题目：Lorenz 混沌系统的电路仿真
指导教师：
学生姓名：
学生学号：
信息工程系—电气自动化专业—08自动化2班
2011年 04月 15日
摘 要
混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等内容的研究非常感兴趣。
本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P 同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。
关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现
ABSTRACT
Chaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific disciplines branch, and almost permeates and affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested.
Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this paper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability theory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to use tiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a short transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.
Key Words: Synchronization of chaos ；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.
目 录
ABSTRACT............................................. II
第一章 绪论.......................................... 1
1.1选题的目的及意义................................. 1
1.2混沌学 .......................................... 2
1.2.1混沌的发展 ................................. 2
1.2.2混沌的定义 ................................. 3
1.2.3通向混沌的道路 .............................. 5
1.3奇怪吸引子 ...................................... 5
1.3.1洛伦兹吸引子 . ............................... 5
1.3.2伊侬吸引子 ................................. 6
1.3.3奇怪吸引子特性 .............................. 6
第二章 混沌的同步研究及其应用........................ 8
2. 1混沌的同步 ..................................... 8
2.1.1同步的定义 ................................. 8
2.1.2广义同步的定义 .............................. 9
2.1.3相位同步的定义 .............................. 9
2.2谈谈几种典型的同步方法 .......................... 10
2.2.1驱动响应同步法 ............................. 10
2.2.2变量反馈微扰同步方法 ....................... 11
2. 2. 3相互祸合的同步方法 ....................... 12
2.2.4自适应同步方法 ............................. 13
2.3混沌同步的研究进展 . ............................. 13
2.4混沌同步的应用 ................................. 14
第三章 针对Lorenz 系统的混沌同步控制电子电路设计.... 15
3.1 Loren:系统的科学价值和历史意义 .................. 15
3.2 Lorenz系统的动力学行为 ......................... 15
3.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为 . ................ 15
3.2.2平衡点和分岔 . .............................. 17
3.3电子电路的应用设计 . ............................. 17
3.3.1简单混沌现象研究 ........................... 20
4.3.2电路图 .................................... 21
第四章 计算机仿真与电路的实现....................... 22
4.1软件设计 ....................................... 22
4.1.1软件设计的基本原则 ......................... 22
4.1.2软件选择 .................................. 22
4.1.3电路的实现 ................................ 23
4.2仿真与分析 ..................................... 23
4.2.1 Matlab仿真................................ 23
4.2.2结果分析 .................................. 24
论文总结与展望....................................... 26
致 谢............................................... 27
参考文献............................................. 28
第一章 绪论
1.1选题的目的及意义
混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一。非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，具有广阔的应用的前景。
在许多领域，混沌己经被发现是有用的或有着巨大的应用前景。因此，在一些混沌显得非常重要且有用的领域，有目的的产生或强化混沌现象己经成为一个关键性的研究课题。对任意给定的一个有限维的系统或过程，它可以是线性的或非线性的、时变的或时不变的、非混沌的甚至稳定的，所关心的问题是我们能否通过设计一个简单可行的控制器，如参数调整器或状态反馈控制器，来使受控的系统产生混沌现象。这就是我们通常所说的混沌反向控制，或简称混沌反控制。
目前，混沌动力学在理论深度和应用广度两个方面都在不断取得重要突破，一个重要进展是上个世纪90年代以来，混沌控制与同步概念的提出，由此在国内外引发了对混沌控制与同步的理论和方法进行研究的热潮。这一研究课题不仅引起了物理学家，也引起了数学、控制论、电路与信息处理等有关领域的科学工作者的广泛关注，成为当前非线性科学研究中的前沿课题和学术热点。
虽然目前在混沌同步、控制及应用方面取得了巨大的成果，但仍有许多问题还没有解决。如在超混沌系统参数辨识中，虽然提出了多种方法，但是难于同时满足辨识精度高、控制器简单、需要时间序列少等要求，有必要进行改进; 混沌同步理论需要进一步完善，目前关于全同步、局部同步、相同步、滞后同步以及单向祸合的广义同步人们都已经作了大量的研究，但是对于双向祸合的混沌系统，由于两个系统相互作用、相互影响其动力学行为，每个系统的动力学行为都不再是只由自己动力学方程控制，因而它们动力学行为极其复杂，目前仍缺乏对双向祸合混沌系统的广义同步研究，为了混沌理论的完整性，对其研究是必要的。
本文在汲取前人研究成果的基础上，提出了以一定的藕合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制的方法，并在计算机上进行仿真，最后通过电子电路实现了针对Lorenz 系统的P 同步。
1.2混沌学
1.2.1混沌的发展
混沌概念最为深刻的演化与进展，发生在研究宏观世界的动力学中。根据牛顿理论，本世纪60年代之前，人们仍普通认为，确定性系统的行为是完全确定的、可以预言的。不确定性行为只会产生在随机系统里。然而，近30年来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪的、复杂的、随机的行为。随着对这类现象的深入了解，人们与古代混沌概念相联系，就把确定性系统的这类复杂随机行为称为混沌。可从两方面来理解混沌特性：一是：确定性系统的内在随机性现象；二是：对初始条件的敏感性。
最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家Poincare ，他在研究三体问题时指出:在一定范围内其解是随机的[例，实际上它是保守系统中的混沌，但是在当时并没有引起人们多大的注意。直到1954年，前苏联概率论大师Kolmogoror 提出了一个环面不变定理(即KAM 定理) ，这一定理后来被Arnold 和Mose 证明，使得人们进一步认识扰动对系统产生的影响。
1963年，著名大气学家Lorenz 研究了下表面受热，上表面冷却的薄层流体，通过对流方程进行模式截断，只保留一个速度模和两个温度模，给出了著名的Lorenz 方程：
dx/dt=-σ(x-y)，
dy/dt=rx-y-xz，
dz/dt=xy-bz
Lorenz 方程右端不显含时间，有三个参数Q(常数Prandtl ) ，P(瑞利常数) 和b(反映速度阻尼常数) ，Xl 代表对流的翻动速率，x2代表上流和下流的温度差，x3代表垂直方向温度梯度，该方程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线，若参数取b=10,b= 28,b=8/3，系统处于混沌状态，各个变量之间相平面投影图如下图1.1所示。
图1.1 Lorenz系统混沌吸引子相图
这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，人类从此揭开了对混沌现象的深入研究的序幕。
20世纪80年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入混沌及其混沌的性质和特点，借助于(单) 多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。控制混沌的研究兴起于1989年，与此同时有三种不同的控制方案在这一年问世。其中，第一种方案是共振控制，Hubler 和Luscher 通过引入一类无反馈外激励型控制使系统呈现事先指定的周期形态; 第二种方案是Bloch 和Marsden 建立一种有反馈的参数修改机制控制同宿轨道; 第三种方案是系统理论的应用，Hubler 和Fowler 分别利用统计性预测和基于Kalman 滤波的状态估计器等随机控制方法控制混沌系统并取得了一定的效果。真正引起对控制混沌较广泛重视的是1990年Ott, Grebogi 和Yorke 在Phys. Rev. L ett. 上发表的一篇短文，其中提出了利用参数反馈镇定构成混沌吸引子的任意不稳定周期性轨道的方法，即后来所被广泛应用的OGY 方法。这种控制方法与实验有密切联系，因而很快便应用于实验室的实验中。同年该校的Ditto,Rouseo,Span 。从实验上验证了OGY 方法的有效性。随后，国际上混沌控制方法及其实验的研究得到了迅速的发展，混沌同步也获得进一步的拓广，大大推进了在应用方面的研究。
进入90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，被很多人所认识，混沌学更是与其他学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、心理学、物理学、生理学、数学、信息科学、电子学，还是气象学、经济学、天文学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了前所未有的应用。
1.2.2混沌的定义
“混沌”一词，从古自今，毫不陌生。混沌是一个物理概念，它是非线性动力学系统表现出来的一种复杂现象。早在十九世纪末，法国数学家庞加莱在研究太阳系三体运动时就发现了混沌的现象，而最具有说服力和影响力的当属本世纪60年代初，美国气象学家洛伦兹提出的Lorenz 方程，借助于计算机技术使人们对混沌有了更加深刻的理解。近年来，随着人们对非线性混沌理论研究的不断深入，混沌的应用研究已成为非线性科学领域的热点问题之一。但是至今为止，学术界对“混沌”尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，但是有以下几种从不同角度出发的混沌定义，较好地概括了混沌的定性行为。
第一种混沌定义是，基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。气象学家洛伦兹给它做了一个形象的比喻成:一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可
能两周之后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于:蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。
第二种混沌定义是基于Li-Yorke 定理，是从数学上进行了严格的定义。
在1975年，李天岩和约克在《美国数学月刊》上发表的一篇论文《周期3意味着混沌》，第一次引入“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学定义，即现在所谓的Li 一Yorke 定义:
对于闭区间I 上的连续自映射f (x)，如果满足下列三个条件时，称它一定会出现混沌现象:
(I)f有任意周期的周期点；
(II)闭区间I 存在不可数非周期不变子集S ，如果存在一个周期3的周期点时，就一定存在任何整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话说，只要系统中有周期3就会“乱七八糟”，即什么周期点都可能存在。因此，发现在任何系统中是否存在3周期成为判断混沌的至关重要的准则。这种定量的定义混沌是真对集合提出的。
第三种混沌定义是:定义混沌的方法是采用了排除法，即与现有的已知运动进行比较来排除的方法。即:除了通常已知的三种典型运动类型，即平衡点、周期及准周期运动以外的一种貌似随机的运动形态，就是混沌运动，它的特点是局部极其不稳定而整体稳定。这种定义只是笼统的给出了混沌是自然界中一种新的运动形态，没有给出混沌运动的具体刻画，要想真正确定是否是混沌运动还需要进一步验证。
第四种混沌定义是:1989年Devaney 给出了一个更直观更便于理解的混沌定义:
设X 是一度量空间，一个连续映射f : X →X 称为X 上的混沌，如果满足下列条件:
(I)f具有对初值的敏感依赖性；
(II)f是拓扑传递的；
(III) f的周期点在X 中稠密。
对初值的敏感依赖性，意味着初值为x 和y 的两点，无论x 和y 离得多么近，在了的作用下两者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点x 附近都可以找到离它很近而在f 的作用下离它渐渐远去的点y ，对于这样的f ，如果用计算机计算它的轨道，任何微小的初值变化，经过若干次迭代后都将导致计算结果的失效。
拓扑传递性意味着任意一点的临域在f 的作用下，将传递整个度量空间。周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非杂乱无章。乱中有
序，这正是混沌的深奥之处。
第五种混沌定义是哈肯提出来的，它干脆就把混沌定义为:来源于确定性方程的无规运动。这里最关键的是如何理解所谓的“无规运动”，而不同周期运动的叠加在某种程度上也可以模拟无规行为。
1.2.3通向混沌的道路
目前发现通向混沌的道路有以下几种:一、倍周期分岔道路:随着系统参数的变化，系统的振荡周期由T 变为2T 、继而为2²T , „，2^T，直至最终进入混沌状态。由倍周期分岔通向混沌是出现混沌的重要方式(或道路) 之一。也可以说，出现倍周期分岔即预示着混沌的存在。二、阵发混沌道路:阵发性混沌是指系统在相当长时间内处于某种几乎周期状态，但是随着系统的控制参数接近转变点，会在规整的周期运动过程中不时爆发出一阵阵随机的、不规则的运动片断，而且变得越来越频繁，最后系统进入完全的混沌态，故称阵发性混沌。三、环面破裂:具有两个或两个以上不可约(即比值非有理数) 频率成份的拟周期运动在某种情况下失去光滑性，即参数达到临界值时布满拟周期轨道的环面发生破裂，而进入混沌。
四、危机道路:与阵发混沌道路一样，危机道路也是间隙的。但不同之处是:危机道路是由全局演化引起的，如跨越稳定与不稳定流型时产生的。在临界参数值之前，是非混沌运动，但是通常存在瞬变过程，在达到它们的渐进规则运动之前，轨迹看上去是混沌的，当参数达到临界值，则混沌的瞬变过程趋于无穷; 经过临界后，产生持续的混沌运动。
1.3奇怪吸引子
奇怪吸引子广泛存在于动力学系统中，又称混沌吸引子(Chaotic
Attractor ) 。指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分维数的吸引子，其中最典型的例子是洛伦兹吸引子和伊侬吸引子。
1.3.1洛伦兹吸引子
1963年洛伦兹在“决定性的非周期流”一文中给出了如下插图。由于洛伦兹所得到的吸引子存在于三维相空间中，所以左图为吸引子在YZ 平面上的投影，右图则是在XY 平面上的投影。
图1.2 奇怪吸引子
图1.3伊侬奇怪吸引子
1.3.2伊侬吸引子
伊侬吸引子是从二维映射[[421中迭代产生的，下图是在计算机上经过一万次迭代后所得到的结果。其中(b), (c), (d)依次是前一图内小方框中图形的放大。可以看出，在不同放大倍数下的图形，其结构是相似的。
1.3.3奇怪吸引子特性
奇怪吸引子上的运动对于初始条件非常敏感，作为相空间的子集合，通常具有分维数；奇怪吸引子的结构即使原来的微分方程连续地依赖于参数，它也完全不是连续地随参数而变化，即整体结构会突然变化; 它的空间结构相当复杂，这
来源于轨道的无穷伸长、压缩和折叠; 另外，奇怪吸引子具有一切混沌的通用性质、分维数、正的李雅普诺夫指数、正的测度嫡以及功率谱是连续的等等特性。
第二章 混沌的同步研究及其应用
混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。随着混沌同步和控制的方法在实验研究上的迅速发展，混沌控制与同步应用领域也从物理迅速扩大到化学、生物学、保密通讯、激光控制，电子线路等应用领域。下面简单介绍一些关于混沌同步的定义，之后介绍几种典型的同步方法，最后简要地介绍混沌研究存在的问题。
2. 1混沌的同步
混沌同步，从总体上来讲，属于一种广义混沌控制，就是将系统驱动到人们要求的混沌轨道上去(不是驱动到人们要求的周期轨道上去) 。迄今人们已经发现许多种同步方式，例如:全局同步、广义同步、相同步滞后同步等。提出了许多种混沌同步方法，如:驱动一响应同步方法，主动一被动的同步方法，变量反馈微扰同步方法，相互祸合的同步方法等，下面对这些同步的概念和同步的方法作一简要的介绍。
2.1.1同步的定义
总体上说，混沌同步属于混沌控制的范畴，迄今已发现了几种类型的混沌同步，其中一种类型就是Pceora 和Carroll 提出的同步方案。该方案电路中存在驱动与被驱动的关系，其中驱动电路可分为稳定部分和不稳定部分，将其中的稳定部分复制一个响应，然后把响应系统与驱动系统用驱动信号耦合起来，由此可达到相应系统与驱动系统同步。 随着非线性电路研究的深入，目前已有很多产生混沌的实际电路用于研究混沌产生机制的电路的报道。混沌现象广泛的存在于非线性电路中，比较典型并已得到深入研究的电路是蔡氏电路。若D(to)是R" 的一个子集，则称该精确同步定义为部分精确同步，D(to)称为同步区域。
要达到全局精确同步，驱动系统和响应系统必须完全相同，由于在实际中难以产生出两个完全相同的混沌系统，对于确定系统，或多或少存在参数不匹配，有时甚至用一个混沌系统的变量去驱动另一个结构完全不同的混沌系统，这时会
出现其它形式的同步。
2.1.2广义同步的定义
近些年来，L.Kocarev 等人提出了混沌广义同步(Generalized
synchronization 简称GS) 的概念及方法。当所有初始条件(Xo,Yo) C B的响应
系统轨道都随时间趋于无穷而趋于M 。当t →∞时，响应系统的轨道满足Y=H(X)，则称为广义同步。当n=m且f(X)=g（Y) 时，则广义同步又回到一般意义下的同步，即:y=H(X)=X。目前对于广义同步的测定主要是构造辅助系统的方法，这种方法主要是构造与响应系统完全相同的系统，并且用相同的信号去驱动它，若响应系统与辅助系统的输出量随时间的延续最终能够达到完全相同，则表明两个系统达到广义同步。即构造:
Z=g(z，h(X)) (2.1)
若有z(t) = y(t)，则表明达到广义同步。这种方法虽然在理论上非常简单，但是在工程上却需要花费很大的财力。
广义同步的测定还可以采用Lyapunov 指数方法和符号动力学方法。对于单向藕合的两个混沌系统，当响应系统的第二大Lyapunov 指数由0变负时两个系统达到广义同步，或者条件嫡出现突出最小值时表明达到广义同步。
2.1.3相位同步的定义
1996与1997年，Rosenblum 等人提出了祸合自振荡混沌系统之间的“相同步”, 他们发现当祸合强度增大到一定程度时，两个自然频率不同的振子的相位被锁定, 而此时两振子的振幅却没有关联，但是系统的两Lyapunov 指数中的一个变为负。相同步在数值研究上被发现后，先后在电路及激光实验中得到了验证。还依赖于混沌轨道的旋转特性，如果轨道有两个或两个以上的旋转中心，这一定义就必须修改，对于映象系统，上述相位的定义也不一定适用。深入研究这些问题从而建立起对混沌轨道旋转性质的系统和确切的描述仍在探讨之中。
继“相同步”提出之后，Rosenblum 等人又发现了“滞后同步”，其特征是两藕合混沌系统几乎有相同的状态，只是在时间上一个系统的状态滞后于另一系统的状态。通过数值模拟发现，“相同步”与“滞后同步”存在一定的联系，即:当祸合的混沌系统进入“相同步”之后，如果它们之间的藕合强度继续增强时“相同步”态可以发展成为“滞后同步”的状态，随着系统间藕合强度的进一步增强时间滞后将不断缩短，最后可能发展到全局同步。郑志刚等人发现系统间的参数失匹配程度将直接影响“相同步”与“广义同步”出现的先后顺序，其产生的机制有待于作进一步研究。
2.2谈谈几种典型的同步方法
2.2.1驱动响应同步法
驱动一响应混沌同步方法是由美国学者Pecora 和Carroll 在1990年提出来的，其特点是:两个系统存在驱动与响应(被驱动)(Drive-Response)的关系，或称为主役(Master-Slave)关系，响应系统的行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响应系统无关。
其基本原理为:将驱动系统分解成一个稳定的子系统和一个不稳定的子系统，复制一个与稳定的子系统完全相同的系统作为响应系统。假设驱动系统可以分解为真正用于驱动响应系统的m 维驱动变量矢量v 以及不用于驱动的k 维变量矢量u ，响应变量用l 维变量矢量w 表示。于是，总体动力学系统的总维数为n=m+k+l，总体动力学系统可表示为:
v=f (v,u)(m维)(驱动部分)
u=g(v,u)(k维)
w=h (v, w)(1维)(响应部分) (2.2)
复制一个与w 完全相同的子系统w 作为响应系统:
w=h(v, w) (2.3)
W’和w 受相同的驱动变量v 驱动，显然，w ’和w ，同步的条件是当t →∞时， △w=w-w’→0。根据矢量场，可以得到:
△w ·h (v, w)一h(v, w')=Dw h(v, w} ) △△+O(v,、’) (2.4) 其中Dwh 是响应系统矢量场的雅可比行列式对响应变量w 求偏导数，O(v, w) 为高
阶项，在△、很小的极限下有:
△w ·D, 。 h(v, w})d0 (2.5) 若w' (t)是常数或周期态，则可求出D .hw 的特征值或多重乘子以判断、 (t)的稳定性。Pecora 和Carroll 对响应系统的稳定性及同步原理进行了分析，发展了用混沌信号驱动响应系统的稳定性分析理论，即所谓条件Lyapunov 指数稳定性判据。给出了如下的同步定理:只有当响应系统的所有的条件Lyapunov 指数都为负值时，才能达到响应系统与驱动系统的同步。
由于Pecora-Carroll 关于驱动一响应同步方法需要将系统进行特定的分解，使其在实际应用中往往受到很大的限制。1995年 L.Kocarev和U.Parlitoz 提出了改进方法，即主动一被动分解法，由于该分解方法十分灵活，且有很好的普遍适用性。
考虑如下的n 维的动力学系统:
Z≈F(Z) (2.6) 式中Z ∈R 为状态向量，F 为光滑的向量场。我们总可以把系统(2.19)改为非自治系统形式:
X=f (X , S(t)) (2.7) 其中S(t)为所选的驱动变量，它是X 中变量的函数，即
S(t)=h(X)或S(t)=h(X,S) (2.8) 复制一个与((2.21)式相同的系统作为响应系统
Y=f (Y,S(t)) (2.9) 若响应系统(2.9)与驱动系统(2.7)受到相同的信号S(t)驱动，由方程((2.9)及((2.7)可推导出两系统变量差e=X-Y的微分方程为:
e = f(X,S)-f(Y,S)= f(X,S)-f(X-e, S) (2.10) 显然式(2.10)在e=0处有一个稳定的不动点，即响应系统(2.10)与驱动系统(2.10)能达到稳定的同步态X =Y。应用Lyapunov 函数或线性稳定性分析方法(在。为小值情况下) ，或计算(2.9)的条件Lyapunov 指数为负，可以证明:则由((2.9)式和((2.7)式所表示的两个混沌系统能够实现同步。这种分解h 和f 称为主动一被动分解法(Active-Passive Decomposition) 或有源一无源分解法。相应的同步类型也称为主动一被动(或有源一无源) 同步类型。
主动一被动同步方法的最大优点和关键所在就是可以不受任何限制地选择驱动信号的函数，因此，该法具有更大的普遍实用性。事实上，驱动一响应同步方法是主动一被动同步方法的一种特例情况。在很多情形下，驱动函数可以是一般的函数，它不仅依赖系统的状态，而且还可以与信息信号i(t)有关，它通常是信息信号与混沌(超混沌) 信号的函数，即:S(t)=h(X,i)或S(t)=h(X,i,S)写成矢量形式。这个特点使主动一被动同步方法特别适合于保密通信方面的应用。
2.2.2变量反馈微扰同步方法
1993年，德国学者K.Pyragas 提出了一种对非线性连续混沌系统的控制方法。即:连续变量反馈微扰控制法。后来这一思想被用来研究两个混沌系统的同步问题。变量反馈微扰同步法的原理可用图2.1表示。
图2.1变量反馈微扰同步方法的原理图
设混沌系统(I)和(II)分别为:X人(X ),Y。它们的同步问题可用下
列方法描述:
X=fl(X)
X=f2（Y)+F(t) (2.11) F(t)=K(X,Y)
F(t)是两个系统的状态变量差值的函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，它作为小微扰信号反馈到系统(II)中。只要适当调节控制反馈权重系数ki ，系统((I)和系统((II)就可以实现混沌同步。当两个系统同步时，反馈量不再起作用，即:F(t)=K -q?(X,Y)一01因此，这种同步方法没有改变原系统X 的混沌特性，属于反馈跟踪混沌信号的同步方法。应用小微扰变量反馈法时，应注意到两种因素影响:一种是系统参数变化，二是环境噪声，只要在允许的误差范围内，该方法具有鲁棒性。该方法的优点是不必要对系统进行预先的计算机分析，从实验上技术可行，因此有一定的实用价值，反馈系数K 的工作范围可以计算确定，高阶混沌情形可以用微扰限制方法，这时受控变量的最小数目必须等于无微扰系统的正的Lyapunov 指数的数目。
2. 2. 3相互祸合的同步方法
基于相互祸合的混沌同步方法是在八十年代由A. V. Gaponov-Grekhov 研究流体湍流时得出的。1990年，Winful 和Rahman 针对激光混沌，研究了在相互祸合半导体激光阵列系统中混沌同步的可能性。1994年，美国Roy 和Thombury 以及日本的Sugawara 等人，通过利用激光强相互祸合，分别独立地从实验上观察到两个混沌激光系统的同步, Carroll 等人在研究三个总体祸合的脉冲藕合振子阵列时，也发现了同步现象。大量的研究表明:对于相互祸合的混沌系统在一定
的条件下(如祸合强度足够大) ，可达到混沌同步，对于这一点，Wu 和Chua 通过研究Chua 电路从理论上进行了证明，其实，从稳定性的理论角度很容易理解这一点，因为祸合的目的在于使系统总的收敛趋势大于系统的发散趋势。相互祸合的思想表述如下:
对于混沌系统:
dX/dt=F(X) (2.12)
复制完全相同的系统:
dY/dt=F(Y) (2.13)
其中，X,Y ∈R^,F(X),F(Y)不明显地依赖于t 。分别在驱动系统和相应系统的动力方程式的右边加入耦合控制项后为：
dX/dt=F(X)+K(Y-X) (2.14)
dY/dt=F(Y)+K(X-Y) (2.15)
其中，K 称为祸合系数，是一个nxn 对角矩阵。一般地，只要选择恰当的耦合系数K ，那么在参数匹配下就会使两个系统达到同步。
2.2.4自适应同步方法
“自适应”，是指自然界中的生物能改变自己的习性以适应新的环境的一种特征和能力。所谓自适应同步是:应用自适应控制原理，对混沌中不稳定的周期轨道进行有效的控制，最终实现两个系统的混沌同步。John 和Arnritke 提出了改进的自适应控制方法，不仅可以应用于控制混沌而且能够实现两个系统的混沌同步。该同步方法的前提是，至少已知系统的一个参数或几个参数，且已知所期望得到的轨迹所对应的参数值。受控参数的变化依赖于如下两个主要条件:一是系统输出变量与期望的相应变量之差二是受控参数的值与期望轨道相应的参数值之差。这种方法可以得到系统参数的变化，所以所有系统的变量可以自由的演化，也不需要知道混沌吸引子的详细情况。
2.3混沌同步的研究进展
混沌同步，从总体上说，属于混沌控制的范畴; 但由于混沌自身的特点，同步方法不完全和传统的以抑制混沌为主的控制方法相同。传统的混沌控制一般是将系统稳定在不稳定的周期轨道上，混沌同步则是实现两个系统的混沌状态的完全重构。混沌同步现象的发现，源于九十年代初，首先由美国学者Pecora 和Carroll 在电子学线路的专门设计的实验中实现两个系统的混沌同步。这既是令人吃惊的，又是引人入胜的发现，因为混沌行为的最大特点就是，运动轨迹对初始条件具有高度的敏感性，所以以前认为在实验室内重构相同的完全同步的混沌系统简直是不可能的事情。但是，混沌同步的发现打破了这个禁锢，开辟了一片
新天地，使其具有诱人的应用发展前景。混沌应用的研究也出现了新的生机，很多人竞相投入研究，发展了许多不同的同步方案。
2.4混沌同步的应用
混沌的主要特征是类似随机运动的无规则性和对初始条件的敏感依赖性，不可能对混沌时间序列作长时间的预测。混沌同步原理的应用首先是保密通信领域。在数据保密通信中，通常需将原始数据与某种伪随机数据相调制。选择合适的伪随机数据是关键。
混沌信号由于有快速衰减的关联函数和宽带功率谱，可选为伪随机信号。混沌由于对初始条件的高度敏感性而具有高度的随机性，可用来对信号进行调制。同时它又是决定性的，由非线性系统的方程、参数和初始条件完全决定，因而使其有可能用同步的方法来进行复制，从而可通过解调获得原始数据信息。现有的保密通信主要是产生伪随机序列对待发送数字信号进行一系列变换加密，设备复杂，混沌同步应用于保密通信可简化设备，同时提高保密性。
混沌同步应用于通信的基本思想是:利用简单的混沌动力学系统来产生复杂的震荡波形，通过符号动力学理论赋以不同的波形以及不同的信息序列，然后通过适当的小微扰方法，实现对不同信息的切换。
混沌同步应用于通信有几种主要方法:混沌切换、混沌遮掩、混沌调制等等。 混沌遮掩是信息信号和混沌信号被简单的加在一起，混和信号作为传输信号。接收端由同步原理进行设计，用接收到的信号驱动接收端。如发送端和接收端能够同步，作一个简单的减法即可恢复原信号。混沌调制较为复杂，但有一些优点，混沌信号的整个频谱都可以用来隐藏信号，而且对参数变化的敏感性增加，从而增加了保密性。
第三章 针对Lorenz 系统的混沌同步控制电子电路设计 Lorenz 吸引子是迄今为止被研究得最为深入的吸引子，它无论从数学还是物理的角度来说都是值得详细地研究。从工程的角度来看，如何实现和应用Lorenz 吸引子是一个十分有意义的问题。因此，人们对Lorenz 系统进行了大量而深入的探索，还先后提出了Lorenz 系统的一些变形，如分段Lorenz 系统和模拟Lorenz 系统。
3.1 Loren:系统的科学价值和历史意义
Lorenz 系统的数学模型是三元一阶非线性微分方程组，它是当今被讨论和引证最多的动力系统的典型例子之一。Lorenz 系统既有分叉、混沌现象，也有各种稳定现象，如倍周期、不动点等。一般文献大多关注其不稳定的一面而忽略了其稳定性。尽管30多年来已经对Lorenz 系统进行了广泛深入的研究，这个系统仍有许多未解决的问题，仍然对动力系统研究颇具魅力。可以说，Lorenz 系统的提出极大地激励和推动了混沌学的理论发展和后来混沌在许多工程学科中的应用。它是混沌学发展史上的一个重要的起点和转折点，具有第一个里程碑的意义。
3.2 Lorenz系统的动力学行为
1963年美国气象学家洛伦兹(Lorenz)研究大气对流，提出了著名的Lorenz 方程，Lorenz 的初衷是想探求一个常微分方程组，以模拟某些与天气有关的变化过程。他最终使用的方程是从一个对流模型得出的:一个两维的流体室，底部加热，顶部冷却，从而产生对流。
3.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为
Lorenz 系统的动力学方程为:式中，x 正比于对流运动的强度，Y 正比于水平方向温度变化，z 正比于垂直方向温度变化；a,r 和b 分别为与Prandtl 数、Rayleigh 数及容器大小有关的正参数。对各参数在一个宽的范围内取值并在计算机上对Lorenz 方程求解，其结果看上去特别复杂。该轨迹为Lorenz 系统确定了一个“奇怪吸引子”，基于奇怪吸引子的运动描绘出复杂的“湍流”特性。 当参数取值为a=l0,b=8/3,r=28时，Lorenz 系统有一个混沌吸引子，如图所
示。
图3.1 Lorenz吸引子
下面列举Lorenz 系统的几条最基本的性质:
（1) 对称性和不变性；
显然，系统在变换(x,y,z) →(-x，-y,-z) 下具有不变性，即系统关于z 轴具有对称性，且这种对称性对所有的系统参数都能够成立。并且，z 轴本身也是系统的一条解轨线，即，当t=0时有x=y=0，则对所有的t>0有x=y =0。进一步，当t →∞时，z 轴上所有的解轨线均趋于原点。
(2)耗散性和吸引子的存在性；
系统(3.1)在条件c
(x V, y, z)=1/2(x²+ay²+az²) (3.1) 容易得到下式成立:
V=-a(1+r)/2(x-y)²-a(1-r)(x²+y²)/2-abz²
当x →∞时，利用下面方程:
d/dt·1/2[x²+y²+(z-a-r²)]
=xdx/dt+ydy/dt+(z-a-r)dz/dt (3.3) =-ax²-y ²-b[z-(a+r)/2]²+b(a+r)²/4
显然，当x 足够大并且随着t 增加时，1/2[x²+y²+(z-a-r) ²]是一个正定函数。因此，在相平面上，它的轨线趋于点(0,0,a+r)。
一个初始体积为v(o)的体积元在时间t 时收缩为体积元。这意味着，当t →∞时，包含系统轨线的每个体积元以指数速率-(a+b+1)收缩到0。因此，所有的轨线最终会被限制在一个体积元为0的点集合上，并且它的渐进动力行为会被
固定在一个吸引子上。至于吸引子的形状，在这一步简单分析中尚不能了解清楚。
3.2.2平衡点和分岔
若某一动力系统依赖于某参数，当该参数通过一特定值时，系统的定性行为会发生变化。这种定性行为的变化称为分岔。分岔分为如下三种类型:叉型分岔、霍普夫分岔和鞍一结分岔。其中霍普夫分岔是由于定点稳定性突然变化而出现的极限环。
在系统(3.1)中，当r=1时，我们能够观察到原点出现叉式分岔。若参数a 和b 固定，而r 变化，则两个非平凡平衡点S_和S+，对称地落在z 轴的两边。
3.3电子电路的应用设计
电子电路的应用设计方法和步骤如图4.4。电子电路是指含有电阻、电容、晶体管等电子器件，并且能实现某种特定电功能电路。它广泛应用于各种电子设备中。由于电子电路种类繁多，电子电路设计方法和步骤也不尽相同，选择总体方案、设计单元电路、计算参数和选择元器件等环节往往需要交叉进行，甚至出现多次反复。
图3.2 设计方法和步骤
(一) 总体方案的确定
针对所要设计的任务、要求及条件，根据自己掌握的知识和资料，将总体功能合理地分块化，分解成若干个子单元电路，并最后画出各个单元框图相互连接而形成的总体工作原理图。总体方案的选择直接关系到整体电路的合理性和实用性。因此，在总体方案设计时，要多思考、多分析、多比较，要从性能稳定、工作可靠、电路简单、成本低、功耗小、技术先进性、调试维修方便等方面，选择出最佳的设计方案。
（二) 单元电路的设计
在进行单元电路的设计时，必须明确对各单元电路的具体要求，详细拟定出单元电路的性能指标，注意到各单元电路之间的配合问题，尽量少用或不用电平
转换之类的接口电路，并考虑到能使各单元电路采用统一的供电电源，以免造成总体实际电路复杂、可靠性差等缺点。
另外在进行具体设计时，可以选用成型的先进电子电路，亦可在与设计要求较接近的电路的基础上进行适当改进或进行创造性设计。
(三) 参数的计算
计算电路参数时应注意以下几点:
1) 在计算元器件工作电流、电压和功率等参数时，应考虑工作条件最不利的情况，并且根据实际的情况留有适当的裕量。
2) 对于元器件的极限参数必须留有足够的裕量，一般应取1.5一倍的额定值。以免电压不稳定和其它原因外部原因造成电路损坏。
3) 对于电阻、电容参数的取值，应选计算值附近的标称值。如电阻值一般在1兆欧姆内进行选择，非电解电容一般在100皮法到0.47微法之间进行选择，电解电容器一般在1到2000微法之间进行选择。
4) 在确保设计的电子电路符合功能指标要求的前提下，尽量减少元器件的种类、价格、体积等。计算好参数后，选择好适当的元件。
(四) 电路的组装与调试
电子电路的组装与调试在电子设计技术中占有重要的位置。它是对理论设计进行检验、修改和完善的过程，任何一个产品往往都是在安装、调试，并反复修改多次后方能最终完成。
(1)电子电路的安装设计电路完成后要进行安装，其安装通常采用印制电路板、通用电路板和面包板。
(2)电子电路的调试，测试是在电路组装后对电路的参数与工作状态进行测量，调整则是在测试的基础上对电路的某些参数进行修正，以便满足设计的要求。
(3)调试步骤
1) 通电前的检查电路安装完毕后，不急于通电。首先应根据电路原理图认真检查电路接线是否正确，即主要直观地检查电源、地线、信号线、元器件引脚之间有无短路，连线有无接触不良，元器件有无漏焊，二极管、晶体管、电解电容器的极性有无错误；其次，在查线时，最好用指针式万用表电阻档，或用数字万用表电阻档的蜂鸣器来测量。
2) 通电观察在确认电路接线无错误的情况下，接通电源。电源接通后不急于测量数据，应先观察有无异常现象，如有无冒烟、是否闻到异常气味、手摸器件是否发烫、电源是否有短路现象。如有异常现象，应立即关掉电源，待故障排除后方可重新通电。
3) 分块调试把电路按功能分成不同的模块，分别对各模块进行调试。通常调试顺序是按照信号的流向进行，这样可把前级测试过的输出作为后一级的输入信
号，为最后联调创造条件。分块调试包括静态和动态调试。把静态和动态调试的结果与设计的指标加以比较，经深入分析后对电路与参数提出合理的修整。注意:在测试电路过程中，应对测试结果作详细记录。
目前，在电子设计方面经常使用的电子设计自动化技术是通过计算机仿真和模拟软件进行原理电路的设计和验证，借助于PCB 软件进行印制电路板的设计及借助于PLD 软件进行可编程器件设计的一种综合性电子设计技术。
3.3.1简单混沌现象研究
在设计混沌同步控制电子电路之前，首先，设计了简单的非线性电路来观察混沌现象。其具体的电路如图3.3。
图3.3 混沌实验电路
其中L=18mH,C1= lOnF ,C2=100nF ,R3=3.3千欧 ,R2=R3=22千欧,R4=2.2千欧，R5=R6=220欧, Ro 是由两个线圈组成的电位器，可以进行粗调和微调。这个电路设计过程中，非线性电阻的设计是关键，针对这种情况，进行了反复的调试，最后得出了最佳的非线性电阻设计，即由一个双运算放大器和六个电阻组合来实现。这个电路中，LC 并联构成振荡电路，Ro 的作用是分相，使Ro 两端输入示波器的信号产生相位差，可以得到两个信号的合成图形(图4.6) 。双运放TL082的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R3/Ro,R6/Ro有关，负反馈的强弱与比值R2/R1,R5/R4有关。当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调R0，正反馈就发生变化，TL082处于振荡状态，表现出非线性。
4.3.2电路图
在上述简单混沌电路实现的基础上，针对耦合方程，设计了具体的电子电路来实现，如下图：
图3.4 总电路图
第四章 计算机仿真与电路的实现
4.1软件设计
4.1.1软件设计的基本原则
软件设计工程中应该遵循的基本原理是:
1. 模块化原则:采用模块化原则可以使软件结构清晰，不仅容易设计也容易阅读和理解。因为程序错误通常局限在有关的模块及模块之间的接口中，所以模块化使软件容易测试和调试，因而有助于提高软件的可靠性。因为变动往往只涉及少数几个模块，所以模块化能够提高软件的可修改性。
2. 抽象原则:抽象就是抽出事物的本质特性而暂时不考虑细节问题。对问题进行模块化时，可以提出许多抽象的层次。在抽象的最高层次使用问题环境语言，以概括的方式叙述问题的解法:在较低抽象层次采用更过程化的方法，把面向问题的术语和面向实现的术语结合起来叙述问题的解法; 最后，在最低的抽象层次用可以直接实现的方式叙述问题的解法。
3. 信息隐蔽和局部化原则:局部化是指把一些关系密切的软件元素物理地址放的彼此靠近。局部化有助于实现信息隐蔽。隐蔽意味着有效的模块化可以通过定义一组独立的模块而实现，这些独立的模块彼此间仅仅交换那些为了完成系统功能而必须交换的信息。
4. 模块独立原则:设计软件结构使得每个模块完成一个相对独立的特定子功能，并且和其它模块之间的关系很简单。独立的模块不仅容易开发出来，而且比较容易测试和维护。
4.1.2软件选择
MATLAB 是Matrix Laboratory的缩写，意思是矩阵实验室。它是一个异常庞大的软件系统，它除了包含内容十分丰富的数学软件外，还包括信息工程(例如系统处理、图像处理、小波分析、通信工具等) 与控制工程(例如系统识别、系统控制、鲁棒控制、模糊控制等) 等方面的内容。MATLAB 数学软件具有十分突出的优点，因此使它能够成为当今世界上最为优秀的数学软件之一。它的主要优点有：
(1)书写简捷。全部数学内容的MATLAB 书写与通常的数学书写格式基本一
致，尽可能地照顾到人们的书写习惯，很容易为使用者所接受。
(2)内容丰富。包含了应用数学各主要分支的内容，不论是高等院校师生，还是工程技术人员所遇到的一般数学求解问题，在系统中都能找到比较满意的答案。
(3)功能强大。系统不但能求解常见的一般应用数学问题，对于某些具有一定难度与一定复杂程度的数学问题，例如刚性常微分方程的求解问题、某些偏微分方程的定解问题、某些矩阵的特征值问题，以及某些约束非线性规划的求解问题等，在系统中也能找到相应的答案。
(4)直观生动。由于MATLAB 具有较强的绘图功能，而且界面友好，使用简单方便，可以充分利用它对低维度(n s 2, n为问题中自变量的个数) 的任何数学问题，以及问题的答案给出几何直观的描述，让使用者对问题做到生动直观的理解。
(5)对外开放，易于扩充。用户可以根据自己的需要修改系统中的源文件，或者在系统中添加自编的文件，它们都可以像系统中的库函数一样被方便的调用。
由于MATLAB 的这些优点，借以Lorenz 系统的数学特性，因此本文采用了MATLAB 对Lorenz 系统的祸合同步进行了计算机仿真。
4.1.3电路的实现
软件实现了Lorenz 系统的藕合同步，模拟了祸合的效果，并详细显示了同步控制的祸合比例关系、祸合速度和各变量的幅值情况。
4.2仿真与分析
4.2.1 Matlab仿真
对于祸合系统，根据Lorenz 系统的动力学特性，当取b =8/3 } r =0.5 } a =10时，对于Lorenz 系统是趋于无对流的定态，祸合同步控制实现如(图4.1) 所示。
图4.1 当b=8/3，r=0.5,a=10时，Lorenz 系统同步图及比例系统曲线
当取b =8/3，r =14,a=10时，Lorenz 系统存在无穷多个周期轨道和混沌轨道。它也能很快实现同步，祸合同步具体实现如所示。
4.2.2结果分析
本文采用了Lorenz 系统模型，根据Lorenz 系统的动力学行为，首先在给定参数b 。定值的情况下，探讨了r 取不同值的情况，得出了如下的结论，如表( 5.1)。接着在给定b =8/3，r =50，a =10的情况下，利用现代非线性控制理论，采用MATLAB 较好地实现了对Lorenz 系统的祸合控制的仿真。仿真表明通过加入藕合控制项可以实现以一定的祸合比例系数使系统同步，祸合比例系数可取任意非零值，可以实现主动系统和被动系统的反相控制。随着松弛系数取值的增大，祸合达到同步的速度也变快，能够在更短的时间内达到同步。其最有意义的地方在于:这种祸合控制方法能很快实现系统的同步，对初始条件的敏感性控制在某一短暂的时间范围内，即只在一段时间内系统进行混沌运动，随后系统运动将转化并精确维持在希望的平衡状态。运用这种控制手段，能消除初始状态对运动不确定性的影响，使混沌系统的运动最终按照人们的意愿发展。
传统的PID 作为一种线性控制算法，无法有效地控制非线性现象，尤其对于复杂的大规模非线性系统，PID 控制很难满足系统稳定性控制的要求。采用恰当加入微扰的混沌控制方法，可以解决一些复杂非线性现象。
加入控制量的方法来实现Lorenz 系统混沌同步化控制，使两个系统很快实现祸合同步，比传统的非线性控制方法(一个非线性过程首先必须被线性化，通常由以下方法得到这种效果，即增加一个相反方向的非线性过程以补偿非线性行为，使整个过程的输入输出关系变得线性化) ，同步化控制的速度快，在设计过程中也减少了单调乏味的工作，而且在一定程度上也避免了传统PID 控制过程中的不确定性会很轻易改变补偿结果的弊端。
最后，选用MATLAB 对系统进行仿真，编写程序方便，调试过程简单，容易
在计算机上实现。
表5.1 系统中的分岔与混沌
表5.1 系统中的分岔与混沌
论文总结与展望
非线性现象是自然界和人类社会中存在的普遍现象，它使非线性动力学的研究引起人们广泛的关注。而它的无穷维混沌特性使之在许多方面具有广阔的应用前景。本文针对Lorenz 系统对混沌同步与混沌控制等问题进行了深入的讨论，取得了一些有用的结论和成果，为进一步研究其它类型的动力学系统提供了参考。但非线性系统本身具有高度的复杂性，还有许多问题有待于研究和解决。
混沌，当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。它在自然科学及社会科学等领域中，覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强，发展前景及影响之深远都是空前的。国际上誉称混沌的发现，乃是继本世纪相对论与量子力学问世以来的第三次物理学大革命，这场革命正在冲击和改变着几乎所有科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战。
混沌的发现已过而立之年。首要的问题是，混沌究竟有什么应用和发展前景? 这是摆在人们面前的一个重大课题及普遍关注的问题。特别是，在我国改革开放和振兴经济的大潮面前，这类提问和呼声更为强烈，这确实也是深入开展混沌研究的巨大推动力。由于混沌的奇异特性，特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性，所谓“差之毫厘，失之千里”的缘故，长期以来有些人总觉得混沌是不可控的、不可靠的，因而是无法应用的怪物，在应用及工程领域中总被回避和抵制。前二次物理学革命所经历的惊人类似的历史，使我们对此并不感到奇怪。
但是，九十年代以来国际上混沌同步及混沌控制的突破性进展，由此激发起来的
理论与实验应用研究的蓬勃开展，使混沌的可能应用出现了契机，为人们展现了十分诱人的应用与发展的美好前景。
致 谢
在做这个课题的长时间中，这里大家都认真的专研各自的课题并相互讨论。有着浓厚的学习气氛及优良的学习风气，这些给我留下了很深的记忆。我想，也只有在这样的环境下，我才能比较顺利完成该课题的制作与写作，让自己进一步的提升。
回首求学路，首先感谢我的导师崔老师，他宽以待人、治学严谨的态度使我受益匪浅; 在他的悉心指导与亲切关怀下使论文顺利完成，在此表示深深地感谢! 感谢其他各位老师对我论文的评阅。感谢实验各位同学的关心与帮助，有你们的存在使得我的学习生活充满了欢声笑语。感谢多年来支持和照顾我的亲友，没有他们的含辛茹苦，我也不能顺利完成学业。饮水思源，今天的成绩与各位师长的指导和同学们的帮助密不可分，但我深知前面还有很长的路要走，我将会牢记各位师长的教诲，踏踏实实，努力拼搏，用实际行动为自己的母校添光添彩。
由于时间仓促和本人水平有限，在设计过程中，难免在设计上存在一定的缺陷，请各位老师多多指正。
参考文献
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[15] 王光瑞，于熙龄，陈式刚编著. 混沌的控制、同步与利用. 北京一国防工业出版社.2001.
题目：Lorenz 混沌系统的电路仿真
指导教师：
学生姓名：
学生学号：
信息工程系—电气自动化专业—08自动化2班
2011年 04月 15日
摘 要
混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等内容的研究非常感兴趣。
本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P 同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。
关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现
ABSTRACT
Chaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific disciplines branch, and almost permeates and affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested.
Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this paper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability theory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to use tiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a short transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.
Key Words: Synchronization of chaos ；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.
目 录
ABSTRACT............................................. II
第一章 绪论.......................................... 1
1.1选题的目的及意义................................. 1
1.2混沌学 .......................................... 2
1.2.1混沌的发展 ................................. 2
1.2.2混沌的定义 ................................. 3
1.2.3通向混沌的道路 .............................. 5
1.3奇怪吸引子 ...................................... 5
1.3.1洛伦兹吸引子 . ............................... 5
1.3.2伊侬吸引子 ................................. 6
1.3.3奇怪吸引子特性 .............................. 6
第二章 混沌的同步研究及其应用........................ 8
2. 1混沌的同步 ..................................... 8
2.1.1同步的定义 ................................. 8
2.1.2广义同步的定义 .............................. 9
2.1.3相位同步的定义 .............................. 9
2.2谈谈几种典型的同步方法 .......................... 10
2.2.1驱动响应同步法 ............................. 10
2.2.2变量反馈微扰同步方法 ....................... 11
2. 2. 3相互祸合的同步方法 ....................... 12
2.2.4自适应同步方法 ............................. 13
2.3混沌同步的研究进展 . ............................. 13
2.4混沌同步的应用 ................................. 14
第三章 针对Lorenz 系统的混沌同步控制电子电路设计.... 15
3.1 Loren:系统的科学价值和历史意义 .................. 15
3.2 Lorenz系统的动力学行为 ......................... 15
3.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为 . ................ 15
3.2.2平衡点和分岔 . .............................. 17
3.3电子电路的应用设计 . ............................. 17
3.3.1简单混沌现象研究 ........................... 20
4.3.2电路图 .................................... 21
第四章 计算机仿真与电路的实现....................... 22
4.1软件设计 ....................................... 22
4.1.1软件设计的基本原则 ......................... 22
4.1.2软件选择 .................................. 22
4.1.3电路的实现 ................................ 23
4.2仿真与分析 ..................................... 23
4.2.1 Matlab仿真................................ 23
4.2.2结果分析 .................................. 24
论文总结与展望....................................... 26
致 谢............................................... 27
参考文献............................................. 28
第一章 绪论
1.1选题的目的及意义
混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一。非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，具有广阔的应用的前景。
在许多领域，混沌己经被发现是有用的或有着巨大的应用前景。因此，在一些混沌显得非常重要且有用的领域，有目的的产生或强化混沌现象己经成为一个关键性的研究课题。对任意给定的一个有限维的系统或过程，它可以是线性的或非线性的、时变的或时不变的、非混沌的甚至稳定的，所关心的问题是我们能否通过设计一个简单可行的控制器，如参数调整器或状态反馈控制器，来使受控的系统产生混沌现象。这就是我们通常所说的混沌反向控制，或简称混沌反控制。
目前，混沌动力学在理论深度和应用广度两个方面都在不断取得重要突破，一个重要进展是上个世纪90年代以来，混沌控制与同步概念的提出，由此在国内外引发了对混沌控制与同步的理论和方法进行研究的热潮。这一研究课题不仅引起了物理学家，也引起了数学、控制论、电路与信息处理等有关领域的科学工作者的广泛关注，成为当前非线性科学研究中的前沿课题和学术热点。
虽然目前在混沌同步、控制及应用方面取得了巨大的成果，但仍有许多问题还没有解决。如在超混沌系统参数辨识中，虽然提出了多种方法，但是难于同时满足辨识精度高、控制器简单、需要时间序列少等要求，有必要进行改进; 混沌同步理论需要进一步完善，目前关于全同步、局部同步、相同步、滞后同步以及单向祸合的广义同步人们都已经作了大量的研究，但是对于双向祸合的混沌系统，由于两个系统相互作用、相互影响其动力学行为，每个系统的动力学行为都不再是只由自己动力学方程控制，因而它们动力学行为极其复杂，目前仍缺乏对双向祸合混沌系统的广义同步研究，为了混沌理论的完整性，对其研究是必要的。
本文在汲取前人研究成果的基础上，提出了以一定的藕合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制的方法，并在计算机上进行仿真，最后通过电子电路实现了针对Lorenz 系统的P 同步。
1.2混沌学
1.2.1混沌的发展
混沌概念最为深刻的演化与进展，发生在研究宏观世界的动力学中。根据牛顿理论，本世纪60年代之前，人们仍普通认为，确定性系统的行为是完全确定的、可以预言的。不确定性行为只会产生在随机系统里。然而，近30年来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪的、复杂的、随机的行为。随着对这类现象的深入了解，人们与古代混沌概念相联系，就把确定性系统的这类复杂随机行为称为混沌。可从两方面来理解混沌特性：一是：确定性系统的内在随机性现象；二是：对初始条件的敏感性。
最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家Poincare ，他在研究三体问题时指出:在一定范围内其解是随机的[例，实际上它是保守系统中的混沌，但是在当时并没有引起人们多大的注意。直到1954年，前苏联概率论大师Kolmogoror 提出了一个环面不变定理(即KAM 定理) ，这一定理后来被Arnold 和Mose 证明，使得人们进一步认识扰动对系统产生的影响。
1963年，著名大气学家Lorenz 研究了下表面受热，上表面冷却的薄层流体，通过对流方程进行模式截断，只保留一个速度模和两个温度模，给出了著名的Lorenz 方程：
dx/dt=-σ(x-y)，
dy/dt=rx-y-xz，
dz/dt=xy-bz
Lorenz 方程右端不显含时间，有三个参数Q(常数Prandtl ) ，P(瑞利常数) 和b(反映速度阻尼常数) ，Xl 代表对流的翻动速率，x2代表上流和下流的温度差，x3代表垂直方向温度梯度，该方程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线，若参数取b=10,b= 28,b=8/3，系统处于混沌状态，各个变量之间相平面投影图如下图1.1所示。
图1.1 Lorenz系统混沌吸引子相图
这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，人类从此揭开了对混沌现象的深入研究的序幕。
20世纪80年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入混沌及其混沌的性质和特点，借助于(单) 多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。控制混沌的研究兴起于1989年，与此同时有三种不同的控制方案在这一年问世。其中，第一种方案是共振控制，Hubler 和Luscher 通过引入一类无反馈外激励型控制使系统呈现事先指定的周期形态; 第二种方案是Bloch 和Marsden 建立一种有反馈的参数修改机制控制同宿轨道; 第三种方案是系统理论的应用，Hubler 和Fowler 分别利用统计性预测和基于Kalman 滤波的状态估计器等随机控制方法控制混沌系统并取得了一定的效果。真正引起对控制混沌较广泛重视的是1990年Ott, Grebogi 和Yorke 在Phys. Rev. L ett. 上发表的一篇短文，其中提出了利用参数反馈镇定构成混沌吸引子的任意不稳定周期性轨道的方法，即后来所被广泛应用的OGY 方法。这种控制方法与实验有密切联系，因而很快便应用于实验室的实验中。同年该校的Ditto,Rouseo,Span 。从实验上验证了OGY 方法的有效性。随后，国际上混沌控制方法及其实验的研究得到了迅速的发展，混沌同步也获得进一步的拓广，大大推进了在应用方面的研究。
进入90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，被很多人所认识，混沌学更是与其他学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、心理学、物理学、生理学、数学、信息科学、电子学，还是气象学、经济学、天文学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了前所未有的应用。
1.2.2混沌的定义
“混沌”一词，从古自今，毫不陌生。混沌是一个物理概念，它是非线性动力学系统表现出来的一种复杂现象。早在十九世纪末，法国数学家庞加莱在研究太阳系三体运动时就发现了混沌的现象，而最具有说服力和影响力的当属本世纪60年代初，美国气象学家洛伦兹提出的Lorenz 方程，借助于计算机技术使人们对混沌有了更加深刻的理解。近年来，随着人们对非线性混沌理论研究的不断深入，混沌的应用研究已成为非线性科学领域的热点问题之一。但是至今为止，学术界对“混沌”尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，但是有以下几种从不同角度出发的混沌定义，较好地概括了混沌的定性行为。
第一种混沌定义是，基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。气象学家洛伦兹给它做了一个形象的比喻成:一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可
能两周之后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于:蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。
第二种混沌定义是基于Li-Yorke 定理，是从数学上进行了严格的定义。
在1975年，李天岩和约克在《美国数学月刊》上发表的一篇论文《周期3意味着混沌》，第一次引入“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学定义，即现在所谓的Li 一Yorke 定义:
对于闭区间I 上的连续自映射f (x)，如果满足下列三个条件时，称它一定会出现混沌现象:
(I)f有任意周期的周期点；
(II)闭区间I 存在不可数非周期不变子集S ，如果存在一个周期3的周期点时，就一定存在任何整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话说，只要系统中有周期3就会“乱七八糟”，即什么周期点都可能存在。因此，发现在任何系统中是否存在3周期成为判断混沌的至关重要的准则。这种定量的定义混沌是真对集合提出的。
第三种混沌定义是:定义混沌的方法是采用了排除法，即与现有的已知运动进行比较来排除的方法。即:除了通常已知的三种典型运动类型，即平衡点、周期及准周期运动以外的一种貌似随机的运动形态，就是混沌运动，它的特点是局部极其不稳定而整体稳定。这种定义只是笼统的给出了混沌是自然界中一种新的运动形态，没有给出混沌运动的具体刻画，要想真正确定是否是混沌运动还需要进一步验证。
第四种混沌定义是:1989年Devaney 给出了一个更直观更便于理解的混沌定义:
设X 是一度量空间，一个连续映射f : X →X 称为X 上的混沌，如果满足下列条件:
(I)f具有对初值的敏感依赖性；
(II)f是拓扑传递的；
(III) f的周期点在X 中稠密。
对初值的敏感依赖性，意味着初值为x 和y 的两点，无论x 和y 离得多么近，在了的作用下两者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点x 附近都可以找到离它很近而在f 的作用下离它渐渐远去的点y ，对于这样的f ，如果用计算机计算它的轨道，任何微小的初值变化，经过若干次迭代后都将导致计算结果的失效。
拓扑传递性意味着任意一点的临域在f 的作用下，将传递整个度量空间。周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非杂乱无章。乱中有
序，这正是混沌的深奥之处。
第五种混沌定义是哈肯提出来的，它干脆就把混沌定义为:来源于确定性方程的无规运动。这里最关键的是如何理解所谓的“无规运动”，而不同周期运动的叠加在某种程度上也可以模拟无规行为。
1.2.3通向混沌的道路
目前发现通向混沌的道路有以下几种:一、倍周期分岔道路:随着系统参数的变化，系统的振荡周期由T 变为2T 、继而为2²T , „，2^T，直至最终进入混沌状态。由倍周期分岔通向混沌是出现混沌的重要方式(或道路) 之一。也可以说，出现倍周期分岔即预示着混沌的存在。二、阵发混沌道路:阵发性混沌是指系统在相当长时间内处于某种几乎周期状态，但是随着系统的控制参数接近转变点，会在规整的周期运动过程中不时爆发出一阵阵随机的、不规则的运动片断，而且变得越来越频繁，最后系统进入完全的混沌态，故称阵发性混沌。三、环面破裂:具有两个或两个以上不可约(即比值非有理数) 频率成份的拟周期运动在某种情况下失去光滑性，即参数达到临界值时布满拟周期轨道的环面发生破裂，而进入混沌。
四、危机道路:与阵发混沌道路一样，危机道路也是间隙的。但不同之处是:危机道路是由全局演化引起的，如跨越稳定与不稳定流型时产生的。在临界参数值之前，是非混沌运动，但是通常存在瞬变过程，在达到它们的渐进规则运动之前，轨迹看上去是混沌的，当参数达到临界值，则混沌的瞬变过程趋于无穷; 经过临界后，产生持续的混沌运动。
1.3奇怪吸引子
奇怪吸引子广泛存在于动力学系统中，又称混沌吸引子(Chaotic
Attractor ) 。指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分维数的吸引子，其中最典型的例子是洛伦兹吸引子和伊侬吸引子。
1.3.1洛伦兹吸引子
1963年洛伦兹在“决定性的非周期流”一文中给出了如下插图。由于洛伦兹所得到的吸引子存在于三维相空间中，所以左图为吸引子在YZ 平面上的投影，右图则是在XY 平面上的投影。
图1.2 奇怪吸引子
图1.3伊侬奇怪吸引子
1.3.2伊侬吸引子
伊侬吸引子是从二维映射[[421中迭代产生的，下图是在计算机上经过一万次迭代后所得到的结果。其中(b), (c), (d)依次是前一图内小方框中图形的放大。可以看出，在不同放大倍数下的图形，其结构是相似的。
1.3.3奇怪吸引子特性
奇怪吸引子上的运动对于初始条件非常敏感，作为相空间的子集合，通常具有分维数；奇怪吸引子的结构即使原来的微分方程连续地依赖于参数，它也完全不是连续地随参数而变化，即整体结构会突然变化; 它的空间结构相当复杂，这
来源于轨道的无穷伸长、压缩和折叠; 另外，奇怪吸引子具有一切混沌的通用性质、分维数、正的李雅普诺夫指数、正的测度嫡以及功率谱是连续的等等特性。
第二章 混沌的同步研究及其应用
混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。随着混沌同步和控制的方法在实验研究上的迅速发展，混沌控制与同步应用领域也从物理迅速扩大到化学、生物学、保密通讯、激光控制，电子线路等应用领域。下面简单介绍一些关于混沌同步的定义，之后介绍几种典型的同步方法，最后简要地介绍混沌研究存在的问题。
2. 1混沌的同步
混沌同步，从总体上来讲，属于一种广义混沌控制，就是将系统驱动到人们要求的混沌轨道上去(不是驱动到人们要求的周期轨道上去) 。迄今人们已经发现许多种同步方式，例如:全局同步、广义同步、相同步滞后同步等。提出了许多种混沌同步方法，如:驱动一响应同步方法，主动一被动的同步方法，变量反馈微扰同步方法，相互祸合的同步方法等，下面对这些同步的概念和同步的方法作一简要的介绍。
2.1.1同步的定义
总体上说，混沌同步属于混沌控制的范畴，迄今已发现了几种类型的混沌同步，其中一种类型就是Pceora 和Carroll 提出的同步方案。该方案电路中存在驱动与被驱动的关系，其中驱动电路可分为稳定部分和不稳定部分，将其中的稳定部分复制一个响应，然后把响应系统与驱动系统用驱动信号耦合起来，由此可达到相应系统与驱动系统同步。 随着非线性电路研究的深入，目前已有很多产生混沌的实际电路用于研究混沌产生机制的电路的报道。混沌现象广泛的存在于非线性电路中，比较典型并已得到深入研究的电路是蔡氏电路。若D(to)是R" 的一个子集，则称该精确同步定义为部分精确同步，D(to)称为同步区域。
要达到全局精确同步，驱动系统和响应系统必须完全相同，由于在实际中难以产生出两个完全相同的混沌系统，对于确定系统，或多或少存在参数不匹配，有时甚至用一个混沌系统的变量去驱动另一个结构完全不同的混沌系统，这时会
出现其它形式的同步。
2.1.2广义同步的定义
近些年来，L.Kocarev 等人提出了混沌广义同步(Generalized
synchronization 简称GS) 的概念及方法。当所有初始条件(Xo,Yo) C B的响应
系统轨道都随时间趋于无穷而趋于M 。当t →∞时，响应系统的轨道满足Y=H(X)，则称为广义同步。当n=m且f(X)=g（Y) 时，则广义同步又回到一般意义下的同步，即:y=H(X)=X。目前对于广义同步的测定主要是构造辅助系统的方法，这种方法主要是构造与响应系统完全相同的系统，并且用相同的信号去驱动它，若响应系统与辅助系统的输出量随时间的延续最终能够达到完全相同，则表明两个系统达到广义同步。即构造:
Z=g(z，h(X)) (2.1)
若有z(t) = y(t)，则表明达到广义同步。这种方法虽然在理论上非常简单，但是在工程上却需要花费很大的财力。
广义同步的测定还可以采用Lyapunov 指数方法和符号动力学方法。对于单向藕合的两个混沌系统，当响应系统的第二大Lyapunov 指数由0变负时两个系统达到广义同步，或者条件嫡出现突出最小值时表明达到广义同步。
2.1.3相位同步的定义
1996与1997年，Rosenblum 等人提出了祸合自振荡混沌系统之间的“相同步”, 他们发现当祸合强度增大到一定程度时，两个自然频率不同的振子的相位被锁定, 而此时两振子的振幅却没有关联，但是系统的两Lyapunov 指数中的一个变为负。相同步在数值研究上被发现后，先后在电路及激光实验中得到了验证。还依赖于混沌轨道的旋转特性，如果轨道有两个或两个以上的旋转中心，这一定义就必须修改，对于映象系统，上述相位的定义也不一定适用。深入研究这些问题从而建立起对混沌轨道旋转性质的系统和确切的描述仍在探讨之中。
继“相同步”提出之后，Rosenblum 等人又发现了“滞后同步”，其特征是两藕合混沌系统几乎有相同的状态，只是在时间上一个系统的状态滞后于另一系统的状态。通过数值模拟发现，“相同步”与“滞后同步”存在一定的联系，即:当祸合的混沌系统进入“相同步”之后，如果它们之间的藕合强度继续增强时“相同步”态可以发展成为“滞后同步”的状态，随着系统间藕合强度的进一步增强时间滞后将不断缩短，最后可能发展到全局同步。郑志刚等人发现系统间的参数失匹配程度将直接影响“相同步”与“广义同步”出现的先后顺序，其产生的机制有待于作进一步研究。
2.2谈谈几种典型的同步方法
2.2.1驱动响应同步法
驱动一响应混沌同步方法是由美国学者Pecora 和Carroll 在1990年提出来的，其特点是:两个系统存在驱动与响应(被驱动)(Drive-Response)的关系，或称为主役(Master-Slave)关系，响应系统的行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响应系统无关。
其基本原理为:将驱动系统分解成一个稳定的子系统和一个不稳定的子系统，复制一个与稳定的子系统完全相同的系统作为响应系统。假设驱动系统可以分解为真正用于驱动响应系统的m 维驱动变量矢量v 以及不用于驱动的k 维变量矢量u ，响应变量用l 维变量矢量w 表示。于是，总体动力学系统的总维数为n=m+k+l，总体动力学系统可表示为:
v=f (v,u)(m维)(驱动部分)
u=g(v,u)(k维)
w=h (v, w)(1维)(响应部分) (2.2)
复制一个与w 完全相同的子系统w 作为响应系统:
w=h(v, w) (2.3)
W’和w 受相同的驱动变量v 驱动，显然，w ’和w ，同步的条件是当t →∞时， △w=w-w’→0。根据矢量场，可以得到:
△w ·h (v, w)一h(v, w')=Dw h(v, w} ) △△+O(v,、’) (2.4) 其中Dwh 是响应系统矢量场的雅可比行列式对响应变量w 求偏导数，O(v, w) 为高
阶项，在△、很小的极限下有:
△w ·D, 。 h(v, w})d0 (2.5) 若w' (t)是常数或周期态，则可求出D .hw 的特征值或多重乘子以判断、 (t)的稳定性。Pecora 和Carroll 对响应系统的稳定性及同步原理进行了分析，发展了用混沌信号驱动响应系统的稳定性分析理论，即所谓条件Lyapunov 指数稳定性判据。给出了如下的同步定理:只有当响应系统的所有的条件Lyapunov 指数都为负值时，才能达到响应系统与驱动系统的同步。
由于Pecora-Carroll 关于驱动一响应同步方法需要将系统进行特定的分解，使其在实际应用中往往受到很大的限制。1995年 L.Kocarev和U.Parlitoz 提出了改进方法，即主动一被动分解法，由于该分解方法十分灵活，且有很好的普遍适用性。
考虑如下的n 维的动力学系统:
Z≈F(Z) (2.6) 式中Z ∈R 为状态向量，F 为光滑的向量场。我们总可以把系统(2.19)改为非自治系统形式:
X=f (X , S(t)) (2.7) 其中S(t)为所选的驱动变量，它是X 中变量的函数，即
S(t)=h(X)或S(t)=h(X,S) (2.8) 复制一个与((2.21)式相同的系统作为响应系统
Y=f (Y,S(t)) (2.9) 若响应系统(2.9)与驱动系统(2.7)受到相同的信号S(t)驱动，由方程((2.9)及((2.7)可推导出两系统变量差e=X-Y的微分方程为:
e = f(X,S)-f(Y,S)= f(X,S)-f(X-e, S) (2.10) 显然式(2.10)在e=0处有一个稳定的不动点，即响应系统(2.10)与驱动系统(2.10)能达到稳定的同步态X =Y。应用Lyapunov 函数或线性稳定性分析方法(在。为小值情况下) ，或计算(2.9)的条件Lyapunov 指数为负，可以证明:则由((2.9)式和((2.7)式所表示的两个混沌系统能够实现同步。这种分解h 和f 称为主动一被动分解法(Active-Passive Decomposition) 或有源一无源分解法。相应的同步类型也称为主动一被动(或有源一无源) 同步类型。
主动一被动同步方法的最大优点和关键所在就是可以不受任何限制地选择驱动信号的函数，因此，该法具有更大的普遍实用性。事实上，驱动一响应同步方法是主动一被动同步方法的一种特例情况。在很多情形下，驱动函数可以是一般的函数，它不仅依赖系统的状态，而且还可以与信息信号i(t)有关，它通常是信息信号与混沌(超混沌) 信号的函数，即:S(t)=h(X,i)或S(t)=h(X,i,S)写成矢量形式。这个特点使主动一被动同步方法特别适合于保密通信方面的应用。
2.2.2变量反馈微扰同步方法
1993年，德国学者K.Pyragas 提出了一种对非线性连续混沌系统的控制方法。即:连续变量反馈微扰控制法。后来这一思想被用来研究两个混沌系统的同步问题。变量反馈微扰同步法的原理可用图2.1表示。
图2.1变量反馈微扰同步方法的原理图
设混沌系统(I)和(II)分别为:X人(X ),Y。它们的同步问题可用下
列方法描述:
X=fl(X)
X=f2（Y)+F(t) (2.11) F(t)=K(X,Y)
F(t)是两个系统的状态变量差值的函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，它作为小微扰信号反馈到系统(II)中。只要适当调节控制反馈权重系数ki ，系统((I)和系统((II)就可以实现混沌同步。当两个系统同步时，反馈量不再起作用，即:F(t)=K -q?(X,Y)一01因此，这种同步方法没有改变原系统X 的混沌特性，属于反馈跟踪混沌信号的同步方法。应用小微扰变量反馈法时，应注意到两种因素影响:一种是系统参数变化，二是环境噪声，只要在允许的误差范围内，该方法具有鲁棒性。该方法的优点是不必要对系统进行预先的计算机分析，从实验上技术可行，因此有一定的实用价值，反馈系数K 的工作范围可以计算确定，高阶混沌情形可以用微扰限制方法，这时受控变量的最小数目必须等于无微扰系统的正的Lyapunov 指数的数目。
2. 2. 3相互祸合的同步方法
基于相互祸合的混沌同步方法是在八十年代由A. V. Gaponov-Grekhov 研究流体湍流时得出的。1990年，Winful 和Rahman 针对激光混沌，研究了在相互祸合半导体激光阵列系统中混沌同步的可能性。1994年，美国Roy 和Thombury 以及日本的Sugawara 等人，通过利用激光强相互祸合，分别独立地从实验上观察到两个混沌激光系统的同步, Carroll 等人在研究三个总体祸合的脉冲藕合振子阵列时，也发现了同步现象。大量的研究表明:对于相互祸合的混沌系统在一定
的条件下(如祸合强度足够大) ，可达到混沌同步，对于这一点，Wu 和Chua 通过研究Chua 电路从理论上进行了证明，其实，从稳定性的理论角度很容易理解这一点，因为祸合的目的在于使系统总的收敛趋势大于系统的发散趋势。相互祸合的思想表述如下:
对于混沌系统:
dX/dt=F(X) (2.12)
复制完全相同的系统:
dY/dt=F(Y) (2.13)
其中，X,Y ∈R^,F(X),F(Y)不明显地依赖于t 。分别在驱动系统和相应系统的动力方程式的右边加入耦合控制项后为：
dX/dt=F(X)+K(Y-X) (2.14)
dY/dt=F(Y)+K(X-Y) (2.15)
其中，K 称为祸合系数，是一个nxn 对角矩阵。一般地，只要选择恰当的耦合系数K ，那么在参数匹配下就会使两个系统达到同步。
2.2.4自适应同步方法
“自适应”，是指自然界中的生物能改变自己的习性以适应新的环境的一种特征和能力。所谓自适应同步是:应用自适应控制原理，对混沌中不稳定的周期轨道进行有效的控制，最终实现两个系统的混沌同步。John 和Arnritke 提出了改进的自适应控制方法，不仅可以应用于控制混沌而且能够实现两个系统的混沌同步。该同步方法的前提是，至少已知系统的一个参数或几个参数，且已知所期望得到的轨迹所对应的参数值。受控参数的变化依赖于如下两个主要条件:一是系统输出变量与期望的相应变量之差二是受控参数的值与期望轨道相应的参数值之差。这种方法可以得到系统参数的变化，所以所有系统的变量可以自由的演化，也不需要知道混沌吸引子的详细情况。
2.3混沌同步的研究进展
混沌同步，从总体上说，属于混沌控制的范畴; 但由于混沌自身的特点，同步方法不完全和传统的以抑制混沌为主的控制方法相同。传统的混沌控制一般是将系统稳定在不稳定的周期轨道上，混沌同步则是实现两个系统的混沌状态的完全重构。混沌同步现象的发现，源于九十年代初，首先由美国学者Pecora 和Carroll 在电子学线路的专门设计的实验中实现两个系统的混沌同步。这既是令人吃惊的，又是引人入胜的发现，因为混沌行为的最大特点就是，运动轨迹对初始条件具有高度的敏感性，所以以前认为在实验室内重构相同的完全同步的混沌系统简直是不可能的事情。但是，混沌同步的发现打破了这个禁锢，开辟了一片
新天地，使其具有诱人的应用发展前景。混沌应用的研究也出现了新的生机，很多人竞相投入研究，发展了许多不同的同步方案。
2.4混沌同步的应用
混沌的主要特征是类似随机运动的无规则性和对初始条件的敏感依赖性，不可能对混沌时间序列作长时间的预测。混沌同步原理的应用首先是保密通信领域。在数据保密通信中，通常需将原始数据与某种伪随机数据相调制。选择合适的伪随机数据是关键。
混沌信号由于有快速衰减的关联函数和宽带功率谱，可选为伪随机信号。混沌由于对初始条件的高度敏感性而具有高度的随机性，可用来对信号进行调制。同时它又是决定性的，由非线性系统的方程、参数和初始条件完全决定，因而使其有可能用同步的方法来进行复制，从而可通过解调获得原始数据信息。现有的保密通信主要是产生伪随机序列对待发送数字信号进行一系列变换加密，设备复杂，混沌同步应用于保密通信可简化设备，同时提高保密性。
混沌同步应用于通信的基本思想是:利用简单的混沌动力学系统来产生复杂的震荡波形，通过符号动力学理论赋以不同的波形以及不同的信息序列，然后通过适当的小微扰方法，实现对不同信息的切换。
混沌同步应用于通信有几种主要方法:混沌切换、混沌遮掩、混沌调制等等。 混沌遮掩是信息信号和混沌信号被简单的加在一起，混和信号作为传输信号。接收端由同步原理进行设计，用接收到的信号驱动接收端。如发送端和接收端能够同步，作一个简单的减法即可恢复原信号。混沌调制较为复杂，但有一些优点，混沌信号的整个频谱都可以用来隐藏信号，而且对参数变化的敏感性增加，从而增加了保密性。
第三章 针对Lorenz 系统的混沌同步控制电子电路设计 Lorenz 吸引子是迄今为止被研究得最为深入的吸引子，它无论从数学还是物理的角度来说都是值得详细地研究。从工程的角度来看，如何实现和应用Lorenz 吸引子是一个十分有意义的问题。因此，人们对Lorenz 系统进行了大量而深入的探索，还先后提出了Lorenz 系统的一些变形，如分段Lorenz 系统和模拟Lorenz 系统。
3.1 Loren:系统的科学价值和历史意义
Lorenz 系统的数学模型是三元一阶非线性微分方程组，它是当今被讨论和引证最多的动力系统的典型例子之一。Lorenz 系统既有分叉、混沌现象，也有各种稳定现象，如倍周期、不动点等。一般文献大多关注其不稳定的一面而忽略了其稳定性。尽管30多年来已经对Lorenz 系统进行了广泛深入的研究，这个系统仍有许多未解决的问题，仍然对动力系统研究颇具魅力。可以说，Lorenz 系统的提出极大地激励和推动了混沌学的理论发展和后来混沌在许多工程学科中的应用。它是混沌学发展史上的一个重要的起点和转折点，具有第一个里程碑的意义。
3.2 Lorenz系统的动力学行为
1963年美国气象学家洛伦兹(Lorenz)研究大气对流，提出了著名的Lorenz 方程，Lorenz 的初衷是想探求一个常微分方程组，以模拟某些与天气有关的变化过程。他最终使用的方程是从一个对流模型得出的:一个两维的流体室，底部加热，顶部冷却，从而产生对流。
3.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为
Lorenz 系统的动力学方程为:式中，x 正比于对流运动的强度，Y 正比于水平方向温度变化，z 正比于垂直方向温度变化；a,r 和b 分别为与Prandtl 数、Rayleigh 数及容器大小有关的正参数。对各参数在一个宽的范围内取值并在计算机上对Lorenz 方程求解，其结果看上去特别复杂。该轨迹为Lorenz 系统确定了一个“奇怪吸引子”，基于奇怪吸引子的运动描绘出复杂的“湍流”特性。 当参数取值为a=l0,b=8/3,r=28时，Lorenz 系统有一个混沌吸引子，如图所
示。
图3.1 Lorenz吸引子
下面列举Lorenz 系统的几条最基本的性质:
（1) 对称性和不变性；
显然，系统在变换(x,y,z) →(-x，-y,-z) 下具有不变性，即系统关于z 轴具有对称性，且这种对称性对所有的系统参数都能够成立。并且，z 轴本身也是系统的一条解轨线，即，当t=0时有x=y=0，则对所有的t>0有x=y =0。进一步，当t →∞时，z 轴上所有的解轨线均趋于原点。
(2)耗散性和吸引子的存在性；
系统(3.1)在条件c
(x V, y, z)=1/2(x²+ay²+az²) (3.1) 容易得到下式成立:
V=-a(1+r)/2(x-y)²-a(1-r)(x²+y²)/2-abz²
当x →∞时，利用下面方程:
d/dt·1/2[x²+y²+(z-a-r²)]
=xdx/dt+ydy/dt+(z-a-r)dz/dt (3.3) =-ax²-y ²-b[z-(a+r)/2]²+b(a+r)²/4
显然，当x 足够大并且随着t 增加时，1/2[x²+y²+(z-a-r) ²]是一个正定函数。因此，在相平面上，它的轨线趋于点(0,0,a+r)。
一个初始体积为v(o)的体积元在时间t 时收缩为体积元。这意味着，当t →∞时，包含系统轨线的每个体积元以指数速率-(a+b+1)收缩到0。因此，所有的轨线最终会被限制在一个体积元为0的点集合上，并且它的渐进动力行为会被
固定在一个吸引子上。至于吸引子的形状，在这一步简单分析中尚不能了解清楚。
3.2.2平衡点和分岔
若某一动力系统依赖于某参数，当该参数通过一特定值时，系统的定性行为会发生变化。这种定性行为的变化称为分岔。分岔分为如下三种类型:叉型分岔、霍普夫分岔和鞍一结分岔。其中霍普夫分岔是由于定点稳定性突然变化而出现的极限环。
在系统(3.1)中，当r=1时，我们能够观察到原点出现叉式分岔。若参数a 和b 固定，而r 变化，则两个非平凡平衡点S_和S+，对称地落在z 轴的两边。
3.3电子电路的应用设计
电子电路的应用设计方法和步骤如图4.4。电子电路是指含有电阻、电容、晶体管等电子器件，并且能实现某种特定电功能电路。它广泛应用于各种电子设备中。由于电子电路种类繁多，电子电路设计方法和步骤也不尽相同，选择总体方案、设计单元电路、计算参数和选择元器件等环节往往需要交叉进行，甚至出现多次反复。
图3.2 设计方法和步骤
(一) 总体方案的确定
针对所要设计的任务、要求及条件，根据自己掌握的知识和资料，将总体功能合理地分块化，分解成若干个子单元电路，并最后画出各个单元框图相互连接而形成的总体工作原理图。总体方案的选择直接关系到整体电路的合理性和实用性。因此，在总体方案设计时，要多思考、多分析、多比较，要从性能稳定、工作可靠、电路简单、成本低、功耗小、技术先进性、调试维修方便等方面，选择出最佳的设计方案。
（二) 单元电路的设计
在进行单元电路的设计时，必须明确对各单元电路的具体要求，详细拟定出单元电路的性能指标，注意到各单元电路之间的配合问题，尽量少用或不用电平
转换之类的接口电路，并考虑到能使各单元电路采用统一的供电电源，以免造成总体实际电路复杂、可靠性差等缺点。
另外在进行具体设计时，可以选用成型的先进电子电路，亦可在与设计要求较接近的电路的基础上进行适当改进或进行创造性设计。
(三) 参数的计算
计算电路参数时应注意以下几点:
1) 在计算元器件工作电流、电压和功率等参数时，应考虑工作条件最不利的情况，并且根据实际的情况留有适当的裕量。
2) 对于元器件的极限参数必须留有足够的裕量，一般应取1.5一倍的额定值。以免电压不稳定和其它原因外部原因造成电路损坏。
3) 对于电阻、电容参数的取值，应选计算值附近的标称值。如电阻值一般在1兆欧姆内进行选择，非电解电容一般在100皮法到0.47微法之间进行选择，电解电容器一般在1到2000微法之间进行选择。
4) 在确保设计的电子电路符合功能指标要求的前提下，尽量减少元器件的种类、价格、体积等。计算好参数后，选择好适当的元件。
(四) 电路的组装与调试
电子电路的组装与调试在电子设计技术中占有重要的位置。它是对理论设计进行检验、修改和完善的过程，任何一个产品往往都是在安装、调试，并反复修改多次后方能最终完成。
(1)电子电路的安装设计电路完成后要进行安装，其安装通常采用印制电路板、通用电路板和面包板。
(2)电子电路的调试，测试是在电路组装后对电路的参数与工作状态进行测量，调整则是在测试的基础上对电路的某些参数进行修正，以便满足设计的要求。
(3)调试步骤
1) 通电前的检查电路安装完毕后，不急于通电。首先应根据电路原理图认真检查电路接线是否正确，即主要直观地检查电源、地线、信号线、元器件引脚之间有无短路，连线有无接触不良，元器件有无漏焊，二极管、晶体管、电解电容器的极性有无错误；其次，在查线时，最好用指针式万用表电阻档，或用数字万用表电阻档的蜂鸣器来测量。
2) 通电观察在确认电路接线无错误的情况下，接通电源。电源接通后不急于测量数据，应先观察有无异常现象，如有无冒烟、是否闻到异常气味、手摸器件是否发烫、电源是否有短路现象。如有异常现象，应立即关掉电源，待故障排除后方可重新通电。
3) 分块调试把电路按功能分成不同的模块，分别对各模块进行调试。通常调试顺序是按照信号的流向进行，这样可把前级测试过的输出作为后一级的输入信
号，为最后联调创造条件。分块调试包括静态和动态调试。把静态和动态调试的结果与设计的指标加以比较，经深入分析后对电路与参数提出合理的修整。注意:在测试电路过程中，应对测试结果作详细记录。
目前，在电子设计方面经常使用的电子设计自动化技术是通过计算机仿真和模拟软件进行原理电路的设计和验证，借助于PCB 软件进行印制电路板的设计及借助于PLD 软件进行可编程器件设计的一种综合性电子设计技术。
3.3.1简单混沌现象研究
在设计混沌同步控制电子电路之前，首先，设计了简单的非线性电路来观察混沌现象。其具体的电路如图3.3。
图3.3 混沌实验电路
其中L=18mH,C1= lOnF ,C2=100nF ,R3=3.3千欧 ,R2=R3=22千欧,R4=2.2千欧，R5=R6=220欧, Ro 是由两个线圈组成的电位器，可以进行粗调和微调。这个电路设计过程中，非线性电阻的设计是关键，针对这种情况，进行了反复的调试，最后得出了最佳的非线性电阻设计，即由一个双运算放大器和六个电阻组合来实现。这个电路中，LC 并联构成振荡电路，Ro 的作用是分相，使Ro 两端输入示波器的信号产生相位差，可以得到两个信号的合成图形(图4.6) 。双运放TL082的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R3/Ro,R6/Ro有关，负反馈的强弱与比值R2/R1,R5/R4有关。当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调R0，正反馈就发生变化，TL082处于振荡状态，表现出非线性。
4.3.2电路图
在上述简单混沌电路实现的基础上，针对耦合方程，设计了具体的电子电路来实现，如下图：
图3.4 总电路图
第四章 计算机仿真与电路的实现
4.1软件设计
4.1.1软件设计的基本原则
软件设计工程中应该遵循的基本原理是:
1. 模块化原则:采用模块化原则可以使软件结构清晰，不仅容易设计也容易阅读和理解。因为程序错误通常局限在有关的模块及模块之间的接口中，所以模块化使软件容易测试和调试，因而有助于提高软件的可靠性。因为变动往往只涉及少数几个模块，所以模块化能够提高软件的可修改性。
2. 抽象原则:抽象就是抽出事物的本质特性而暂时不考虑细节问题。对问题进行模块化时，可以提出许多抽象的层次。在抽象的最高层次使用问题环境语言，以概括的方式叙述问题的解法:在较低抽象层次采用更过程化的方法，把面向问题的术语和面向实现的术语结合起来叙述问题的解法; 最后，在最低的抽象层次用可以直接实现的方式叙述问题的解法。
3. 信息隐蔽和局部化原则:局部化是指把一些关系密切的软件元素物理地址放的彼此靠近。局部化有助于实现信息隐蔽。隐蔽意味着有效的模块化可以通过定义一组独立的模块而实现，这些独立的模块彼此间仅仅交换那些为了完成系统功能而必须交换的信息。
4. 模块独立原则:设计软件结构使得每个模块完成一个相对独立的特定子功能，并且和其它模块之间的关系很简单。独立的模块不仅容易开发出来，而且比较容易测试和维护。
4.1.2软件选择
MATLAB 是Matrix Laboratory的缩写，意思是矩阵实验室。它是一个异常庞大的软件系统，它除了包含内容十分丰富的数学软件外，还包括信息工程(例如系统处理、图像处理、小波分析、通信工具等) 与控制工程(例如系统识别、系统控制、鲁棒控制、模糊控制等) 等方面的内容。MATLAB 数学软件具有十分突出的优点，因此使它能够成为当今世界上最为优秀的数学软件之一。它的主要优点有：
(1)书写简捷。全部数学内容的MATLAB 书写与通常的数学书写格式基本一
致，尽可能地照顾到人们的书写习惯，很容易为使用者所接受。
(2)内容丰富。包含了应用数学各主要分支的内容，不论是高等院校师生，还是工程技术人员所遇到的一般数学求解问题，在系统中都能找到比较满意的答案。
(3)功能强大。系统不但能求解常见的一般应用数学问题，对于某些具有一定难度与一定复杂程度的数学问题，例如刚性常微分方程的求解问题、某些偏微分方程的定解问题、某些矩阵的特征值问题，以及某些约束非线性规划的求解问题等，在系统中也能找到相应的答案。
(4)直观生动。由于MATLAB 具有较强的绘图功能，而且界面友好，使用简单方便，可以充分利用它对低维度(n s 2, n为问题中自变量的个数) 的任何数学问题，以及问题的答案给出几何直观的描述，让使用者对问题做到生动直观的理解。
(5)对外开放，易于扩充。用户可以根据自己的需要修改系统中的源文件，或者在系统中添加自编的文件，它们都可以像系统中的库函数一样被方便的调用。
由于MATLAB 的这些优点，借以Lorenz 系统的数学特性，因此本文采用了MATLAB 对Lorenz 系统的祸合同步进行了计算机仿真。
4.1.3电路的实现
软件实现了Lorenz 系统的藕合同步，模拟了祸合的效果，并详细显示了同步控制的祸合比例关系、祸合速度和各变量的幅值情况。
4.2仿真与分析
4.2.1 Matlab仿真
对于祸合系统，根据Lorenz 系统的动力学特性，当取b =8/3 } r =0.5 } a =10时，对于Lorenz 系统是趋于无对流的定态，祸合同步控制实现如(图4.1) 所示。
图4.1 当b=8/3，r=0.5,a=10时，Lorenz 系统同步图及比例系统曲线
当取b =8/3，r =14,a=10时，Lorenz 系统存在无穷多个周期轨道和混沌轨道。它也能很快实现同步，祸合同步具体实现如所示。
4.2.2结果分析
本文采用了Lorenz 系统模型，根据Lorenz 系统的动力学行为，首先在给定参数b 。定值的情况下，探讨了r 取不同值的情况，得出了如下的结论，如表( 5.1)。接着在给定b =8/3，r =50，a =10的情况下，利用现代非线性控制理论，采用MATLAB 较好地实现了对Lorenz 系统的祸合控制的仿真。仿真表明通过加入藕合控制项可以实现以一定的祸合比例系数使系统同步，祸合比例系数可取任意非零值，可以实现主动系统和被动系统的反相控制。随着松弛系数取值的增大，祸合达到同步的速度也变快，能够在更短的时间内达到同步。其最有意义的地方在于:这种祸合控制方法能很快实现系统的同步，对初始条件的敏感性控制在某一短暂的时间范围内，即只在一段时间内系统进行混沌运动，随后系统运动将转化并精确维持在希望的平衡状态。运用这种控制手段，能消除初始状态对运动不确定性的影响，使混沌系统的运动最终按照人们的意愿发展。
传统的PID 作为一种线性控制算法，无法有效地控制非线性现象，尤其对于复杂的大规模非线性系统，PID 控制很难满足系统稳定性控制的要求。采用恰当加入微扰的混沌控制方法，可以解决一些复杂非线性现象。
加入控制量的方法来实现Lorenz 系统混沌同步化控制，使两个系统很快实现祸合同步，比传统的非线性控制方法(一个非线性过程首先必须被线性化，通常由以下方法得到这种效果，即增加一个相反方向的非线性过程以补偿非线性行为，使整个过程的输入输出关系变得线性化) ，同步化控制的速度快，在设计过程中也减少了单调乏味的工作，而且在一定程度上也避免了传统PID 控制过程中的不确定性会很轻易改变补偿结果的弊端。
最后，选用MATLAB 对系统进行仿真，编写程序方便，调试过程简单，容易
在计算机上实现。
表5.1 系统中的分岔与混沌
表5.1 系统中的分岔与混沌
论文总结与展望
非线性现象是自然界和人类社会中存在的普遍现象，它使非线性动力学的研究引起人们广泛的关注。而它的无穷维混沌特性使之在许多方面具有广阔的应用前景。本文针对Lorenz 系统对混沌同步与混沌控制等问题进行了深入的讨论，取得了一些有用的结论和成果，为进一步研究其它类型的动力学系统提供了参考。但非线性系统本身具有高度的复杂性，还有许多问题有待于研究和解决。
混沌，当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。它在自然科学及社会科学等领域中，覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强，发展前景及影响之深远都是空前的。国际上誉称混沌的发现，乃是继本世纪相对论与量子力学问世以来的第三次物理学大革命，这场革命正在冲击和改变着几乎所有科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战。
混沌的发现已过而立之年。首要的问题是，混沌究竟有什么应用和发展前景? 这是摆在人们面前的一个重大课题及普遍关注的问题。特别是，在我国改革开放和振兴经济的大潮面前，这类提问和呼声更为强烈，这确实也是深入开展混沌研究的巨大推动力。由于混沌的奇异特性，特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性，所谓“差之毫厘，失之千里”的缘故，长期以来有些人总觉得混沌是不可控的、不可靠的，因而是无法应用的怪物，在应用及工程领域中总被回避和抵制。前二次物理学革命所经历的惊人类似的历史，使我们对此并不感到奇怪。
但是，九十年代以来国际上混沌同步及混沌控制的突破性进展，由此激发起来的
理论与实验应用研究的蓬勃开展，使混沌的可能应用出现了契机，为人们展现了十分诱人的应用与发展的美好前景。
致 谢
在做这个课题的长时间中，这里大家都认真的专研各自的课题并相互讨论。有着浓厚的学习气氛及优良的学习风气，这些给我留下了很深的记忆。我想，也只有在这样的环境下，我才能比较顺利完成该课题的制作与写作，让自己进一步的提升。
回首求学路，首先感谢我的导师崔老师，他宽以待人、治学严谨的态度使我受益匪浅; 在他的悉心指导与亲切关怀下使论文顺利完成，在此表示深深地感谢! 感谢其他各位老师对我论文的评阅。感谢实验各位同学的关心与帮助，有你们的存在使得我的学习生活充满了欢声笑语。感谢多年来支持和照顾我的亲友，没有他们的含辛茹苦，我也不能顺利完成学业。饮水思源，今天的成绩与各位师长的指导和同学们的帮助密不可分，但我深知前面还有很长的路要走，我将会牢记各位师长的教诲，踏踏实实，努力拼搏，用实际行动为自己的母校添光添彩。
由于时间仓促和本人水平有限，在设计过程中，难免在设计上存在一定的缺陷，请各位老师多多指正。
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