等腰三角形中常用辅助线的应用举例参考答案与试题解析
一．解答题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE=EF．求证：AC=BF．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 延长AD至G，使DG=AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG=AC，∠CAD=∠G，根据AE=EF，得∠CAD=∠AFE，可证出∠G=∠BFG，即得出AC=BF．
解答： 证明：延长AD至G，使DG=AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中， ∵
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG=AC，∠CAD=∠G
又∵AE=EF
∴∠CAD=∠AFE
又∠BFG=∠AFE
∴∠CAD=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF，
∴AC=BF．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形的全等．
2．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 在AC上截取AE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证．
解答： 证明：如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE=BD，∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE，
∵AE+CE=AC，
∴AB+BD=AC．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD．
求证：BD=CD．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 可过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F，依据题意可得∠FCD=∠ECD，由角平分线到角两边的距离相等可得DF=DE，进而的△CED≌△CFD，由对应边又可得Rt△CDF≌Rt△BDF，进而可得出结论．
解答： 证明：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．
∵∠CAD=30°，
∴∠ACE=60°，且CE=AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°﹣∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中
，
∴△CED≌△CFD，
∴CF=CE=AC=BC，
∴CF=BF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDF，
∴BD=CD．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题，能够熟练运用其性质进行解题．
4．如图，在△ABC中，∠BAC=108゜，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求证：BC=CD+AB．（用两种方法）
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA，连DE，由BD为角平分线，得到一对角相等，再由AB=EB，BD为公共边，利用SAS得出三角形ABD与三角形EBD全等，由全等三角形的对应边相等得到AB=EB，对应角相等得到∠BAC=∠BED=108°，利用邻补角定义及内角和定理求出∠CDE=∠CED=72°，利用等角对等边得到CD=CE，由BC=BE+EC，等量代换即可得证；
法2：：（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连DE，由BD为角平分线，得到一对角相等，再由CB=EB，BD为公共边，利用SAS得出三角形CBD与三角形EBD全等，利用全等三角形的对应边等，对应角相等得到ED=CD，∠E=∠C=36°，利用邻补角定义及内角和定理求出∠ADE=∠DAE=72°，利用等角对等边得到EA=ED，等量代换得到AE=DC，由BC=BE=BA+AE，等量代换即可得证．
解答： 解：法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA，连DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BAC=∠BED=108°，AB=EB，
∴∠DEC=72゜，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=36°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CDE=∠CED=72°，
∴CD=CE，
则BC=BE+EC=AB+CD；
法2：（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△EBD和△CBD中，
，
∴△EBD≌△CBD（SAS），
∴DE=DC，∠E=∠C=36°，
∵∠EAD=72°，
∴∠EDA=∠EAD=72°，
∴EA=ED，
∴CD=DE=AE，
则BC=BE=AB+AE=AB+CD．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
5．（2009•宝安区一模）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，P是BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F． 求证：PE+PF=BD．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据已知，过P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再∵∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，则△BPE≌△PBG，所以得
PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD．
解答： 证明：过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；
又∠GDF=90°，
∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴PF=GD（矩形的对边相等）①
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C（两条直线平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代换）
∵∠PEB=∠BGP=90°（已证），BP=PB
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD．
点评： 此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是作辅助线证矩形PGDF，再证△BPE≌△PBG．
等腰三角形中常用辅助线的应用举例参考答案与试题解析
一．解答题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE=EF．求证：AC=BF．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 延长AD至G，使DG=AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG=AC，∠CAD=∠G，根据AE=EF，得∠CAD=∠AFE，可证出∠G=∠BFG，即得出AC=BF．
解答： 证明：延长AD至G，使DG=AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中， ∵
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG=AC，∠CAD=∠G
又∵AE=EF
∴∠CAD=∠AFE
又∠BFG=∠AFE
∴∠CAD=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF，
∴AC=BF．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形的全等．
2．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 在AC上截取AE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证．
解答： 证明：如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE=BD，∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE，
∵AE+CE=AC，
∴AB+BD=AC．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD．
求证：BD=CD．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 可过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F，依据题意可得∠FCD=∠ECD，由角平分线到角两边的距离相等可得DF=DE，进而的△CED≌△CFD，由对应边又可得Rt△CDF≌Rt△BDF，进而可得出结论．
解答： 证明：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．
∵∠CAD=30°，
∴∠ACE=60°，且CE=AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°﹣∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中
，
∴△CED≌△CFD，
∴CF=CE=AC=BC，
∴CF=BF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDF，
∴BD=CD．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题，能够熟练运用其性质进行解题．
4．如图，在△ABC中，∠BAC=108゜，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求证：BC=CD+AB．（用两种方法）
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA，连DE，由BD为角平分线，得到一对角相等，再由AB=EB，BD为公共边，利用SAS得出三角形ABD与三角形EBD全等，由全等三角形的对应边相等得到AB=EB，对应角相等得到∠BAC=∠BED=108°，利用邻补角定义及内角和定理求出∠CDE=∠CED=72°，利用等角对等边得到CD=CE，由BC=BE+EC，等量代换即可得证；
法2：：（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连DE，由BD为角平分线，得到一对角相等，再由CB=EB，BD为公共边，利用SAS得出三角形CBD与三角形EBD全等，利用全等三角形的对应边等，对应角相等得到ED=CD，∠E=∠C=36°，利用邻补角定义及内角和定理求出∠ADE=∠DAE=72°，利用等角对等边得到EA=ED，等量代换得到AE=DC，由BC=BE=BA+AE，等量代换即可得证．
解答： 解：法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA，连DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BAC=∠BED=108°，AB=EB，
∴∠DEC=72゜，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=36°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CDE=∠CED=72°，
∴CD=CE，
则BC=BE+EC=AB+CD；
法2：（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△EBD和△CBD中，
，
∴△EBD≌△CBD（SAS），
∴DE=DC，∠E=∠C=36°，
∵∠EAD=72°，
∴∠EDA=∠EAD=72°，
∴EA=ED，
∴CD=DE=AE，
则BC=BE=AB+AE=AB+CD．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
5．（2009•宝安区一模）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，P是BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F． 求证：PE+PF=BD．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据已知，过P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再∵∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，则△BPE≌△PBG，所以得
PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD．
解答： 证明：过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；
又∠GDF=90°，
∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴PF=GD（矩形的对边相等）①
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C（两条直线平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代换）
∵∠PEB=∠BGP=90°（已证），BP=PB
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD．
点评： 此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是作辅助线证矩形PGDF，再证△BPE≌△PBG．