臻是．姐．
不定积分的计算方法
壬佩徐姗姗崔小兵
(南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061)
c}商要]时关于不定积分的基本计算方法的总结。
拱键词】不定积分；分项积分法；第一类换毛积分法；第二类换元积分法；分部积分法
不定积分是一元积分学中非常重要的内容之一。在学习不定积分
时，学生们常感到解不定积分比较困难。因此，本文介绍了解不定积分的基本方法：分项积分法，换元积分法，分部积分法。通过本文对不定积分的基本计算方法的介绍，从而使学生们更好的掌握并能灵活运用求解不定积分的方法，启发学生的思维，达到事半功倍的效果
一不定、积分的基分项燃
本积分法：
分项积分法适用于一些比较简单的不定积分。这些不定积分是通
过代数、三角等初等方法变形，并利用不定积分的性质，将其化为基本积分公式中的情形，从而求出这些不定积分。
例1}lx+÷I,vCi-dx
解：被积函数中的根式和分式均可化为幂函数，从而可得
『【x+÷】佩x=『[x}+声】d)(=』，a×+』^x
：3J．—+1
x和+—一L}+1
产1十c：圣≯5
+2x}+c
例2求『．曼箜‰x
解：被积函数有不同三角函数sinx．COSX和cos2x，可利用倍角
公式化为
J
OSX-slnx
J
cosx-sinx
J
二、第—类涣元积分法蜮凑微分法)
第一类换元积分法是利用复合函数的一阶微分形式不变性的原理，反过来求不定积分的方法。它是通过适当的变量代隐把原积分化为关于新变量的函数的积分。此时，视新变量为中间变量，从而达到化难为易
的目的。第一类换元积分法的关键在于如何将被积函数鳓分解为fkP删
和‘P‘6。两部分，从而转化为基本积分公式有关函数的形式或容易积分的形式，其积分过程是：
㈨赤等需即卜等巾Ⅲ胡北玲凳蒜’f川幽
—粤一；：：
易积
F∞、。
)+c
变量j丕原
(，。‘“I廿妒(x)d
J+a
例3J
2xefdx
一
解：被积函数自然地分成2xe#，其中2x与dx可以凑成d∞，于是应用变量代换U_--X2，从而有
j2x∥dX_fe}悱Jeudu=eu+c髫+c-例4
fsecXdx
腆：『sec。
舭．』旦C。
暑OS
X
x=。●』静删
一寻¨’^
。=f矗两dsin加f矗丽dsin对
=驯篙熹I+C．
2010年7月(雨
fsecxdJ
×=Icosx(secx+t。n
anx)dx—I
secx+tan-。
一I
nI单1-sir'Ixll
+c
从例4的两种思路可看出第一类换元法的技巧性与灵活性，虽然结果形式E不—样，但均可化为同一函数，至多相差—个常数。
注：应用第一类换元法的，关键是怎样分解被积函数，凑出新的微
分，使得到的新的积分比原积分更容求出。因此，熟悉一些微分变换式
是非常有用的。常见的凑微分形式有：
1)j觚+bIdx=}J眠+b》dbx+啪旭2)f怕X2+b)xd×=丢ffIaX2+蛐X2十啪≠a；3)』馅x呶州dx=告f怡xId(axl(a≠Q；4)J即nⅪ扣x=』怡炖，；5)』椰n)o扣x=胁删呲
6)ffISinx)cosxdx=ff(sin碍酏in埘；
7)Jf《cos煳nxdx=一nJ8t+腼xcess)x蝴。nacost+xces(埒；d
8}ff(tan耐i毫一。=lt(tan嫡ecZxdx=If(tan硒柏吣9)Jf(cot对i；如x=ff《c。t)。csc2xdx=一JfIcot)o批。tx)：
10，fercseinx)习亡尹x一』I怕矧n黼rcs㈣；
”)／fIarccos柚静×=一f(arccos蝴ccos斌
1
2)f
letctan)d击dx=一If(arctan眦rctan蛐i
1
3)』怕rccot蝴丢一x=一I伯rccotxjclbrcc删；
14)惜dx’f静埘。
三、第二类换元积分法
第二类换元积分法是通过恰当的变量代换，将原积分化为关于新变
量的函数的积分，从而起到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在
于祝新变量为laE'量，而不是中间变量。
使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的代
换×=删，从而转化为基本积分公式有关函数的形式或容易积分的形式，
其积分过程是：
㈨由等即坤等丽蒜FmMc唧喃寿皿F尝愀㈨J)]Fm
出
十舭a
例5
f爿XV≥I
+x
14
臻是．姐．
不定积分的计算方法
壬佩徐姗姗崔小兵
(南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061)
c}商要]时关于不定积分的基本计算方法的总结。
拱键词】不定积分；分项积分法；第一类换毛积分法；第二类换元积分法；分部积分法
不定积分是一元积分学中非常重要的内容之一。在学习不定积分
时，学生们常感到解不定积分比较困难。因此，本文介绍了解不定积分的基本方法：分项积分法，换元积分法，分部积分法。通过本文对不定积分的基本计算方法的介绍，从而使学生们更好的掌握并能灵活运用求解不定积分的方法，启发学生的思维，达到事半功倍的效果
一不定、积分的基分项燃
本积分法：
分项积分法适用于一些比较简单的不定积分。这些不定积分是通
过代数、三角等初等方法变形，并利用不定积分的性质，将其化为基本积分公式中的情形，从而求出这些不定积分。
例1}lx+÷I,vCi-dx
解：被积函数中的根式和分式均可化为幂函数，从而可得
『【x+÷】佩x=『[x}+声】d)(=』，a×+』^x
：3J．—+1
x和+—一L}+1
产1十c：圣≯5
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例2求『．曼箜‰x
解：被积函数有不同三角函数sinx．COSX和cos2x，可利用倍角
公式化为
J
OSX-slnx
J
cosx-sinx
J
二、第—类涣元积分法蜮凑微分法)
第一类换元积分法是利用复合函数的一阶微分形式不变性的原理，反过来求不定积分的方法。它是通过适当的变量代隐把原积分化为关于新变量的函数的积分。此时，视新变量为中间变量，从而达到化难为易
的目的。第一类换元积分法的关键在于如何将被积函数鳓分解为fkP删
和‘P‘6。两部分，从而转化为基本积分公式有关函数的形式或容易积分的形式，其积分过程是：
㈨赤等需即卜等巾Ⅲ胡北玲凳蒜’f川幽
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易积
F∞、。
)+c
变量j丕原
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一
解：被积函数自然地分成2xe#，其中2x与dx可以凑成d∞，于是应用变量代换U_--X2，从而有
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腆：『sec。
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X
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2010年7月(雨
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×=Icosx(secx+t。n
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一I
nI单1-sir'Ixll
+c
从例4的两种思路可看出第一类换元法的技巧性与灵活性，虽然结果形式E不—样，但均可化为同一函数，至多相差—个常数。
注：应用第一类换元法的，关键是怎样分解被积函数，凑出新的微
分，使得到的新的积分比原积分更容求出。因此，熟悉一些微分变换式
是非常有用的。常见的凑微分形式有：
1)j觚+bIdx=}J眠+b》dbx+啪旭2)f怕X2+b)xd×=丢ffIaX2+蛐X2十啪≠a；3)』馅x呶州dx=告f怡xId(axl(a≠Q；4)J即nⅪ扣x=』怡炖，；5)』椰n)o扣x=胁删呲
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7)Jf《cos煳nxdx=一nJ8t+腼xcess)x蝴。nacost+xces(埒；d
8}ff(tan耐i毫一。=lt(tan嫡ecZxdx=If(tan硒柏吣9)Jf(cot对i；如x=ff《c。t)。csc2xdx=一JfIcot)o批。tx)：
10，fercseinx)习亡尹x一』I怕矧n黼rcs㈣；
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3)』怕rccot蝴丢一x=一I伯rccotxjclbrcc删；
14)惜dx’f静埘。
三、第二类换元积分法
第二类换元积分法是通过恰当的变量代换，将原积分化为关于新变
量的函数的积分，从而起到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在
于祝新变量为laE'量，而不是中间变量。
使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的代
换×=删，从而转化为基本积分公式有关函数的形式或容易积分的形式，
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