与多边形各角都相交的圆叫做多边型的外接圆。
三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。
三角形的外接圆圆心是三条中垂线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。
三角形外接圆圆心叫外心
有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）
圆心到三角形各个顶点的线段相等
过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心 在三角形中，三角形内部不一定穿过内心（在钝角三角形中）
例题分析
例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．
分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是
∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC＝45°∴ 在Rt△DEA
评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解．
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．(图1－126)
分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．
同理，有PB⊥a，
∵ PA∩PB=P，
∴ a⊥面PAQB于Q
又 AQ、BQ
平面PAQB
∴ AQ⊥a，BQ⊥a．
∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角．
∴ ∠AQB＝60°
连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有
∠PAQ＝∠PBQ=90°
∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R 在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得 AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7
由正弦定理：
评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．
例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小． 分析 二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．
解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC
∴ BD⊥PC(三垂线定理)
在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．
在Rt△PAB中，由PA＝AB=a
∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB
∴ BC⊥PB(三垂线定理)
在Rt△PBC中，
在△BDE中，根据余弦定理，得
∴ ∠BED＝120°
即二面角B－PC－D的大小为120°．
(2)过P作PQ ∥AB，则PQ
平面PAB，
∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ
平面PCD
∴ 平面PAB∩平面PCD于PQ
∵ PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ
∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD
∴ CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)
∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ
所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角． ∵ PA＝AB=AD，∴∠APD=45°
即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.
评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．
与多边形各角都相交的圆叫做多边型的外接圆。
三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。
三角形的外接圆圆心是三条中垂线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。
三角形外接圆圆心叫外心
有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）
圆心到三角形各个顶点的线段相等
过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心 在三角形中，三角形内部不一定穿过内心（在钝角三角形中）
例题分析
例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．
分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是
∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC＝45°∴ 在Rt△DEA
评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解．
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．(图1－126)
分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．
同理，有PB⊥a，
∵ PA∩PB=P，
∴ a⊥面PAQB于Q
又 AQ、BQ
平面PAQB
∴ AQ⊥a，BQ⊥a．
∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角．
∴ ∠AQB＝60°
连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有
∠PAQ＝∠PBQ=90°
∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R 在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得 AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7
由正弦定理：
评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．
例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小． 分析 二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．
解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC
∴ BD⊥PC(三垂线定理)
在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．
在Rt△PAB中，由PA＝AB=a
∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB
∴ BC⊥PB(三垂线定理)
在Rt△PBC中，
在△BDE中，根据余弦定理，得
∴ ∠BED＝120°
即二面角B－PC－D的大小为120°．
(2)过P作PQ ∥AB，则PQ
平面PAB，
∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ
平面PCD
∴ 平面PAB∩平面PCD于PQ
∵ PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ
∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD
∴ CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)
∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ
所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角． ∵ PA＝AB=AD，∴∠APD=45°
即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.
评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．