毕 业 论 文
题 目 浅谈二次曲面的几何定义
学生姓名 晁贝 学号 1109014032 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业2011级数教1班 指导教师 洪洁 完成地点 陕西理工学院
2015年5月20日
浅谈二次曲面的几何定义
晁贝
(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数教1班, 陕西 汉中 723000)
指导教师:洪洁
[摘要]在解析几何教材中, 椭球面, 抛物面, 双曲面通常都是以方程的形式给出, 本文将主要通过几何的方法分别
对这几种特殊的非退化二次曲面进行研究, 通过对它们各自的运动轨迹来分别验证代数式定义与几何定义是等价的.
[关键词]椭球面; 双曲面; 抛物面; 轨迹; 几何定义
1 引言
我们所学习的二次曲面在生活很多的领域得以应用, 在自由曲面中的类自然二次曲面作为机械工程中出现较多的曲面类型, 越来越受到研究者的关注. 诸如汽车车门的类圆柱面、汽车保险杠拐角
[1]
处的类圆锥面和导弹弹头的类球面等. 本文将采用几何的方法分别对椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面这五种非退化二次曲面进行研究, 希望对于初学空间解析几何者具有一定的参考价值.
2 二次曲面的几何定义
2.1 椭球面
定义 2.1.1
[2]
x 2y 2z 2
在直角坐标系下, 由方程2+2+2=1所表示的曲面叫椭球面, 或称椭圆面,
a b c
该方程叫做椭球面的标准方程, 其中a , b , c 为任意的正常数, 通常假定a ≥b ≥c .
[3]
定义 2.1.2 椭球面可以看成是动椭圆的运动轨迹, 动椭圆变动时满足下列条件：首先变动过程中所在平面与xOy 面平行. 其次两轴的端点分别在两定椭圆上滑动.
我们分别用坐标面z =0, x =o , y =0分别截割椭球面, 所得的截口都是椭圆, 所得的方程分别是
⎧x 2y 2
=1, ⎪+
⎨a 2b 2 （1）
⎪z =0; ⎩
⎧y 2z 2
⎪+=1,
⎨b 2c 2 （2）
⎪x =0; ⎩⎧x 2z 2
⎪+=1,
⎨a 2c 2 （3）
⎪y =0, ⎩
则椭圆（1）, （2）, （3）叫做椭球面的主截线.
若取平行于xOy 坐标面的一组平行平面来截割椭球面（用平行于另两个坐标面的平面来截割
结果一样）. 以平面z =m 来截割得到的截线方程为
⎧x 2y 2m 2
=1-2，⎪+
⎨a 2b 2 c （4）
⎪z =m ，⎩
当m >c 时, 为虚椭圆; 当m =c 时, 为点椭圆;
当m
则这个椭圆的两轴端点分别为
22⎛⎫⎛⎫m m ±a -⎪ , 0, m 与0，±b 1-2, m ⎪, 2 ⎪ ⎪c c ⎝⎭⎝⎭
2⎛m a -2 c ⎝2⎫⎛m ⎪及b -
2⎪ c ⎭⎝⎫⎪, ⎪⎭
我们很容易看出两轴的端点分别在椭圆（3）与（2）上.
由此证明了椭圆面的几何定义与它的代数式定义是等价的.
x 2y 2z 2
推论 当a >b =c 时, 方程变为2+2+2=1 是长形旋转椭球面; 由结论可知由于两定椭
a b c
圆的中轴, 短轴相等, 所以动椭圆滑动的轨迹是长形旋转椭球面.
x 2y 2z 2
当a =c >b 时, 方程变为2+2+2=1 是扁形旋转椭球面; 由结论可知由于两定椭圆的长
a b a
轴, 短轴相等, 所以动椭圆滑动的轨迹是扁形旋转椭球面.
当a =b =c 时, 方程变为x +y +z =1 是一个球面. 由结论可知运动轨迹为球面. 2.2 单叶双曲面
2
2
2
x 2y 2z 2
定义2.2.1在直角坐标系下, 由方程2+2-2=1 所表示的曲面叫做单叶双曲面, 方程叫做
a b c
[2]
单叶双曲面的标准方程, 其中a , b , c 是任意的正常数.
定义2.2.2[4] 椭圆对称轴的两端点沿着一个固定的双曲线滑动, 滑动中椭圆所在的平面始终与双
曲线的虚轴垂直, 且椭圆的两半轴长之比为定值, 椭圆滑动产生的曲面叫做单叶双曲面.
选取它们的公共对称中心为坐标原点, 双曲线实轴和虚轴所在的直线分别为x 轴的坐标, 设双曲线方程, 在xOz 平面上的方程
⎧x 2z 2
⎪2-2=1, ⎨a c ⎪y =0, (5) ⎩
在yOz 平面上的方程
⎧y 2z 2
⎪2-2=1,
（6） ⎨b c
⎪x =0, ⎩
在xOy 平面上的方程
⎧x 2y 2
⎪2+2=1,
（7） ⎨a b
⎪z =0. ⎩
在单叶双曲面上任取一点P (x , y , z ) , 过P 点做平面平行与xOy 面, 设此平面与曲面的交线方程为
⎧x 2z 2
⎪2+2=1, ⎨a 1b 1 （8） ⎪z =z . ⎩
设平面与双曲线的交点为Q , 且Q 坐标为(0, b 1, z ), 满足方程（8）,
b 1z 2
即2-2=1, 整理得 b c
2
⎛z 2⎫
b =b 1+2⎪, (9)
⎝c ⎭
21
2
因为
a 1b 1
=故有 a b
⎛z 2⎫
a =a 1+2⎪, (10)
⎝c ⎭
21
2
把（9）（10）代入（8）式得
⎧x 2y 2z 2
⎪2+2=1+2,
c ⎨a b
⎪z =z . ⎩
由于点P (x , y , z )是单叶双曲面上的任意点, 且满足下列方程
x 2y 2z 2
+-=1, a 2b 2c 2
于是该方程为单叶双曲面的标准方程. 2.3 双叶双曲面
x 2y 2z 2
定义2.3.1 在直角坐标系下, 由方程2+2-2=-1所表示的图形, 叫做双叶双曲面, 方程叫
a b c
[2]
做双叶双曲面的标准方程.
定义2.3.2[5] 在两个相互垂直的平面上, 并且在这两个平面上有一公共中心及一公共而等长的实
轴的双曲线, 另有一变动的椭圆位于一平面上, 该平面垂直于两定双曲线的公共对称轴, 椭圆定点在两定双曲线上, 则此动椭圆平行移动的轨迹就叫做双叶双曲面.
假设双叶双曲面是由动椭圆变动产生的且两轴的端点分别沿着另外两定双曲线. 则可以设这两定双曲线的中心在原点上, 公共轴为实轴且与z 轴重合, 两定双曲线在xOz , yOz 面上, 其方程分别为
⎧z 2x 2
⎪-=1,
⎨c 2a 2 （11）
⎪y =0; ⎩⎧y 2z 2
⎪-=1,
⎨b 2c 2 （12）
⎪x =0. ⎩
设动椭圆的方程为
⎧x 2y 2
=1⎪+
m , n , h 为参数, m >0, n >o , h >0, (13) ⎨m 2n 2
⎪z =h ⎩x 2h 2x 2h 2m 2
因为双曲面（11）与椭圆（13）相交, 所以2=1, 2-2=1, 即2-2=1. （14）
m c a c a
所以
⎛h 2⎫2
m = 2-1⎪a , （15）
⎝c ⎭
2
y 2h 2y 2h 2n 2
又因为双曲面（12）与椭圆（13）相交, 所以2=1, 2-2=1, 即2-2=1, （16）
n c b c b
所以
⎛h 2⎫2
n = 2-1⎪b , （17）
⎝c ⎭
2
x 2y 2z 2
由（13）, （15）, （17）可以消去m , n , h , 于是2+2-2=-1为所求双叶双曲面的方程.
a b c
由此论证了双叶双曲面的几何定义与代数式定义是等价的.
2.4 椭圆抛物面
x 2y 2
定义2.4.1 在直角坐标系下, 由方程2+2=2z 所表示的曲面叫做椭圆抛物面, 方程叫做椭
a b
[2]
圆抛物面的标准方程, 其中a , b 是任意的正常数.
定义2.4.2[6] 一个抛物线的顶点, 沿着另一抛物线滑动, 滑动中两抛物线所在的平面互相垂直, 开口
方向相同, 并且参焦数保持不变, 滑动抛物线产生的轨迹叫椭圆抛物面.
假设椭圆抛物面是一动抛物线的运动轨迹, 则建立直角坐标系
⎧y 2=2b 2z ,
L 1:⎨ (b >0) （18）
⎩x =0.
22⎧⎪x =2a (z -z 1),
L 2:⎨ (a >0) （19）
y =y . ⎪⎩1
y 12y 12
. （20）由（18）和（19）得z =, z =z 1, 于是z 1=
2b 22b 2
x 2y 2
由（19）和（20）消去y 1, z 1得, 2+2=2z 为所求抛物面的标准方程式.
a b
定义2.4.3[7] 有两条开口方向相同的抛物线, 分别位于互相垂直的平面上且有公共的顶点, 在与两
平面垂直的第三平面上有一动椭圆, 并且动椭圆的四个顶点分别在两条抛物线上, 此动椭圆平行移动的轨迹称为椭圆抛物面.
可以假设椭圆抛物面是一动椭圆的运动轨迹, 首先, 建立椭圆抛物面的方程; 设两条相互垂直的抛物线分别位于xOz 和yOz 平面, 且公共顶点为原点A (0,0,0), 则方程分别为
⎧x 2=2a 2z ,
⎨ （21）
⎩y =0
和
⎧y 2=2b 2,
⎨ （22）
x =0. ⎩
另一平面z =z 0. 上有一椭圆, 并且与抛物线交于该椭圆的四个顶点. 由（21）、（22）可知椭圆的
四个顶点B
z
0, C
z 0, D
z 0, E 0, z 0.
⎧x 2y 2
⎪2+2=1,
⎨2a z 02b z 0
⎪z =z ,
0⎩
)()()()
由此可得到动椭圆的方程为
x 2y 2
消去z 0后, 2+2=2z , 该方程为所求椭圆抛物面的标准方程.
a b
由此可以验证椭圆抛物面的几何定义与代数式定义是等价的.
2.5双曲抛物面
x 2y 2
定义2.5.1 在直角坐标系下由方程2-2=2z 所表示的曲面叫做双曲抛物面, 方程叫做双
a b
[2]
曲抛物面的标准方程, 其中a , b 为任意的正常数.
定义2.5.2[8] 一抛物线的顶点, 沿另一抛物线滑动, 滑动中两抛物线所在的平面互相垂直, 开口方向
相反, 且参焦数保持不变, 滑动抛物线产生的轨迹叫双曲抛物面.
假设双曲抛物面是一动抛物线的运动轨迹, 首先建立直角坐标系, 以抛物线的公共顶点为原点, 两条抛物线所在的平面为两个坐标平面建立坐标系
设xOz 平面上的抛物线方程为
其顶点为A z 0.
yOz
)
⎧x 2=2a 2z ,
（23）
⎨
⎩y =0,
⎧y 2=2b 2z ,
（24） ⎨
⎩x =0,
因此设动抛物线的方程为
⎧y 2=-2b 2(z -c ),
（25） ⎨
⎩x =x 0,
其顶点
B x 0(
c ).
x 0=z 0=c . （26）
又因为A 点与B
点重合,
所以
x 2
c =2.
2a
由此可得到动抛物线的方程为
⎧2x 2
⎪y =2b (2-z ),
2a ⎨
⎪x =x ,
0⎩
x 2y 2x 2y 2
消去x 0后, 2-2=2z , 所以方程2-2=2z 为所求抛物面的标准方程.
a b a b
定义2.5.3[9] 两抛物线位于相互垂直的平面上且具有公共顶点, 有两条互为实、虚轴且实轴互相
垂直的动双曲线分别于两抛物线垂直相交于双曲线的顶点, 此两条双曲线平行移动的轨迹称为双曲抛物面.
可以假设双曲抛物面是动双曲线运动的轨迹, 首先, 建立双曲抛物面的方程, 设xOz 平面内的抛物线方程
⎧x 2=2a 2z ,
⎨ （27）
⎩y =o ,
yOz 平面内的抛物线方程
⎧y 2=-2b 2z ,
（28） ⎨
⎩x =0.
设两条双曲线的方程分别为
⎧x 2y 2
=1, ⎪-
⎨m 2n 2 (z 1>0) （29）
⎪z =z , ⎩1⎧x 2y 2
=1, ⎪- ⎨m 2n 2 (z 2
⎪z =z , ⎩2
其中（29）与(27)相交, （30）与（28）相交, 设交点分别为N 1(x 1, y 1, h ), N (x 2, y 2, -h )
其中
⎧x 2y 2⎧x 2y 2
⎪2-2=1⎪2-2=1,
（31） , ⎨n m ⎨m n
⎪z =h ⎪z =-h , ⎩⎩
且
2
⎧x 12=2a 2⎧y 2=2b 2h ,
⎨ （32） , ⎨
⎩y 1=0⎩x 2=0.
由（31）和（32）消去x 1, x 2, y 1, y 2, h 以后得到了
22⎧⎪m =2a h ,
⎨22
⎪⎩n =2b h ,
所以, 动双曲线的方程为
⎧x 2y 2
-=1, ⎪
⎨2a 2h 2b 2h
⎪z =h . ⎩
x 2y 2
于是方程2-2=2z 为所求双曲抛物面的标准方程. 由此证明了双曲抛物面的几何定义与代
a b
数式定义是等价的.
3 特殊类型的二次曲面
3.1 柱面
[2]
定义3.1在空间, 由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面, 定方向叫做柱面的方向, 定曲线叫做柱面的准线, 那族平行直线中的每一条直线, 都叫做柱面的母线.
x 2y 2
椭圆柱面的标准方程为2+2=1是一平行于z 轴的动直线沿着平行于xOy 面内的椭圆
a b x 2y 2
+=1滑动的轨迹. a 2b 2
x 2y 2
双曲柱面的标准方程为2-2=1. 它是由一平行于z 轴的动直线沿着平行于xOy 面内的双
a b x 2y 2
曲线2-2=1平行移动的轨迹.
a b
抛物柱面的标准方程为x 2=2pz . 它是由一平行于z 轴的动直线沿着平行于xOy 面内抛物线平
x 2=2pz 平行移动的轨迹.
3.2 锥面
[2]
定义3.2 在空间通过一定点且与曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面, 这些直线都叫做锥面的顶点, 定曲线叫做锥面的准线.
x 2y 2z 2[2]
二次锥面的标准方程为2+2-2=0. 它是一过原点的动直线旋转而成的.
a b c
4 轨迹方法的有关应用
例4.1 试求通过原点, 并与xOy 平面的夹角为
解 设任意取定空间直角坐标系0; , , , 则通过原点, 并以=(t , m , n ) 为方向向量的直线方
程为
[]
π
的直线轨迹方程. 6
⎧x =at ⎪
⎨y =am , (-∞
⎪z =an ⎩
xOy 坐标平面的法向量=(0, 0, 1).
依据题设条件,
可得sin
π
6
=
=
1=,
2
即
222
t +m -3n =0. （34）
222
将（33）代入（34）式中可得所求直线的轨迹方程为x +y -3z =0, 此方程表示为一个圆锥面.
说明 在这个题中, 所需要求的是一个直线运动轨迹, 根据线动成面的规律, 我们可以确定所要求的轨迹是一个曲. 建立空间直角坐标系, 利用我们已知的条件求出直线方程, 然后依据题设条件建立轨迹方程, 最后得到曲线方程.
x 2z 2
例4.2 将xOz 坐标平面的双曲线2-2=1, 分别绕着x 轴, z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲
a c
面的方程.
x 2z 2
解 （1）双曲线绕着x 轴旋转, 设p 1=(x 1, y 1, z 1)是双曲线2-2=1上的一点, 于是
a c
⎧x 12z 12
⎪-=1, （35）
⎨a 2c 2
⎪y =0, ⎩1
对于p 1点绕x 轴旋转任意角度的相应点p =(x , y , z ) , 有
⎧y 2+z 2=z 12,
（36） ⎨
⎩x =x 1.
x 2y 2+z 2
=1, 由（37）和（38）消去x 1, y 1, z 1之后, 得到2-2
a c
x 2y 2+z 2
=1. 所以, 绕x 轴旋转得到的曲面为旋转双叶双曲面, 它的方程为2-
a c 2
(2)双曲线绕着z 轴
x 2z 2
设点p 1(x 1, y 1, z 1)是双曲线2-2=1上的任意一点于是
a c
⎧x 12z 12
⎪2-2=1, （37）
⎨a c
⎪y =0, ⎩1
对于p 1点绕z 轴旋转任意角度后的相应点P （x,y,z ）, 有
⎧x 2+y 2=x 12,
⎨ （38）
⎩z =z 1.
x 2+y 2z 2
-2=1, 由（37）和（38）可以消去x 1, y 1, z 1, 后得到2
a c
x 2+y 2z 2
-2=1. 所以绕z 轴旋转所得到的曲面为旋转单叶双曲面, 它的方程为
a 2c
说明 在二次曲面中, 有许多种曲面都可以由旋转而形成, 例如, 单叶旋转双曲面, 双叶选择双曲
面, 旋转抛物柱面, 球面等等, 我们在解决这类题目的时候, 首先要确定曲线和旋转轴, 然后确定纬圆方程经过化简, 得到二次曲面的方程.
现如今二次曲面广泛应用在我们的生活领域中, 如在水利工程中, 印染、喷漆等工业中应用. 印染、喷漆等工业中应用主要利用单叶双曲面的喷嘴, 喷嘴可以分为两大类, 一类是燃烧器用喷嘴, 另一类是非燃烧器类喷嘴. 其中非燃烧器类喷嘴根据它的功能可分为喷油喷嘴, 喷砂嘴, 特殊喷嘴和
[10]
喷雾喷嘴.
一般喷出流体的状态是由喷嘴的形状来决定. 锥形的喷嘴喷射时候有离心作用, 能使流体雾化, 并且喷出的水粒细密均匀, 比较适合喷淋工业. 但它仅可以满足一般性的雾化喷射要求, 在一些要求
[11]
高精度的喷射中, 如喷射染色机, 单叶双曲面型的喷嘴设计比锥形喷嘴的性质更优良.
由于单叶双曲面型喷嘴加工成本和难度问题, 目前只能在印染喷漆等方面, 对其加工的革新方法
陕西理工学院毕业论文
正在探索之中, 相信在不久的将来肯定会取得突破, 使得单叶双曲面型喷嘴在更多的领域中应用. 在水利工程中, 水渠的截面一般是梯形或矩形, 并且具有不同的宽度, 需要用曲面进行链接, 所以常常会用到双曲抛物面的性质, 连接渠底边所在的直线为双曲抛物面的一条直母线. 并与双曲抛物面上的异族直母线相交, 这些直母线的斜率连续变化, 从而保证了水流通过时流线是光滑的, 水流平稳. 在我国的农业生产中, 灌溉渠道一般是梯形剖面, 闸门是矩形剖面, 为了使水流平稳, 闸门进出口与渠道连接处便应用了双曲抛物面的性质. 当然在我们的生活中双曲抛物面并不仅仅局限于上述两种特
[12] 殊形状的水渠链接, 只要适当的调整参数它可以应用于任何两种截面的渠道连接.
[参考文献] [11]
[1]曾勇, 龚俊. 面向自然二次曲面的喷涂机器人喷枪轨迹优化[J].中国机械工程.2011:32~35.
[2]吕林根, 许子道. 解析几何（第四版）[M].高等教育出版社.2006:158~174.
[3]刘晓民. 二次曲面的轨迹定义[J].商洛师范专科学校学报.2003.17(4):23~24.
[4]孟宪云. 二次曲面的定义和它的方程[J].承德民族师专学报.1993:76~79.
[5]陶应奇, 王辉. 二次曲面定义的一致性[J].高等数学研究.2012.15(1):45~46.
[6]韩宝玲. 非退化二次曲面的几何定义[J].数学学习与研究（教研版）.2009.2:78~79.
[7]丘维声. 解析几何（第二版）[M].北京大学出版社.1996:92~106.
[8]赵秀元. 与二次曲面相关轨迹问题的研究[J].陕西科技大学学报.2010.28(6):161~164.
[9]陈怀堂, 杜彦武, 刘健. 关于单叶双曲面和双曲抛物面的定义.[J]临沂师专学报.1997.19(3):1~3.
[10]董志龙, 何超喆, 张奇业. 直纹二次曲面在现实生活中的应用分析.2013.43(9):126~133.
[11]O’Neill Barrett. Elementary differential geometry[M].2009:101~110.
[12]Q Liang, Y Z Wang,.Cutting path planning for ruled surface impellers[J].Chinese Journal of Aeronautics.2008:95~98.
Geometry Defining of the Quadratic Surface
Chao Bei
(Grade2011 class1, Institute of mathematics and computer, Shaanxi University of Technology,
Hanzhong 723000)
Tutor: Hong Jie
Abstract : In analytic geometry teaching materials ,ellipsoid ,parabolic and hyperboloid is usually in the form
of equation is given .Through their trajectory to verify the algebraic expression definition and geometry
definitions are equivalent .Then the problem of tracking points is solved according to the method of coincide
generating.
Key words: ellipsoid; parabolic; hyperboloid; the trajectory; geometric definition.
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毕 业 论 文
题 目 浅谈二次曲面的几何定义
学生姓名 晁贝 学号 1109014032 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业2011级数教1班 指导教师 洪洁 完成地点 陕西理工学院
2015年5月20日
浅谈二次曲面的几何定义
晁贝
(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数教1班, 陕西 汉中 723000)
指导教师:洪洁
[摘要]在解析几何教材中, 椭球面, 抛物面, 双曲面通常都是以方程的形式给出, 本文将主要通过几何的方法分别
对这几种特殊的非退化二次曲面进行研究, 通过对它们各自的运动轨迹来分别验证代数式定义与几何定义是等价的.
[关键词]椭球面; 双曲面; 抛物面; 轨迹; 几何定义
1 引言
我们所学习的二次曲面在生活很多的领域得以应用, 在自由曲面中的类自然二次曲面作为机械工程中出现较多的曲面类型, 越来越受到研究者的关注. 诸如汽车车门的类圆柱面、汽车保险杠拐角
[1]
处的类圆锥面和导弹弹头的类球面等. 本文将采用几何的方法分别对椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面这五种非退化二次曲面进行研究, 希望对于初学空间解析几何者具有一定的参考价值.
2 二次曲面的几何定义
2.1 椭球面
定义 2.1.1
[2]
x 2y 2z 2
在直角坐标系下, 由方程2+2+2=1所表示的曲面叫椭球面, 或称椭圆面,
a b c
该方程叫做椭球面的标准方程, 其中a , b , c 为任意的正常数, 通常假定a ≥b ≥c .
[3]
定义 2.1.2 椭球面可以看成是动椭圆的运动轨迹, 动椭圆变动时满足下列条件：首先变动过程中所在平面与xOy 面平行. 其次两轴的端点分别在两定椭圆上滑动.
我们分别用坐标面z =0, x =o , y =0分别截割椭球面, 所得的截口都是椭圆, 所得的方程分别是
⎧x 2y 2
=1, ⎪+
⎨a 2b 2 （1）
⎪z =0; ⎩
⎧y 2z 2
⎪+=1,
⎨b 2c 2 （2）
⎪x =0; ⎩⎧x 2z 2
⎪+=1,
⎨a 2c 2 （3）
⎪y =0, ⎩
则椭圆（1）, （2）, （3）叫做椭球面的主截线.
若取平行于xOy 坐标面的一组平行平面来截割椭球面（用平行于另两个坐标面的平面来截割
结果一样）. 以平面z =m 来截割得到的截线方程为
⎧x 2y 2m 2
=1-2，⎪+
⎨a 2b 2 c （4）
⎪z =m ，⎩
当m >c 时, 为虚椭圆; 当m =c 时, 为点椭圆;
当m
则这个椭圆的两轴端点分别为
22⎛⎫⎛⎫m m ±a -⎪ , 0, m 与0，±b 1-2, m ⎪, 2 ⎪ ⎪c c ⎝⎭⎝⎭
2⎛m a -2 c ⎝2⎫⎛m ⎪及b -
2⎪ c ⎭⎝⎫⎪, ⎪⎭
我们很容易看出两轴的端点分别在椭圆（3）与（2）上.
由此证明了椭圆面的几何定义与它的代数式定义是等价的.
x 2y 2z 2
推论 当a >b =c 时, 方程变为2+2+2=1 是长形旋转椭球面; 由结论可知由于两定椭
a b c
圆的中轴, 短轴相等, 所以动椭圆滑动的轨迹是长形旋转椭球面.
x 2y 2z 2
当a =c >b 时, 方程变为2+2+2=1 是扁形旋转椭球面; 由结论可知由于两定椭圆的长
a b a
轴, 短轴相等, 所以动椭圆滑动的轨迹是扁形旋转椭球面.
当a =b =c 时, 方程变为x +y +z =1 是一个球面. 由结论可知运动轨迹为球面. 2.2 单叶双曲面
2
2
2
x 2y 2z 2
定义2.2.1在直角坐标系下, 由方程2+2-2=1 所表示的曲面叫做单叶双曲面, 方程叫做
a b c
[2]
单叶双曲面的标准方程, 其中a , b , c 是任意的正常数.
定义2.2.2[4] 椭圆对称轴的两端点沿着一个固定的双曲线滑动, 滑动中椭圆所在的平面始终与双
曲线的虚轴垂直, 且椭圆的两半轴长之比为定值, 椭圆滑动产生的曲面叫做单叶双曲面.
选取它们的公共对称中心为坐标原点, 双曲线实轴和虚轴所在的直线分别为x 轴的坐标, 设双曲线方程, 在xOz 平面上的方程
⎧x 2z 2
⎪2-2=1, ⎨a c ⎪y =0, (5) ⎩
在yOz 平面上的方程
⎧y 2z 2
⎪2-2=1,
（6） ⎨b c
⎪x =0, ⎩
在xOy 平面上的方程
⎧x 2y 2
⎪2+2=1,
（7） ⎨a b
⎪z =0. ⎩
在单叶双曲面上任取一点P (x , y , z ) , 过P 点做平面平行与xOy 面, 设此平面与曲面的交线方程为
⎧x 2z 2
⎪2+2=1, ⎨a 1b 1 （8） ⎪z =z . ⎩
设平面与双曲线的交点为Q , 且Q 坐标为(0, b 1, z ), 满足方程（8）,
b 1z 2
即2-2=1, 整理得 b c
2
⎛z 2⎫
b =b 1+2⎪, (9)
⎝c ⎭
21
2
因为
a 1b 1
=故有 a b
⎛z 2⎫
a =a 1+2⎪, (10)
⎝c ⎭
21
2
把（9）（10）代入（8）式得
⎧x 2y 2z 2
⎪2+2=1+2,
c ⎨a b
⎪z =z . ⎩
由于点P (x , y , z )是单叶双曲面上的任意点, 且满足下列方程
x 2y 2z 2
+-=1, a 2b 2c 2
于是该方程为单叶双曲面的标准方程. 2.3 双叶双曲面
x 2y 2z 2
定义2.3.1 在直角坐标系下, 由方程2+2-2=-1所表示的图形, 叫做双叶双曲面, 方程叫
a b c
[2]
做双叶双曲面的标准方程.
定义2.3.2[5] 在两个相互垂直的平面上, 并且在这两个平面上有一公共中心及一公共而等长的实
轴的双曲线, 另有一变动的椭圆位于一平面上, 该平面垂直于两定双曲线的公共对称轴, 椭圆定点在两定双曲线上, 则此动椭圆平行移动的轨迹就叫做双叶双曲面.
假设双叶双曲面是由动椭圆变动产生的且两轴的端点分别沿着另外两定双曲线. 则可以设这两定双曲线的中心在原点上, 公共轴为实轴且与z 轴重合, 两定双曲线在xOz , yOz 面上, 其方程分别为
⎧z 2x 2
⎪-=1,
⎨c 2a 2 （11）
⎪y =0; ⎩⎧y 2z 2
⎪-=1,
⎨b 2c 2 （12）
⎪x =0. ⎩
设动椭圆的方程为
⎧x 2y 2
=1⎪+
m , n , h 为参数, m >0, n >o , h >0, (13) ⎨m 2n 2
⎪z =h ⎩x 2h 2x 2h 2m 2
因为双曲面（11）与椭圆（13）相交, 所以2=1, 2-2=1, 即2-2=1. （14）
m c a c a
所以
⎛h 2⎫2
m = 2-1⎪a , （15）
⎝c ⎭
2
y 2h 2y 2h 2n 2
又因为双曲面（12）与椭圆（13）相交, 所以2=1, 2-2=1, 即2-2=1, （16）
n c b c b
所以
⎛h 2⎫2
n = 2-1⎪b , （17）
⎝c ⎭
2
x 2y 2z 2
由（13）, （15）, （17）可以消去m , n , h , 于是2+2-2=-1为所求双叶双曲面的方程.
a b c
由此论证了双叶双曲面的几何定义与代数式定义是等价的.
2.4 椭圆抛物面
x 2y 2
定义2.4.1 在直角坐标系下, 由方程2+2=2z 所表示的曲面叫做椭圆抛物面, 方程叫做椭
a b
[2]
圆抛物面的标准方程, 其中a , b 是任意的正常数.
定义2.4.2[6] 一个抛物线的顶点, 沿着另一抛物线滑动, 滑动中两抛物线所在的平面互相垂直, 开口
方向相同, 并且参焦数保持不变, 滑动抛物线产生的轨迹叫椭圆抛物面.
假设椭圆抛物面是一动抛物线的运动轨迹, 则建立直角坐标系
⎧y 2=2b 2z ,
L 1:⎨ (b >0) （18）
⎩x =0.
22⎧⎪x =2a (z -z 1),
L 2:⎨ (a >0) （19）
y =y . ⎪⎩1
y 12y 12
. （20）由（18）和（19）得z =, z =z 1, 于是z 1=
2b 22b 2
x 2y 2
由（19）和（20）消去y 1, z 1得, 2+2=2z 为所求抛物面的标准方程式.
a b
定义2.4.3[7] 有两条开口方向相同的抛物线, 分别位于互相垂直的平面上且有公共的顶点, 在与两
平面垂直的第三平面上有一动椭圆, 并且动椭圆的四个顶点分别在两条抛物线上, 此动椭圆平行移动的轨迹称为椭圆抛物面.
可以假设椭圆抛物面是一动椭圆的运动轨迹, 首先, 建立椭圆抛物面的方程; 设两条相互垂直的抛物线分别位于xOz 和yOz 平面, 且公共顶点为原点A (0,0,0), 则方程分别为
⎧x 2=2a 2z ,
⎨ （21）
⎩y =0
和
⎧y 2=2b 2,
⎨ （22）
x =0. ⎩
另一平面z =z 0. 上有一椭圆, 并且与抛物线交于该椭圆的四个顶点. 由（21）、（22）可知椭圆的
四个顶点B
z
0, C
z 0, D
z 0, E 0, z 0.
⎧x 2y 2
⎪2+2=1,
⎨2a z 02b z 0
⎪z =z ,
0⎩
)()()()
由此可得到动椭圆的方程为
x 2y 2
消去z 0后, 2+2=2z , 该方程为所求椭圆抛物面的标准方程.
a b
由此可以验证椭圆抛物面的几何定义与代数式定义是等价的.
2.5双曲抛物面
x 2y 2
定义2.5.1 在直角坐标系下由方程2-2=2z 所表示的曲面叫做双曲抛物面, 方程叫做双
a b
[2]
曲抛物面的标准方程, 其中a , b 为任意的正常数.
定义2.5.2[8] 一抛物线的顶点, 沿另一抛物线滑动, 滑动中两抛物线所在的平面互相垂直, 开口方向
相反, 且参焦数保持不变, 滑动抛物线产生的轨迹叫双曲抛物面.
假设双曲抛物面是一动抛物线的运动轨迹, 首先建立直角坐标系, 以抛物线的公共顶点为原点, 两条抛物线所在的平面为两个坐标平面建立坐标系
设xOz 平面上的抛物线方程为
其顶点为A z 0.
yOz
)
⎧x 2=2a 2z ,
（23）
⎨
⎩y =0,
⎧y 2=2b 2z ,
（24） ⎨
⎩x =0,
因此设动抛物线的方程为
⎧y 2=-2b 2(z -c ),
（25） ⎨
⎩x =x 0,
其顶点
B x 0(
c ).
x 0=z 0=c . （26）
又因为A 点与B
点重合,
所以
x 2
c =2.
2a
由此可得到动抛物线的方程为
⎧2x 2
⎪y =2b (2-z ),
2a ⎨
⎪x =x ,
0⎩
x 2y 2x 2y 2
消去x 0后, 2-2=2z , 所以方程2-2=2z 为所求抛物面的标准方程.
a b a b
定义2.5.3[9] 两抛物线位于相互垂直的平面上且具有公共顶点, 有两条互为实、虚轴且实轴互相
垂直的动双曲线分别于两抛物线垂直相交于双曲线的顶点, 此两条双曲线平行移动的轨迹称为双曲抛物面.
可以假设双曲抛物面是动双曲线运动的轨迹, 首先, 建立双曲抛物面的方程, 设xOz 平面内的抛物线方程
⎧x 2=2a 2z ,
⎨ （27）
⎩y =o ,
yOz 平面内的抛物线方程
⎧y 2=-2b 2z ,
（28） ⎨
⎩x =0.
设两条双曲线的方程分别为
⎧x 2y 2
=1, ⎪-
⎨m 2n 2 (z 1>0) （29）
⎪z =z , ⎩1⎧x 2y 2
=1, ⎪- ⎨m 2n 2 (z 2
⎪z =z , ⎩2
其中（29）与(27)相交, （30）与（28）相交, 设交点分别为N 1(x 1, y 1, h ), N (x 2, y 2, -h )
其中
⎧x 2y 2⎧x 2y 2
⎪2-2=1⎪2-2=1,
（31） , ⎨n m ⎨m n
⎪z =h ⎪z =-h , ⎩⎩
且
2
⎧x 12=2a 2⎧y 2=2b 2h ,
⎨ （32） , ⎨
⎩y 1=0⎩x 2=0.
由（31）和（32）消去x 1, x 2, y 1, y 2, h 以后得到了
22⎧⎪m =2a h ,
⎨22
⎪⎩n =2b h ,
所以, 动双曲线的方程为
⎧x 2y 2
-=1, ⎪
⎨2a 2h 2b 2h
⎪z =h . ⎩
x 2y 2
于是方程2-2=2z 为所求双曲抛物面的标准方程. 由此证明了双曲抛物面的几何定义与代
a b
数式定义是等价的.
3 特殊类型的二次曲面
3.1 柱面
[2]
定义3.1在空间, 由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面, 定方向叫做柱面的方向, 定曲线叫做柱面的准线, 那族平行直线中的每一条直线, 都叫做柱面的母线.
x 2y 2
椭圆柱面的标准方程为2+2=1是一平行于z 轴的动直线沿着平行于xOy 面内的椭圆
a b x 2y 2
+=1滑动的轨迹. a 2b 2
x 2y 2
双曲柱面的标准方程为2-2=1. 它是由一平行于z 轴的动直线沿着平行于xOy 面内的双
a b x 2y 2
曲线2-2=1平行移动的轨迹.
a b
抛物柱面的标准方程为x 2=2pz . 它是由一平行于z 轴的动直线沿着平行于xOy 面内抛物线平
x 2=2pz 平行移动的轨迹.
3.2 锥面
[2]
定义3.2 在空间通过一定点且与曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面, 这些直线都叫做锥面的顶点, 定曲线叫做锥面的准线.
x 2y 2z 2[2]
二次锥面的标准方程为2+2-2=0. 它是一过原点的动直线旋转而成的.
a b c
4 轨迹方法的有关应用
例4.1 试求通过原点, 并与xOy 平面的夹角为
解 设任意取定空间直角坐标系0; , , , 则通过原点, 并以=(t , m , n ) 为方向向量的直线方
程为
[]
π
的直线轨迹方程. 6
⎧x =at ⎪
⎨y =am , (-∞
⎪z =an ⎩
xOy 坐标平面的法向量=(0, 0, 1).
依据题设条件,
可得sin
π
6
=
=
1=,
2
即
222
t +m -3n =0. （34）
222
将（33）代入（34）式中可得所求直线的轨迹方程为x +y -3z =0, 此方程表示为一个圆锥面.
说明 在这个题中, 所需要求的是一个直线运动轨迹, 根据线动成面的规律, 我们可以确定所要求的轨迹是一个曲. 建立空间直角坐标系, 利用我们已知的条件求出直线方程, 然后依据题设条件建立轨迹方程, 最后得到曲线方程.
x 2z 2
例4.2 将xOz 坐标平面的双曲线2-2=1, 分别绕着x 轴, z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲
a c
面的方程.
x 2z 2
解 （1）双曲线绕着x 轴旋转, 设p 1=(x 1, y 1, z 1)是双曲线2-2=1上的一点, 于是
a c
⎧x 12z 12
⎪-=1, （35）
⎨a 2c 2
⎪y =0, ⎩1
对于p 1点绕x 轴旋转任意角度的相应点p =(x , y , z ) , 有
⎧y 2+z 2=z 12,
（36） ⎨
⎩x =x 1.
x 2y 2+z 2
=1, 由（37）和（38）消去x 1, y 1, z 1之后, 得到2-2
a c
x 2y 2+z 2
=1. 所以, 绕x 轴旋转得到的曲面为旋转双叶双曲面, 它的方程为2-
a c 2
(2)双曲线绕着z 轴
x 2z 2
设点p 1(x 1, y 1, z 1)是双曲线2-2=1上的任意一点于是
a c
⎧x 12z 12
⎪2-2=1, （37）
⎨a c
⎪y =0, ⎩1
对于p 1点绕z 轴旋转任意角度后的相应点P （x,y,z ）, 有
⎧x 2+y 2=x 12,
⎨ （38）
⎩z =z 1.
x 2+y 2z 2
-2=1, 由（37）和（38）可以消去x 1, y 1, z 1, 后得到2
a c
x 2+y 2z 2
-2=1. 所以绕z 轴旋转所得到的曲面为旋转单叶双曲面, 它的方程为
a 2c
说明 在二次曲面中, 有许多种曲面都可以由旋转而形成, 例如, 单叶旋转双曲面, 双叶选择双曲
面, 旋转抛物柱面, 球面等等, 我们在解决这类题目的时候, 首先要确定曲线和旋转轴, 然后确定纬圆方程经过化简, 得到二次曲面的方程.
现如今二次曲面广泛应用在我们的生活领域中, 如在水利工程中, 印染、喷漆等工业中应用. 印染、喷漆等工业中应用主要利用单叶双曲面的喷嘴, 喷嘴可以分为两大类, 一类是燃烧器用喷嘴, 另一类是非燃烧器类喷嘴. 其中非燃烧器类喷嘴根据它的功能可分为喷油喷嘴, 喷砂嘴, 特殊喷嘴和
[10]
喷雾喷嘴.
一般喷出流体的状态是由喷嘴的形状来决定. 锥形的喷嘴喷射时候有离心作用, 能使流体雾化, 并且喷出的水粒细密均匀, 比较适合喷淋工业. 但它仅可以满足一般性的雾化喷射要求, 在一些要求
[11]
高精度的喷射中, 如喷射染色机, 单叶双曲面型的喷嘴设计比锥形喷嘴的性质更优良.
由于单叶双曲面型喷嘴加工成本和难度问题, 目前只能在印染喷漆等方面, 对其加工的革新方法
陕西理工学院毕业论文
正在探索之中, 相信在不久的将来肯定会取得突破, 使得单叶双曲面型喷嘴在更多的领域中应用. 在水利工程中, 水渠的截面一般是梯形或矩形, 并且具有不同的宽度, 需要用曲面进行链接, 所以常常会用到双曲抛物面的性质, 连接渠底边所在的直线为双曲抛物面的一条直母线. 并与双曲抛物面上的异族直母线相交, 这些直母线的斜率连续变化, 从而保证了水流通过时流线是光滑的, 水流平稳. 在我国的农业生产中, 灌溉渠道一般是梯形剖面, 闸门是矩形剖面, 为了使水流平稳, 闸门进出口与渠道连接处便应用了双曲抛物面的性质. 当然在我们的生活中双曲抛物面并不仅仅局限于上述两种特
[12] 殊形状的水渠链接, 只要适当的调整参数它可以应用于任何两种截面的渠道连接.
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Geometry Defining of the Quadratic Surface
Chao Bei
(Grade2011 class1, Institute of mathematics and computer, Shaanxi University of Technology,
Hanzhong 723000)
Tutor: Hong Jie
Abstract : In analytic geometry teaching materials ,ellipsoid ,parabolic and hyperboloid is usually in the form
of equation is given .Through their trajectory to verify the algebraic expression definition and geometry
definitions are equivalent .Then the problem of tracking points is solved according to the method of coincide
generating.
Key words: ellipsoid; parabolic; hyperboloid; the trajectory; geometric definition.
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