理论与实践
中国人均GDP时间序列模型
的建立与预测
□文/慕容楠
人均GDP是以某地区一定时期国内生产总值（现价）除以同期平均人口所得出的结果。作为衡量一个国家和地区经济发展水平和综合经济实力的重要指标，人均GDP不仅考虑了经济总量的大小，而且结合了人口多少的因素，在国际上它也是划分一个区域经济发展阶段的依据之一。尤其像我们这样的人口大国，用人均GDP指标反映区域经济增长和深刻和富有现实意义。发展情况会更加准确、
ARIMA模型是用于一个国家或地区经济和商业预测中比较先进适用的时间序列模型之一。本文试图以我国1978-2010年人均GDP历史数据为样本，通过ARIMA模型对样本进行统计分析，以揭示我国人均GDP变化的内在规律性，并进行后期预测。
一、建立人均GDP时间序列模型
叶禹杉
杨晴怡
重要前提。ARMA模型及ARIMA模型都是在平稳时间序列基础上建立的。任何非平稳时间序列只要通过适当阶数的差分运算就可以实现平稳，就可以对差分后的序列进行ARMA(p,q)拟合了。建模步骤如下：
ARIMA模型的建模步骤时间序列模型是建立在随机序列平稳性假设基础上的，因此，时间序列的平稳性是建模的
本文以我国人均GDP历史数据(1978—2010年)为样本进
备的现代化，提高产品技术含量，延长产业链条，针对全市行业特点构建起“煤—电—电解铝”、“电解铝—合金铝—铝合金制品”、“煤—电—钢铁及其深加工产品”、“煤—电—稀土功能材料—稀土应用材料”等深加工产业链，以此提高产品附加值和资源利用效率；二是转变传统经济增长方式，走循环经济的路子，不仅要关注上游产业的能源原料供给和下游加工业的市场需求之间的联系，而且要重视高耗能产业所生产的废气、废水、废渣等废弃物质的综合利用与产业开发，将上游产业的污染排放物作为原料进行加工，生产出下游产品，让物资循环利用，既消减了污染排放，又降低污染治
“三废变三宝”的产业理的成本，形成链与循环经济圈。
（四）优化能源消费结构，加快开发新能源
产具有自主知识产权的风力发电设备。目前，华电、龙源、蒙能、鲁能、蛟龙等一批风电项目顺利推进，全市已建成和在建风电项目规模达到200万千瓦，其中51万千瓦已并网发电，从风电设备制造到风电场建设的风电产业正在形成。在大力开发风能源的同时，应鼓励发展城市垃圾焚烧发电或热力利沼气和秸秆气用；推广应用醇类燃料、化发电等生物质能技术；加快推广应用太阳能，鼓励并引导生产和经营领域积极利用太阳能，并逐步扩大使用范围。
作者单位：包头市统计局责任编辑：刘雪梅
调整优化能源结构，以推进多元化、清洁化为主要目标，提高风电、新能源等清洁能源的比重，不断调整和优化能源结构。为适应大气环境质量要求，随着产业结构调整的深入，大幅度降低重点用能部门的能耗，能源总消费量在满足经济发展需要的前提下逐步降低增速；大力引进清洁能源，逐步减少并从严控制燃煤总量，大幅度提高天然气、电力等优质能源的比重。
要加快开发和利用新型可再生能源。加快建设风力发电站，支持开发生
21
2012.05双月刊
理论与实践
行分析，数据见图1
。
图1
（一）序列的平稳性检验
）,由图可以看出序列的自相关系数递减了如下自相关（图2到零的速度相当缓慢，在很长的延迟时间里，自相关系数一直为正，且呈现逐渐下降的趋势，这是具有单调趋势的非平稳序列的一种典型的自相关图形式。
（二）白噪声检验
我们通常有两种方法来检验；一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法；另一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。
从上面的时序图我们可以观察到该序列为非平稳序列，为了进一步确定其非平稳性，我们采用图检验法，作出
由于白噪声序列的各项之间没有任何相关关系，这种
图
2
“没有记忆”的序列就是纯随机序列。纯随机序列各项之间没有任何关联，序列在进行完全无序的随机波动。一旦某个随机事件呈现出纯随机运动的特征，就认为该随机事件没有包含任何值得提取的有用信息，我们就应该终止分析了。因此，我们要进行白噪声检验。通过残差序列白噪声检验结
果如图3，在6阶、12阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小,所以我们可以以很大的把握（置信水平>99.99%）断定全国人均GDP时间序列属于非白噪声序列。
（三）平稳化过程
对变量进行对数化处理，将时间序列的指数趋势转化
22
理论与实践
图
3
为线性趋势，得到如图4。
我们可以看出它是非平稳且具有增长趋势的，因此，对其进行一阶差分。
1.一阶差分后
由图5可以看出一阶差分后的序列时序图是非平稳的。
2.二阶差分
由图6时序图可以看出该序列基本上是平稳的，下面对其平稳性进行进一步检验。
自相关图显示，延迟零阶和一阶的自相关系数在两倍标准差范围之外，其他阶的自相关系数均在两倍标准差范围之内波动，根据自相关系数的这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定了序列平稳，同时，可以认为该序列自相关系数一阶结尾。
图4
图5
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理论与实践
图6
图
7
序列随机性检验显示该序列为非白噪声序列
。
图8
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理论与实践
偏自相关图显示，延迟一、二、四阶的偏自相关系数在两倍标准差范围之外，其他阶的偏自相关系数均在两倍标
准差范围之内波动，可以认为该序列偏自相关系数四阶结尾（如图9）
。
图9
二、对数化后的GDP模型估计
结果判定该序列为平稳非白噪声序列，可以考虑使用ARMA（4,1）模型对它进行拟合（如图10）
。
综合序列时序图、自相关图、偏自相关图和白噪声检验
图10
参数估计部分输出结果如上图所示。显然参数均显著
。
图11
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由此判断该模型为：
6阶、12阶、18阶、24阶LB检验统残差白噪声检验显示，
计量P值均显著大于0.05，所以，该ARMA（4,1）模型显著有效。
参数显著性结果显示，六参数T统计量的P值均小于0.05.即六参数均显著
。
图12
图
13
三、GDP模型预测年）人均GDP的预测值分别为35516.57（元），39612.36（元），43660.52（元），49587.19（元），54962.40（元），60262.99（元）。
图15是置信水平为95%的预测图
。
图14是对GDP取对数后的预测：
由下图可以看出，我国从2011年起的六年内（包括2011
图14
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理论与实
践
图15
由于本时间序列模型是经过二阶差分才平稳，且模型由有限个数据拟合而成，所获得的模型反映的是短期变化关系，而不是长期变化关系，因此，只适合进行短期预测。尽管ARIMA模型对于短期预测比较准确，但随着预测期的延长，预测结果在一定程度上还是说明实现经济增长规划目标是完全可能的。该预测只是在国际经济环境和中国内部
的经济环境良好的前提下进行的，而这些经济目标只有在中国经济持续、稳定、高速增长的情况下才能实现。文中我们能做到的也仅限于以GDP的变化为视角，并在这样一个视角下，力图达到对经济运行较为准确的预测。
作者单位：四川大学数学学院责任编辑：樊铁英
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中国人均GDP时间序列模型
的建立与预测
□文/慕容楠
人均GDP是以某地区一定时期国内生产总值（现价）除以同期平均人口所得出的结果。作为衡量一个国家和地区经济发展水平和综合经济实力的重要指标，人均GDP不仅考虑了经济总量的大小，而且结合了人口多少的因素，在国际上它也是划分一个区域经济发展阶段的依据之一。尤其像我们这样的人口大国，用人均GDP指标反映区域经济增长和深刻和富有现实意义。发展情况会更加准确、
ARIMA模型是用于一个国家或地区经济和商业预测中比较先进适用的时间序列模型之一。本文试图以我国1978-2010年人均GDP历史数据为样本，通过ARIMA模型对样本进行统计分析，以揭示我国人均GDP变化的内在规律性，并进行后期预测。
一、建立人均GDP时间序列模型
叶禹杉
杨晴怡
重要前提。ARMA模型及ARIMA模型都是在平稳时间序列基础上建立的。任何非平稳时间序列只要通过适当阶数的差分运算就可以实现平稳，就可以对差分后的序列进行ARMA(p,q)拟合了。建模步骤如下：
ARIMA模型的建模步骤时间序列模型是建立在随机序列平稳性假设基础上的，因此，时间序列的平稳性是建模的
本文以我国人均GDP历史数据(1978—2010年)为样本进
备的现代化，提高产品技术含量，延长产业链条，针对全市行业特点构建起“煤—电—电解铝”、“电解铝—合金铝—铝合金制品”、“煤—电—钢铁及其深加工产品”、“煤—电—稀土功能材料—稀土应用材料”等深加工产业链，以此提高产品附加值和资源利用效率；二是转变传统经济增长方式，走循环经济的路子，不仅要关注上游产业的能源原料供给和下游加工业的市场需求之间的联系，而且要重视高耗能产业所生产的废气、废水、废渣等废弃物质的综合利用与产业开发，将上游产业的污染排放物作为原料进行加工，生产出下游产品，让物资循环利用，既消减了污染排放，又降低污染治
“三废变三宝”的产业理的成本，形成链与循环经济圈。
（四）优化能源消费结构，加快开发新能源
产具有自主知识产权的风力发电设备。目前，华电、龙源、蒙能、鲁能、蛟龙等一批风电项目顺利推进，全市已建成和在建风电项目规模达到200万千瓦，其中51万千瓦已并网发电，从风电设备制造到风电场建设的风电产业正在形成。在大力开发风能源的同时，应鼓励发展城市垃圾焚烧发电或热力利沼气和秸秆气用；推广应用醇类燃料、化发电等生物质能技术；加快推广应用太阳能，鼓励并引导生产和经营领域积极利用太阳能，并逐步扩大使用范围。
作者单位：包头市统计局责任编辑：刘雪梅
调整优化能源结构，以推进多元化、清洁化为主要目标，提高风电、新能源等清洁能源的比重，不断调整和优化能源结构。为适应大气环境质量要求，随着产业结构调整的深入，大幅度降低重点用能部门的能耗，能源总消费量在满足经济发展需要的前提下逐步降低增速；大力引进清洁能源，逐步减少并从严控制燃煤总量，大幅度提高天然气、电力等优质能源的比重。
要加快开发和利用新型可再生能源。加快建设风力发电站，支持开发生
21
2012.05双月刊
理论与实践
行分析，数据见图1
。
图1
（一）序列的平稳性检验
）,由图可以看出序列的自相关系数递减了如下自相关（图2到零的速度相当缓慢，在很长的延迟时间里，自相关系数一直为正，且呈现逐渐下降的趋势，这是具有单调趋势的非平稳序列的一种典型的自相关图形式。
（二）白噪声检验
我们通常有两种方法来检验；一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法；另一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。
从上面的时序图我们可以观察到该序列为非平稳序列，为了进一步确定其非平稳性，我们采用图检验法，作出
由于白噪声序列的各项之间没有任何相关关系，这种
图
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“没有记忆”的序列就是纯随机序列。纯随机序列各项之间没有任何关联，序列在进行完全无序的随机波动。一旦某个随机事件呈现出纯随机运动的特征，就认为该随机事件没有包含任何值得提取的有用信息，我们就应该终止分析了。因此，我们要进行白噪声检验。通过残差序列白噪声检验结
果如图3，在6阶、12阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小,所以我们可以以很大的把握（置信水平>99.99%）断定全国人均GDP时间序列属于非白噪声序列。
（三）平稳化过程
对变量进行对数化处理，将时间序列的指数趋势转化
22
理论与实践
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为线性趋势，得到如图4。
我们可以看出它是非平稳且具有增长趋势的，因此，对其进行一阶差分。
1.一阶差分后
由图5可以看出一阶差分后的序列时序图是非平稳的。
2.二阶差分
由图6时序图可以看出该序列基本上是平稳的，下面对其平稳性进行进一步检验。
自相关图显示，延迟零阶和一阶的自相关系数在两倍标准差范围之外，其他阶的自相关系数均在两倍标准差范围之内波动，根据自相关系数的这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定了序列平稳，同时，可以认为该序列自相关系数一阶结尾。
图4
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理论与实践
图6
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序列随机性检验显示该序列为非白噪声序列
。
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理论与实践
偏自相关图显示，延迟一、二、四阶的偏自相关系数在两倍标准差范围之外，其他阶的偏自相关系数均在两倍标
准差范围之内波动，可以认为该序列偏自相关系数四阶结尾（如图9）
。
图9
二、对数化后的GDP模型估计
结果判定该序列为平稳非白噪声序列，可以考虑使用ARMA（4,1）模型对它进行拟合（如图10）
。
综合序列时序图、自相关图、偏自相关图和白噪声检验
图10
参数估计部分输出结果如上图所示。显然参数均显著
。
图11
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理论与实践
由此判断该模型为：
6阶、12阶、18阶、24阶LB检验统残差白噪声检验显示，
计量P值均显著大于0.05，所以，该ARMA（4,1）模型显著有效。
参数显著性结果显示，六参数T统计量的P值均小于0.05.即六参数均显著
。
图12
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三、GDP模型预测年）人均GDP的预测值分别为35516.57（元），39612.36（元），43660.52（元），49587.19（元），54962.40（元），60262.99（元）。
图15是置信水平为95%的预测图
。
图14是对GDP取对数后的预测：
由下图可以看出，我国从2011年起的六年内（包括2011
图14
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理论与实
践
图15
由于本时间序列模型是经过二阶差分才平稳，且模型由有限个数据拟合而成，所获得的模型反映的是短期变化关系，而不是长期变化关系，因此，只适合进行短期预测。尽管ARIMA模型对于短期预测比较准确，但随着预测期的延长，预测结果在一定程度上还是说明实现经济增长规划目标是完全可能的。该预测只是在国际经济环境和中国内部
的经济环境良好的前提下进行的，而这些经济目标只有在中国经济持续、稳定、高速增长的情况下才能实现。文中我们能做到的也仅限于以GDP的变化为视角，并在这样一个视角下，力图达到对经济运行较为准确的预测。
作者单位：四川大学数学学院责任编辑：樊铁英
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