非线性电路混沌及其同步控制
姓名：王侣锦 学号：[1**********]1 实验日期：2016/10/19 指导教师：聂家财
【摘要】本实验中测量了非线性负阻的U-I 曲线，费根鲍姆常数，单个蔡氏电路的研究以及混沌通信的
实现. 本实验通过学习了有源非线性负阻原件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律，了解混沌同步和控制的概念从而初步了解混沌通信的基本原理.
关键字：非线性电路 有源非线性负阻 混沌通信 蔡氏电路 费根鲍姆常数
一、 引言
混沌是非线性动力学系统所特有的运动形式，混沌揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、确定性及随机性的统一，有序与无序的统一. 科学的讲，混沌是由确定性系统产生的随机现象，表现为系统相空间轨道呈现出高度的不稳定性. 迄今为止，最丰富的混沌现象是在非线性振荡电路中观察到的，蔡氏电路是由科学家蔡少棠设计的能产生混沌行为的最简单的电路，自从1990年Pecora 和Carrol 提出了实现混沌同步的驱动方法—响应方法，混沌的同步理论研究及其在保密通信中的应用成为了新的研究热点.
二、 实验原理
1. 倍周期分岔与费根鲍姆常数
在许多非线性系统中，既有周期运动，由于混沌运动，系统由定态过渡到混沌，由倍周期分岔通向混沌是最重要的途径. 所谓倍周期分岔是指周期不断加倍，即系统的振荡周期由P 变为2P 、继而变为22P…直至出现混沌，费根鲍姆发现，动力学系统中分岔点处参量μ的取值μn 的收敛服从普适规律，即存在非线性参数δn
μ−μ δn = (1)
μn +1−μn 它收敛于一个常数δ
δ=lim n →∞δn =4.6992016… (2) 这个常数δ称之为费根鲍姆常数. 出现倍周器分岔意味着预示着混沌的存在，所以对于任何一个混沌系统都存在着这个常数.
2. 有源非线性负阻
当电阻两端的电压增加时，流过电阻的电流也就随之增加，表现为 伏安特性曲线斜率的倒数∆U/∆I 为正，这样的电阻称之为正阻；当电 阻两端的电压增加时，流过电阻的电流反而减小，表现为∆U/∆I 为负， 这样的电阻称之为负阻. 自然界中不存在负阻元件，只有当电路上有电 流通过时，才会产生负阻，而正阻则不论有没有电流通过时总是存在的. 从功率意义上讲，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件，而负阻不但不 消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件.
图1 有源非线性负阻内部结构
1
用图2所示的电路可以测试图1所示的有源非线性负阻的I-U 特性曲线，其中R 0是可变电阻，R N 表示待测的非线性负阻.
图2 伏安特性测试电路图 图3 R N 等效电路
3. 非线性电路
如图4所示的是一个典型的蔡氏电路，它由一个非线性电阻R N 、电感L 、可调电阻R 以及电容器C1和C2组成. 电感L 和C2组成一个LC 振荡电路，电阻R 和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出，R N 有两个作用，一是电路的损耗电阻R 被抵消，使得输出电流维持LC 振荡器等幅振荡，另一个作用是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象.
参量R 、L 、C1和C2的取值决定了蔡氏电路的初始条件 ，也将导致电路的不同运动形式：周期振荡、倍周器分岔以及 混沌等. 非线性系统的运动状态可以用相图法进行分析. 在相 中的每一条闭合曲线代表系统运动的一个轨迹，若系统做周 期运动，则相图中只有一条闭合曲线，如果运动是二倍周期的 则在相图中只有两条闭合曲线，以此类推.
图4 蔡氏电路 4. 混沌同步
混沌同步是指一个系统的混沌动力学轨道收敛于另一个系统的混沌力学轨道，以致在以后的时间里两个系统始终保持步调一致. 驱动—响应方法是混沌同步的重要方法，它将系统分成两个子系统：驱动系统和响应子系统，然后对响应子系统进行复制，并用驱动子系统产生的信号驱动该复制的系统，混沌同步的目的就是在一个相同的具有任意初始条件的响应系统中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹，用于保密通信时，在传输前用混沌信号来隐藏消息，并且通过同步在接收端抽取该隐藏的消息.
实验中的混沌同步系统是由两个相同的蔡氏电路和一个单向 耦合系统构成的，相同的蔡氏电路是指两个电路的元件参数尽可 能的接近，这是确保混沌同步能够实现的基本条件，单向耦合系 统由一个运算放大器和一个可调电阻R c 构成，单向的含义是指驱 动系统只对响应系统产生作用，而响应系统却不能影响驱动系统. 图5中Ⅰ代表驱动系统、Ⅱ代表响应系统、Ⅲ代表单向耦合系统.
图5 混沌同步实验电路图 5. 混沌通信
实现混沌同步是实现混沌通信的基础，混沌通信的基本思想是将要传输的信号混入混沌信号中进行传输，然后在接收端通过减法器减去混沌信号得到所需信号，由于传输的使用混沌信号掩盖的混合信号，所以混沌通信能极大地提高保密性能. 图6所示的是由两个相同的蔡氏电路组合而成的混沌通信电路，实现混沌的方法：调节驱动系统和响应系统的可变电阻R ，使它们都出现混沌状态，调节单向耦合电阻R c ，使驱动系统和响应系统同步，信号经过加法器后与混沌信号合成加密信号，然后通过减法器滤去混沌信号即可获得原来的初始信号.
2
1. 实验仪器
实验电路如图4和图5所示，图中的元件参数参考值为：L=18.8mH、C1=0.01μF 、C2=0.1μF 、R1=3.3KΩ、R2=R3=22KΩ、R4=2.2KΩ、R5=R6=220Ω，R=2.2KΩ+220Ω
直流电源、信号源、数字存储示波器、模拟示波器、台式万用表、电阻箱、电容箱、电感箱、计算机.
2. 实验步骤
(1)测量非线性电阻的I —U 特性曲线
实验1中直接利用实验室里提供的非线性电阻装置，利用图2所示的测量电路图，直流电源分别连接在RN 的+15v端和-15v 端，如图所示那样需要接入共同的接地点. 实验中逐渐改变可变电阻的阻值，观察非线性电阻两端的电压及电路中电流值大小的变化情况，得到一组数据. 对测量得到的原始数据首先要变换到第二象限，然后再旋转180°得到第四象限曲线，连接第二、四象限曲线可得到完整的非线性负阻的I-U 曲线. 确定不同状态在非线性负阻分段折线上的区域，即确定本实验非线性负阻的工作区域.
(2)观察并记录电阻变化时非线性电路的运动状态
按照图4搭建蔡氏电路，然后改变可变电阻，利用相图法观察并记录非线性电路的各种运动状态，同时观察非线性负阻两端电压的变化情况.
(3)计算费根鲍姆常数
以电容C2为参数研究非线性电路的运动状态，记录不同状态的电容值，该过程中先粗调电容值再微调，使得相图中依次出现2倍周期、4倍周期及8倍周期，分别记录下各种状态下突变的所对应的电容值，利用公式(1)可以计算出其对应的费根鲍姆常数. 选取三个不同的R 值，计算出其对应的费根鲍姆常数.
(4)混沌同步实验
按照图5搭建实验电路，可将左端的蔡氏电路做驱动系统，右端的蔡氏电路作为响应系统，先分别调节电路参数，使两个蔡氏电路处于大致相同的混沌状态，例如都处于双吸引子状态，然后用单向耦合电路将两个电路连接起来，改变耦合电阻Rc ，观察同步现象并记录.
(5)混沌加密通信
保持上述的实验电路不变，分别在驱动系统和响应 系统的末端搭载加法器和减法器，如图6所示. 通过 信号源产生一定频率，适宜振幅的正弦波接入到加法 器上，并在驱动系统中引入一个混沌信号，从而可以 得到一个加密过的信号，再将此混合信号经过减法器 及滤波器后可得到原始信号. 引入混沌信号时需注意 必须引用相同的混沌信号，在本次实验中我引入的是 0.01μF 电容端的混沌信号，并且在此过程中需要观察 两个电路的混沌状态是否同步.
图6 加密通信电路图
3
1. 非线性电路的I-U 特性曲线
表1 负阻I-U 关系原始数据
分段拟合结果
AB 段：
y = 1.762x + 22.33 …… (3)
BC 段：
y = -0.407x + 0.617 …… (4)
CO 段：
y = -0.747x + 0.020 …… (5)
图7 非线性负阻I-U 曲线 2. 记录电阻变化时非线性电路的运动状态
图8 一周期 图9 二周期 图10 阵发混沌
图11 四周期 图12 单吸引子 图13 双吸引子
4
3. 计算费根鲍姆常数
利用图4所示蔡氏电路，选定不同的Rc 值，逐渐改变电容C1的值，可以测出几组对应的μ1、μ2和μ3，算出费根鲍姆常数的平均值为3.64833，其相对误差为22.36%.
4. 混沌同步实验
图14 混沌同步 图15 准同步 图16 去同步
5. 混沌加密通信
图17 原始信号
图18 混沌信号
5
图19 混合信号
图20 解密信号
五、实验总结
通过有源非线性负阻的I-U 特性曲线可以看出，在第二象限内，其曲线由三段构成，在每一段内随着电压的增大电流的变化幅度有着显著的不同，其中BC 段曲线比较平缓，过了B 点，也就是对应的9.67v 电压之后，电流急剧下降，体现了负阻的特征. 从功率意义上，负阻原件不但没有消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件.
通过运用图4所示的蔡氏电路来测量费根鲍姆常数时，选用的是运用电容箱来改变C2的电容值，逐渐调节电容箱，找到倍周期变化的临界点，也就是由1周期变为2周期，2周期变为4周期，4周期变为8周期的临界电容值，选取这三个电容值作为μ1、μ2和μ3，并利用公式(1)，计算得到费根鲍姆常数的平均值为3.64833，相对误差为22.36%，误差的主要来源是在调节电容箱的过程中，用肉眼可能分辨不清楚倍周期变化的临界状态，并且电容箱的最小分度调节不够灵敏.
混沌同步这个实验环节较为繁琐，开始在搭建响应系统的电路时，完全按照讲义上的电路图，可是发现电路始终没有信号值，该过程中我不断地调换驱动系统与响应系统所对应的元件，以为是其中某个元件出了问题，但最后发现所有元件放置于驱动系统中时都可运作，而在响应系统中则不行，最终才发现原来是RN 上的接入端有方向规定，必须按照元件上的线路连通. 由于讲义上的线路图过于繁琐，在老师的指导下将原系统平移复制以后即可实现混沌的同步. 并且通过改变连接电阻阻值，可以分别实现混沌同步、准同步、去同步.
最后的加密通信实验可谓是该实验最大的亮点，通过将原信号与混沌信号混合，可以得到杂乱无章的混合信号，然后将获得的混合信号通过减法器，减法器的一端必须引入同类元件端的混沌信号，混合信号经过减法器之后便可得到原始信号. 但是在示波器上显示的解密信号却不如原始信号那样稳定、平滑，即使在末端加入滤波器之后也是如此，可能是在搭建线路过程中有的线路相互接触而影响.
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非线性电路混沌及其同步控制
姓名：王侣锦 学号：[1**********]1 实验日期：2016/10/19 指导教师：聂家财
【摘要】本实验中测量了非线性负阻的U-I 曲线，费根鲍姆常数，单个蔡氏电路的研究以及混沌通信的
实现. 本实验通过学习了有源非线性负阻原件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律，了解混沌同步和控制的概念从而初步了解混沌通信的基本原理.
关键字：非线性电路 有源非线性负阻 混沌通信 蔡氏电路 费根鲍姆常数
一、 引言
混沌是非线性动力学系统所特有的运动形式，混沌揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、确定性及随机性的统一，有序与无序的统一. 科学的讲，混沌是由确定性系统产生的随机现象，表现为系统相空间轨道呈现出高度的不稳定性. 迄今为止，最丰富的混沌现象是在非线性振荡电路中观察到的，蔡氏电路是由科学家蔡少棠设计的能产生混沌行为的最简单的电路，自从1990年Pecora 和Carrol 提出了实现混沌同步的驱动方法—响应方法，混沌的同步理论研究及其在保密通信中的应用成为了新的研究热点.
二、 实验原理
1. 倍周期分岔与费根鲍姆常数
在许多非线性系统中，既有周期运动，由于混沌运动，系统由定态过渡到混沌，由倍周期分岔通向混沌是最重要的途径. 所谓倍周期分岔是指周期不断加倍，即系统的振荡周期由P 变为2P 、继而变为22P…直至出现混沌，费根鲍姆发现，动力学系统中分岔点处参量μ的取值μn 的收敛服从普适规律，即存在非线性参数δn
μ−μ δn = (1)
μn +1−μn 它收敛于一个常数δ
δ=lim n →∞δn =4.6992016… (2) 这个常数δ称之为费根鲍姆常数. 出现倍周器分岔意味着预示着混沌的存在，所以对于任何一个混沌系统都存在着这个常数.
2. 有源非线性负阻
当电阻两端的电压增加时，流过电阻的电流也就随之增加，表现为 伏安特性曲线斜率的倒数∆U/∆I 为正，这样的电阻称之为正阻；当电 阻两端的电压增加时，流过电阻的电流反而减小，表现为∆U/∆I 为负， 这样的电阻称之为负阻. 自然界中不存在负阻元件，只有当电路上有电 流通过时，才会产生负阻，而正阻则不论有没有电流通过时总是存在的. 从功率意义上讲，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件，而负阻不但不 消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件.
图1 有源非线性负阻内部结构
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用图2所示的电路可以测试图1所示的有源非线性负阻的I-U 特性曲线，其中R 0是可变电阻，R N 表示待测的非线性负阻.
图2 伏安特性测试电路图 图3 R N 等效电路
3. 非线性电路
如图4所示的是一个典型的蔡氏电路，它由一个非线性电阻R N 、电感L 、可调电阻R 以及电容器C1和C2组成. 电感L 和C2组成一个LC 振荡电路，电阻R 和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出，R N 有两个作用，一是电路的损耗电阻R 被抵消，使得输出电流维持LC 振荡器等幅振荡，另一个作用是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象.
参量R 、L 、C1和C2的取值决定了蔡氏电路的初始条件 ，也将导致电路的不同运动形式：周期振荡、倍周器分岔以及 混沌等. 非线性系统的运动状态可以用相图法进行分析. 在相 中的每一条闭合曲线代表系统运动的一个轨迹，若系统做周 期运动，则相图中只有一条闭合曲线，如果运动是二倍周期的 则在相图中只有两条闭合曲线，以此类推.
图4 蔡氏电路 4. 混沌同步
混沌同步是指一个系统的混沌动力学轨道收敛于另一个系统的混沌力学轨道，以致在以后的时间里两个系统始终保持步调一致. 驱动—响应方法是混沌同步的重要方法，它将系统分成两个子系统：驱动系统和响应子系统，然后对响应子系统进行复制，并用驱动子系统产生的信号驱动该复制的系统，混沌同步的目的就是在一个相同的具有任意初始条件的响应系统中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹，用于保密通信时，在传输前用混沌信号来隐藏消息，并且通过同步在接收端抽取该隐藏的消息.
实验中的混沌同步系统是由两个相同的蔡氏电路和一个单向 耦合系统构成的，相同的蔡氏电路是指两个电路的元件参数尽可 能的接近，这是确保混沌同步能够实现的基本条件，单向耦合系 统由一个运算放大器和一个可调电阻R c 构成，单向的含义是指驱 动系统只对响应系统产生作用，而响应系统却不能影响驱动系统. 图5中Ⅰ代表驱动系统、Ⅱ代表响应系统、Ⅲ代表单向耦合系统.
图5 混沌同步实验电路图 5. 混沌通信
实现混沌同步是实现混沌通信的基础，混沌通信的基本思想是将要传输的信号混入混沌信号中进行传输，然后在接收端通过减法器减去混沌信号得到所需信号，由于传输的使用混沌信号掩盖的混合信号，所以混沌通信能极大地提高保密性能. 图6所示的是由两个相同的蔡氏电路组合而成的混沌通信电路，实现混沌的方法：调节驱动系统和响应系统的可变电阻R ，使它们都出现混沌状态，调节单向耦合电阻R c ，使驱动系统和响应系统同步，信号经过加法器后与混沌信号合成加密信号，然后通过减法器滤去混沌信号即可获得原来的初始信号.
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1. 实验仪器
实验电路如图4和图5所示，图中的元件参数参考值为：L=18.8mH、C1=0.01μF 、C2=0.1μF 、R1=3.3KΩ、R2=R3=22KΩ、R4=2.2KΩ、R5=R6=220Ω，R=2.2KΩ+220Ω
直流电源、信号源、数字存储示波器、模拟示波器、台式万用表、电阻箱、电容箱、电感箱、计算机.
2. 实验步骤
(1)测量非线性电阻的I —U 特性曲线
实验1中直接利用实验室里提供的非线性电阻装置，利用图2所示的测量电路图，直流电源分别连接在RN 的+15v端和-15v 端，如图所示那样需要接入共同的接地点. 实验中逐渐改变可变电阻的阻值，观察非线性电阻两端的电压及电路中电流值大小的变化情况，得到一组数据. 对测量得到的原始数据首先要变换到第二象限，然后再旋转180°得到第四象限曲线，连接第二、四象限曲线可得到完整的非线性负阻的I-U 曲线. 确定不同状态在非线性负阻分段折线上的区域，即确定本实验非线性负阻的工作区域.
(2)观察并记录电阻变化时非线性电路的运动状态
按照图4搭建蔡氏电路，然后改变可变电阻，利用相图法观察并记录非线性电路的各种运动状态，同时观察非线性负阻两端电压的变化情况.
(3)计算费根鲍姆常数
以电容C2为参数研究非线性电路的运动状态，记录不同状态的电容值，该过程中先粗调电容值再微调，使得相图中依次出现2倍周期、4倍周期及8倍周期，分别记录下各种状态下突变的所对应的电容值，利用公式(1)可以计算出其对应的费根鲍姆常数. 选取三个不同的R 值，计算出其对应的费根鲍姆常数.
(4)混沌同步实验
按照图5搭建实验电路，可将左端的蔡氏电路做驱动系统，右端的蔡氏电路作为响应系统，先分别调节电路参数，使两个蔡氏电路处于大致相同的混沌状态，例如都处于双吸引子状态，然后用单向耦合电路将两个电路连接起来，改变耦合电阻Rc ，观察同步现象并记录.
(5)混沌加密通信
保持上述的实验电路不变，分别在驱动系统和响应 系统的末端搭载加法器和减法器，如图6所示. 通过 信号源产生一定频率，适宜振幅的正弦波接入到加法 器上，并在驱动系统中引入一个混沌信号，从而可以 得到一个加密过的信号，再将此混合信号经过减法器 及滤波器后可得到原始信号. 引入混沌信号时需注意 必须引用相同的混沌信号，在本次实验中我引入的是 0.01μF 电容端的混沌信号，并且在此过程中需要观察 两个电路的混沌状态是否同步.
图6 加密通信电路图
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1. 非线性电路的I-U 特性曲线
表1 负阻I-U 关系原始数据
分段拟合结果
AB 段：
y = 1.762x + 22.33 …… (3)
BC 段：
y = -0.407x + 0.617 …… (4)
CO 段：
y = -0.747x + 0.020 …… (5)
图7 非线性负阻I-U 曲线 2. 记录电阻变化时非线性电路的运动状态
图8 一周期 图9 二周期 图10 阵发混沌
图11 四周期 图12 单吸引子 图13 双吸引子
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3. 计算费根鲍姆常数
利用图4所示蔡氏电路，选定不同的Rc 值，逐渐改变电容C1的值，可以测出几组对应的μ1、μ2和μ3，算出费根鲍姆常数的平均值为3.64833，其相对误差为22.36%.
4. 混沌同步实验
图14 混沌同步 图15 准同步 图16 去同步
5. 混沌加密通信
图17 原始信号
图18 混沌信号
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图19 混合信号
图20 解密信号
五、实验总结
通过有源非线性负阻的I-U 特性曲线可以看出，在第二象限内，其曲线由三段构成，在每一段内随着电压的增大电流的变化幅度有着显著的不同，其中BC 段曲线比较平缓，过了B 点，也就是对应的9.67v 电压之后，电流急剧下降，体现了负阻的特征. 从功率意义上，负阻原件不但没有消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件.
通过运用图4所示的蔡氏电路来测量费根鲍姆常数时，选用的是运用电容箱来改变C2的电容值，逐渐调节电容箱，找到倍周期变化的临界点，也就是由1周期变为2周期，2周期变为4周期，4周期变为8周期的临界电容值，选取这三个电容值作为μ1、μ2和μ3，并利用公式(1)，计算得到费根鲍姆常数的平均值为3.64833，相对误差为22.36%，误差的主要来源是在调节电容箱的过程中，用肉眼可能分辨不清楚倍周期变化的临界状态，并且电容箱的最小分度调节不够灵敏.
混沌同步这个实验环节较为繁琐，开始在搭建响应系统的电路时，完全按照讲义上的电路图，可是发现电路始终没有信号值，该过程中我不断地调换驱动系统与响应系统所对应的元件，以为是其中某个元件出了问题，但最后发现所有元件放置于驱动系统中时都可运作，而在响应系统中则不行，最终才发现原来是RN 上的接入端有方向规定，必须按照元件上的线路连通. 由于讲义上的线路图过于繁琐，在老师的指导下将原系统平移复制以后即可实现混沌的同步. 并且通过改变连接电阻阻值，可以分别实现混沌同步、准同步、去同步.
最后的加密通信实验可谓是该实验最大的亮点，通过将原信号与混沌信号混合，可以得到杂乱无章的混合信号，然后将获得的混合信号通过减法器，减法器的一端必须引入同类元件端的混沌信号，混合信号经过减法器之后便可得到原始信号. 但是在示波器上显示的解密信号却不如原始信号那样稳定、平滑，即使在末端加入滤波器之后也是如此，可能是在搭建线路过程中有的线路相互接触而影响.
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