数f (x , u ) 在区域D (a
F (x , u ) =⎰f (t , u ) dt
a x
≤x 0)，连续且
在D 有界，即∃C >0, ∀(x , u ) ∈D ，有
F (x , u ) =
⎰
x
a
f (t , u ) dt ≤C
则当λ>0时，无穷积分
+∞
a
⎰
f (x , u )
λ
x
7
在区间I 一致收敛.
sin x
dx 在区间[0,+∞) 一致收敛。
0x
sin x
=1，所以0不是被积函数的瑕点，因此将被积函数证明： 因为∀y ∈[0,+∞), 有lim e -yx
x →0x
+∞sin x
dx 在区间[0,+∞) 一致收敛 在0作连续开拓。首先证明无穷积分⎰e -yx
1x
由§7.2例6 ，有
例9 . 证明：无穷积分⎰e -yx
+∞
F (x , y ) =⎰
x
1
-e -yt (y sin t +cos t ) -yt
e sin tdt =
1+y 2
1
x
-e -yt (y sin x +cos x ) -e -y (y sin1+cos1)
=+22
1+y 1+y
∀(x , y ) ∈D (1≤x
e -yx (y +1) e -y (y +1) 2(y +1) -y
F (x . y ) ≤+≤e →0(y →∞) 222
1+y 1+y 1+y
于是，函数F (x , y ) 在区域D 有界，根据定理7，无穷积分⎰e
1+∞
-yx
-yx
+∞e sin x sin x dx =⎰(λ=1>0)
1x x
在区间[0,+∞) 一致收敛，再根据柯西一致收敛准则，无穷积分
⎰
+∞
e -yx
sin x
dx x
在区间[0,+∞) 一致收敛.
定理8. 若函数f (x , u ) 在区域D (u ≤x
+∞
a
f (x , u ) dx 在区间[α, β]一致收敛。则函数ϕ(u ) 在区间[α, β]连续。
定理9 .若函数f (x , u ) 在区域D (u ≤x
+∞
a
f (x , u ) dx 在区间[α, β]一致收敛，则函数ϕ(u ) 在区间[α, β]可积，且
⎰α
即
β
ϕ(u ) du =⎰
+∞
a
{⎰
β
α
f (x , u ) du dx ，
β
}
⎰α{⎰
β
+∞
a
f (x , u ) dx du =⎰
}
+∞
a
{⎰
α
f (x , u ) du dx .
}
简称积分号下可积分.
定理10. 若函数f (x , u ) 与f u ' (x , u ) 在区域D (u ≤x
+∞a
f (x , u ) dx 在区间[α, β]收敛，而无穷积分⎰
+∞
a
f u ' (x , u ) dx 在区间[α, β]一致收敛，则函数
ϕ(u ) 在区间[α, β]可导，且
8
ϕ(u ) =⎰
即
'
+∞
a
f ' u (x , u ) dx
+∞∂d +∞
f (x , u ) dx =f (x , u ) dx . ⎰⎰a a du ∂u
简称积分号下可微分. 四、例（II ）
例10 .证明：⎰
+∞
e -ax -e -bx b
dx =ln ,(0
b
证明： 将被积函数表积分，即
e -ax -e -bx e -bx -e -ax e -yx =-=-- x x x a
b ⎛e -yx ⎫-yx
=⎰ -dy =e dy . ⎪⎰a a
⎝x ⎭y
b
'
已知∀y ∈[a , b ],有 e -yx ≤e -ax .
而无穷积分⎰e -ax dx 收敛。根据定理6，无穷积分⎰e -ax dx 在区间[a , b ]一致收敛，根据定理9，
+∞
+∞
交换积分次序，有⎰
+∞
+∞e -ax -e -bx
dx =⎰0x
{⎰
b
a
e -yx dy dx =⎰
}
b
a
{⎰
+∞
e -yx dx dy
}
=⎰
b
a
dy b
=ln b -ln a =ln y a
例11. 求无穷积分I =⎰
+∞
sin x x
+∞0
解：§12.1例11证明了无穷积分⎰因为被积函数
sin x
收敛（条件收敛） x
sin x
不存在初等函数的原函数，所以不能直接求这个无穷积分，为此在被积函数中x
引入一个收敛因子e -yx (y ≥0) ，讨论无穷积分 I (y ) =⎰e -yx
0+∞
sin x
(7) x
显然，I =I (0)。无穷积分（７）的被积函数及其关于ｙ的偏导数，即
e -yx
sin x ∂⎛sin x ⎫-yx
与 e -yx ⎪=e sin x x ∂y ⎝x ⎭
在区域D (0≤x
⎰
+∞
e -yx
sin x
dx x
9
在区间[0,+∞) 一致收敛（见例９），下面证明。∀ε>0，无穷积分
⎰
+∞
+∞∂⎛-yx sin x ⎫-yx
e dx =-e sin xdx ⎪⎰0∂y ⎝x ⎭
在区间[ε, +∞) 一致收敛，事实上∀y ∈[ε, +∞), 有
e -yx sin x ≤e -yx ≤e -εx
已知无穷积分⎰e
+∞
-εx
dx 收敛，由定理６，无穷积分⎰e -εx sin xdx 在区间[ε, +∞) 一致收敛，根据定
+∞
理10，∀y ∈[ε, +∞), ，有
I (y ) =⎰
=e
'
+∞
+∞∂⎛-yx sin x ⎫-yx e dx =-e sin xdx ⎪⎰0∂y ⎝x ⎭
+∞
-yx
(y sin x +cos x ) 1
= 2
1+y 21+y 0
从而I (y ) =-⎰
1
=-arctan y +c (8) 2
1+y
下面确定常数C ，∀y >0, 等式8都成立，有
I (y ) =
⎰
+∞
e -yx
+∞sin x sin x ≤⎰e -yx
0x x
+∞
≤⎰
y →+∞
+∞
e -yx -yx
e dx =-
y
=
1
→0(y →+∞) y
即lim I (y ) =0，对等式（8）等号两端取极限(y →+∞) ，有
y →+∞
lim I (y ) =-lim arctan y +c
y →+∞
即0=-
π
2
+c 或C =
π
2
，于是
I (y ) =-arctan y +
π
2.
下面证明函数I (y ) 在y =0右连续，事实上，已知无穷积分（7）在区间[0,+∞) 一致收敛，根据定理8，函数I (y ) 在I (y ) 在y =0右连续，对等式（9）等号两端取 极限(y →0+) , 有
lim +I (y ) =lim +(-arctan y ) +
y →0
y →0
π
2
，
10
即 I (0)=. 2
+∞sin x π= 于是 I =I (0)=⎰0x 2
+∞sin yx dx 例12. 求无穷积分⎰0x
+∞sin yx =0 解：显然，y=0时，⎰0x
1dt , 由例11，有 y π当y ≠0，设yx =t , dx =
y >0, ⎰+∞+∞sin t sin yx π=⎰= 00x t 2
+∞sin yx -∞sin t +∞sin u πy
于是，
⎧π⎪2, y >0
+∞sin yx ⎪=⎨0, y =0 ⎰0x ⎪π⎪-⎩2
⎛sin x ⎫例13 .求无穷积分⎰ ⎪dx -∞x ⎝⎭+∞2
⎛sin x ⎫解： 被积函数 ⎪是偶函数，有 ⎝x ⎭
+∞⎛sin x ⎫+∞1-cos 2x ⎛sin x ⎫dx =2dx = ⎪ ⎪2⎰-∞ ⎰⎰00x ⎝x ⎭⎝x ⎭+∞222
由分布公式与例12，有
+∞1-cos2x +∞⎛sin x ⎫⎛1⎫dx ==(1-cos2x ) d ⎪ -⎪ 2⎰-∞ ⎰⎰00x ⎝x ⎭⎝x ⎭+∞2
+∞2sin 2x 1-cos 2x =-+⎰ 0x x 0+∞
=⎰+∞
0sin 2x π=2. =π x 2
五、Γ函数和B 函数
（一） Γ函数
函数Γ(α) =⎰+∞
0x α-1e -x dx 称为Γ函数
Γ函数的两个性质：
1、Γ函数在区间(0,+∞) 连续
2、递推公式 ∀α>0, 有
Γ(α+1) =⎰
=-x αe -x
（二）B函数
1+∞0+∞0x e dx =⎰+∞0α--x +∞0x αde -x +α⎰x α-1e -x dx =αΓ(α) 函数B(p , q ) =⎰x p -1(1-x ) q -1dx 称为B函数 0
B(p , q ) 的性质
1. 对称性B(p , q ) =B(q , p )
B(p , q ) =⎰x 0
1
01p -1(1-x ) q -1dx =-⎰(1-t ) p -1t q -1dt 10 =⎰(1-t ) p -1t q -1dt =B(q , p )
2. 递推公式
∀p >0, q >1, 有B(p , q ) =q -1B(p , q -1) p +q -1
1p -1B(p , q ) =⎰x 0(1-x ) q -1dx =⎰(1-x ) 01q -1⎛x p ⎫d ⎪ ⎝p ⎭
x p q -11p -1q -2=(1-x ) q -1+x (1-x ) dx ⎰0p p 01
=q -11p -1p -1q -2[x -x (1-x )](1-x ) dx ⎰0p
q -11q -11p -1q -2p -1=x (1-x ) dx -⎰x (1-x ) dx 0p ⎰0
=q -1q -1B(p , q -1) -B(p , q ) p p
即B(p , q ) =q -1B(p , q -1) p +q -1
π
3、∀p >0, q >1, B(p , q ) =2⎰2cos 2p -1ϕsin 2q -1ϕd ϕ 0
事实上，设x =cos 2ϕ, dx =-2sin ϕcos ϕd ϕ，有
B(p , q ) =⎰x 01p -1(1-x ) q -1dx =⎰π(cos2ϕ) p -1(sin2ϕ) q -1(-2sin ϕcos ϕ) d ϕ
20
π
=2⎰2cos 2p -1ϕsin 2q -1ϕd ϕ （11） 0
由公式（11），在下面有几个简单公式：∀p >0, q >1，有
π
⎰2
01Γ(p ) Γ(q ) （12） cos 2p -1ϕsin 2q -1ϕd ϕ=B(p , q ) =22Γ(p +q )
n +11与p =，∀n >-1, 有 在公式（12）中，令q =22
πΓ(n +1) Γ(1) ⎰2
0sin n ϕd ϕ= 2Γ(2+1)
在公式（13）中，令n =0，有
πΓ(1) Γ(1) 2
⎰2
0d ϕ=2Γ(1)=1⎡1⎤
2⎢⎣Γ(2) ⎥⎦
或 ⎡21⎢⎣Γ(1⎤
2) ⎥⎦
=π，即Γ(2) =六、例（III ）
例14. 求概率积分⎰+∞e -x 2
0dx 与⎰+∞e -x 2-∞dx .
解：
设x 2=t , dx =有
1
⎰+∞x 2
0e -dx =12⎰+∞
0t -2e -t dt =12Γ(1
2) =
于是⎰+∞e -x 2dx =2⎰+∞
-∞0e -x 2dx =例15. 求⎰+∞x p -1
0(1+x ) p +q , p >0, q >0
解： 设1
1+x =t , dx =-1
t 2dt ，有
+∞x p -10⎛1-t ⎫p -1
⎰0(1+x ) p +q dx =-⎰1 ⎝t ⎪⎭. t p +q . 1
t 2dt
=⎰1t q -1(1-t ) p -1
0=B(p , q )
2
例16.
证明：欧拉等式⎰1π
0⎰1=4
证明： 分别求等号左端的两个积分
13） （
1-3
设t =x , dx =t 4dt ，有
44
⎰
⎰
于是，⎰1101-11-3111=⎰
t 4(1-t ) 2dt =B(, ) 442401201-11-11314=⎰t (1-t ) 2dt =B(, )
4424010⎰2111131=B(, ) B(, ) 442442
⎛1⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛1⎫Γ ⎪Γ ⎪Γ ⎪Γ ⎪1⎝4⎭⎝2⎭⎝4⎭⎝2⎭=. 16⎛3⎫⎛5⎫Γ ⎪Γ ⎪⎝4⎭⎝4⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛1⎫Γ ⎪Γ ⎪Γ ⎪Γ ⎪1⎝4⎭⎝2⎭⎝4⎭⎝2⎭=. 1⎛1⎫16⎛3⎫Γ ⎪Γ ⎪44⎝⎭⎝4⎭1⎡⎛1⎫⎤π=⎢Γ ⎪⎥= 4⎣⎝2⎭⎦42
例17. 证明：若α>0, β>0, b >a 有
⎰
证明： 设u =b a (x -a ) a -1(b -x ) β-1dx =Γ(α)Γ(β)α+β-1(b -a ). Γα+βx -a , x -a =(b -a )u , b -x =(b -a )(1-u ), dx =(b -a )du ，有 b -a
⎰b
a (x -a ) a -1(b -x ) β-1dx
1a -1=⎰⎡(b -a )u ⎤⎦0⎣
=(b -a )α+β-1[(b -a )(1-u ) ](b -a )du β-1β-1⎰1
0u α-1(1-u )du
=(b -a )α+β-1B(α, β)
=(b -a )α+β-1Γ(α)Γ(β) Γα+β例18. 证明：勒让德公式：∀a >0, 有
1⎫⎛Γ(
α)Γ α+⎪=(2a ). 2⎭⎝
证明： B(a , a ) =⎰x 01a -1(1-x ) a -1dx =⎰[x (1-x )]α-1dx 01
=⎰⎡⎣x (1-x )⎤⎦12
0α-1dx +1⎡⎣x (1-x )⎤⎦dx
21a -1
对等号右端第二个积分做变换，设x =1-t , dx =-dt ，有
1
1
2⎡⎣x (1-x )⎤⎦dx =-1⎡⎣t (1-t )⎤⎦2
1
2
0a -10α-1dt α-1=⎰⎡⎣x (1-x )⎤⎦dx
1
2
02⎡1⎛1⎫⎤⎢- -x ⎪⎥⎭⎥⎢⎣4⎝2⎦B(a , a )=2⎰⎡⎣x (1-x )⎤⎦
1=有 设-x =2120α-1α-1dx =2⎰dx
B(a , a )=
由 公式（10）, 有 22a -1⎰011-t 12(1-t )a -1dt =⎛1⎫B , a ⎪ 2a -12⎝2⎭1
⎛1⎫Γ ⎪Γ(a )Γ(a )Γ(a )12=2a -1⎝⎭
1⎫Γ2a 2⎛Γ a +⎪2⎭⎝
⎛1⎫已知Γ ⎪= ⎝2⎭
1⎫⎛Γ(
a )Γ a +⎪=(2a )， 2⎭⎝
特别是，令a =
1，有
4⎛1⎫⎛1⎫⎛3⎫Γ ⎪Γ ⎪= ⎪= ⎝4⎭⎝4⎭⎝2⎭